电磁场与电磁波第三版 郭辉萍 第2章习题答案

（2-1-15）证明：
E dl
P


q 4 0 q


P
1 a R 2 a R dR R
1 4 0 R
第2章 静电场分析
这就是点电荷产生的电位。 上式中隐含无穷远处 电位为零。 将（2-1-4）写成如下形式：
q 1 E 4 R 0
z
＞0
电力线
y 零电位面
＜0
图2 - 9 电偶极子的电场线
第2章 静电场分析
2.2真空中静电场的基本方程
2.2.1 电通（量）和电通（量）密度 把一个试验电荷qt放入电场中， 让它自由移动， 作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动， 这个路线我们称之为力线（Line of Force）或通量线 (Flux Line)。
不难发现， 电位与电场强度有如下关系 E=-▽ φ （2-1-16）
第2章 静电场分析
如果电荷以体密度ρV(r′)分布于体积V内， 在式
（2-1-9）中， 将积分（对带撇的变量积分）与微分 （对不带撇的变量微分）符号互换， 得
1 E 4 0

V (r )
R
荷同性为斥力， 异性为吸力（如图2-1所示）， 表达式为
第2章 静电场分析
q1q2 q1q2 F12 a R R 2 3 4 0 R 4 0 R
F12 q2 R
（2-1-1）
q1
图2 - 1 两个点电荷的相互作用
第2章 静电场分析
2.1.2 电场强度
1. 点电荷的电场强度 设q为位于点S(x′, y′, z′)处的点电荷， 在其电场中点 P(x, y, z)处引入试验电荷qt， 如图2-2所示。 根据库仑 定律， qt 受到的作用力为F， 则该点处的电场强度 （Ｅlectric Field Intensity）定义为
（2-1-8）
第2章 静电场分析
下面我们来讨论分布电荷所产生的电场强度。 设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。 在V内取 一微小体积元dV′如图2-3所示， 其电荷量dq= ρV(r′) dV′， 我们将其视为点电荷， 则它在场点P(r)处产生的电场 为
dq R V (r ) R dE dV 3 3 4 0 R 4 0 R
第2章 静电场分析
第2章 静电场和恒定电场
2.1 电场强度与电位函数
2.2 真空中静电场的基本方程 2.3 电介质的极化与介质中的场方程 2.4 导体间的电容与电耦合 2.5 静电场的边界条件
2.6 恒定电场
习 题
第2章 静电场分析
2.1 电场强度与电位函数
2.1.1 库仑定律 库仑定律（Coulom's Law）是静电现象的基本实验定 律， 它表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间 的作用力：正比于它们的电荷量的乘积； 反比于它们之 两点电 间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；
第2章 静电场分析
图2 - 5 无限长线电荷的场
第2章 静电场分析
2.1.3 电位函数
在静电场中， 某点P处的电位定义为把单位正电荷 从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。 若正试 验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W， 则P 点处的电位为
Q W lim E dl P qt 0 q t
q l lim l 0 l
式中， Δq是长度元Δl上的电荷。
（2-1-6）
第2章 静电场分析
面电荷密度（Charge Areal Density）： 当电荷分 布在一个表面上时， 定义面电荷密度为单位面积上的 电荷
q S lim S 0 S
式中， Δq是面积元ΔS上的电荷。
得
第2章 静电场分析
因此， 式（2-1-2）又可以表达为
1 E 4 0 R q
（2-1-4）
当空间中同时有n个点电荷时， 场点的电场等于各点
电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和， 即
E=E1+E2+…+En=

i 1
n
1 4 0 Ri qi
V
dV
（2-1-17）
第2章 静电场分析
类似的方法可得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电位函 数（Electric Potential Function）的表达式分别为

1 4 0 1 4 0

S ( r )
S
l
R l ( r ) dl R
E E
1 4 0 1 4 0

S
l
1 R dS 3 S S (r ) R dS R 4 0 l (r ) 1 1 R dl 3 l l (r ) R dl R 4 0 1
S (r )
（2-1-11） 式（2-1-9）、 （2-1-10）和（2-1-11）称为电场强度的矢 量积分公式。 当我们已知电荷分布时， 就可由它们求得 其电场强度。
第2章 静电场分析
【例2-1】 有限长直线l上均匀分布着线密度为
ρl的线电荷, 如图2-4所示， 求线外一点的电场强度。
图2 - 4 有限长直线电荷的电场
R ( x x) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 。 由于
1 1 R 1 a R a R 2 3 R R R R R
（2-1-3）
第2章 静电场分析
（2-1-3） 证明（另一种方法）： 由于
1 1 R ( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
qd cos p ar 2 2 4 0 r 4 0 r
（2-1-22）
第2章 静电场分析
对式（2-1-20）取负梯度得电偶极子在P点处的电 场强度为
E
p 4 0 r
3
(ar 2 cos a sin )
(2 - 1 - 23)
第2章 静电场分析
（2-1-13）
第2章 静电场分析
当电荷不延伸到无穷远处时， 一般把电位参考点 Q选在无限远处， 这将会给电位的计算带来很大的方 便。 这时， 任意P点的电位为
E dl
P

