张量运算的注意点
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
张量积运算法则
张量积运算法则
张量积运算法则:
1．加减法:
两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。
2．并积:
两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。
3．缩并:
使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。
4．点积:
两个张量之间并积和缩并的联合运算。
例如，在极分解定理中，三个二阶张量R、U和V中一次点积R·U和V·R的结果是二阶张量F。
5．对称化和反称化:
对已给张量的n个指标进行n1不同置换并取所得的n1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。
把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。
6．加法分解:
任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。
例如，速度梯度可以分解为，其中和分别为的对称和反称部分，即和。
1．商法则
肯定某些量的张量性的法则。
在数学中，张量积(tensor product)，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。
在各种情况下这个符号的意义是同样的：最一般的双线性运算。
在某些上下文中也叫做外积。
张量运算的注意点
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的
数，也可以用后面矢量运算
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯
度），张量扩张。Βιβλιοθήκη 书中公式，P • P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
当A为反对称张量时，有
J为哑指标，相消。留下自
由指标i，运算ei 后加上
A • a ijk wk eie j • ases ijk wk a jei w a
弹塑性力学-02(张量初步)
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
5
哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
Tmn,ij
2Tmn xi xj
2Tmn xj xi
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
20
并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
mathematica 张量积
mathematica 张量积Mathematica 是一种强大的计算机代数系统，可以用于数学、物理学和工程学等领域的数值计算和符号计算。
其中，张量积(TensorProduct) 是一种常见的数学运算，该运算又被称为Kronecker 积或直积。
本篇文章将介绍 Mathematica 中的张量积运算及其应用。
1. 张量积运算在 Mathematica 中，可以使用 TensorProduct 函数进行张量积运算。
该函数接受两个参数，如下所示：TensorProduct[tensor1, tensor2]其中，tensor1 和 tensor2 表示要进行张量积运算的两个张量。
这两个张量可以是向量、矩阵或更一般的张量。
TensorProduct 函数将这两个张量张成一个更高维度的张量，由于维度增加，张量积也称为直积。
下面是几个张量积运算的例子：TensorProduct[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]输出：{{4, 5, 6}, {8, 10, 12}, {12, 15, 18}}TensorProduct[{{1, 2}, {3, 4}}, {{5, 6}, {7, 8}}]输出： {{{5, 6, 10, 12}, {7, 8, 14, 16}}, {{15, 18, 20, 24}, {21, 24, 28, 32}}}正如上面这些例子所示，张量积的输出结果是一个更高维度的张量，其维度等于输入的张量维度之和。
在计算张量积时，张量的顺序和维度需要特别注意。
2. 张量积在量子力学中的应用张量积是量子力学中广泛使用的一个数学工具。
在量子力学中，系统的态可以表示为希尔伯特空间中的向量。
多粒子态可以通过张量积得到，例如一个由两个粒子组成的系统可以表示为一个二粒子态，其波函数可以表示为两个单粒子态波函数的张量积。
在 Mathematica 中，可以使用 KroneckerProduct 函数计算量子力学系统的多粒子态。
