泛函分析发展史
泛函分析
绪论泛函分析是20世纪30年代形成的现代数学分支,泛函分析起源于“变分法”与“积分方程”的发展 .变分法的诞生起源于约翰·伯努利(瑞士)提出的“速降线”问题(1696).求路径使得小球下落最快伯努利方程伯努利（约翰次子）：注：丹尼尔老师伯努利（弟）：洛比达约翰律伯努利（哥）：大数定雅各布洛比达物理几何微积分创始人牛顿莱布尼兹⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⎭⎬⎫ 泛函分析是起源于古典分析的一个数学分支,其研究对象是定义在无穷维空间上的映射(算子).教材:应用泛函分析,薛小平,哈尔滨工业大学出版社. 简明泛函分析,罗跃生,哈尔滨工程大学出版社. 参考书:张恭庆《泛函分析讲义》北京大学出版社郑维行、王声望《实变函数与泛函分析概要》高教 预备知识一 集合论(Cantor) 1 集合及其运算(包含,相等,并,交,差,余(补))集族:I 是以非空集(可有限或无限), I i i A ∈}{(足(指)标集)是一组集合族, }:{I i A i ∈[对每个I i ∈,都存在一个集合i A 与之对应]并: },:{00i i Ii A x I ix A ∈∈∃=∈使交:},:{ii Ii A x I i x A ∈∈∀=∈使对当N =I 时,∞=1}{n n A ----集(合)列.DeMorgan 公式:1) ci I i ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2) ci Ii ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛乘积集合:},:),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯ ----Descarte 乘积,直积. 2 映射函数:数−→−f数:R Y X X x x f y Y X ⊂∈∀=→,,),(:. 映射:集合−→−f集合: .),(:A a a f b B A f∈∀=−→−函数−−→−一般化映射.定义:B A ,是两集合,若对A a ∈∀,在规则f 下都有B 中唯一元素b 与a 对应,则称f 是从A到B 的映射.记为)(,:a f b B A f =→.定义域:A ,值域:}:)({)()(A a a f f R A f ∈==.称b 是a 的象, a 是b 的一个原象,但原象可能不唯一.b b f :)(1-的原象的全体.}:)({})(:{)(01001B b b f B x f A x B f ∈=∈∈=--,)(0A f B ⊂,B A f →:.满射:若对A a B b ∈∃∈∀,,使)(a f b =,即B A f =)(.(B 中元素都有原象)单射(一对一):若由a a A a a '≠∈',,,必有)()(a f a f '≠[或由)()(a f a f '=必有a a '=](原象唯一)双射(一一映射):既单且满.复合映射:C B g B A f →→:,:,称C A h →:是f 与g 的复合映射,若A a a f g a h ∈∀=)],([)(.延拓与限制: B A f →:,且A D ⊂,称B D g →:为f 在D 上的限制.若对D x ∈∀,)()(x f x g =.反之,称f 为g 在A 上的延拓.记为Dfg =.对等:B A ,是两集合,若A 与B 之间存在一个双射(一一映射),则称A 与B 是对等的,记作B A ~.3 可列集可列集(可数):凡事与N 对等的集合,},,{21 x x ,如,},6,4,2{},,4,3,2{ 性质:1 可列集的任何自己是有限集或可列集.2 任何无限集一定含有一个可列的子集.证:设A 是无限集,φ≠A ,取φ≠∈}{\,111a A A a ,取}{\12a A a ∈,φ≠},{\21a a A ,…故可取出A 中一列元素 ,,21a a .令},,{210 a a A =,故0A 是A 的一个可列集. 3 21,A A 是可列集,则21A A ⋃也是可列集. 推论:任何有限个可列集的并仍是可列集. 4 21,A A 均是可列集,则n n A ∞=⋃1也是可列集.证: },,,{1312111 a a a A = },,,{2322212 a a a A =},,,{3332313a a a A =},,,,,,{3122132112111a a a a a a A n n =⋃∞=. 例 有理数集Q 是可列集.⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃=⋃⋃=∞=+-+,3,2,1},0{1m m m Q Q Q Q Q Q m m m . 5 A 是一无限集,则存在A 的一个真子集0A 使得A 与0A 对等.证:因A 是无限集,取0B 为A 的一个可列子集, },,{},,,,{43213210 b b b B b b b B ==,100)\(B B A A ⋃=,00)\(B B A A ⋃=,0A 是A 的真子集,令⎩⎨⎧==∈=→+,2,1,,\,)(::100i b x b B A x x x f A A f i i 故A 与0A 对等.(可举例}1{\~R R ) 6 可列集与可列集的直积集是可列的. 定理 }10:{)1,0(<<=x x 是不可列集. 证 反证法:若)1,0(是可列集,则,.0,.0,.0},,,{)1,0(333231323222121312111321ααααααααα====x x x x x x )1,0(中每个数都可以表成这种形式且表法唯一. i j α是9,0 的数构造⎪⎩⎪⎨⎧≠===1,11,2,.0321ii ii i b b b b ααξ若若 因此）（1,0∈ξ,但 ,3,2,1,=≠n x n ξ,从而）（1,0∉ξ,矛盾. 基数(势)的定义:A 的势记为A :1)若两集合对等,则他们有相同的基数 2)若A 与B 的某子集对等,则B A ≤.记χχ===,0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π21tan ,~)1,0(x y R .思考题: ]1,0[)1,0(=.Cantor 连续统假设:是否存在R '的不可数子集A ,使得χχ<<A 0.R =势Cantor 猜测这样的基数不存在,它表明实数集R '的任意不可数子集A 必与R '对等.注: 康托:集合论创立人,(德).犹太人,“无穷”概念. 基数、势、序数、超越数. 二 实数集的基本构造 1 序关系实数集中两个数x 与y 的大小关系“≤”有如下性质:1)R x x x ∈∀≤,. (自反性)2)y x ≤,且z y ≤,则z x ≤. (传递性) 3)y x ≤,且x y ≤,则y x =. (反对称性) 称“≤”为R 上的一个序关系.定义:设A 为非空集合,若A 中某些元素x 与y 的关系“≤”满足:1)A x x x ∈∀≤,. 2)y x ≤,z y ≤,则z x ≤. 3)y x ≤,x y ≤,则y x =.则称A 为半序集(偏序集).又若A 中任意两个元素x 与y 都可由关系“≤”联系,则称A 为全序集.例 ”“的所有子集⊂=},{R A ,半序集,非全序.定义 A 是半序集,A a ∈,若对A x ∈∀,有a x ≤,则称a 为A 中的最大元素. A a ∈,若A x ∈∀,有x a ≤,必有a x =,则称a 为A 中的极大元素. 区别:最大元:A 中任意元素x 与a 都有序关系:a x ≤.极大元:A 中与a 有序关系的元素x 都a ≤. 不唯一最大元是极大元,反之不必.定义:设B 为A 的子集, A a ∈,若对B b ∈∀,都有a b ≤(b a ≤),则称a 为B 的一个上(下)界.引理(Zorn):若半序集A 的每个全序子集都有上界,则在A 中必存在极大元素. 注:应用广泛:泛函:Hahn-Banach 定理,任一向量空间必有基. 拓扑:抽象代数. 2 实数中的开集、闭集定义R A ⊂,称A x ∈0为A 的内点,若0>∃δ,使A x x ⊂+-),(00δδ.A 的所有内点的全体组成的集合记为。
应用泛函分析简介
应用泛函分析简介摘要：简单回顾应用泛函分析的历史、内容和意义，特别是简单介绍泛函分析在建立量子理论的数学基础方面的不可替代作用。
第一部分：泛函分析的历史、内容和意义泛函分析（Functional Analysis），现代数学的一个分支，是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
泛函分析是由对函数的变换，如傅立叶变换的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
泛函分析是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
80多年来，一方面它不断以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
密度泛函理论的发展及应用前景展望
密度泛函理论的发展及应用前景展望密度泛函理论（DFT，Density Functional Theory）是一种量子力学计算方法，广泛应用于材料科学、物理学和化学等领域。
本文将介绍密度泛函理论的发展历程，并展望其在未来的应用前景。
一、发展历程密度泛函理论最早出现在1964年，由Hohenberg和Kohn提出，并在1965年被Kohn和Sham进一步完善。
