球的体积和表面积(附规范标准答案)

球的体积和表面积

[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.

知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4

3πR 3(其中R 为球的半径).

2.球的表面积公式S ＝4πR 2.

思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点

1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.

2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.

题型一 球的表面积和体积

例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500

3

π，求它的表面积.

解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256

3

π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500

3π，解得R ＝5，

所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.

跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π

3

答案 D

解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4

3πR 3

＝323

π. 题型二 球的截面问题

例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )

A.6π

B.43π

C.46π

D.63π 答案 B

解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝4

3

π(3)3＝43π.

跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________. 答案 9π

解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，

得⎩⎨⎧

xy ＝3，yz ＝5，

zx ＝

15，

解得⎩⎨⎧

x ＝3，y ＝1，

z ＝ 5.

所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝3

2，

所以S 球＝4πR 2＝9π.

题型三 球的组合体与三视图

例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.

解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为

S ＝1

2×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π

3.

跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a .

①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r 1＝a ， 即r 1＝a 2

，所以S 1＝4πr 21＝πa 2

.

②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(2)所示，则2r 2＝2a ，即r 2＝

2

2

a ，

所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.

③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(3)所示，则有2r 3＝3a ，即r 3＝

3

2

a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.

综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.

轴截面的应用

例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r .设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E .则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， ∴CD ＝3r .由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎝⎛⎭⎫13π·ME 2·CE ∶⎝⎛⎭

⎫1

3π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.

又∵V 圆锥CD ＝π

3

(3r )2·3r ＝3πr 3，

V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3－43πr 3＝5

3πr 3，

∴5πr 33∶3πr 3＝CE 3∶(3r )3，∴CE ＝3

15r .

∴球从容器中取出后，水的深度为3

15r .

1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π

D.144π，144π

2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.1

2

B.1

C.2

D.3 3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.

4.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.

5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.

一、选择题

1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π

3

C.43π

D.323π 2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8 B.8 2 C.8 3 D.42

3.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1

4.设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ) A.6π cm 3 B.323π cm 3 C.83π cm 3 D.4

3

π cm 3

5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A.4π(r ＋R )2 B.4πr 2R 2 C.4πRr

D.π(R ＋r )2

6.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )

A.32π3

B.4π

C.2π

D.4

3

π 7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个