高等代数张量积运算规则
高等代数中，张量积是一个重要的运算，广泛应用于线性代数、矩阵论、量子力学等领域。
张量积的运算规则可以简化计算、推导和理解复杂的代数结构。
本文将介绍高等代数中的张量积运算规则及其应用。
第一条规则是张量的结合律。
对于三个张量A、B和C，我们有(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)。
这意味着在计算张量的张量积时，可以忽略括号的位置顺序，只需对每个张量进行逐一的张量积运算即可。
这个规则方便了复杂张量的计算，减少了出错的可能性。
第二条规则是张量的分配律。
对于两个张量A和B，以及一个标量c，我们有(cA) ⊗ B = A ⊗ (cB) = c(A ⊗ B)。
这个规则允许我们在张量内外乘以标量，从而可以用于简化计算和推导。
第三条规则是单位张量的性质。
对于任意矢量空间V，存在一个单位张量I，满足I ⊗ A = A ⊗ I = A，其中A是任意张量。
这个规则保证了单位张量的乘法运算的存在性和唯一性。
第四条规则是关于张量积的逆元素。
对于任意张量A，存在其逆元素A-1，满足A ⊗ A-1 = A-1 ⊗ A = I，其中I是单位张量。
这个规则保证了张量积的可逆性，在求解逆问题时起到重要作用。
第五条规则是张量排列的交换性。
对于任意两个张量A和B，我们有A ⊗ B = B ⊗ A。
这个规则说明了张量积的交换性质，即无论是A ⊗ B还是B ⊗ A，它们的结果是等价的。
这个规则简化了计算和推导过程，同时也被广泛应用于量子力学中的对易子运算。
除了以上运算规则，张量积还具有以下的性质和应用。
首先，张量积运算可以用于表示多维矩阵的运算。
例如，一个二阶矩阵A和一个三阶矩阵B的张量积A ⊗ B将得到一个六阶张量C，其中每个元素Cijklmn = AijBklmn。
这个运算可以用于描述复杂的多维数据结构。
其次，张量积运算可以用于描述多体量子系统。
在量子力学中，多体系统可以由多个单体系统的张量积表示。
例如，一个具有两个自旋1/2的粒子系统可以由两个自旋1/2态的张量积表示。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
张量向量点乘运算法则
张量向量点乘运算法则
张量向量点乘运算法则是指在张量和向量相乘时，遵循的一系列数学规则。
具体来说，其运算法则如下：
1、只有在张量和向量的维度相等时才能进行点乘运算。
2、点乘的结果是一个向量，其维度与参与运算的向量维度相同。
3、点乘的每个元素都是将张量的每个元素与向量的对应元素相乘后再相加得到的。
4、点乘运算满足分配律和结合律。
5、当向量为列向量时，点乘运算可称作向量与张量之间的“内积”，结果为一个行向量；当向量为行向量时，点乘运算可称作向量与张量之间的“外积”，结果为一个列向量。
通过遵循以上的运算法则，我们可以很好地进行张量向量点乘运算，从而更加高效地处理各种机器学习和深度学习任务。
- 1 -。
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
张量乘法规则
张量乘法规则一、张量的定义和表示方式1. 张量的定义张量是一种数学对象，它可以看作是向量、矩阵等数学对象的推广。
张量是一个多维数组，它可以表示各种物理量，如位移、速度、加速度等。
2. 张量的表示方式张量用一个字母加上下标来表示。
字母表示张量的名称，下标表示张量在各个维度上的编号。
二、张量乘法规则1. 向量与向量的乘法向量与向量的乘法有两种形式：点积和叉积。
（1）点积：两个向量a和b的点积为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
（2）叉积：两个向量a和b的叉积为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
2. 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵M与一个列向量v相乘得到一个列向量w。
w = Mv其中，w为结果列向量，M为矩阵，v为列向量。
3. 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法是指将一个矩阵M1与另一个矩阵M2相乘得到一个矩阵M3。
M3 = M1M2其中，M3为结果矩阵，M1和M2为两个矩阵。
三、张量的乘法规则1. 张量的乘法张量的乘法是指将一个张量T1与另一个张量T2相乘得到一个张量T3。
Tijk = ∑l∑m Tijl Tlmk其中，Tijk为结果张量，Tijl和Tlmk为两个张量。
2. 张量的缩并张量的缩并是指将一个张量T在某些维度上进行求和得到一个新的张量。
Ti...j...k... = ∑l Tijlk...其中，Ti...j...k...为结果张量，Tijlk...为原始张量。
四、张量乘法规则的应用1. 牛顿第二定律牛顿第二定律可以用向量形式表示：F = ma，其中F、a均为向量。