该理论的核心思想是通过电子的电荷密度来描述系统的基态性质。
相比传统的波函数方法，密度泛函理论具有更高的计算效率和可扩展性，因此在理论物理和计算物理学中迅速崛起。
二、理论基础密度泛函理论的核心是泛函，即一种将函数映射到数值的数学映射关系。
在密度泛函理论中，泛函将电子的电荷密度作为输入，计算系统的能量。
基于Hohenberg-Kohn定理，密度泛函理论建立在能量泛函的基础上，通过最小化总能量，得到系统的基态性质。
通过Kohn-Sham方程，可以将多电子体系转化为单电子体系，从而简化计算过程。
三、应用领域密度泛函理论在材料科学、物理学和化学等领域有着广泛的应用。
在固体材料中，可以通过密度泛函理论来研究材料的晶格常数、弹性性质、磁性行为等。
在表面科学中，密度泛函理论可以用于研究表面吸附、催化反应等过程。
在生物分子的研究中，密度泛函理论可以用于计算生物分子的结构、电子结构和反应性质。
四、发展趋势随着计算机技术的不断进步，以及对精确性和速度的要求不断提高，密度泛函理论在未来的应用前景非常广阔。
一方面，将密度泛函理论与机器学习等方法相结合，可以进一步提高计算的准确性和效率。
另一方面，密度泛函理论还可以与实验相结合，通过计算预测材料的性质，并指导实验设计。
此外，在量子计算领域的快速发展也为密度泛函理论的进一步发展提供了新的机遇。
五、总结密度泛函理论作为一种重要的理论和计算方法，在材料科学、物理学和化学等领域发挥着重要的作用。
通过对电子的电荷密度进行描述，它能够准确预测材料的性质和反应行为。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
泛函分析,泛函分析简介
泛函分析,泛函分析简介泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
1概述泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
2拓扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
mpwb1k泛函 -回复
mpwb1k泛函-回复什么是泛函？泛函（functional analysis）是数学中的一个分支，研究的是函数空间上的算子和函数序列的性质。
泛函的本质是对函数进行研究和描述，关注函数与其他数学对象的关系。
泛函分析是数学中的一门重要的学科，它在最优控制、偏微分方程、数学物理以及量子力学等领域都有广泛的应用。
泛函分析的起源和发展泛函分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，在这个时期，数学家们开始研究无穷维函数空间上的问题。
特别是德国数学家Hilbert和法国数学家Lebesgue在这方面做出了很多重要的工作。
随着分析工具和理论的发展，泛函分析逐渐成为一门独立的学科，并在20世纪中叶进一步发展。
泛函空间的定义和性质泛函空间（functional space）是泛函分析的核心概念之一。
泛函空间是由一组函数构成的集合，满足一定的性质。
常见的泛函空间有无穷维向量空间、赋范空间、巴拿赫空间等。
这些空间中的函数可以是实数函数也可以是复数函数，其中函数之间的运算和度量均有严格的定义。
泛函的定义和特性泛函是一种将函数映射到实数或复数的运算。
泛函可以看作是一个函数的函数，它的定义域是一个函数空间。
泛函的性质和特性在泛函分析中有着重要的地位。
特别地，泛函的线性性和连续性是泛函分析中的基本概念。
泛函分析的基本定理和方法泛函分析的基本定理和方法是理解和应用泛函分析的重要工具。
其中，泛函的极值问题和最优化问题是泛函分析中的核心问题之一。
通过引入变分原理、弱收敛和紧算子等方法，可以解决泛函的极值问题和最优化问题。
应用领域泛函分析在数学的多个领域都有广泛的应用。
在最优控制理论中，泛函分析可以用来描述控制系统中的最优化问题和极值问题。
在偏微分方程的研究中，泛函分析可以用来研究方程的解空间和边界条件等问题。
在数学物理和量子力学中，泛函分析可以提供一种强大工具来研究物理系统的基本特性和性质。
结语泛函分析是数学中的一门重要学科，它涵盖了函数空间、泛函的定义和特性、基本定理和方法以及具体应用等内容。
泛函分析
泛函分析论文（数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036）摘要：本文简单介绍泛函分析方法的基本理论，以及其在力学和工程的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。
关键字：泛函分析1.引言泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题，可看作无限维的分析学。
2．泛函分析概述2.1泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是由于欧几里得第五公社的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
这种相似在积分方程论中表现的更突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，都存在着类似的地方。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析(丁时进教授)
函数空间上定义的函数，
数（自然数—整数—有 理数—实数—复数） 即泛函或算子 线性泛函
非线性泛函
变量
函数空间的研究（Hilbert空 间，Banach空间——无限维 空间）
函数（描述变量之间 的变化关系）
实分析（Lebesgue积分理论
极限
函数的分析性质，实数理论的建 立（有限维欧式空间上的定义的 函数）
勒贝格（1875-1941）——创立可列可加 测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程， 称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论— —泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。
20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和
代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方 程—多复变函数论，成为当代数学的主流方 向。外微分形式—反函数理论，成为当代分 析学的基础知识。
莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 dx, dy , 符号，沿用至今。
1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死 量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量 ， E 还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 o dx o 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神 o 差”。 达朗贝尔——将微积分的基础归结为极 限。但没创造完整体系。
欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方 程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量 天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引 论》。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶 在分析学方面都作出了巨大贡献。
但至此，微积分学的基础还没有找 到合适的解决办法。所以，法国哲学家 伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一 个其存在性是无从想象的东西的艺术。”
泛函分析简介。汉语
泛函分析西安建筑科技大学理学院数学系摘要：泛函分析是一门新兴学科，作为一个重要的数学分析学科，它拥有丰富的历史。
泛函分析的发展主要分为三个阶段，本文将介绍它的起源及发展历史，以及发展现状。
还介绍了一些国内泛函方向的主要人物。
关键词：泛函分析；数学；发展历史1. 泛函分析的起源泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》。
“泛函分析”这个词首先出现于列维(P．Lévy，1886—1971)的1922年出版的《泛函分析教程》中．它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念．它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数(类)的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构。
不过很难说它有一个统一的对象及目标。
泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论．二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算．三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论．四是算子(或函数)集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、 C代数以及算子半群等理论。
泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生。
正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集(空间)上的函数——泛函的极值。
而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究。
它导致线性泛函分析的诞生。
2. 泛函分析的发展历史泛函分析的发展可分三个时期：(1)第一阶段是创始时期。
大约从19世纪80年代到20世纪20年代．开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念．后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马(J．Hadamard)在1897年第一次国际数学家大会上的报告中。
为了研究偏微分方程而考虑了闭区间]1,0[上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛函．这些还只是具体的结果。
泛函分析范文
泛函分析范文泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
泛函分析
泛函分析泛函分析作为数学领域中的一个重要分支，研究了无限维度的向量空间和函数空间上的问题。
其广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，为解决现实生活中的问题提供了有效的数学工具和方法。
泛函分析的起源可以追溯到19世纪，其发展得益于函数论和拓扑学的进展。
在20世纪初，泛函分析的理论框架和方法逐渐形成，并为很多数学家和科学家所接受和应用。
泛函分析的基本概念包括向量空间、线性算子、泛函以及拓扑结构等，这些概念构成了泛函分析的基础。
在泛函分析中，向量空间是一个非常重要的概念。
它是一种由向量组成的集合，具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。
向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
无限维空间是泛函分析的研究对象之一，其特点是空间中的向量可以是无限维的。
线性算子是泛函分析中另一个重要的概念。
它是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，保持线性性质。
线性算子可以描述很多实际问题，例如变换、积分和微分等。
泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数。
它可以将向量映射到实数域或复数域，并满足一定的性质。
泛函的概念是泛函分析的核心之一，使得我们可以研究函数的性质和行为。
拓扑结构是泛函分析中的一个重要概念，它描述了向量空间中元素之间的接近程度。
通过引入拓扑结构，可以定义连续性和收敛性等概念，为研究函数空间中的极限和连续性提供了数学基础。
泛函分析的应用广泛而且多样化。
在物理学中，泛函分析被用于描述量子力学和经典力学中的问题，例如量子力学算子、哈密顿力学和波动方程等。
在工程学中，泛函分析可以应用于控制论、信号处理和图像处理等领域。
在计算机科学中，泛函分析被用于定义距离度量和相似性度量，提供了计算机视觉和模式识别等方面的基本工具。
泛函分析的发展离不开众多优秀的数学家和科学家的努力。
知名的数学家如Hilbert、Banach和Frechet等对泛函分析的发展做出了重要贡献。
他们提出了许多重要的定理和概念，奠定了泛函分析的基础。
neerven 泛函
neerven 泛函一、泛函简介泛函分析（Functional Analysis）是一门数学分支，起源于19世纪末，主要研究无限维向量空间上的函数或算子。
它以德国数学家David Hilbert提出的泛函概念为核心，通过对函数或算子的性质进行研究，解决了许多当时被认为是困难的数学问题。
二、泛函应用领域泛函分析在数学、物理、工程等多个领域具有广泛的应用。
在数学领域，泛函分析为概率论、微分方程、最优化等问题提供了有力的理论工具；在物理领域，泛函方法在量子力学、相对论、凝聚态物理等方面发挥着重要作用；在工程领域，泛函分析在控制论、信号处理、图像识别等方面取得了显著成果。
三、泛函分析的基本概念泛函分析的核心概念包括无限维向量空间、函数或算子、泛函等。
无限维向量空间是指具有无限多个元素的向量空间，例如函数空间；函数或算子是指从无限维向量空间到另一个无限维向量空间的映射；泛函则是一种对函数或算子进行评价的量，它体现了函数或算子在不同性质上的表现。
四、泛函的优缺点泛函分析的优点在于它提供了一种统一的研究方法，可以解决许多传统数学方法难以解决的问题。
然而，泛函分析的理论较为复杂，对初学者来说具有一定的门槛。
五、我国在泛函研究方面的进展我国在泛函研究方面取得了举世瞩目的成果，如华罗庚、陈省身等著名数学家对泛函分析的发展做出了巨大贡献。
近年来，我国学者在泛函分析及其应用领域继续取得突破，为数学和实际问题的解决提供了有力支持。
六、泛函在实际问题中的应用案例泛函分析在许多实际问题中发挥着重要作用，如在电磁学中研究Maxwell 方程的解，通过泛函方法可以得到更加一般且精确的结果；在经济学中，泛函分析为效用函数的优化问题提供了有力工具。
七、总结与展望泛函分析作为一门重要的数学分支，在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，泛函分析在未来将继续发挥重要作用，为数学、物理、工程等领域的创新发展提供有力支持。
泛函分析ppt课件
∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必 存 唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压 缩映 照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在 性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小 曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形 来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖 分越精 细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对 应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解 当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空 间
距离空间： Lp[a,b]
泛函分析
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称
T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1 为等距。
B
23
第一章 距离空间
D(T) 表示定义域，N(T) 表示值域。
B
43
第二章 赋范线性空间
2.4 线性算子与线性泛函
(1) 定义：设E，E1都是赋范线性空间 T :D ( t ) N ( T )D ( , T ) E ,N ( T ) E 1
(a) 若对任意 x,yD(T)及数 有
T(xy)T xTy
T(x)Tx
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
B
24
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意
的 xA 总存在B中的点列 x n 收敛于x，
X=Dα
B
10
例4：
B
11
3、泛函分析基础的基本内容
（1）距离空间 （2）赋范线性空间 （3）内积空间 （4）线性算子与线性泛函 （5）投影与逼近
B
12
第一章 距离空间
距离的概念是现实物理世界中物体之间距 离关系的本质特征的数学抽象。
直线上两点之间的距离 三维空间中两个向量之间的距离 曲面上两点之间的距离 ……
则称T为有界算子。当T又是线性算子时，则 称T为有界线性算子。 如 R n 中的线性变换、闭区间上的积分算子、古 典分析中的线性函数等都是有界线性算子。
泛函分析发展史
泛函分析发展史泛函分析起源丁经典数学物理中的一些边值问题和变分问题。
19世纪后期，数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或算子。
算子中冇一些是将函数变成实数，而不是变成函数.那些把函数变到实数或复数的算子，今天称之为泛旳，而算子这个名称则用来通称把两数变为函数的变换。
19世纪80年代到20世纪20年代，是泛函分析的前芽时期。
它开始于童大利数学亲沃尔泰拉(v. vol terra. 1860 — 1940)和品契莱尔1887年关于变分法的丁•作，他们引进了泛函演算，特别是引进了原始泛函以及线性算子的概念。
