直角三角形的边角关系教案上课讲义
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系教学说课课件
∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BC
tan ∠CAB，
AB
∴BC＝AB·
AB
cos 500
AC
AB
2000
AC
3111(米)
cos 500
cos 500
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
新课讲解
归纳
解直角三角形只有以下两种情况：
（1）已知道两边
段的长度为( C
)
(A )180 m
(B )260 3 m
(C )(260 3 - 80)m
(D )(260 2 -=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（1）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，
∴∠A=45°，
a b
14
2
7 2
解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M.
在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12 2,
所以 BC=AC=12 2.
因为 AB∥CF,所以∠BCM=45°,
所以 CM=BM=BC·sin 45°=12 2 ×
2
=12.
2
在△EFD 中,∠F=90°,∠E=30°,所以∠EDF=60°,
在R
在R
所以AE+CF=9.3+11.85=21.15 cm.
答:此时杯子的最高处与桌面的距离为21.15 cm.
1.4 解直角三角形
第一章
知识要点基础练
综合能力提升练
3
5
12.如图,在R
(1)求AB的值;
(2)求
3
解:(1)在 Rt△ABC 中,sin B= = 5,AC=6,∴AB=10.
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)..4直角三角形公开课
最后，我反思自己的教学方式和方法，是否足够生动有趣，能否吸引所有学生的学习兴趣。我意识到，作为一名教师，我需要不断更新自己的教学策略，寻找更多激发学生学习热情和兴趣的方法。
五、教学反思
在上完这节关于直角三角形边角关系的公开课后，我有一些深刻的体会和思考。首先，我发现学生们对于正弦、余弦、正切的概念掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言和具体实例来解释这些概念，但仍有部分学生显得有些困惑。我意识到，可能需要通过更多的实际操作和直观演示来帮助他们更好地理解这些抽象的数学概念。
3.成果分享：每个小组将选择பைடு நூலகம்名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正弦、余弦、正切的基本概念。正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。它们在解决直角三角形相关问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形中某一角度的正弦、余弦、正切值，展示这些概念在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
4.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队协作能力。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。
第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数(正弦)教案北师大版九年级数学下册
九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数（正弦）教学目标：知识技能：1、在了解认识正弦（sinA）的基础上，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算过程与方法1：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
2：在直角三角形中，初步建立边、角之间的关系，初步了解解决三角形问题的新途径．情感态度：使学生体验数学活动中充满着探索与创造，并使之能积极参与数学学习活动．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
吗？ 规律一：当∠A 的大小相等时，比值也 规律二：当∠A 的大小变化时，比值也 （二）归纳： 1、在Rt △ABC 中，∠A 的值确定后，∠A 的对边与斜边的比值是一个 。
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的 。
记作sinA 。
在Rt △ABC 中，∠C=90° sinA ＝∠A 的对边斜边 =ca律。
可用三角形的相似加以证明。
∠A 的变化引起比值的变化，这种关系是变量与函数的关系。
ppt ppt在运动变化中感受变量与函数之间的关系，帮助学生建立函数模型。
从实验猜想归纳中引入概念。
三、变式训练，激励创新 1、填空： （1）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=10，BC=6,则sinA= ；sinB= ；（2）如图：P 是∠ 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin α＝_____________.【例题】.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA 和sinB 的值.解:在RtABC 中,学生做题，老师巡视指导。
直角三角形的边角关系教案
第一章直角三角形的边角关系§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、师生共同研究形成概念1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）☆想一想书本P 3 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
第一章直角形的边角关系全章教案
-理解并掌握直角三角形的定义及其内角和特性。
-熟练运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
-掌握正弦、余弦、正切三角函数的定义及其应用。
-理解并运用相似直角三角形的性质和比例关系。
-将所学知识应用于解决实际生活中的直角三角形问题。
教学过程中，教师应着重讲解和强调上述核心内容，通过丰富的例题和练习，使学生深入理解并掌握直角三角形的性质和运用。
第一章直角形的边角关系全章教案
一、教学内容
第一章直角形的边角关系
1.1直角三角形的定义与性质
-直角三角形的定义
-直角三角形的内角和
-直角三角形的边角关系（勾股定理）
1.2直角三角形中的特殊角
-三角函数的定义（正弦、余弦、正切）
-三角函数值的计算
-特殊角的三角函数值
1.3直角三角形的相似性质
-相似直角三角形的判定
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、勾股定理和三角函数的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点三：相似直角三角形的判定和应用
-学生在判定相似直角三角形时，可能忽视对应角和对应边的关系。
-举例：在两个直角三角形中，如何判定它们是否相似，并运用相似性质解决问题。
-难点四：实际应用问题
-学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象为直角三角形的模型。
-举例：如何将现实生活中的问题转化为直角三角形问题，并运用所学知识求解。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
ACBa cb第一章 直角三角形的边角关系一、教学目标：1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
