九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系同步习题

九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系同步

习题

21‘2‘4 一元二次方程的根与系数的关系

1．

若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___． 2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－b a

___，x 1x 2＝__c a

___． 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．

知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C )

A ．0

B ．2

C ．－2

D ．4

2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C )

A ．－4

B ．－1

C ．1

D ．4

3．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D )

A ．－8

B ．－4

C ．8

D ．4

4．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___．

5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)x 2＋3x ＋1＝0； 解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1

(2)2x 2－4x －1＝0；

解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12

(3)2x 2＋3＝5x 2＋x ‘

解：x 1＋x 2＝－13

，x 1x 2＝－1 6．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)x 12＋x 22； (2)1x1＋1x2

‘ 解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11

(2)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2

＝－3

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B )

A ．b ＞0

B ．b ＝0

C ．b ＜0

D ．c ＝0

8．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C )

A ．1，2

B ．2，4

C ．4，8

D ．8，16

9．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )

A ．－10

B ．10

C ．－6

D ．－1

10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D )

A ．－1或5

B ．1

C ．5

D ．－1

11．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．

解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x1＋x2＝4①，x1x2＝k －3②，

又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x1＝3，x2＝1，

∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝6 12．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )

A ．两根之和为2

B ．两根之积为2

C ．两根的平方和为0

D ．没有实数根

13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )

A ．x 2＋6x ＋8＝0

B ．x 2－6x ＋8＝0

C ．x 2－6x －8＝0

D ．x 2＋6x －8＝0

14．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x2x1＋x1x2

的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1

15．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )

A ．－2或3

B ．3

C ．－2

D ．－3或2

16．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．

17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．

18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x1＋1x2

)的值． 解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x1＋1x2

)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝4

19．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2‘

(1)求实数k 的取值范围；

(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．

解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12

(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12

，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－3