高中数学一轮复习等比数列概念与性质共44页文档

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2025高考数学一轮复习-4.3.1-4.3.2-第2课时-等比数列的性质【课件】

知识点 1 推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an＝__a_1_q_n－_1______， an＝___a_m_·__q_n_－_m____(m，n∈N*).
如何推导 an＝amqn－m? [提示] 由aamn＝aa11··qqmn－－11＝qn－m，∴an＝am·qn－m.
(2)在等比数列{an}中，a2，a16 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两个根，则
a2aa916的值为(
)
A．－ 6或 6
B．－ 2
C． 2
D． 2或－ 2
(2)D 等比数列{an}中，∵a2，a16 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两个根， ∴a2·a16＝2.又∵ a2 ·a16 ＝ a29 ＝2，∴a9＝± 2，∴a2aa916＝aa299 ＝a9＝± 2.故选 D.]
[解] (1)等比数列{an}中，因为 a2a4＝12，所以 a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以 a1a23a5＝14.
(2)由等比数列的性质知 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)] ＝log395＝10.
1.在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则 a9＝________． 9 [因为 a7＝a5q2，所以 q2＝32. 所以 a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]
知识点 2 “子数列”性质对于无穷等比数列{an}，其公比为 q，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为等__比__数列，首项为__a_k_＋_1___，公比为_q_；若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为等__比__数列，首项为_a_k__，公比为_q_k__．

高中数学一轮复习之等比数列概念

第1节等比数列概念【基础知识】 1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q-=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．【规律技巧】 1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列； (2)等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列； (3)通项公式法 n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 是等比数列． 2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为1a 和q 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式11n n a a q-=⋅及前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q-=-，共涉及五个量1,,,,n n a q n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1na S n =；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q；四个数成等比数列，一般设为33,,,a aaq aq q q. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 4. 等比数列的前n 项和公式若已知首项1a 和末项n a ，则11n n a a qS q-=-，或等比数列{a n }的首项是1a ，公比是q ，则其前n 项和公式为qq a S n n --=1)1(1.5. 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【典例讲解】【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝16，则a n ＝________．(3)在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________．【解析】(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，【答案】(1)B (2)2n －3 (3)6规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【变式探究】在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．【针对训练】1、对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a qa ⋅=⋅⋅⋅=⋅=所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.2、已知数列{}n a 是正项等比数列，若162,2432=+=a a a 则数列{}n a 的通项公式为（） A ．22-nB ．n-22C ．12-n D ．n2【答案】C3、已知数列{}n a 满足10a =，21a =，2132n n n a a a ++=-，则{}n a 的前n 项和n S = .【答案】21n n --【解析】∵2132n n n a a a ++=-,∴2112()n n n n a a a a +++-=-，∴2112n n n na a a a +++-=-，∴数列1{}n n a a +-是以1为首项，2为公比的等比数列，∴112n n n a a -+-=,∴0212a a -=，1322a a -=，2432a a -=，……，212n n n a a ---=，∴101211122222112n n n n a a -----=+++==-- , ∴121n n a -=-,∴01112(222)2112nn n n S n n n --=+++-=-=--- . 综合点评：等比数列的基本运算，与等比数列的判定，关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．在判断一个数列{}n a 是否为等比数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立1n a +与n a 的关系式或递推关系式，表示出1n na a +，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．4、在等比数列{}n a 中，公比16,17,1121==+>-m m a a a a q ，且前m 项和31m S =，则项数m 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B5、设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若，则下列式子中数值不能确定的是（） A【答案】D 【解析】试题分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．A 正确；解得：q=-2C 正确；B所以数值不能确定的是选项D ．【练习巩固】1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】因为a 2a 9＝a 1a 10＝27，所以log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3. 【答案】C2．记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝ ( )A ．256B ．81C ．16D ．1【解析】依题意得Ⅱ8＝(a 1a 8)(a 2a 7)(a 3a 6)(a 4a 5)＝(a 4a 5)4＝24＝16. 【答案】C3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝ ( )A.56B.65C.23D.32【解析】设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.【答案】D4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )69A．log371 B.2C．50 D．55。

2023版高考数学一轮总复习：等比数列及其前n项和课件文

• 5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a+3×2n+1,则a= -6
.