对沃尔泰拉来说，一个线的两数是指一个实值函数F,它的值取决于定义在某个区间［a, b］上的函数y(x)的全体函数值.这些函数本身被看作一个空间的点，而对于这个空间，⑴以定义点的邻域和点列的极限.总人利数学家u阿泽拉又对线函数(由沃尔泰拉定义)进行系统研究，给出线性空间概念。
后來法国数学家发展了泛函演算，特别是阿达玛(J.Hadmard. 1865 — 1963)1897年为了研究偏微分方程而考虑了区间［0, 1］上全体连续函数所构成的族。
阿达吗发现这些函数构成一个无限维线性空间，并在1903年定义了这个空间上的函数即泛函.积分方程中孕育的泛函分析思想。
泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论。
变分法领域电所需泛函的性质是相为特殊的，对一般的泛函并不成立。
此外，这些泛函的非线性造成了许多困难，而这种困难対于包含在枳分方程中的泛函和算子则是无关紧要的.在施密特，费歇尔，黎斯为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究•事实上，一个积分方程的解正是一个泛函方程的解的情形。
在泛两分析的发展中，不得不提的是弗雷德霍姆，正是因为他在枳分方程上的研究，使得希尔伯特(D.Hilberb 1862 - 1943)^感突发，以枳分方程为源头开始了在泛函分析上的多种研究。
二十世纪的新兴数学学科——泛函分析
二十世纪的新兴数学学科——泛函分析泛函分析是大学基础数学系高年级会接触到的数学学科，不过就其本身的历史而言，确实不算长，属于二十世纪的新兴学科，但它的思想和方法却很快渗透到了其他数学学科中，极大地促进了数学甚至物理的发展。
泛函分析(Functional Analysis)按字面理解就是“函数分析”，也即研究函数的函数，就是把一类函数组成一个空间，而把其中一个具体的函数看作一个点，这就使得分析学可以研究的范围大大扩展。
实际上，在十九世纪末期，从变分分析和积分方程等领域产生了大量需要分析一类函数的“泛函”的问题，这就是泛函分析的起源和发展的来源。
历史上第一个真正考虑泛函问题的是意大利著名数学家伏尔泰拉(Volterra,1860~1940)，他在研究变分法的过程中提出了一种全新的函数，它的自变量是定义在区间上的全体函数，每个函数构成函数空间的一个点，并且可以在函数空间中定义极限等概念。
泛函分析的数学思想大概就伏尔泰拉这里开始的。
但真正具有数学意义的第一项工作来自于法国数学家弗雷歇(Frechet，1878~1973)，他在1906年的博士论文中以数学的方式抽象地描述了函数空间，并且严格定义了函数空间中的相关拓扑概念，如极限等。
与此同时，希尔伯特在研究积分方程时也产生了函数空间的想法，他把一个函数在正交函数基下进行了傅里叶展开。
而酷爱“正交分解”的施密特(Schmidt，1876~1959)进一步抽象出希尔伯特的数学思想，提出了内积空间，也就是“希尔伯特空间”的概念。
不久后，里斯(Riesz，1880~1956)则进一步导出了p次可积函数空间，并且提出了重要的“范数”概念。
当然，真正使里斯出名的则是非常著名的“里斯表示定理”。
二战前的数学可谓百花齐放，这一时期在泛函分析领域内贡献最大的是波兰学派，它的领袖则是被称为“泛函分析之父”的巴拿赫(Banach，1892~1945)。
1922年，巴拿赫利用三组公理建立起了完备的赋范线性空间，而完备的赋范线性空间也就是我们俗称的“巴拿赫空间”，它包含了希尔伯特空间等常见的函数空间，而且拥有非常良好的数学性质。
泛函分析的历史
‘中国科技史杂志“第45卷(2024年)第1期:99 106The Chinese Journal for the History of Science and Technology ㊀Vol.45(2024)No.1泛函分析的历史:从沃尔泰拉到冯㊃诺伊曼李亚亚1㊀李㊀斐2(1.西安财经大学数学学院,西安710100;2.西安石油大学理学院,西安710065)摘㊀要㊀泛函分析是用代数和几何的观念和方法研究分析学问题的一门学科㊂沃尔泰拉在泛函理论方面的工作为弗雷歇创立抽象度量空间理论奠定了先决条件,他也最早揭示出积分方程与线性方程组之间暗含的类似性㊂弗雷德霍姆成功将线性方程组理论推广到连续核积分方程上,成为用代数的观念和方法解决分析学问题的成功案例,这启发了希尔伯特分析与代数统一框架的构建㊂顺应20世纪数学抽象化发展的趋势,希尔伯特的追随者们引入几何观念,在重新表述和发展希尔伯特积分方程思想的过程中建立了泛函分析这门学科㊂关键词㊀近现代数学史㊀泛函分析㊀积分方程㊀变分法㊀线性方程组中图分类号㊀N09ʒO177.99文献标识码㊀A㊀㊀㊀㊀文章编号㊀1673-1441(2024)01-0099-08㊀㊀㊀收稿日期:2023-03-26;修回日期:2023-07-01㊀㊀㊀作者简介:李亚亚,1988年生,西安财经大学数学学院讲师,研究方向为近现代数学史;李斐,1987年生,西安石油大学理学院讲师,研究方向为近现代数学史㊂㊀㊀㊀基金项目:国家自然科学基金资助项目 算子理论的若干历史问题研究 (项目编号:12301002);陕西省自然科学青年基金资助项目 希尔伯特空间理论的历史研究 (项目编号:2021JQ-763)㊂1 问题的提出泛函分析形成于20世纪二三十年代,主要来源于积分方程和变分法,是现代分析的一大支柱㊂鉴于其在数学中的重要地位,泛函分析的历史受到了数学家和数学史家们的关注,从这些文献中可以清楚地了解泛函分析形成和发展的历史脉络和相关数学家所做的重要工作[1-8]㊂在 为什么数学 的研究范式下[9],本文提出以下两个问题:(1)根据定积分的定义,用黎曼和的极限代替定积分,从而将积分方程可以看成是线性方程组的极限形式,现在看来这是一个很自然的想法,为什么直到1896年才由意大利数学家沃尔泰拉(Vito Volterra,1860 1940)最早提出呢?(2)在沃尔泰拉揭示出线性积分方程与代数方程之间暗含的类似性后,为什么数学家能在短短30多年的时间里建立泛函分析这门集分析㊁代数和几何三大数学分支为一体的综合性学科呢?本文在深入研读相关原始文献和研究文献的基础上,力图对上述问题进行解答㊂这001中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷些解答有助于更全面地了解整个分析学的历史发展过程,也可以为反观20世纪数学向着统一化㊁抽象化发展的趋势提供一个窗口㊂2㊀泛函分析的起源经典分析主要研究数集上的函数运算及其性质,而泛函分析主要研究一般集,特别是函数集㊁曲线集上的函数㊂19世纪末,变分法和积分方程之所以能成为泛函分析的两大重要来源,很大程度上归功于沃尔泰拉在泛函理论和积分方程方面所做的开创性工作㊂2.1㊀泛函观念的出现近代变分法问题来源于牛顿(Isaac Newton,1642 1727)的最小阻力抛射体问题㊁约翰㊃伯努利(John Bernoulli,1667 1748)的最速降线问题和雅各布㊃伯努利(Jakob Bernoulli,1654 1705)的等周问题([1],页376)㊂这些问题不同于普通的函数极值问题,它们可以归结为求一个积分的极值,即需要求一个未知函数y(x),使得积分J(y)=ʏb a F(x,y,yᶄ)dx取得极大值或极小值㊂对于每个函数y(x),都会有一个J(y)与之对应,因此J(y)可以看成是 函数的函数 ㊂1883年,沃尔泰拉试图创立一种关于函数的一般理论,可以应用到变分法以及相关物理问题中㊂1887年,他在3篇题为‘依赖于其它函数的函数“的论文中,通过推广多变量函数概念,引进他的 线的函数 ,即一个实值函数,它的值取决于定义在某个区间上的函数y(x)的全体函数值[10-12]㊂沃尔泰拉的 线的函数 是一个 函数的函数 ㊂他还对他的 线的函数 引入了连续㊁微商和微分的定义,也就是说,他想在函数上进行函数运算㊂沃尔泰拉关于 线的函数 的工作引起法国数学家阿达玛(Jacques Salomon Hadamard,1865 1963)的注意㊂1897年,阿达玛在第1届数学家大会上指出曲线可以看成是一个集合的点,借助于对函数集合的研究,可以解决某些偏微分方程问题([4],页162)㊂1903年,阿达玛引入 泛函 一词取代了沃尔泰拉的 线的函数 ,他研究了任意集合上的泛函,给出了线性泛函的定义,并证明了连续函数空间上有界线性泛函的表示形式[13]㊂ 泛函 这个术语一直沿用至今㊂阿达玛不仅自己研究泛函理论,他还鼓励他的学生,如弗雷歇(Maurice Fréchet, 1878 1973)㊁莱维(Paul Pierre Lévy,1886 1971)等在沃尔泰拉工作的基础上继续深入研究㊂1922年,莱维出版‘泛函分析“一书,这是最早以泛函分析为书名的著作㊂2.2㊀线性积分方程与线性方程组之间类似性的揭示积分方程的研究最早可追溯到1750年丹尼尔㊃伯努利(Daniel Bernoulli,1700 1782)有关弦振动的工作,但是直到1888年,杜㊃布瓦雷蒙(Paul du Bois-Reymond, 1831 1889)才引入 积分方程 