二、基本技能1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。
这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。
记作：的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边的邻边A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
注意：（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。
（1）三边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系sinA=c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=ab。
例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
（1）62,66a b == （2）c=20，∠A= 45°例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， tan ∠B ＝31，且BC ＝9 cm ， ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边求：AC 、CD 和sin A 、tan ∠BCD 的值 3、习题精选1、在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
直角三角形边角关系辅导讲义
直角三角形边角关系辅导讲义年 级: 九年级下 第 课时学生姓名: 辅导科目: 数学 教师: 课 题 第一章：直角三角形边角关系授课时间：备课时间：教学目标1、理解锐角三角的概念，熟练掌握直角三角形的边角关系，及会计算特殊角的 三角函数的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题重点、难点重点：1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题考点及考试要求1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、灵活运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 辅助资料中考数学资料教学内容※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;图1※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.【重点】1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.2.解决与直角三角形有关的实际问题.3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.1.注重问题情境的创设.在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.4.关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.1锐角三角函数1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E 作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A,即tan A=.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tan α==.乙梯中,tan β==.因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A. B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A. B.C. D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B.C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了()A.500 mB.200 mC.500 mD.1000 m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C. D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tanβ=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt △BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16 m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.一、正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?。
直角三角形 的边角关系(一) 优秀教案
《直角三角形的边角关系复习课》（一）教学设计一. 教学任务与目标1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理解锐角三角函数本质.2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法,为综合数学应用问题的解决提供基础.3、能利用解直角三角形解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力.二.教学重点:利用锐角三角函数解三角形及有关的实际问题.教学难点:把一般三角形问题转化成直角三角形问题.把实际问题转化成解三角形问题.三. 教学设计第一环节：前置学习任务一：知识点整理与回顾如图Rt△ABC中，∠C=90°。
1、直角三角形三边的关系: .2、直角三角形两锐角的关系: .3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数的定义：4、互余两角之间的三角函数关系: sin(900-A)= cos(900-A)=5、同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=AAcossin=6、特殊角300,450,600角的三角函数值.7、锐角三角函数的变化规律：锐角的正弦值或正切值随角度的增大而，锐角的余弦值或余切值随角度的增大而。
8、会识别仰角、俯角、方向角，掌握坡度（坡比）和坡角的定义:==BA cossin==BA sincos==BA cottan54sin =B 00)60(tan2-21-⎪⎭⎫ ⎝⎛图一中的角叫： 图二中的角叫： 。
图三中A 在B 的 方向上， C 在B 的 方向上。
图四中迎水坡坡面是AD,则坡角为 ，坡面AD 的坡度（也叫 ）i= =任务二：基础热身练习1、（类型一：考察定义）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8 ， ，则BC= cosB= .2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆）计算 + +3、（类型三：由特殊函数值求角度）若 ，则∠a = .4、（类型四：锐角三角函数的增减性）若锐角a 满足cosa<22，tana<3，则a 的取值范围是5、（类型四：转化求等角的函数值或利用cosa=sin(900-a ）)如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。
直角三角形的边角关系,教学设计
·学生不仅参与教，而且参与评——《直角三角形的边角关系》教学设计徐利一、教学设计思路1、对教材的分析直角三角形的边角关系是与日常生活密切联系的一部分内容，最常见的有仰角、俯角问题、方位角问题、面积问题、影长问题等。
本节课是一节习题讲评课，通过选取与学生熟知的生活问题让学生进行分析、探究，培养学生应用数学知识来解答生活问题的能力。
2、教学重点：直角三角形边角关系的应用题教学难点：（1）直角三角形的边角关系与四边形的综合应用（2）运用字母进行直角三角形的边角关系的计算。