• 考向扫描
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 1. 典例 [2019全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足
a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
• (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
• 3.等比数列的通项公式及其变形
n-1
a
=
a
·
q
• 通项公式: n 1
,其中a1是首项,q是公比.
• 通项公式的变形:an=am·qn-m.
• 考点1 • 等比数列
• 4.等比数列与指数函数的关系
•
1 n
当q>0且q≠1时,an= ·q 可以看成函数y=cqx,其表示一个不为0的常数

与指数函数的乘积.因此等比数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的
• (2)求{an}和{bn}的通项公式.
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 方法技巧
等比数列的判定与证明常用的方法
定义法
等比中项法
通项
若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均为非零常数),
公式法
则{an}是等比数列
前n项和
若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为非零常数,q≠0且q≠1),
数列.
等比
注意当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,…不是等比数列
.
•
2 3
(3)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列.

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第6章数列第3节等比数列

a9= -√6 .
解析根据等比数列的性质得 a5a13=92 =6,所以 a9=±√6.又
a1+a17=a1(1+q16)=-6<0,所以 a1<0,所以 a9=a1q8<0,所以 a9=-√6.
考向2前n项和的性质
例4(1)(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,
考向1项的性质
例3(1)(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则
a7= -2
.
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
题组三连线高考
8.(2023·全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=( C )
15
A. 8
65
B. 8
C.15
D.30
解析设等比数列{an}的公比为 q,易知 q>0,且
51 (1-3 )
1-5
-4,又 a1=1,所以
1-
1-
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),
解得S6=7.故选A.
2 研考点精准突破
考点一等比数列基本量的运算
例1(1)(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,
设
1
1
1
1
n
cn=an-n+2+3 ,由本例(2)解析知 an=2 +n-2,∴cn=2+3n,

北师版高考总复习一轮数学精品课件第六章数列第三节等比数列

3
,易知
1 n
an- ×2 ≠0,
3
+1
=-1,即
=-1.

1
1
,故数列{b
n}是首项为 ,公比为-1
3
3
1 n 1
由(1)得,an-3×2 =3×(-1)n-1,即
的等比数列.
1 n
an=3[2 -(-1)n],则
1
Sn=a1+a2+a3+…+an= {(21+22+23+…+2n)-[(-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]}
n+1
2
an+n-4-3n+18
3
2
=- bn,
3
当 an-3n+21≠0,即 λ≠-18
+1
时,
=常数成立.

因此当 λ≠-18 时,数列{bn}是等比数列;
当 λ=-18 时,数列{bn}不是等比数列.
2
= (-1)n+1(an-3n+21)
3
规律方法
对点训练(2023·江西赣州高三月考)已知数列{an}满足an+1+an=2n,且
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=
a1qn-1
(a1≠0,q≠0);
(2)前n项和公式:
1 , = 1,
Sn=
1 (1- )
1-
1 , = 1,
, ≠ 1 且 ≠ 0或 Sn=
1 -
1-
, ≠ 1 且 ≠ 0.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,

高中数学一轮复习等比数列及数列综合：第2节等比数列性质

第2节等比数列性质【基础知识】 1.等比数列的性质：（1）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等比数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，m n m n q a a -=；（4）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =g g ,特殊地，错误!未找到引用源。

时，则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的等比中项. 也就是：ΛΛ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：44448444476444344421Λnn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列.如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a qa a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．【规律技巧】1. 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【典例讲解】【例1】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5.规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2【针对训练】1、设数列{}n a 是等比数列，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则6a =（）A ．16B ．32C ．42D ．48【答案】B【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故24q =，2q =，11a =，所以561232a =⨯=.2、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10512S S =，则155SS 为（） A ．12 B ． 13 C ． 23 D ． 34【答案】D3、已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中：（1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列；（2）2232()()n n n n n S S S S S -=-；（3）322()n n n n n S S q S S -=- 正确的结论为（）（A ）（1）（2）．（B ）（1）（3）．（C ）（2）（3）．（D ）（1）（2）（3）．【答案】C4、等比数列的各项均为正数，且299a a ⋅=，则＝（）A ．12B ．10C ．8D ．2＋【答案】B5、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为（） A ． B ．2 CD ．4 【答案】B【练习巩固】1．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( )A ．－15B ．－5C ．5D.15{}n a 3132310log log log a a a +++L 3log 5【解析】由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n＝1，解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】B2．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于 ( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1D.14(3n －1)【答案】B3．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m【答案】C4．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．【解析】∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2，若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【答案】125．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1·a 2n －1＝4n ，则数列{a n }的通项公式是______．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________． 7．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．。