这个名称[2]㊂在沃尔泰拉创立积分方程一般理论之前,积分方程问题已经历了漫长的发展历程㊂这些发展主要集中在3个方向上,分别为定积分的反演㊁积分方程的应用以及积分方程与微分方程之间的联系㊂1884年,沃尔泰拉在研究球面段上电荷分布问题时,首次遇到了积分方程,但是他当时并没有进行深入研究[14]㊂1896年,沃尔泰拉开始系统研究积分方程,陆续向意大利皇家科学院提交了4篇㊀1期李亚亚等:泛函分析的历史:从沃尔泰拉到冯㊃诺伊曼101论文,其中前3篇题目均为‘论定积分的反演“[15-17],第4篇题目为‘论重积分的反演“[18]㊂1896年1月12日,沃尔泰拉在第1篇论文中,先将第一型沃尔泰拉积分方程转化为第二型沃尔泰拉积分方程,然后用逐次逼近法求出该第二型积分方程的解,并巧妙地证明了用以表示解的级数绝对且一致收敛[15]㊂这一工作的思路和使用的方法均类似于1894年拉㊃鲁(Le Roux,1863 1949)在研究定积分反演的一般问题时的思路和方法([1],页369)㊂不过,沃尔泰拉在写这篇论文的时候完全不了解拉㊃鲁的工作([3], p93)㊂在这篇论文中,沃尔泰拉还给出了另一种求解积分方程的思路和方法,即 从有限到无限的过渡 ㊂根据黎曼积分的定义,他先将积分方程中的积分区间n等分,然后用黎曼和的极限代替定积分,于是第一型沃尔泰拉积分方程可以被看成是一个含有n个未知数㊁n个方程的线性方程组,当n趋向于无穷大时的极限形式[15]㊂虽然这一部分在沃尔泰拉该篇论文中占的篇幅不多,但是却揭示出了一个非常重要的原理:线性积分方程与线性方程组之间暗含的类似性㊂1896年1月26日,沃尔泰拉在第2篇论文中,通过改变积分方程的核函数对第1篇论文的结果进行了推广[16]㊂1896年3月8日和4月26日,他在第3篇和第4篇论文中,讨论了核函数有有限多个零点时,第一型沃尔泰拉积分方程的可解性问题[17][18]㊂沃尔泰拉之所以能在积分方程理论方面做出这样开创性的工作,源于他遵循了一个重要原则:从离散到连续的过渡㊂正是在这一原则的指导下,他将第一型沃尔泰拉积分方程看成是线性方程组的极限形式,他的工作为后来弗雷德霍姆(Erik Ivar Fredholm, 1866 1927)和希尔伯特(David Hilbert,1862 1943)的积分方程研究开辟了道路,这一工作可以看成是 分析代数化 的良好开端㊂3㊀分析与代数统一框架的构建数学物理问题导致了两类函数方程的产生,即微分方程和积分方程,它们均隶属于分析学㊂17世纪到19世纪,数学家主要致力于求解微分方程,他们发现微分方程与代数方程都可以用逐次逼近法求解,而且解的存在性和唯一性条件也极其类似㊂1896年,沃尔泰拉指出线性积分方程与线性方程组之间暗含的类似性㊂这些分析和代数中看起来很不相干的问题之间存在的类似之处,启发着数学家从这些类似性中不断探寻一般的真正属于本质的东西㊂那么,分析和代数在思想方法上是否具有统一框架呢?3.1㊀弗雷德霍姆的积分方程工作瑞典数学家弗雷德霍姆一直致力于数学物理研究,他在第一次海外访学期间认识了沃尔泰拉,此后无论在学术研究还是生活上,他们都是一生的好朋友㊂1900 1903年间,弗雷德霍姆受沃尔泰拉从线性方程组到线性积分方程的 极限过渡 思想的启发([3], p99),用黎曼和的极限代替定积分将第二型弗雷德霍姆积分方程转化为一个含有无穷多个未知数㊁无穷多个方程的线性方程组(简称为无穷维线性方程组),并结合他的同事科克(Helge von Koch,1870 1924)在无穷阶行列式展开方面的成果,成功将线性方程组理论推广到第二型弗雷德霍姆积分方程上,得到了著名的弗雷德霍姆择一定理[19]㊂201中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷其实,在弗雷德霍姆之前,贝尔(August Beer,1825 1863)在利用双层位势求解狄利克雷问题时,已经导出了一个第二型弗雷德霍姆积分方程,但是该方程的形式较为复杂([1],页366 367)㊂弗雷德霍姆之所以能得到如此重要的结果,源于他的积分方程的特殊形式,而如果没有他所应用的数学物理问题的指引,很难会考虑到这样的方程[20]㊂弗雷德霍姆积分方程与沃尔泰拉积分方程的区别在于,前者的积分上限是常数,而后者的积分上限为变数㊂弗雷德霍姆关于积分方程的工作被认为是泛函分析四项奠基性工作之一([3], p97),因为它成功地显示了代数的观念和方法对解决积分方程这样的分析学问题的重要性㊂与沃尔泰拉的工作相比,弗雷德霍姆的工作向分析和代数统一框架的构想又迈近了一步㊂庞加莱(Jules Henri Poincaré,1854 1912)曾这样评价这一工作:弗雷德霍姆的发现肯定是当代最值得注意的数学成果之一㊂([21],页142) 3.2㊀希尔伯特分析与代数的统一思想1901年,希尔伯特在了解到弗雷德霍姆关于积分方程的工作后,敏锐地认识到积分方程可以解决分析学和物理学领域一些过去不能解决的问题,所以他立即开始研究积分方程㊂在1904年到1910年间,他在‘哥廷根自然科学皇家学会报告“上共发表了6篇论文,其中1904年发表两篇,1905年发表1篇,1906年发表两篇,1910年发表1篇㊂1912年,这6篇文章合起来被出版为‘线性积分方程一般理论基础“一书[22]㊂20世纪初,因弗罗贝尼乌斯(Ferdinand Georg Frobenius,1849 1917)的影响,德国的线性代数使用的是二次型语言,而不是现在常用的矩阵语言[6]㊂1904年,希尔伯特在第1篇文章中利用二次型主轴化理论与对称核积分方程之间的类似性,首次对积分方程定义了特征值和特征函数,并在施图姆-刘维尔理论的框架下用极限过渡的方法建立了对称核积分方程的特征值理论[22]㊂在第2篇和第3篇文章中,希尔伯特将其对称核积分方程的特征值理论应用到微分方程问题中,使积分方程成为求解微分方程问题的重要工具㊂1906年,希尔伯特在第4篇文章中没有直接研究积分方程,而是用二次型语言研究无穷维线性方程组问题[22]㊂他将二次型的变量个数从有限多个增加到无穷多个,这时二次型问题已不再是纯粹的代数问题,而成为一个分析学问题,因为必须考虑因无穷而引起的收敛性问题㊂希尔伯特用极限过渡的方法对无穷多个变量的二次型(简称无穷二次型)建立了谱理论㊂他发现全连续的无穷二次型是有限多个变量二次型的直接推广,并在建立有界无穷二次型的谱分解理论时发现了不同于点谱的连续谱㊂著名数学家和数学史家迪厄多内(Jean Dieudonné,1906 1992)对希尔伯特关于无穷二次型谱理论的这篇论文给予很高的评价:1906年,希尔伯特发表的第四篇论文是一篇杰作,也是他写过的最好的论文之一㊂由于思想的深度和新颖性,它成为泛函分析历史上的一个转折点㊂([3],p110)希尔伯特之所以要建立谱理论,因为他认识到线性积分方程理论可以纳入到无穷维线性方程组理论中,而且他试图将分析学中的线性问题都归结到一个统一的方程理论上,进而使分析和代数在思想方法上达成统一框架[23]㊂在第5篇文章中,希尔伯特应用他的谱理论研究对称核积分方程的特征值问题㊂虽然希尔伯特没有使用 空间 ㊁ 算子 这样的现代术语,也没有使用任何的几何语㊀1期李亚亚等:泛函分析的历史:从沃尔泰拉到冯㊃诺伊曼301言,但是他实际上已经在欧氏空间的框架下,建立了 无穷维 欧氏空间及其上的算子谱理论,为后来抽象空间理论和算子谱理论的创立提供了一个样板㊂4㊀几何观念的引入和抽象理论的建立20世纪初,一方面,弗雷歇在深入研究泛函理论的基础上,首次提出了抽象空间的概念,为泛函分析抽象理论的建立奠定了基础㊂另一方面,希尔伯特的追随者们,如施密特(Erhard Schmidt,1876 1959)㊁里斯(Frigyes Riesz,1880 1956)㊁巴拿赫(Stefan Banach,1892 1945)和冯㊃诺伊曼(John von Neumann,1903 1957)等年轻数学家,用现代术语重新表述和发展希尔伯特积分方程思想的过程中建立了泛函分析这门全新的㊁综合性的学科㊂4.1㊀度量空间的建立经典分析中各种收敛的运用促使人们把作为 自变量 的函数看成是一个集合或空间中 点 [24]㊂19世纪中期,黎曼(Bernhard Riemann,1826 1866)在欧氏空间向抽象空间的过渡中做出了先驱性的工作([5],页374)㊂1900年前后,沃尔泰拉对曲线集合㊁阿达玛对函数集合以及阿斯科利(Guido Ascoli,1887 1957)和阿尔泽拉(Cesare Arzel , 1847 1912)对等度连续概念的研究为弗雷歇创立抽象理论奠定了先决条件㊂1906年,弗雷歇在其博士学位论文‘关于泛函演算若干问题“中利用当时集合论观念把前人结果以抽象术语统一起来[25]㊂首先,他给出了抽象泛函的定义,指出他定义泛函的目的是为了系统研究函数构成的空间上的函数;然后,他推广了点列极限的概念,引入导集㊁闭集和紧集等重要概念,并借助极限定义了泛函的连续性;其次,他用公理化方法定义了度量空间;最后,他给出了4个度量空间的例子㊂这一工作不仅对空间的邻域㊁极限及连续性等直观概念提供了一种抽象数学表述,而且改变了数学家的研究方法,即从对有限维空间的研究转向对一般抽象空间的研究,极大地推动了泛函分析的发展[26]㊂4.2㊀巴拿赫空间及其上的算子理论1902年,对泛函分析的发展而言,勒贝格积分理论适时出现了[27]㊂1907年,借助这个全新工具,弗雷歇定义了勒贝格平方可积函数空间,即L2空间㊂希尔伯特的学生施密特将希尔伯特定义无穷二次型的平方可和无穷序列看成是空间中的点或元素,通过定义两个元素的内积,给出了平方可和无穷序列空间,即l2空间,并引入正交㊁闭集㊁向量子空间以及正交投影等几何语言[28]㊂里斯和费舍尔(Ernst Fisher,1875 1959)用不同的方法表明L2空间与l2空间同构,即建立了里斯-费舍尔定理[7]㊂该定理成为勒贝格积分的一个始料未及的重要应用,也为积分方程理论从连续核和连续的特征函数扩展到勒贝格平方可积核和勒贝格平方可积的特征函数创造了条件㊂里斯是希尔伯特积分方程工作的追随者之一,同时又深受弗雷歇的影响,他试图对积分方程提供一种抽象理论㊂1910 