3、对学生情况的分析我校属于一所乡镇中学，但教学改革的成果还是非常可喜的。
在“三、三、六”自主学习模式下，学生动起来，课堂活起来，效果好起来。
在课堂上，学生是学习的主宰者，是学习的主人。
他们不仅参与教而且参与评。
在“三、三、六”模式下，学生在快乐中学习，在参与中学习，学会学习。
4、教师在课堂中的作用教师由过去的“主演”变成“导演”，成为课堂的组织者、引导者、策划者、评价者、规律的提升者与拔高者。
在学生展示过程中，教师通过追问、拓展、点评、提升规律来加深学生对问题的理解。
教师是学生学习的伙伴，是学生中的一员，参与问题的分析与探究。
5、教学的主要环节（1）预习交流（2）明确目标（3）分组合作（4）展现提升（5）穿插巩固（6）达标测评在整个教学过程中，学生是课堂的主人，他们不仅参与教，而且参与评。
学生点评的内容包括：知识点、解题关键、注意事项、容易出现的错误，不同的解法、辅助线的添加目的、添加规律、通过这个题我有哪些收获等。
教师在展示过程中只起到一个组织、引导、点评、拓展、提升规律的作用。
整个课堂以学生自主探究、合作交流、反思为主要方式完成本节课。
二、教学过程1、预习交流学生围绕以下问题进行交流：（1）正弦、余弦、正切的定义？（2）轮船继续行驶是否有触角危险关键看什么? (3)居民楼在什么情况下采光会受影响？什么情况下不受影响？2、明确目标<1> 能灵活运用直角三角形的边角关系分析、解答有关应用题；<2> 培养学生运用数学知识、分析问题、解决问题的能力。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系课程设计
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系课程设计一、教学目标1.知识目标：了解直角三角形的基本概念和性质，掌握三角函数的定义和性质，理解边角关系的基本内容。
2.能力目标：能够判断一个三角形是否是直角三角形，能够根据已知的角度和边长计算出其他未知量。
3.情感目标：培养学生的数学兴趣和学习意识，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重难点教学重点：1.直角三角形的概念和性质2.三角函数的定义和性质3.边角关系的基本内容教学难点：1.如何运用三角函数解决实际问题2.如何准确判断一个三角形是否为直角三角形3.如何理解和运用边角关系三、教学方法1.讲授法：通过讲解示例问题和理论知识来让学生理解数学规则和概念。
2.演示法：通过演示题目解题的步骤来帮助学生理解解题方法。
3.组织学生自主探究：通过讨论题目和帮助学生自主解决问题来培养学生的能力和兴趣。
四、教学步骤1.导入：通过呈现几道经典的直角三角形问题，引导学生理解直角三角形的概念和性质。
2.讲解直角三角形的定义和基本性质，让学生理解什么是直角三角形，并且掌握边长关系、角度关系和三角函数。
3.讲解三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切三种函数，讲解其图像和基本性质，以及对于特定角度的计算方法。
4.讲解边角关系的基本内容，包括三角形内部角和外部角之间的关系，掌握该关系以方便以后的计算。
5.演示例题，带领学生一步步解决直角三角形问题，从基础问题到更加复杂的问题，让学生理解解题方法和思路。
6.自主练习，组织学生解决一些典型问题，让学生运用知识来解决实际问题。
7.总结，让学生自己总结一下本节课学习的重点和难点，加深对知识的印象。
五、教学评估1.课堂中，通过讨论式教学，能否使学生更深入地理解三角函数和边角关系。
2.在自主练习过程中，学生能否独立解决一些与例题类似的实际问题，并能否将所学知识用于不同的问题。
3.通过评估学生在测试中的表现，能否检验教学目标是否达成，是否能够掌握直角三角形和边角关系相关的基本概念和性质，是否能够熟练运用三角函数解决实际问题。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系教学设计4直角三角形公开课
在讲授新知识环节，我会按照以下步骤进行：
1.首先，通过PPT和动态几何软件，直观演示勾股定理的逆定理，让学生理解并掌握其原理。
2.其次，引入三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，结合直角三角形的边角关系，解释其在实际问题中的应用。
3.然后，通过具体例题，展示如何运用三角函数解决直角三角形的边角问题，使学生掌握解题方法。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系教学设计4直角三角形公开课
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.了解勾股定理的逆定理，能够运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
3.学会使用三角函数（正弦、余弦、正切）解决直角三角形的边角问题，理解三角函数的定义及其在实际问题中的应用。
4.通过小组合作学习，培养团队协作精神和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极主动学习数学的态度，增强克服困难的信心和勇气，养成良好的学习习惯。
2.培养学生的数学思维和审美情趣，使学生感受到数学的简洁美、逻辑美和实用美。
3.培养学生热爱科学、探索真理的精神，激发学生的创新意识。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，增强学生的社会责任感和使命感。
4.最后，针对学生可能遇到的难点，如三角函数值的计算和实际应用问题，进行详细讲解和示范。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。各小组针对以下问题进行讨论：
1.勾股定理逆定理在实际问题中的应用。
2.三角函数的定义及其在直角三角形中的具体应用。
3.如何运用三角函数解决实际问题。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予个别指导。同时，鼓励学生之间相互讨论，共同解决问题。
直角三角形边角关系(教案)[1]
![直角三角形边角关系(教案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b4a596cb8bd63186bcebbc6a.png)
从梯子的倾斜程度谈起（一）教学目标：知识目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA、cotA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切、余切进行简单的计算.能力目标：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 情感目标：积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.教学重点：理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。
教学难点：能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.教学过程：一．创设情境引入课题[问题]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题二．活动探究引出定义梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的? 从而引出正切、余切的定义教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。
定义在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边定义在在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边判断对错:图1，tanA=BC/AC （）cotA=AC/BC （）图2，tanA=0.7m ( ) cotA=0.7 ( )图 1 图2注意：1.tanA,cotA是一个完整的符号，它表示∠A的正切和余切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA，cotA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”, cotA不表示“cot”乘以“A”4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.5．tanA和cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