可以使用向量点积来计算力和加速度之间的关系。
F·a = m|a|^22. 矢场理论在电场中存在电荷q时，其所受力可以表示为F = qE，其中F、E均为向量。
可以使用向量点积来计算电荷和电场之间的关系。
F·E = q|E|^23. 张量积分张量积分是指将一个张量在某个区域上进行积分得到一个标量。
张量运算法则 -回复
张量运算法则-回复
张量运算法则是在张量代数中常用的一些基本运算规则和公式的总结。
张量是一种在多维空间中描述向量和矩阵的数学对象，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量运算法则通过定义不同维度的张量之间的运算规则，使得我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
本文将以张量运算法则为主题，一步一步回答相关问题。
一、什么是张量？
1. 张量的基本概念
2. 张量的维度和阶数
3. 张量的表示和索引
二、张量的运算规则
1. 张量加法与减法
2. 张量乘法
3. 张量的缩并运算
4. 张量的转置和逆运算
5. 张量的分解与组合
三、张量运算法则的应用
1. 张量在物理学中的应用
2. 张量在工程学中的应用
3. 张量在计算机科学中的应用
四、张量运算法则的推广与发展
1. 张量的高阶运算规则
2. 张量网络的结构与训练方法
3. 张量运算法则在机器学习中的应用
五、结语
通过本文的阐述，我们了解了张量运算法则的基本内容和应用领域，并对其推广与发展进行了简要介绍。
通过运用张量运算法则，我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
相信在未来的发展中，张量运算法则将发挥重要的作用，推动科学技术的进步与应用的创新。
向量与张量的代数运算与分析运算
本章介绍向协与张以的代数运算和分析运算，作为看而章节的数学准备二§1.矢量代数向量的定义§2.张量代数张量的定义§3.矢量分析Hamilton 算N§4.张量分析矢量的梯度§1向量代数向量的定义从几何观点來看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间E?中，建立直角坐标系,沿坐标為方向的单位向量为勺（2 123），即其标架为｛勺宀®｝。
设从坐标原点0至点4的向量为a，它在所述坐标系中的坐标为（勺疋2皿3），那么0 可写成a =。
伴]+ a2e2十他勺设在奋中有另一个坐标系珀｝,其标架为｛吒&疋;｝,它与｛勺心形｝之间的关系为€1 = C]向+ 5勺十U]3勺^2 =⑺冋“。
22幺2 +S3= °3角十C裁$十U话3由于单位向量弓& = 123）之间互相正交，= 1,23）之间也互相正交，因此矩阵将是正交矩阵，即有C-1 = C r,其中上标丁表示转置。
从可反解出e i = ^n€i 十十6崔勺二C]2勺十C22e2十匕32勺*3 = G妁亠匚巒L * 03勺向量皿在新坐标系中的分解记为i f , f f , f f a = + a2e2十ix3^3将代入，得到() ()久务务公式是向量少的新坐标a^ = 1,2,3）和旧坐标吗@“23）之间的关系，它是坐标变换系数= U3）的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组匕疋2宀），如果在坐标变换下为关于变换系数= U3）由（）所示的一次齐次式，则称之为向量。
Einstein约定求和用求和号，可将写成所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如可写成a = a i e i在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如也可写成有时亦称求和的指标为'•哑指标”。
张量运算的注意点
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
33
又如
Aij xi y j i与j皆为哑指标，共有9项
i1 j1
.
Kronecker-符号与置换符号
ji ij 10
当ij 当ij
ij有两个独立的此 下可 标看 ，做 因是一量 个， 二阶
有如下基本等式成立
ii 3 ij ij ii 3 ij jk kl il
标i，运算后加上 e i
当A为反对称张量时，有
A • a iw jk k e ie j• a s e s iw jk k a je i w a
可以认为K为哑指标，运算中 相消。留下自由指标i，j，运算 后加上，并矢顺序不能变 应用哑指标，自由指标思想，对运算过程是否正确的检验很方便
.
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的 数，也可以用后面矢量运算
张量的P转 pije置 iej,Pc， pjieiej pijejei 可知P， 为当 对称矩 Pcp 阵 jieiej时 pije， iej P 如a： ai'jeiej， aai'jejei,a(a)c
.
