点集拓扑学拓扑知识点

第4章连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉

及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.

§ 4. 1连通空间

本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间（0, 1）和［1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1） U ［1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2），它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, 1）有一个凝聚点1在［1, 2）中；而对

于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用

术语来区别这两种情形.

定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果

（A B）（B A）

则称子集A和B是隔离的.

明显地，定义中的条件等价于A B 和B A 同时成立，也就是说，A

与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.

应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的，

而子集（0, 1）和［1 , 2）不是隔离的.

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个

无交的子集都是隔离的.

定义4.1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.

显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.

定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：

（1）X是一个不连通空间；

（2） X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= 和A U B = X成立；

（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= 和A U B = X成立；

（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.

证明（1）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得

A U

B = X,显然A n B=,并且这时我们有

B B X B （A B）（B A）（B B） B

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B

满足条件（2）中的要求.

（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有 A = B，和B= A，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要

求.

(3) 蕴涵(4).如果X 的子集A 和B 满足条件(3)中的要求，所以 A 、B 是开集， 则由A = B 和B= A 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此 A 、B 是X 中既开又闭的真(： A 、B 丰 ,A U B=X , • •• A 、B 丰X)子集，所以条件(4)成立.

(4)

蕴涵(1).设X 中有一个既开又闭的非空真子集

A .令B= A .则A 和

B 都是X 中的非空的闭子集， 它们是无交的并且使得 A U B=X .易见两个无交的闭子集必定是隔离的 (因为闭集的闭包仍为自己).因此(1)成立.

例4. 1 . 1有理数集Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任 何一个无理数r C R-Q ，集合(-8, r) n Q= (―oo, r] A Q 是子空间Q 中的一个既开又闭 的非空真子集.

定理4. 1. 2 实数空间R 是一个连通空间.

证明 我们用反证法来证明这个定理.

假设实数空间 R 是不连通空间.则根据定理 4. 1. 1,在R 中有两个非空闭集 A 和B

• , 一 一 .、 、 ,一 、一一 一 .— ，一…、一 / L 使得A n B= 和A U B = R 成立.任意选取a€ A 和b C B ，不失一般性可设 av b.令A =A

n [a,b],和B =B n [a,b].于是A 和目是R 中的两个非空闭集分别包含

和A U 〜=[a, b]成立.集合A 有上界b,故有上确界，设为

所以〜€ A ，并且因此可见 〜v b ，因为〜=b 将导致be An

L

= 」一 -、.•、 _____ ~ 兰 、 一―— 、 兰 .、 、 兰

此(b , b] B .由于B 是一个闭集，所以b C B . N 又导致b C A n B ,也与A n B = 矛盾.

定义4.1. 3设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间， 则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称 Y 是X 的一个不连通子集.

拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间

Y 的拓扑有关(即Y 的连通 与否与X 的连通与否没有关系.) .因此，如果Y Z X ,则Y 是X 的连通子集当且仅当 Y 是Z 的连通子集.这一点后面要经常用到.

定理4. 1. 3设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A , B Y .贝U A 和B 是子空间Y 中的 隔离子集当且仅当它们是拓扑空间 X 中的隔离子集.

因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在

Y 中的两个非空隔离子集 A 和B 使得A U B = Y(定义)当且仅当存在 X 中的两个非空隔离子集 A 和B 使得A U B = Y.

证明因为 (C Y (A) B) (C Y (B) A) ((C X (A) Y) B) ((C X (B) Y) A)

(C X (A) (Y B)) (C X (B) (Y A)) (C X (A) B) (C X (B) A)

因此根据隔离子集的定义可见定理成立.

定理4. 1. 4设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集.如果 X 中有隔离子集 A 和B 使 得Y A U B ,则或者 Y A,或者 Y B.

证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得 Y AUB ,贝U ((A Y) B Y) ((B Y) A Y)

(A Y B) (B Y A)

Y ((A

B) (B A) 这说明A n Y 和Bn Y 也是隔离子集.然而

a 和b,并且使得A n ~ ~ 一 ............

b .由于A 是一个闭集, 矛盾.因