直角三角形的边角关系教案讲义
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排2课时从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导—探索法.教具准备FLASH演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. [师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED . ∵133538〈=, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡. 多媒体演示： 想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC CB 和有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论? [师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法. [生]在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC CB C A C B C A AC C B C B ==即. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 222111AC C B AC C B =总成立. [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗? [生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变. [师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无 关，即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成. [师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=的邻边的对边A A ∠∠ .注意：1.tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.2.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切. 思考：1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗?[生]1.∠B 的正切记作tanB ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即 tanB=的邻边的对边B B ∠∠.2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在图1—3中，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡. [师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山 坡的坡度、堤坝的坡度. 如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tan α就是tan α=α5310060 . 这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡. Ⅲ.例题讲解 多媒体演示[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡. 解：甲梯中，tan α=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中， tan β=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.分析：要求tanA ，tanB 的值，根据勾股定理先求出直角边AC 的长度.解：在△ABC 中，∠C ＝90°，所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm), tanA=,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边所以tanA=43，tanB=34. Ⅳ，随堂练习 1.如图，△ABC是等腰直角三角形， 你能根据图中所给 数据求出tanC 吗?分析：要求tanC.需从图中找到∠C 所在的直角三角形，因为BD⊥AC ，所以∠C 在Rt △BDC 中.然后求出∠C 的对边与邻边的比，即DC BD 的值.解：∵△ABC 是等腰直角三角形，BD ⊥AC ，∴CD ＝21AC ＝21×3＝1.5.在Rt △BDC 中，tanC ＝DCBD =5.15.1＝1. 2.如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001) 分析：由图可知，∠A 是坡角，∠A 的正切即tanA 为山的坡度. 解：根据题意：在Rt △ABC 中，AB=200 m ，BC ＝55 m ，AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m).TanA=.286.030.19255≈=AC BC 所以山的坡度为0.286.Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt △”中定义了tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念. Ⅵ.课后作业 1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.Ⅶ.活动与探究(2003年江苏盐城)如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)[过程]要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.[结果]根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则x 2+x 2＝122，x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92.所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义：在Rt △ABC 中，锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠. 注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习5.课时小结备课资料[例1](2003年浙江沼兴)若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.分析：根据题意(如图)：在Rt △ABC中AC ：BC ＝3：4，AB ＝10米. 设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2＝10， ∴x ＝2.∴AC ＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前进10米后，所在位置比原来的位置升高6米. 解：应填“6 m ”.[例2](2003年内蒙古赤峰)菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.分析：如图，菱形ABCD ，BD ＝16，AC ＝12，∠ABO ＝θ， 在Rt △AOB 中，AO=21AC=6，BO=21BD=8.tan θ=4386==OB OA . 解：应填“43”.。
《直角三角形的边角关系——解直角三角形》数学教学PPT课件(2篇)
D.
