张量运算的注意点
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
kij kst is jt js it
此外，
ij
,
ij
可以用矢量表示为：
k
ij ei • e j
ijk ei • (e j ek )
a • (b c) aibjckei • (e j ek ) ijk aibjck
a1 a2 a3
ijk aibjck b1 b2 b3
c1 c2 c3
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
设f , g为矢量，为标量，下面四式括号可以去掉
( f • ) f • ( f ) f
J为哑指标ei ，相
Байду номын сангаас
消。留下自由
当A为反对称
指标i，运算后
A张• a量 时ijk w，ke有ie j • ases ijk w加k a j上ei w a
可以认为K为哑 指标，运算中 应用哑指标，相自消由。指留标下思自想，对运
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的 数，也可以用后面矢量运算
( f • )g f • g ( f )g f g
上式应用如 r xiei，(a • )r a • r a
因为r eiei I ,为单位张量 ,注意， • r 3, r 0
对于矢量a,b, c,有（a • bc） (a) • bc c • a a • c ,作为标量微分算子，可以 任意挪移到作用向量上
张量的基本运算
• 求和约定与哑指标
凡在某一项内，重复出现一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这指标为哑指 标，如：
n
a ai xi ai xi i 1
如不作特别说明，取笛卡尔坐标系，i=1,2,3
b A x i
ij j （i，j=1,2,3
）
自由指标i
哑指标j
张量的基本运算有： 张量与向量的点叉运算 张量与张量的点叉运算 张量之间的二重运算等等
a A b 点叉随便打，运算时拆开
A••B, A•B, A• , AB
eiej••ekes (ei • es )(ej • ek )
wc (u)中，u作叉乘阶数不变，在与wc作叉乘 阶数不变，为一阶张量
或者，对于张量运算，直接考虑基矢量ei 上式有，ei • ejek el (em • en ) es (ep eq ),必定是一阶张量
• 运算中单位矢量的确定
A • a Aij ak ei jk Aij a jei
这两个梯度一般是不相 等的
不论是矢量a还是张量A，（矢量即为一阶张量）都可以 用算子作 •，，并
如：a为矢量的梯度， • a为矢量的散度 a ia jeie j • a ia jei • e j ai'i
上面可以看出 a即为二阶张量， • a为标量 算子作梯度时，张量增一阶 ，作散度减一阶
张量的并矢，点叉运算
对于向量a, b a • b aibiei • e j aibi , 是一个数 ab aibjeie j eiej称为并矢量，两基矢之间没有作用关系,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为：a ai jeie j ai' jeie j 左梯度为：a jaie jei ai' je jei
ei e j ijk ek kijek
张量的转置，P pijeie j , Pc p jieie j pije jei 可知，当P为对称矩阵时，Pc p jieiej pijeie j P 如：a ai' jeie j，a ai' je jei , a (a)c
用上式可以证明当 T为对称张量时， 其左散度等于右散度
1、在同一项中，哑指标j求和相消，则方程有右边有三 项。
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
33
又如
Aij xi y j i与j皆为哑指标，共有9项
i1 j1
Kronecker-符号与置换符号
ji
ij
1 0
当i j 当i j
有两个独立的下标，因此可看做是一个二阶张量，
ij
有如下基本等式成立
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯 度），张量扩张。
书中公式，P •
P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
ii 3 ijij ii 3 ij jk kl il
aiij a j ei e j ij
1
i, j, k偶排列
ijk 1
i, j, k奇排列
0 两个或三个指标相等
有三个独立的下标，因
ij
此可看做是一个三阶张
量
ks jks 0
ipq jpq 2 ij
ijk ijk 6
此外，
ij
,
ij
可以用矢量表示为：
k
ij ei • e j
ijk ei • (e j ek )
a • (b c) aibjckei • (e j ek ) ijk aibjck
a1 a2 a3
ijk aibjck b1 b2 b3
c1 c2 c3
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
设f , g为矢量，为标量，下面四式括号可以去掉
( f • ) f • ( f ) f
J为哑指标ei ，相
Байду номын сангаас
消。留下自由
当A为反对称
指标i，运算后
A张• a量 时ijk w，ke有ie j • ases ijk w加k a j上ei w a
可以认为K为哑 指标，运算中 应用哑指标，相自消由。指留标下思自想，对运
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的 数，也可以用后面矢量运算
( f • )g f • g ( f )g f g
上式应用如 r xiei，(a • )r a • r a
因为r eiei I ,为单位张量 ,注意， • r 3, r 0
对于矢量a,b, c,有（a • bc） (a) • bc c • a a • c ,作为标量微分算子，可以 任意挪移到作用向量上
张量的基本运算
• 求和约定与哑指标
凡在某一项内，重复出现一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这指标为哑指 标，如：
n
a ai xi ai xi i 1
如不作特别说明，取笛卡尔坐标系，i=1,2,3
b A x i
ij j （i，j=1,2,3
）
自由指标i
哑指标j
张量的基本运算有： 张量与向量的点叉运算 张量与张量的点叉运算 张量之间的二重运算等等
a A b 点叉随便打，运算时拆开
A••B, A•B, A• , AB
eiej••ekes (ei • es )(ej • ek )
wc (u)中，u作叉乘阶数不变，在与wc作叉乘 阶数不变，为一阶张量
或者，对于张量运算，直接考虑基矢量ei 上式有，ei • ejek el (em • en ) es (ep eq ),必定是一阶张量
• 运算中单位矢量的确定
A • a Aij ak ei jk Aij a jei
这两个梯度一般是不相 等的
不论是矢量a还是张量A，（矢量即为一阶张量）都可以 用算子作 •，，并
如：a为矢量的梯度， • a为矢量的散度 a ia jeie j • a ia jei • e j ai'i
上面可以看出 a即为二阶张量， • a为标量 算子作梯度时，张量增一阶 ，作散度减一阶
张量的并矢，点叉运算
对于向量a, b a • b aibiei • e j aibi , 是一个数 ab aibjeie j eiej称为并矢量，两基矢之间没有作用关系,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为：a ai jeie j ai' jeie j 左梯度为：a jaie jei ai' je jei
ei e j ijk ek kijek
张量的转置，P pijeie j , Pc p jieie j pije jei 可知，当P为对称矩阵时，Pc p jieiej pijeie j P 如：a ai' jeie j，a ai' je jei , a (a)c
用上式可以证明当 T为对称张量时， 其左散度等于右散度
1、在同一项中，哑指标j求和相消，则方程有右边有三 项。
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
33
又如
Aij xi y j i与j皆为哑指标，共有9项
i1 j1
Kronecker-符号与置换符号
ji
ij
1 0
当i j 当i j
有两个独立的下标，因此可看做是一个二阶张量，
ij
有如下基本等式成立
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯 度），张量扩张。
书中公式，P •
P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
ii 3 ijij ii 3 ij jk kl il
aiij a j ei e j ij
1
i, j, k偶排列
ijk 1
i, j, k奇排列
0 两个或三个指标相等
有三个独立的下标，因
ij
此可看做是一个三阶张
量
ks jks 0
ipq jpq 2 ij
ijk ijk 6