美丽的数学分形图
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。
它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。
目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。
分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。
分形几何的美感与特性分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。
这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。
譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。
在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。
因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。
分形几何的计算机图形学应用分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。
其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。
另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。
分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
美丽的分形ppt-PPT文档资料
自相似放大图
用数学方法对放大区域进行 着色处理，这些区域就变成 一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为“分 形艺术”。 “分形艺术”以一种全新的 艺术风格展示给人们，使人 们认识到该艺术和传统艺术 一样具有和谐、对称等特征 的美学标准。这里值得一提 的是对称特征，分形的对称 性即表现了传统几何的上下、 左右及中心对称。同时她的 自相似性又揭示了一种新的 对称性，即画面的局部与更 大范围的局部的对称，或说 局部与整体的对称。
美丽的分形
欢迎进入美妙 的 分形世界!!!
我们人类生活的世界是一个极其复杂 的世界，例如，喧闹的都市生活、变 幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、 蜿蜒曲折的海岸线于传统欧几里得几何学的各 门自然科学总是把研究对象想象成一 个个规则的形体，而我们生活的世界 竟如此不规则和支离破碎，与欧几里 得几何图形相比，拥有完全不同层次 的复杂性。分形几何则提供了一种描 述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法
Mandelbrot集合是 Mandelbrot在复平面中 对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图 形。虽然式子和迭代运 算都很简单，但是产生 的图形出现那么丰富多 样的形态及精细结构简 直令人难以置信以至于 不可思议。
Julia 集合
在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表 虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常 数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点， 其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算： Zn+1=Zn*Zn+C 就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。 再把新的Z作为旧的Z，重复运算。 当你不停地做，你 将最后得到的Z值有3种可能性：
分形几何学.ppt
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无 穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它， 其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量 它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为 1。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象 想象成一个个规那么的形体，而我们生活的世界竟如此不规 那么和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同 层次的复杂性。分形几何那么提供了一种描述这种不规那么 复杂现象中的秩序和结构的新方法。
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比方，零维 的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是 现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几 何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何 对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这是几何学的新 突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。 如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大 某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线〞，无论怎样放大它的局部，它总是曲 折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我 们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几 何学的挑战。
分形几何表达了复杂与简单的统一： 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供
了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物， 事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单 并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认 识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简 单。无穷精致的细节和独特的数学特征〔没有两个分形是一样的〕 是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复 制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.
分形几何 ppt课件
❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
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分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
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分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
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分形几何
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分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
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数学拓展课——分形图
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，
我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的 边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的 线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相 似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分 为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、 2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说 来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b 个图形所组成，有：a^D=b的关系成立，则指数D 称为相似性维数，从这个角度来看，D应该是整 数。
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
分形图的特点
1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如 海岸线，从远距离观察，其形状是极不规则的。 2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。从近距 离观察海岸线，其局部形状又和整体形态相似，它们 从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形 几何图形，它们并不完全是自相似的。