知1－练
4 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是
∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，
B
则tan
)
2 B＝(
3A．22Fra bibliotek11B． 4
5 5
C. 4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点
2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °∠ A；②c=
∴AC＝
∴tan A
AB2＋BC 2＝ 52＋32＝ 34.
BC
3
AB
5
5 34
＝
＝ ，cosA＝
＝
＝
.
AB
5
AC
34
34
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影
响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意
所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
第一章 直角三角形的边角关系
)
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9
cm2
（来自《典中点》）
1
知识小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
A的对边
B的对边
, sin B
斜边
斜边
A的邻边
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
b
c
∵sin A＝
直角三角形的边角关系精讲讲义教案
第一章直角三角形的边角关系第一节从梯子的倾斜程度谈起同步练习一:选择题1．若△ABC中，∠C=90°，则cosA的值等于( )2．若锐角α＞β，则 ( )A．cosα＞cosβ；B．sinα＜sinβ；C．sinα＞cosβ； D．sinα＞sinβ．4.α锐角，则|sinα-1|等于( )A．1-sinα； B．sinα-1；C．cosα； D．无法确定．５.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA等于( )６.若α为锐角且tanα=cot42°，则α为 ( )A．42°；B．48°；C．56°；D．无法确定．７下列各式中错误的是( )８.已知在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是()A．sinA=sinB；B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．tanA=cotB．二.解答题９.tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60°·tan70°·tan80°．１０.sin 231°+tan31°·tan59°+sin 259°的度数．１４.已知在△ABC 中，∠C=90°，AB=41，BC=40．求sinA ，cosA 的值．1５．已知三角形三边的比是25∶24∶7，求最小角的余弦值和正切值．１６.直角三角形的斜边和一直角边的比为13∶5，设较大锐角为α， 求sin α，cos α和 tan α．１７.已知α为一锐角，sin α＝54，求 cos α，tan α．１８.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD．１９.△ABC为等边三角形，利用△ABC求tan 30°和cos 60°．２０.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝20 cm，求tan A和tan B的值．２１.在∠ABC中，∠C＝90°，BC＝12 cm，AB＝20 cm，求tan A和tan B的值．２２.已知等腰三角形的一条腰长为20 cm，底边长为30 cm，求底角的正切值．２３.如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝4 cm，DE＝6 cm，AB＝8 cm，求tan A的值．２４.如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．三、证明题25．已知sinα与cosα是关于x的方程：x2+px+q=0的两个根，求证：1+2q-p2=0．关于x的方程2x2-2mx+m2-1=0的实数根．28．证明：cos2α（1+tan2α）=1．29．已知α是锐角，且tanα是方程x2-2x-3=0的一个根．求证：sin2α-4sinαcosα+3cos2α=0．30．已知在△ABC中，a=12，b=5，c=13．求证：tanA=cotB．思考·探索·交流1．α是Rt△ABC中的一个锐角，若sinα＋cosα＝m，sin α·cosα＝n，则m，n有怎样的关系？2．AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若BD＝。
九年级初三数学直角三角形的边角关系教案
直角三角形的边角关系【知识点一：正切】定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边A A A ∠∠=t a n ；①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大．【重点题型】【例一】如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为 ．【变式练习一】如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是 ．【变式练习二】如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为 ．【例二】如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于 ．【例三】如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD =3：2，则tan B = ．【例四】菱形的两条对角线分别是16和12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.【知识点二：坡度】坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i ，即i =lh，坡度通常写成1：m 的形式坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i =lhαtan = 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度． 2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是_______． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______．4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 _______米．5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_______米．【知识点三：正余弦】正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即斜边的对边A A ∠=sin余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即斜边的邻边A A ∠=cos【例一】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A 的值是 ．【变式练习一】在Rt △ABC 中，若∠C =90°，BC =6，AC =8，则sin A 的值为 ． 【变式练习二】把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值 ． 