2020届高考数学一轮复习通用版讲义等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n 项和一、基础知识批注——理解深一点1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(二)选一选1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2，则a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．8或－8D ．16或－16解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 3＝2，∴q 2＝2，∴a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.故选B.2．数列{a n }满足a 4＝27，a n ＋1＝－3a n (n ∈N *)，则a 1＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1D ．－3解析：选C 由题意知数列{a n }是以－3为公比的等比数列，∴a 4＝a 1(－3)3＝27，∴a 1＝27(－3)3＝－1.故选C. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2a 5＝2a 3,2a 4＋4a 7＝5，则S 5＝( ) A ．29 B ．31 C ．33D ．36解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 4＝2a 1q 2，2a 1q 3＋4a 1q 6＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.4．已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则q ＝________.解析：∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，① 又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3q2＋a 3q ＋a 3＝7，②联立①②，得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝2. 答案：25．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3； b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1考点一等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6.[解题技法]等比数列基本运算中的2种常用数学思想[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q ＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2 [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S2 019＝()A．22 018－12B．1－⎝⎛⎭⎫122 018C．22 019－12D．1－⎝⎛⎭⎫122 019解析：选A由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a24＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝12q3，故q＝2，所以S2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝()A．255 B．256C．511 D．512解析：选C设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q＝q(a1＋a3＋a5)＝q×21＝42，解得q＝2.又a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝a1×21＝21，解得a1＝1.所以S9＝a1(1－q9)1－q＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n}的公比为q，其前n项和S n<0，则()A．a1<0,0<q<1 B．a1<0，q>1C．a1>0,0<q<1 D．a1>0，q>1解析：选A∵S n<0，∴a1<0，又数列{a n}为递增等比数列，∴a n＋1>a n，且|a n|>|a n＋1|，则－a n>－a n＋1>0，则q＝－a n＋1－a n∈(0,1)，∴a1<0,0<q<1.故选A.7．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为________．解析：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2，所以S7＝a1(1－q7)1－q＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －110．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .答案：12n11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32，即a 5＝31.(2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n . B 级——创高分自选1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1. 2．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1003．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。

一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。

二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。

当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。

2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。

3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。

4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。

根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。

三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。

例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。

我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。

2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。

假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。

我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。

高考数学一轮总复习课件：等比数列

等比数列的性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 am·an＝___a_p·__aq_____． (2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S 奇·__q___． (3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成_等__比__数列，新公比q′＝__q_k___．
常用技巧
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝A·qn＋B，则A，B满足的关系式为__A__＋_B_＝__0___．
(2)三个数成等比数列可设三个数分别为
b q
，b，bq，四个数
成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为qb3，bq，bq，bq3.
1．(课本习题改编)(1)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于___－_2_4___．
则称数列{an}为等比数列． (2)通项公式an＝__a_1·__q_n－_1___＝am·__q_n_－m___ (q≠0)．
__n_a_1 _，q＝1， (3)前n项和公式Sn＝____a1_(1_1-_-qq_) _n ____，q≠1. (4)M，N同号时它们的等比中项为_±__M__N___．
满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( C )
A．4
5 B.2
C．2
1 D.2
解析
方法一：由题意，得
a1·a1q4＝16， a1q＝2，
解得
a1＝1， q＝2
或
aq1＝＝－－21，(舍去)．故选C.
方法二：a1a5＝a32＝16.
由an>0，得a3＝4，∴q＝aa23＝2.
3．(2020·课标全国Ⅰ，文)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3 ＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( D )

第03讲等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列，所以228x =⨯，解得4x =±；故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==．故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=．故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3，故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=，所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =．当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-．由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数．例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-，所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =．当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---，整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=，又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >，所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==，所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______．【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=；当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ，当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+，即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2．所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-，当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈，当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=，即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+，则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-，所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--，当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立，即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =，所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =；当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =，故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥，即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-，因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。