用上式可以证T明 为当 对称张量时， 其左散度等于右散度
张P 的 量的P 分 pie jiej解 pjej， eipie jj
对于向量a,b a•b aibiei •ej aibi ,是一个数 ab aibjeiej eiej称为并矢量，两基矢间之没有作用关系 ,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为a： ai jeiej ai' jeiej 左梯度为：a jaiejei ai' jejei
这两个梯度一般是不相等的
张量计算方法
张量计算方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊张量计算方法。
张量这玩意儿啊，就像是个多面的小怪物，可复杂可有趣啦！想象一下，张量就像是一个超级魔方，有好多好多的面和格子。
计算张量呢，就像是在解这个超级魔方。
你得找到合适的方法，把那些乱七八糟的线条和格子都归位。
比如说，在张量计算里，有个很重要的概念叫指标。
这指标就像是魔方上的标记，能帮你确定每个元素的位置。
咱得搞清楚这些指标怎么变化，怎么组合，才能在张量的世界里游刃有余呀！那怎么计算呢？嗯，就像你做算术题一样，一步一步来。
先把张量里的元素找出来，然后根据规则进行加减乘除啥的。
但可别小瞧了这过程，稍不注意就可能算错哦！举个例子吧，就像你要把一堆不同形状的积木拼成一个特定的形状。
你得先知道每个积木的特点，然后巧妙地组合它们。
张量计算也是这样，得把那些元素像搭积木一样搭起来。
而且哦，张量计算在好多领域都超级重要呢！像物理学里研究那些复杂的力学问题，没有张量可不行。
还有计算机科学，人工智能啥的，都得靠张量来帮忙呢！咱再说说张量的维度，这就好比是魔方的大小和复杂程度。
维度越高，计算起来就越有挑战性。
但别怕呀，咱有耐心，一点点来，总能搞清楚的。
还有啊，张量计算里还有各种神奇的运算规则。
就好像是游戏里的特殊技能，掌握了就能打出漂亮的组合拳。
这些运算规则能让你对张量进行各种变换和操作，让它变成你想要的样子。
总之呢，张量计算可不是一件简单的事儿，但也绝对不是无法攻克的难关。
只要咱有兴趣，有耐心，肯钻研，就一定能把这个小怪物给驯服咯！别觉得它难就退缩呀，要勇敢地去尝试，去探索。
等你真的掌握了张量计算方法，那种成就感可别提多棒啦！所以，朋友们，加油吧，去张量的世界里闯荡一番，看看自己能发现什么奇妙的东西！。
1第一章 笛卡尔张量
序言张量分析对于现在的力学专业学生以及力学相关问题的解决，是应该掌握的重要数学工具。
事实上，如果没有张量的知识，就无法学习连续介质力学基本理论和阅读相关专业的文献资料。
无庸讳言，张量概念非常抽象，相对来说比较难于学习和把握。
但是，只要克服张量学习过程中的畏难情绪，抓住张量概念的关键点，梳理张量分析的基本数学规则，结合一定的力学实例的张量描述，从而建立张量分析的概念和基本分析方法，就能够为运用张量分析解决实际问题奠定坚实基础。
张量概念最早是由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托夫(Christoffel)等人在十九世纪发展微分几何过程中引入的，是从线性空间推广到非线性空间的纯粹数学的演绎，由于自然科学发展水平的限制，这种具有根本性变革的数学工具长期被自然科学领域所忽略。
直到1915年，爱因斯坦获得格罗斯曼的协助，借助张量分析这一数学工具创立了伟大的广义相对论，才凸显了张量分析在描述具有协变性质物理规律的关键作用。
这个事实再次有力地向我们传达了数学和自然科学之间彼此的依存关系，即数学的规则被赋予了自然规律的意义后才成为有生命力的学问，而借助数学工具建立起的自然规律才能呈现自然科学的奥秘。
此后，张量分析迅速渗透到理论物理、现代微分几何、连续介质力学等学科领域中。
就力学专业的学生而言，学习和掌握张量分析，可以更加深刻地领会连续介质力学的概念和一般力学规律，充分锻炼我们的理性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力和水平。
用代数方法和解析方法描述空间问题时，必须引进坐标系或建立坐标基矢量。
坐标系的引入为建立各种物理或几何规律带来了可能和极大的方便，同时也往往使问题复杂化。
可以设想，客观规律应该独立于坐标系，但客观规律的表达形式却严重依赖于所用的具体坐标系，使得客观规律本身的内在性质与建立在坐标系上的数学表达形式完全融为一体。
这样，一方面可能会因其数学的形式外壳而不易揭示问题的内在本质，另一方面，甚至对很多客观规律根本无法进行数学表述。
张量概念及其基本运算.