【例二】如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ．【变式练习一】如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于 ．【例三】在△ABC 中，∠C =90°，BC =4，AB =5，则cos B 的值是 ．【变式练习一】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．【变式练习二】三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cos a 的值是 ．【知识点四：基本概念综合演练】【例四】如图P 是α∠的边OA 上一点，P 的坐标为(3，4)， 则=αsin ．BD CAO11yx【变式练习一】在直角坐标系中，点M （sin50°，－cos70°）所在的象限是 ． 【变式练习二】如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B ，两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．【例五】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，E 为AC 中点．（1）画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2）试说明△ABC 是直角三角形；（3）在△ACD 中，tan ∠CAD = ，四边形ABCD 的面积是．【变式练习一】如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =AD =3，BC =7．求cos ∠C ．【综合演练】1、在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，5,12,13a b c ===，下列结论成立的是（ ） A ．12sin 5A =B ．5cos 13A =C ．5tan 12A =D ．12cos 13B = 2、如果把ABC Rt ∆的三边同时扩大n 倍，则A sin 的值（ ） A 、不变 B 、扩大n 倍 C 、缩小n 倍D 、不确定3、如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC =5，则tan ∠AFE 的值为 ．4、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）【知识点五：30°，45°，60°角的三角函数值练习】 熟记几个特殊角的三角函数值【基础过关】1. 计算:0012sin 45cos602-=____________.2. 已知tan 3α=，则锐角α的度数为_____；若1cos 302α-=，则锐角α的度数为_____. 3. 已知∠B 是锐角，若1sin22B =，则tan B 的值为_______. 4. 式子1－2sin30°·cos30°的值为_________. 5．cos 260°－sin 260°的值为________．6．cos30°cos301sin30︒⋅+︒=________．7．在△ABC 中，AB =1，AC =2，BC =1，则sin A =______，∠A =______． 8．2(sin601)︒-=__________．9．已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为 ． 10.（1＋sin30°－cos45°）（1＋sin30°＋cos45°）= _______________．11、若A ∠是锐角，2cos 2A =，则A ∠= ． 12、化简：sin 30tan 60sin 60︒-︒=︒．13. 在△ABC 中，∠C =90°，sin A =32，则cos B 的值为( ) A .1 B .32 C .22 D .1214. 若tan a =3，且α为锐角，则cos α等于( )A .12B .22C .32D .3315. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，且tan A =33，则sin B 的值为( )A .32B .22C .12D .3316．在△ABC 中，若｜sin A －1｜＋23(cos )02B -=，则∠C 的度数是（ ） A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°17．α为锐角，且关于x 的方程222sin 10x x α-+=有两个相等的实根，则α=（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．30°或60°18. 在△ABC 中，若213sin tan 023A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则∠C 的度数为( ) A .30° B .60° C .90° D .120° 19. 计算5sin30°+2cos 245°－tan 260°的值是( ) A .2 B .12 C .－12D .1 20．在ABC ∆中，::1:2:1A B C ∠∠∠=，,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:1 B ．1:2:1 C ．1:3:2 D ．1:2:3 21．计算221sin 60tan 45()3-︒︒--结果是（ ） A ．94 B ．114 C ． 94- D ．114- 22．等腰三角形的顶角是120︒，底边上的高为30，则三角形的周长是（ ） A ．120303+ B ．120603+ C ．150203+ D ．15033+ 23、计算题：22(tan 45)cos 302cos301︒-︒-︒+ sin 353tan 3012sin 60cos55︒︒--+︒︒21cos45cot 60sin 60cos3022︒-︒+︒︒ 33sin 602cos 458-+；sin 30(1tan 60)tan 45sin 60--- 01)41.12(45tan 32)31(-++---【知识点六：直角三角形边角关系的应用】 【题型一：解直角三角形】 【基础练习】1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sin A =35，则斜边上的高等于（ ） A ．6425B ．4825C ．165D ．1252．如图，在Rt △ABO 中，斜边AB =1．若OC ∥BA ，∠AOC =36°，则（ ）A ．点B 到AO 的距离为sin54° B ．点B 到AO 的距离为tan36°C ．点A 到OC 的距离为sin36°sin54°D ．点A 到OC 的距离为cos36°sin54° 3．如图，△ABC 中，cos B =22，sin C =35，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．212B ．12C ．14D ．214．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点0，∠AOB =60°，AB =5，则AD 的长是（ ） A ．53B ．52C ．5D ．105．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE =2，则tan ∠DBE 的值（ ）A ．12B ．2C ．52D ．55【提高练习】1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，cos ∠DCA =45， BC =10，则AB 的值是（ ） A ．3B ．6C ．8D ．92．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ） A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm3．如图，已知OA =6，∠AOB =30°，则经过点A 的反比例函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型二：解直角三角形的实际应用】 【基础练习】1．