复旦大学材料物理第3课

第3课

晶体的宏观对称性——32种点群

晶体的外形是一个有限的多面体，各个晶面外形具有一定的对称性；例如，由两个简单立方格子套合而成

购NaCl 立方结构晶体，沿它的中心轴旋转90。

，结果晶体的各晶面仍旧回复到原来位置，这就是晶体的对称性。而这种能使晶体各晶面仍回到原来位置的操作称为对称操作。事实上人们对晶体内部结构的认识就来源于对外形对称性的研究，经过百亲年对大量晶体进行测角与投影研究，归结出晶体存在32种典型的对称类型，1891年费多洛夫、熊夫利斯和巴罗独立地发表了空间群理论，充实了空间点阵学说，形成了晶体结构的几何理论。X 射线的发现使人们有了研究晶体内部结构的工具。这些研究的结果证实了上述理论的正确性。 群的定义

关于群的数学定义：

操作的一个集合，如果有而且只有以下四个条件被满足，它就构成一个群：

(i) 任意两个操作的积还是

集合内的一个操作（封闭性）；

(ii) 集合内有一个恒等操作

1(E)；

(iii) 每一个操作R 都有一个

逆操作R -1，使得RR －

1＝1(E)；

(iv) 操作的乘法满足结合律。

群的元素个数定义为群的阶，可以用h 来表示。

点对称操作：在操作过程中保持空间有一个不动点的对称操作。

对于晶体而言，点对称操作有下列元素：

(i) 恒等操作（1，E ）； (ii) 旋转操作（n ， 360/n ）；对于晶体，n=2,3,4,6 （n=1就是恒等操作）

旋转和对称轴

晶体若绕某轴旋转360/(1,2,3,......)n

n α==

后，

所得的结果是各晶面仍旧间复到原来位置，那么称此晶体具有n 次对称轴，并用n 表示，而旋转操作表示为()L α，这里α是旋转角度，由于宏观对称

性是受到微观周期性的制约和影响，所以晶体的宏观对称元素不是任意的，对于旋转对称只可能存在1，2，3．4和6等五种，5及比6更大的对称轴是不存在的，在图形上分别用？？？？？？等符号来标记2,3,4,6如图2．6．1所示。通常在晶体对称轴中，轴