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量它们所组成的集合仍然是一个张量称为第一个张量乘以第二个张量的乘积即积张量
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2 a121 a222 a323
(aii )2 (a11 a22 a33 )2
★ 关于自由标号：
( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
算子 i作用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
张量分析
6a air aisait eijkerst
11:11
22
1.6 余弦变换矩阵
A A 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 A B AB AB ei e j cosij : Cij A A AB ij 为 ei 与 e j 间的夹角。表为“定义为”；
AB 共九个分量。于是有 Cij A AB B ei C ij e j B BA A ei C ij e j
AB ij 2
AB det[Cij ] 1
11:11
25
r ( x j e j ) ji e j ei xi xi
AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为正常(或正向)正交矩阵； AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。
(续)
1.9 二阶基矢及其坐标变换
1.10 二阶张量——不变量
1.11 张量的记法
11:11
4
1.1 字母标号
为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的 各个分量。例如
将 x,
y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； i , j , k e , e , e , 用 ei ( i 1,2,3) 表示； 1 2 3
11:11
9
下列方程组
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3
aij x j bi
同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。
张量公式
1、和、差、数积 2、并积：T AB = Tijklm ei e j ek el em Tijklm Aijk Blm 3、缩并： S Tijk ei e j ek Tijk ij ek Tijk ek Sk ek 4、内积：并积与缩并结合 5、点积：前张量最后矢量与后张量首个矢量缩并 11、张量的运算： 串双点积 6、双点积：对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩 并双点积 并的结果称为双点积 7、并矢：把K 个独立矢量并写在一起称为并矢量， 它们的并积是一个K 阶张量
张量运算简要公式
1、哑标：算式中成对出现的角标叫做哑标（只能是两次） ； 2、自由标号：同一项中不成对出现的标号称为自由标号（三个及以上都是自由标） ； 3、括号特别注意：
2 2 2 2 2 aii a11 a22 a33 (aii ) (a11 a22 a33 )2 aii a jj aii aii a11a11 a22a22 a33a33
1 (i j ) aij ij aii a jj ; a j ij ai ; ei e j ij 4、 ij 0 (i j )
5、置换符号：
e123 e231 e312 1(顺序) 1 ei e j eijk ek e321 e213 e132 （逆序） e e e （重复） 113 322 122 0
a13 a23 eijk ai1a j 2ak 3 eijk a1i a2 j a3k a33
eijk erjk 2 ir eijk eist js kt ks jt 9、 e 关系式： eijk eijk 6
10、矢量的基与坐标变换：
torch两个四维张量运算
在PyTorch中，两个四维张量的运算方式有以下两种：
1.如果两个张量维度不一致，首先把维度低的那个张量从右边和维度高的张
量对齐。
例如，给定两个张量a和b，其中a的形状为[8,4,5,6]，b的形状为[5,6]，在对它们进行相加操作时，首先将b的维度扩展为[1,1,5,6]，然后对应位置相加即可。
2.如果两个张量维度相同，对应轴的值需要一样，或者为1。
相加时，把所
有为1的轴进行复制扩充，从而得到两个维度完全相同的张量。
然后对应位置相加即可。
需要注意的是，在进行张量运算时，必须保证运算的规则和结果符合数学和物理规律，即结果必须是合理的、符合实际的。
此外，具体运算的实现方式可能会因不同的张量库或框架而有所不同，因此在实际使用时需要参考相关文档或使用合适的工具包。
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张量P的的分解，P pijeiej p jej ei pijej