1913年,他仿照L2空间和l2空间发现了两个具体的巴拿赫空间,即L p空间和l p空间(1<p<+ɕ,pʂ2),并通过定义L p空间上的有界线性算子,将积分方程转化为算子方程,他的这一工作开启了抽象算子理论的研究[29]㊂1918年,里斯对连续函数集合引入范数,给出范数满足的3条公理,定义了连续函数空间㊂他401中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷借助弗雷歇的紧集概念,重新表述了希尔伯特1906年提出的全连续概念,给出了紧算子的定义[30]㊂虽然里斯是在连续函数空间这个具体巴拿赫空间上建立的紧算子理论,但是他的结果完全可以推广到一般的巴拿赫空间上[31]㊂1922年,为了将积分方程理论一般化,巴拿赫在其博士学位论文‘抽象集合上的算子及其在积分方程中的应用“中以完全抽象的方式建立了他的理论[32]㊂他用3组公理定义了巴拿赫空间,即完备的赋范空间,仅从一些公理出发,他几乎能够证明函数空间理论中的所有定理㊂他还给出了逐次逼近法的抽象表述,即压缩映射原理㊁一致有界原理以及谱半径定理,并证明了关于抽象积分方程解的定理㊂巴拿赫空间既具有线性空间的代数结构,又具有由范数定义的拓扑结构,从而它又成为研究更一般空间的出发点㊂4.3㊀希尔伯特空间及其上的算子理论数学与物理学两门学科之间联系密切㊁彼此促进㊂20世纪20年代,海森堡(Werner Karl Heisenberg,1901 1976)和薛定谔(Erwin Schrödinger,1887 1961)两位物理学家从完全不同的物理假设出发,用完全不同的数学方法,创建了两种看起来完全不同的理论,即矩阵力学和波动力学㊂那么,这两大理论能否统一起来呢?希尔伯特试图借助L2空间上的积分算子,对这两大理论给出一个统一的数学表述,但是当时用以证实这种想法的广义函数理论还没有发展起来,故无法付诸实施[33]㊂1927年,作为希尔伯特助手的冯㊃诺伊曼借助l2空间得到了海森堡矩阵力学的数学表述,借助L2空间得到了薛定谔波动力学的数学表述㊂由里斯-费舍尔定理可知,这两个空间是同构的㊂于是,冯㊃诺伊曼抽象出L2空间与l2空间的共同特征,用公理化方法给出了抽象希尔伯特空间的定义,进而将量子力学中的物理问题转化为抽象希尔伯特空间上特殊算子的数学问题[34]㊂由于量子力学中的算子通常不是有界算子,冯㊃诺伊曼不仅解决了许多无界算子方面的问题,而且尽力将希尔伯特空间上的算子理论做到几乎像有限维欧氏空间上的算子理论一样完美㊂抽象希尔伯特空间理论的建立与量子力学的数学化是数学和物理学相得益彰的范例㊂鉴于希尔伯特和冯㊃诺伊曼对量子力学发展的巨大贡献,海森堡这样说道:希尔伯特对哥廷根量子力学发展的影响是巨大的㊂凡是20年代在哥廷根学习过的人,对于这种影响都深有体会㊂希尔伯特和他的同事们创造了一种特有的数学环境,所有年轻数学家都是按照希尔伯特积分方程和线性代数方程理论所体现的思想方式训练出来的㊂ 现已表明,量子力学的数学方法原来是希尔伯特积分方程理论的直接应用,这确实是一件特别幸运的事情㊂([21],p207)由于在有限维空间中矩阵可以表示算子,所以有关希尔伯特空间理论的一些工作还是用无穷矩阵表示的㊂1929年,冯㊃诺伊曼在‘无穷矩阵理论“一文中指出虽然矩阵在特殊算子的表示上具有明显优势,但是无穷矩阵不是处理定义在希尔伯特空间上的算子的最合适的工具[35]㊂这一工作使得数学家进一步认识到应该用抽象方法来研究希尔伯特空间理论㊂5㊀结语泛函分析是分析㊁代数和几何这三大数学分支相互交叉与渗透而形成的一门具有高㊀1期李亚亚等:泛函分析的历史:从沃尔泰拉到冯㊃诺伊曼501度综合性的学科㊂沃尔泰拉在泛函理论和积分方程方面的开创性工作促使变分法和积分方程成为泛函分析的重要来源㊂在沃尔泰拉和阿达玛有关泛函理论的基础上,弗雷歇创立了抽象度量空间理论㊂受沃尔泰拉将第一型沃尔泰拉积分方程看成是线性方程组的极限形式的启发和影响,弗雷德霍姆成功将线性方程组理论推广到连续核的第二型弗雷德霍姆积分方程上,显示出代数的观念和方法对解决某些分析学问题方面的重要性㊂希尔伯特进一步探寻和揭示分析和代数之间的共性,试图将分析学中所有的线性问题都归结为一个统一的方程理论,进而使分析与代数在思想方法上达成统一框架㊂虽然希尔伯特没有使用几何语言,但是他其实已经在欧氏空间的框架下建立了l2空间上的算子谱理论㊂受弗雷歇有关抽象空间工作的影响以及勒贝格积分的适时出现,希尔伯特的追随者们,如施密特㊁里斯和巴拿赫等年轻数学家在重新表述和发展希尔伯特积分方程思想的过程中建立了抽象巴拿赫空间及其上的算子理论㊂冯㊃诺伊曼抽象出两个典型希尔伯特空间的共同特征,用公理化方法给出了抽象希尔伯特空间的定义,指出无穷矩阵不是研究希尔伯特空间上的算子理论的最好工具,开启了抽象希尔伯特空间理论的研究㊂参㊀考㊀文㊀献1㊀胡作玄.近代数学史[M].济南:山东教育出版社,2006.2㊀Birkhoff G,Kreyszig E.The establishment of functional analysis[J].Historia Mathematica,1984,11(1):258 321. 3㊀DieudonnéJ.History of functional analysis[M].Oxford:North-Holland publishing Company,1981.4㊀(美)莫里斯㊃克莱因.古今数学思想(第四册)[M].邓东臬,张恭庆等,译.上海:上海科学技术出版社,2002. 134 135.5㊀胡作玄,邓明立.20世纪数学思想[M].济南:山东教育出版社,1999.44.6㊀Steen L.Highlights in the History of Spectral Theory[J].The American Mathematical Monthly,1973,80(4):359 381. 7㊀Bernkopf M.The Development of function spaces with particular reference to their origins in integral equation theory[J]. Archive for History of Exact Sciences,1966,3(1):1 96.8㊀Monna,A.F.Functional analysis in historical perspective[M].Utrecht:Oosthoek publishing Company,1973.9㊀曲安京.故事与问题:学术研究的困境是怎样产生的[J].自然辩证法通讯,2021,43(6):1 7.10㊀Volterra,V.Sopra le funzioni che dependono da altre funzioni,Nota I[J].Atti della Reale Accademia dei Lincei,1887, 3(4):97 105.11㊀Volterra,V.Sopra le funzioni che dependono da altre funzioni,Nota II[J].Atti della Reale Accademia dei Lincei,1887, 3(4):141 146.12㊀Volterra,V.Sopra le funzioni che dependono da altre funzioni,Nota III[J].Atti della Reale Accademia dei Lincei,1887, 3(4):153 158.13㊀Hadamard,J.Sur les opérations fonctionnelles[J].Comptes Rendus Acad Sci Paris,1903,136:351 354.14㊀Whittaker E.Biography of Vito Volterra[J].Obituary Notices of Fellows of the Royal Society of London,1941,3(1): 691 729.15㊀Volterra,V.Sulle inversione degli integrali definiti,Nota I[J].Atti R.Accad.Sci.Torino,1896,31:311 323. 16㊀Volterra,V.Sulle inversione degli integrali definiti,Nota II[J].Atti R.Accad.Sci.Torino,1896,31:400 408. 17㊀Volterra,V.Sulle inversione degli integrali definite[J].Rend.R.Accad.Lincei,1896,5:177 l85.18㊀Volterra,V.Sulle inversione degli integrali multipli[J].Rend.R.Accad.Lincei,1896,5:289 300.19㊀Fredholm I.Sur une classe d equations fonctionnelles[J].Acta mathematics,1903,27:365 390.20㊀Weyl H.David Hilbert and his mathematical work[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1944,50:612 654.601中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷21㊀(美)康斯坦斯.