次最高的称主对称轴，简称主轴(但立方晶系则以3次轴为主轴)，其他对称轴称为副对称轴．简称副轴。

(iii)镜面（m）

晶体中若存在某平面，能使平面两边的部分进行反映操作后晶体上各个晶面能仍旧回复到原位．此种平面称为对称面，对称面用m表示，而反映操作用M表示。

(iv)反演操作（1）

可视为是一个二次旋转（2）＋一个镜面（m）。镜

面与旋转轴垂直。

(v)3次反轴(3)：

3＋1

(vi)4次反轴(4)：

4＋1

(vii)6次反轴（6）

6＋1

关于晶体中为什么n ＝1，2，3，4，6的证明：

阵点A1经过点对称操作旋转α度，到达A1’位置，由于平移周期性，相邻的A2点在逆α角转动下到达A2’，根据几何关系，可有：

2cos a a ma α-=

（m 是整数），或

1cos 2

m

α-=

由于cos α只能小于或等于1，所以m 只能为－1，0，1，2，3。由此解出：

晶体的微观对称性——230个空间群 1. 平移轴

图形中各点按一矢量I 进行移动的操作称为平移。进行平移所凭借的直线称为平移轴，显然能凭借平移而复原的图形必然是无限的。在晶体中，I 等于任一晶格格矢。

112233n n n ==++I R a a a

2. 螺旋轴

由螺旋和平移构成的复合操作称为螺旋旋转，用

()()L T t α表示，这里α表示旋转角，t 表示平移矢量。

施行旋转所凭借之轴称为旋转轴，与旋转轴和对应的

螺旋旋转中也可能有1、2、3、4、6等五种旋转，螺旋轴的符号为N m ，这里N 表示旋转轴的次数。m 与

平移矢量t 的位移大小有关，m

t a N =

，a 为在t 方向的点阵平移周期。图2.7.1给出了1

()()24

L T a π螺旋旋

转的分解图，图2．7．2结出了42、43及44螺旋旋转

对称图形。

3. 滑移面

由平移及镜面构成的操作称为滑移反映。用MT （t ）表示，进行此操作所凭借的平面称为滑移面。滑移面分轴线滑移面、对角线滑移面和菱形滑移面三类。设a,b,c 为点阵空间中三个平移单位矢量。图2．7．3(a)结出的是轴线滑移面的操作示意图，滑移面G 垂直于纸面， 图中点1经滑移面G 反映后到点1’，然后可沿滑移面

G 滑移

2a

到达2而使图形还原。同样的操作也可存在于滑移2b 或2

c

的距离，与之对应的轴线滑移面可分别

用a ，b ，c 来表示。图2．7．3(b)是对角线滑移面示意图，沿移面与纸面重合，与a 、b 组成的平面重合。其中实心的圆在纸面上部，而空心圆在纸面下部，经纸面反映后再平移22

a b

+可使图形复原。当然也存在平移

44

a b

+的情况，如图2．7．3(c)所示。对于反映后平移22a b +或22c b +或22

a c

+者都称为对角线滑移

面，而反映后平移44a b +或44c b +或44

a c

+以及平移

4

a b c

++者都称为对角线滑移面。

总结：

晶体共有7个晶系，14种布喇菲格子，32个点群，230个空间群。

晶体衍射

(1) 布拉格（Bragg ）衍射方程：

设一组晶面其面间距为d ，则波长为λ的入射波的两束相邻反射波的相位差为：2dsin θ ，产生衍射的条件是这两束波的相位差是其波长的整倍数，因此衍射条件为

2dsin θ ＝ n λ （n=1,2,3….） （1）

（1） 式就是所谓的布拉格方程。在（1） 的推导过程中使用了晶面的概念。更为一般的表述方法：设入射波的波矢为k ，衍射波的波矢为k ’，且k-k ’=K ，则当K ＝r*(hkl)时，出现衍射。

证明：K ＝r*=1/d(hkl)，从图中可以看出K/2=ksin θ，代入K=1/d;k =1/λ，即可得到：

2dsin θ＝λ

这正是布拉格方程。由此可以发现布拉格方程不但有明确的几何意义，同时也具有明确的物理意义：

产生衍射的条件是散射波与入射波的波矢之差恰好为某一个倒格子矢量K h ，即：

k ’-k=K h ，由此可以得到：

k ’=K h +k >>>>>>>>k ’2=k 2+2K h ·k+K h 2 >>>>>>>2K h ·k+K h 2=0; 考虑到Kh 与-Kh 等效，有： 2K h ·k ＝K h 2，或： 2()22

h h =K K

k

可用图来表示这一式的物理意义：

在入射波矢满足上述关系时，产生衍射，衍射波矢为两者之和 (2) 劳厄方程

设有一维晶体，其基矢为a ，有一入射波，波矢为S 0，被晶体散射后其波矢成为S ，则衍射条件为相位差δ是波长的整数倍：

δ=OA-BP=acos φ0-acos φs =h λ

矢量关系为：

()h -=0a S S

（2）

类似于此，可以得到其它两个方向上的衍射条件为：

()()k l

-=-=00b S S c S S （2’）

方程组（2）和(2’)既是所谓劳厄方程（注意：φ与θ

的意义不同！）。可以证明劳厄方程和布拉格方程在数学上是等价的，从劳厄方程出发可以获得布拉格方程。

(3) 衍射的爱瓦球作图法

以1/λ为半径，以倒易空间的原点为原点作一个圆，设入射束沿AO 入射，则所有与倒易球相交的倒易点G 对应的晶格平面都满足布拉格衍射方程。