在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为 24米，则旗杆的高度约为（ ） A ．24米B ．20米C ．16米D ．12米2．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（）A．5sin40°B．5cos40°C．D．3．如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A．米B．米C．6•cos52°米D．米4．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为（）A．30米B．60米C．303D．603米5．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（）A．22m B．23m C．32m D．33m6．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）【提高练习】如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒人乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是cm．【题型三：解直角三角形的应用－－－－触礁问题】【基础练习】1．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．103海里/小时B．30海里/小时C．203海里/小时D．303海里/小时2、如图1－l－8，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园? 请通过计算进行说明．3、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上).(1)用含α、β和m的式子表示h；(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h的值.（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）【提高练习】1、如图1－1－29，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量AB之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少?（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）2、某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图l－1－30所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米）3、如图1－l－31，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁．一艘轮船自西向东方向行，在A 处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100千米后，在点B处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向?（参考数据：sin37°≈0．6018，cos37°≈0．7986，tan37°≈0.7536，co t37°≈l．3270， 3 ≈1．7321）4、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼．甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1） 甲船从C 处追赶乙船用了多长时间?（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?5、欲拆除一电线杆AB ，已知电线杆AB 距水平距离14m 的D 处有有大坝，背水坡CD 的坡度1:2=i ，坝高C F 为2m ，在坝顶C 处测地杆顶的仰角为 30，D 、E 之间是宽度位2m 的人行道．试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭? 请说明你的理由（在地面上以B 为圆心，以AB 为半径的图形区域为危险区域，414.12,732.13≈≈）．。
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直角三角形的边角关
系教案
第一章直角三角形的边角关系
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起
教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、师生共同研究形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）
☆想一想书本P 3 想一想
通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，
而与直角三角形的大小无关。
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3、 正切函数
（1） 明确各边的名称
（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习
a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，
1） tanA = ；tanB = ；
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；
b 、
如图，在△ACB 中，tanA = 。
（不是直角三角形）
（4） tanA 的值越大，梯子越陡
4、 讲解例题 例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，4
3tan =
B ，求B
C 、AB 的长。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
5、 正切函数的应用
A B C A B C ∠A 的对边∠A 的邻边
斜边A B C 8m α5m 5m β13m A B C
书本P 5
教师可以介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直
高度h和水
平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i
表示。
即ｉ＝l
h
，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝l
h
＝tanα
这一关系在实际问题中经常用到。
设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；，坡角α______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力。
还可以提问：
(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，
举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将
变小，坡度减小，
因为 tanα＝BC
AB
，AB不变，tanα随BC增大而减
小
(2)
与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大
而增大，tanα
也随之增大，因为tanα=BC
AB
不变时，tanα随AB的增大而增大
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三、随堂练习
1、书本 P 6 随堂练习
2、《练习册》 P 1
四、小结
正切函数的定义。
五、作业
书本 P 6 习题1.1 1、2。
六、教学后记
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