这是Koch曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像ห้องสมุดไป่ตู้花、越 来越美丽了。
分形动画演示
分维
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也 可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分 形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家 在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概 念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程 度，1919年，数学家从测度的角度引入了维 数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破 了一般拓扑集维数为整数的界限。
科勒雪花 分形维度
科勒雪花分形维度科勒雪花是一种常见的分形图形，它由一系列重复的图案组成。
科勒雪花具有独特的美学价值和数学背景，其分形维度更是引发了广泛的研究和讨论。
一、科勒雪花的构造和性质科勒雪花由自相似的结构组成。
它的构造过程基于递归算法的思想，每一步都是通过将一个正三角形的三条边以1/3的比例分成三等份，并在中间一部分上构造一个正三角形。
重复这一过程，我们可以得到越来越复杂的雪花形状。
科勒雪花具有几项有趣的性质。
首先，无论在何种尺度下观察，科勒雪花的边界长度均为无限大。
其次，雪花的面积却是有限的，具有维度为1.2619的分形特征。
这意味着雪花的表面积和周长成比例，其中每个长度为L的科勒雪花的表面积为L^1.2619。
这是一项非常有趣且引人入胜的数学性质。
二、科勒雪花与分形维度的关系分形维度是描述一个图形或者物体自相似性质的一个参数。
分形维度是通过将物体分割成若干个自相似的部分，并测量每个部分的尺寸与整体尺寸的关系得到的。
对于科勒雪花而言，其构造过程本质上就是一个不断自我复制的过程。
每次复制都会出现一种新的自相似形态。
这种自相似性质是科勒雪花具有分形维度的重要原因。
分形维度的计算方法有很多种，其中一种是通过盒计数法。
盒计数法通过覆盖一个图形所需的最小盒子数量来计算分形维度。
对于科勒雪花而言，我们可以将其放置在一个包含自己的正方形盒子中，并记录所需盒子的数量。
然后我们缩小盒子的尺寸，并记录所需盒子的数量。
通过这种方式，我们可以得到不同尺度下的盒子数量，从而计算出科勒雪花的分形维度。
三、科勒雪花的数学意义和应用科勒雪花作为一种典型的分形图形，具有重要的数学意义和应用价值。
首先，科勒雪花的构造过程和分形维度的研究有助于我们更好地理解自然界中的一些现象和规律。
许多自然界中的分形图形，如云朵、山脉等，都可以用科勒雪花的构造原理来解释。
通过对科勒雪花的研究，我们可以更深入地认识到分形这一概念在自然界中的普遍性。
其次，科勒雪花的研究对于图像处理和计算机图形学等领域也有着重要的应用价值。
分形几何例子
分形几何例子《有趣的分形几何例子》嘿，大家知道吗？这世界上有一种超级神奇又超级有趣的东西，叫做分形几何！今天就让我来给大家唠一唠那些令人惊叹不已的分形几何例子。
咱先来说说那个著名的科赫雪花。
哎呀呀，你就想象一下，本来普普通通的一个三角形，它就开始“作妖”啦！不断地在每条边上长出更小的三角形，然后再在那些小三角形的边上长，就这么没完没了地长下去。
最后呢，嘿，就出现了一个超级漂亮、超级复杂的雪花形状！这就像是给一个简单的形状打了鸡血似的，变得让人眼花缭乱。
还有那个曼德博集合，哇塞，那可真是个神奇的玩意儿。
我第一次看到的时候，就感觉像是进入了一个奇幻的世界。
各种奇奇怪怪的形状和图案，就像是大自然偷偷藏起来的秘密花园。
你盯着它看，感觉自己能在里面发现无数的小惊喜，就像在寻宝一样。
再来说说那树木的分支。
你有没有仔细观察过树枝呀？它们其实也是一种分形几何。
从主干开始，不断地分出小枝，小枝又分出更小的枝，而且每一个分支都有着相似的结构。
感觉就像是大自然遵循着某种神秘的规则在构建着这一切。
分形几何真的是太有意思了！它就像是一个魔术师，能把简单的东西变得超级复杂，却又有着一种奇妙的秩序。
有时候我就忍不住想，这是不是宇宙在跟我们开玩笑呢？拿这些有趣的形状来逗我们玩。
想象一下，要是我们的生活中到处都是分形几何的元素，那该有多好玩啊！比如咱们的房子，外墙是分形几何的图案，走在路上看到的建筑都是各种奇奇怪怪的分形形状，那多有意思啊！感觉就像是生活在一个超级奇幻的世界里。
而且分形几何不仅仅是好玩哦，它在很多领域都有着重要的应用呢。
科学家们用它来研究各种复杂的系统，比如天气、生物等等。
说不定哪天咱们的科技进步就多亏了这神奇的分形几何呢！总之，分形几何例子给我们带来了无尽的乐趣和惊喜。
大家没事的时候也可以自己去探索探索，看看能不能发现身边那些隐藏着的分形几何的小秘密。
相信我，一旦你开始注意到它们，你就会被这个神奇的世界深深吸引，就像我一样，被它的魅力所折服！。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
牛顿分形图分类图鉴之多项式
牛顿分形图分类图鉴之多项式
牛顿迭代分形理论上可以使用任何基础数学公式，比如加减乘除，指数，三角函数，对数等，接下来几篇就做一下各个分类的专题，算是一个图谱吧，虽然各种可能性是无穷无尽的，这里只能挑一下具有代表性的展示
单项加常数项
规律性比较强，就看分支数量，就是最高次幂的次数，单项的如果次数过高，中间的洞会越来越大，影响观感，
多项混合三次以下
多项混合高次
总的规律就是次数越高，混合的项越多，图形越复杂。
太复杂的图形观感一般也不好，所以上面展示的基本就比较常用的公式了，至于变换因子继续混合，组合基本是无穷多的，但是只要是多项式，一般都比较类似，只是细节不同罢了。
相关参数供参考：
范围：{x,-1,1},{y,-1,1}
步长0.002
分辨率：1024*1024
最大迭代次数：1000
收敛半径：0.0001
逃逸半径10000。
高考数学选修课课件：数学史选讲 分形概述 (共55张PPT)
分形(fractal)
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期， 创始人是美国数学家---曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的 《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的 一个非常重要的概念，
科赫曲线F的自相似维数为
ln 2 dimF ln 3
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物
常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
图3 谢尔宾斯基三角形
分形
将分形看作具有如下性质的集合: 1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含
分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从 分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形 的方式存在和演化着的世界。
分形的特性
英国数学家Falconer在《分形几何的数学基 础及应用》一书中认为：
分形的定义应该以生物学家给出“生命”定 义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简 明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看 作具有某些性质的集合。
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.
分形几何学图例
分形几何学作为当今世界十分风靡 和活跃的新理论、新学科，它的出 现，使人们重新审视这个世界：世 界是非线性的，分形无处不在。分 形几何学不仅让人们感悟到科学与 艺术的融合，数学与艺术审美的统 一，而且还有其深刻的科学方法论 意义。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正 在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰· 惠勒说过：今后谁不熟悉分形， 谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。
中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的 本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的 几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学的产生 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题依赖于测量时 所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米 的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会 增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨 潮落潮使海岸线的水陆分开，分形几何学界线具有各种层 次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制， 取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来， 得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有 意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小 的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着 可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线 的定量特征，就要用分维。