瑞德㊃希尔伯特[M].袁向东,李文林,译.上海:上海科学技术出版社,2006.22㊀Hilbert D.Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen[M].B.G.Teubner:Leipzig,1912.1 205.23㊀李亚亚,王昌.试论希尔伯特的积分方程与谱理论[J].自然辩证法通讯,2015,37(3):78 82.24㊀Birkhoff G.The establishment of functional analysis[J].Historia Mathematica,1984,11(1):258 321.25㊀Fréchet M.Sur quelques points du calcul fonctionnel[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,1906,22:1 74.26㊀王昌,曲安京.弗雷歇的博士论文及其影响[J].自然辩证法通讯,2014,36(3):37 40+126.27㊀李亚亚.勒贝格的测度理论成因探析[J].中国科技史杂志,2022,43(3):374 381.28㊀Schmidt E.Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,1908,25(1):53 77.29㊀Riesz F.Untersuchungenüber Systeme integrierbarer Funktionen[J].Mathematische Annalen,1910,69(4): 449 497.30㊀Riesz F.Über lineare Funktionalgleichungen[J].Acta Mathematica,1918,41(1):71 98.31㊀李亚亚,王昌.紧算子理论成因探析[J].自然辩证法研究,2014,30(12):80 84.32㊀Banach S.Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application auxéquations intégrales[J].Publiédans Fund Math,1922,3:133 181.33㊀(意)皮耶尔乔治㊃奥迪弗雷迪.数学世纪 过去100年间30个重大问题[M].胡作玄,胡俊美等,译.上海:上海科学技术出版社,2012.84.34㊀Neumann J.Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperation[J].Mathematische Annalen,1929,102: 49 131.35㊀Neumann J.Zur theorie der unbeschränkten matrizen[J].Journal für die reine und angewandte,1929,161:208 236.The History of Functional Analysis:From Vito Volterra to John von NeumannLI Yaya1㊀LI Fei2(1.School of Mathematics,Xi an University of Finance and Economics,Xi an710100,China;2.College of Science,Xi an Shiyou University,Xi an710065,China) Abstract㊀Functional analysis is a subject which uses algebraic and geometric ideas and methods to study problems in analytics.Volterra s work on functional theory laid the prerequisites for Fréchet s creation of the theory of abstract metric spaces.Volterra was also the first to reveal the implied similarity between integral equations and systems of linear equations.Fredholm s successful extension of the theory of systems of linear equations to continuous kernel integral equations was a successful example of the use of algebraic ideas and methods to solve analytic problems,which inspired the construction of Hilbert s framework for the unification of analysis and algebra.In line with the trend towards abstraction in mathematics in the20th century,Hilbert s followers introduced geometric concepts and established functional analysis in the reformulation and development of the idea of Hilbert s integral equations.Keywords㊀history of modern mathematics,functional analysis,integral equation,calculus of variations,linear system of equations。
泛函绪论
间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
4.泛函分析的基本内容
“泛函分析”以“距离空间及其极限理论” 为基础， 综 合运用分析、代数和几何的观点和方法，研究无穷维向量空间 上的函数、算子、和极限理论。它是古典分析观点的推广，归 属于“无穷维分析”。
5.工科研究生为什么要学泛函分析 遇到的问题越来越复杂
涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
泛函分析的方法被大量应用到力学、电子及工程技术等 学科中。泛函分析、抽象代数与拓扑学已被公认为现代 数学的三大基础学科。
6.课程安排和要求
课时：16学时 主要内容：距离空间、线性赋范空间、内积空间、有 界线性算子等。 教学目的和要求：获得泛函分析中一些必备的基础知 识，包括基本概念、基本定理和抽象处理问题的方法。为 进一步学习或高层次研究理论物理学、现代力学和现代工 程理论的许多分支和课程打下基础。
数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学 的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。在 数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一 门新的分析数学，叫做泛函分析。
3. 特点
把古典分析的基本概念和方法一般化，几何化 泛函分析中的“抽象空间” 既包含了以前讨论过的几何对象， 也包括了不同的函数空间。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。 从有限维到无穷维 泛函分析是研究现代物理学的一个有力工具。n维空间可以用 来描述具有n个自由度的力学系统的运动，但对具有无穷多自由 度的力学系统无能为力（梁的震动问题、现代物理学中的量子场理论都
应用泛函T1
20世纪40年代以后，一方面，泛函 分析在理论上日渐深化，诸如算子谱理论、 算子代数、拓扑线性空间、拓扑度、不动 点、凸分析、非线性分析、极值分析、随 机泛函分析等理论逐一崛起，精彩纷呈； 另一方面，泛函分析在应用中也获得了更 为广阔的活动空间，它在几何学、拓扑学、 微分方程、函数论、群论、概率论、计算 数学、最优化理论及控制论中都有重要的 应用。
������ 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点 来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。 ������
泛函分析的产生 十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段 ������ 对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几 何 ������ 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群 论 ������ 对数学分析的研究又建立了集合论 二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势 ������ 瑞典数学家弗雷德荷姆(Fredholm 1866-1927) 和法国数学家阿达玛（Hadamard，1865-1963）发 表的著作 ������ 希尔伯特空间的提出