ei pi
梯度V
Vi' j
1 2 (Vi' j
V j'i )
1 2 (Vi' j
V j'i )
或者V
V j'i
1 2 (V j'i
Vi' j )
1 2 (V j'i
Vi' j )
这两种表达式在反对称部分是不一样的
J为哑指标ei ，相
消。留下自由
当A为反对称
指标i，运算后
A张• a量 时ijk w，ke有ie j • ases ijk w加k a j上ei w a
可以认为K为哑 指标，运算中 应用哑指标，相自消由。指留标下思自想，对运
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的 数，也可以用后面矢量运算
ijk wk aseie j • es
张量运算中一些注意点
a • (b c) (a b) • c c • (a b) 即混合积点叉可以随便打，只要符合abc轮换，否 则加一负号，注意，当有符号时，不能随便打
设f , g为矢量，为标量，下面四式括号可以去掉
( f • ) f • ( f ) f
张量的基本运算
• 求和约定与哑指标
凡在某一项内，重复出现一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这指标为哑指 标，如：
n
a ai xi ai xi i 1
如不作特别说明，取笛卡尔坐标系，i=1,2,3
b A x i
ij j （i，j=1,2,3
）
自由指标i
哑指标j
1、在同一项中，哑指标j求和相消，则方程有右边有三 项。
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
33
又如
Aij xi y j i与j皆为哑指标，共有9项
i1 j1
Kronecker-符号与置换符号
ji
ij
1 0
当i j 当i j
有两个独立的下标，因此可看做是一个二阶张量，
ij
有如下基本等式成立
张量的并矢，点叉运算
对于向量a, b a • b aibiei • e j aibi , 是一个数 ab aibjeie j eiej称为并矢量，两基矢之间没有作用关系,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为：a ai jeie j ai' jeie j 左梯度为：a jaie jei ai' je jei
wc (u)中，u作叉乘阶数不变，在与wc作叉乘 阶数不变，为一阶张量
或者，对于张量运算，直接考虑基矢量ei 上式有，ei • ejek el (em • en ) es (ep eq ),必定是一阶张量
• 运算中单位矢量的确定
A • a Aij ak ei jk Aij a jei
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯 度），张量扩张。
书中公式，P •
P
xk Pi1i2
xi Pi1i2
x的下标i, k，必定一个与 P下标相同，一个不同
• 张量运算中阶数的确定
例：w • u (wc • u) wc ( u),u, w均为矢量 左边：w • 为数，并上u即为一阶张量 右边：(wc • u)中，wc • u作内积为一数，作梯度为一阶张量
ii 3 ijij ii 3 ij jk kl il
aiij a j ei e j ij
1
i, j, k偶排列
ijk 1
i, j, k奇排列
0 两个或三个指标相等
有三个独立的下标，因
ij
此可看做是一个三阶张
量
ks jks 0
ipq jpq 2 ij
ijk ijk 6
ei e j ijk ek kijek
张量的转置，P pijeie j , Pc p jieie j pije jei 可知，当P为对称矩阵时，Pc p jieiej pijeie j P 如：a ai' jeie j，a ai' je jei , a (a)c
用上式可以证明当 T为对称张量时， 其左散度等于右散度
这两个梯度一般是不相 等的
不论是矢量a还是张量A，（矢量即为一阶张量）都可以 用算子作 •，，并
如：a为矢量的梯度， • a为矢量的散度 a ia jeie j • a ia jei • e j ai'i
上面可以看出 a即为二阶张量， • a为标量 算子作梯度时，张量增一阶 ，作散度减一阶
kij kst is jt js it
此外，
ij
,
ij
可以用矢量表示为：
k
ij ei • e j
ijk ei • (e j ek )
a • (b c) aibjckei • (e j ek ) ijk aibjck
a1 a2 a3
ijk aibjck b1 b2 b3
c1 c2 c3
( f • )g f • g ( f )g f g
上式应用如 r xiei，(a • )r a • r a
因为r eiei I ,为单位张量 ,注意， • r 3, r 0
对于矢量a,b, c,有（a • bc） (a) • bc c • a a • c ,作为标量微分算子，可以 任意挪移到作用向量上
张量的基本运算有： 张量与向量的点叉运算 张量与张量的点叉运算 张量之间的二重运算等等
a A b 点叉随便打，运算时拆开
A••B, A•B, A• , AB
eiej••ekes (ei • es )(ej • ek )