（2-1-14）
将式（2-1-2）代入上式得点电荷的电位表达式为
1 4 0 R
q
（2-1-15）
第2章 静电场分析
1 1 ( ) =( a x + a y + a z ) y R x z R x x ' y y ' z z ' ay az = ax 3 3 R R3 R 1 = 3 [ a x （x x’）+ a y （y y’）+ a z （z z’）] R R 3 = R
第2章 静电场分析
等位体 E＝0
导体内
导体球
图2 - 7 带电导体球的场分布
第2章 静电场分析
2.1.4 电偶极子
电偶极子(Electric Dipole)是指相距很近的两个等值 异号的电荷。 设每个电荷的电量为q， 它们相距为d， 如图2-8 所示。 现在我们选用球坐标来求电偶极子在点P的电
位及电场。
（2-1-7）
第2章 静电场分析
P(r) R
dV
V
r
r
O
图2 - 3 体电荷产生的场
第2章 静电场分析
体电荷密度（Charge Volume Density）： 如果电 荷分布在一个体积空间内， 定义体电荷密度为单位体 积内的电荷
q V lim V 0 V
式中， Δq是体积元ΔV内所包含的电荷。
（2-1-5）
第2章 静电场分析
2. 分布电荷的电场强度
上述的分析， 我们假设电荷是集中在一个点上， 从宏观的角度讲， 电荷是连续的分布在一段线上、 一 个面上或一个体积内的， 因此， 我们先定义电荷分布。 线电荷密度（Charge Line Density）： 当电荷分布 在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时， 定 义线电荷密度为单位长度上的电荷
第2章 静电场分析
E E qt qt qt qt qt E E
E
qt E E
qt qt E
图2 - 10 孤立正电荷的电通
第2章 静电场分析
早期研究发现， 电通量有如下特性：
（1） 与媒质无关； （2） 大小仅与发出电通量的电荷有关； （3） 如果点电荷被包围在半径为R的假想球内， 则 电通量必将垂直并均匀穿过球面；
第2章 静电场分析
若把电荷放在不同的位置， 就能描绘出任意多条力线。 为了不使区域内被无数条力线塞满， 通常人为地规定 一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大 小， 于是说场线(Field Line)表示电通量(Electric Flux)。 虽然电通线实际上不存在， 但它们可以直观、 形象地 描绘电场的分布， 如图2-10所示。
第2章 静电场分析
体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为
E
1 4 0

V (r )
R
3
V
RdV
1 4 0

V
1 V (r ) dV R
第2章 静电场分析
用类似的方法可求得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电
场强度的表达式分别为 （2-1-10）
（4） 单位面积上的电通量， 即电通密度， 反比
于R2。
第2章 静电场分析
而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外， 也满足这些约束， 因此可以用电场强度定义电通密度 （Electric Flux Density） D为 D=ε0 E （2-2-1）
显然， 点电荷q在半径R处的电通密度为
q D aR 4R 2
根据点电荷电位的表达式， 电偶极子在P点的电 位为
q 1 1 q r1 r2 4 0 r2 r1 4 0 r1r2
第2章 静电场分析
Z P q r2

d
r r1 y
O
x
图2 - 8 电偶极子的场
第2章 静电场分析
当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小, 即 r>>d时， r1, r2, r三者近乎平行， 有 r2≈r – d/2 cosθ r1≈r + d/2 cosθ 得 r1-r2≈d cosθ
F qR E lim Fra Baidu bibliotek qt 0 q 4 0 R 3 t
（2-1-2）
第2章 静电场分析
z
( x, y, z )
源点
R r r
场点 ( x, y, z )
r
O x
r
y
图2 - 2 场点与源点
第2章 静电场分析
为了方便， 我们将观察点P称为场点， 其位置用不
带撇的坐标(x, y, z)或r来表示， 把点电荷所在的点S称 为源点， 其位置用带撇的坐标(x′, y′, z′)或r′来表示， 源 点到场点的距离矢量可表示为R=r-r′。 在直角坐标系中， R=ax(x-x′)+ay(y-y′)+az(z-z′)， 其大小为
r1r2≈r2
将其代入上式得电偶极子的电位表达式为
qd cos 4 0r 2
（2-1-20）
第2章 静电场分析
我们定义电偶极矩矢量(Dipole Moment Vector)p的 大小为p=qd， 方向由负电荷指向正电荷， 即 p=azqd 则P点的电位可以写成下列形式: （2-1-21）

S
q D dS 4

S
aR n q dS 2 R 4

S
d （2-2-4）
式中dΩ是表面d S在O点所张的立体角。
D的单位为C/m2（库仑/平方米）。
第2章 静电场分析
由矢量分析得： 穿过某个曲面 S的电通量定义为
Φ D dS
S
（2-2-3）
如果 D与d S方向相同， 则穿过曲面 S的电通量最大。
第2章 静电场分析
2.2.2 高斯定律
设在无限大真空中O点有一点电荷q， 以任意曲面 S包围该点电荷， 则穿出这个封闭曲面的电通量为
dS
（2-1-18）
（2-1-19）
式（2-1-17）至式（2-1-19）都是将参考点选在无穷远处。
第2章 静电场分析
【例2-2】 真空中一个带电导体球， 半径为a， 所
带电量为Q， 试计算球内外的电位与电场强度。
z P r R S (a, , )
dS
a
a
O
图2 - 6 孤立带电导体球的场