X Y，有 f ( X ) Y 时，称 满射：对映射f： 为满射。
单射：对映射f ： X Y ，如果对X中所有不同 的两元素 x1 , x2 , 均有 f ( x1 ) f ( x2 ) 。 一一映射（一一对应、双射）：既是满射又是 单射的映射。
映射的逆与复合 设 f 是 X 到Y 的一一映射. 则对每个 y ∈ Y ,存在 唯一的 x ∈ X使得 f (x) = y .因此我们可以定义一个Y 到 X 的映射 g 如下: 对每个 y ∈Y ,令 g (y ) = x,其中 x 是 X 中的唯一存在的满足 f ( x ) = y 的元. 称这样定 义的映射 g为 f 的逆映射, 记为 f 1 . 显然逆映射是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到Y 的一一映射, 则由逆映射的定义知道成立以下等式:
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个领域，包括物理、化学、经济以及计算机科学等。
然而，函数的概念的发展历程可以追溯到公元前300年左右的古希腊。
以下是函数概念的发展史的综述。
1.阿基米德的方法（公元前287年）公元前300年左右，古希腊的数学家阿基米德提出了一个称为方法论（Method of Exhaustion）的方法来解决几何问题。
这一方法涉及到以一个恒定的速率逼近一个特定的数量，并通过这种逼近来计算其他数量。
这种方法实际上使用了近似函数的思想，被认为是函数概念的早期雏形。
2.斯嘉尼的分析（公元前200年）公元前200年左右，亚历山大的斯嘉尼（Apollonius of Perga）开始使用变量来表示几何问题中的未知量。
他将变量视为是一个数学对象，并使用代数的方法来研究几何形状。
斯嘉尼的分析（Apollonian Analysis）为后来函数的发展奠定了基础。
3.阿拉伯数学家的贡献（9-10世纪）在中世纪，阿拉伯数学家对函数的研究做出了重要贡献。
在9-10世纪，数学家阿尔哈桑·本·阿尔哈伯（Alhazen）和阿尔卡直赛（Al-Khazini）提出了类似于现代函数的概念。
他们将阿基米德的方法与斯嘉尼的分析相结合，引入了数学函数的概念。
此外，阿拉伯数学家还研究了三角函数和指数函数等一些基本函数。
4.勒让德和牛顿的贡献（17世纪）在17世纪，数学家皮埃尔-西蒙·勒让德（Pierre-Simon Laplace）和艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对函数的概念进行了显著发展。
勒让德提出了现代函数概念的定义，他指出函数是输入值与输出值之间的关系。
牛顿则在他的微积分理论中广泛使用了函数的概念，将其与导数和积分等运算结合使用。
5.庞加莱和蔡氏的贡献（19-20世纪）在19-20世纪，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和斯通达哈·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以及华罗庚等数学家对函数的研究做出了突出贡献。
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1906年，阿达玛的学生，法国数学家弗雷歇(M.Frechet，1878一1973)利用当时的集合论观念，力图将康托尔(cantor，1845一1918)、沃尔泰拉、阿泽拉、阿达玛等的具体结果以抽象的术语统一起来，在建立函数空间和泛函的抽象理论中获得了第一个卓越的成果.弗雷歇的博士论文用抽象形式归纳统一了前人结果的共同点并加以推广:(l)把函数或曲线看成一个集合或空间中的点.它们被看作一个抽象集合.(2)函数的极限可看作空间中点列的极限.有极限概念的集合称为L空间，这是后来拓扑空间的萌芽.(3)集合上可定义实函数即泛函.由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性.(4)泛函可以进行代数和分析运算，这就成为名副其实的泛函分析了。弗雷歇1906年还在抽象的空间中引进“距离”的观念，使之具有欧式
是指一个实值函数F，它的值取决于定义在某个区间[a，b]上的函数y(x)的全体函数值.这些函数本身被看作一个空间的点，而对于这个空间，可以定义点的邻域和点列的极限.意大利数学家c.阿泽拉又对线函数(由沃尔泰拉定义)进行系统研究，给出线性空间概念。后来法国数学家发展了泛函演算，特别是阿达玛(J.Hadmard，1865一1963)1897年为了研究偏微分方程而考虑了区间[0，1]上全体连续函数所构成的族。阿达玛发现这些函数构成一个无限维线性空间，并在1903年定义了这个空间上的函数即泛函.
积分方程中孕育的泛函分析思想。泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论。变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的.在施密特，费歇尔，黎斯为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究.事实上，一个积分方程的解正是一个泛函方程的解的情形。在泛函分析的发展中，不得不提的是弗雷德霍姆，正是因为他在积分方程上的研究，使得希尔伯特(D.Hilbert，1862一1943)灵感突发，以积分方程为源头开始了在泛函分析上的多种研究。
自1906年起，美国数学家莫尔(EliakinHastingsMoore，1862一1932)开始了建立线性泛函分析和算子的抽象理论的研究工作.而第一个有影响的步骤是希尔伯特的学生、德国哥廷根学派的E.施密特(Erhardschmidt，1876一1959)迈出的.他引入实的和复的希尔伯特的几何观念，把函数看成是平方和序列的空间(抽象的 空间)的点，并导出正交系，建立了所谓希尔伯特空间。1907年，匈牙利数学家E黎斯(Riesz，1850一1956)等引进勒贝格平方可积空间( 空间)，发现其性质与 空间相同，两个月之后，德国数学家E.费歇尔(E.Fischer,1875一1959)与F.黎斯证明 空间与 空间同构，只是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现.这也反映出研究抽象空间具有重要意义.它更清楚地表明积分理论和抽象空间的泛函之间的紧密联系.黎斯1910年发表于《数学年刊》上的论文是泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好开端。他研究积分方程仿照 空间导出 (l<p<co)空间，也就是p次方可积函数全体构成的空间，后又研究l空间，它们不是希尔伯特空间，但可以是范数。他发现了 上连续线性函数全体构成一个“对偶的”空间 ，且p十q=1。这样，黎斯开始了应用范数概念作为研究抽象空间的另一种方法.至此，泛函分析的基本要素已经齐备.
空间距离的性质，从而有了更丰富的结构.
几乎同时，希尔伯特对积分方程进行系统的研究.他的思想是使函数等同于傅里叶系数集.他在前人的基础上，认识到积分方程与无穷多变元线性方程组之间的相似性，积分方程的有解性与无穷多变元的收敛性条件有关.这使他实际上得到了具体的希尔伯特空间理论.虽然希尔伯特的结果有许多并不是新的，但正如我们已经看到的那样，他彻底改造了弗雷德霍姆的理论，其意义远远超出了积分方程论本身.他所引进的概念和方法，启发了后人大量的工作.其中特别值得提出的是:匈牙利数学家F.黎斯等借完备标准正交系确立了勒贝格平方可积函数空间与平方可和数列空间之间的一一对应关系，制定了抽象希尔伯特空间理论，从而使积分方程理论成为现代泛函分析的主要来源之一希尔伯特关于积分方程的一般理论同时渗透到微分方程、解析函数、调和分析和群论等研究中，有力的推动了这些领域的发展.希尔伯特关于积分方程的成果还在现代物理中获得了意想不到的应用。希尔伯特在讨论特征值问题时曾创造了“谱”(spectrum)这个术语，他将谱分析理论从全连续二次型推广至有界二次型时发现了连续谱的存在。到20年代，当量子力学蓬勃兴起之时，物理学家们发现希尔伯特的谱分析理论原来是量子力学的非常合适的数学工具。希尔伯特本人对此感触颇深，他指出:“无穷多个变量的理论研究，当初完全是出于纯粹数学的兴趣，我甚至管这理论叫‘谱分析’，并没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用.”
泛函分析发展史
泛函分析起源于经典数学物理中的一些边值问题和变分问题。19世纪后期，数学中许多领域处理的是作用在函数上的变换或算子。算子中有一些是将函数变成实数，而不是变成函数.那些把函数变到实数或复数的算子，今天称之为泛函，而算子这个名称则用来通称把函数变为函数的变换。
19世纪80年代到20世纪20年代，是泛函分析的萌芽时期。它开始于意大利数学家沃尔泰拉(v.volterra，1860一1940)和品契莱尔1887年关于变分法的工作，他们引进了泛函演算，特别是引进了原始泛函以及线性算子的概念。对沃尔泰拉来说，一个线的函数