高三一轮复习等比数列课件

判断性质
根据通项公式判断等比数列的性质，如公比、项数等。
求解问题
利用通项公式解决等比数列相关的问题，如求和、判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8，则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都相等，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数）。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连续性。
04 等比数列在实际生活中的应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的公比，用a_1表示第一项，用n表示项数。

高考一轮复习理科数学课件等比数列的概念及基本运算

通过绘制等比数列的图像，可以更直观地了解放射性元素的衰变速度。
等比数列在解决实
04
际问题中应用
增长率问题建模
复合增长率计算
利用等比数列的求和公式，可以计算一定时期内的复合增长率，从而预测未来的发展趋势。
连续增长问题
当某个量按照固定的比例连续增长时，可以利用等比数列的通项公式求解任意时刻的数值。
02
通过设定方程，利用求和公式解出首项或公比。
等比数列在实际问题中的应用
03
如分期付款、复利计算等场景，可转化为等比数列求和问题进
行求解。
乘除法运算规则
等比数列的乘法运算
两个等比数列对应项相乘，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比之积。
等比数列的除法运算
一个等比数列除以另一个等比数列，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比之商（分母数列公比不能为0）。
生物学中细胞分裂模型
细菌繁殖
细菌在适宜的环境下会进行二分裂繁殖，即一个细菌分裂成两个细菌，然后这两个细菌再分别分裂成四个细菌，以此类推。这种繁殖方式可以用等比数列来描述。
放射性物质衰变
放射性物质会不断地放出射线并衰变成其他物质。在衰变过程中，放射性物质的原子数会按照固定的比例减少，这种变化也可以用等比数列来描述。
。
这个相等的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a, aq, aq^2, aq^3, ...，其中a是首项
，q是公比。
等比中项概念
01
等比中项是指在一个等比数列中，如果两项a和b的等比中项为c，则c的平方等于a和b的乘积。
02
等比中项的性质是：若a、G、b 依次为等比数列的三项，则G叫做的等比中项，且G^2=a+b（等比中项的平方等于前项与后项之积）。

高三第一轮复习等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用主干知识归纳等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）．方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4，则a 11－q ＝－76，故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )；当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )．【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件．答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】：由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________．【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12，故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列．其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误．答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4，则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)，则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)，则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。

高三一轮数学理复习等比数列的概念及基本运算讲课文档

第二十页，共34页a1a2＝2，a3a4＝32，即 a12q＝2，a21q5＝32，解得 a1＝1，q＝2. 所以 an＝2n－1. (2)因为 bn＝4n－1＋(n－1)，所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n－1＋(n－1)] ＝(1＋41＋42＋…＋4n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝4n－3 1＋n－21n.
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2.(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n －1)＋1＋am(n－1)＋1＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－ 1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( C )
q，由题意，
解得aq13＝＝1－2
a1＝－8 或q3＝－21
.
当aq13＝＝1－2 时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；
a1＝－8 当q3＝－12
时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×[1＋(－12)3]＝－7.
综上，a1＋a10＝－7，故选 D.
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解析：(1)证明：由 an＋1＝13an＋(12)n＋1，得 2n＋1an＋1－3＝23(2nan－3)，故数列{bn}是首项 b1＝2a1－3＝－43，公比为23的等比数列． (2)由(1)知：bn＝2nan－3＝(－43)·(23)n－1，所以 an＝3·(12)n－2·(13)n.
解析：(1)因为 Sn＝3Sn－1＋2，所以 Sn＋1＝3Sn－1＋2＋1，所以SSn－n＋1＋11＝3. 又因为 S1＋1＝a1＋1＝3，所以{Sn＋1}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列． (2)由(1)得 Sn＋1＝3×3n－1＝3n，所以 Sn＝3n－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－1. 又当 n＝1 时，a1＝2 也满足上式，所以，数列{an}的通项公式为 an＝2·3n－1.

高考数学一轮复习考点知识专题讲解40---等比数列

高考数学一轮复习考点知识专题讲解等比数列考点要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a nq1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 也是等比数列．2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.(×)(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于()A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案D解析设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案5解析∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a q ＋aq ＝13，a ·aq·aq ＝27，解得⎩⎨⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎨⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于() A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1 答案B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝ 2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案54或24解析由⎩⎨⎧a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎨⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝3，a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于() A．－2或32 B．－2或64C．2或－32 D．2或－64答案B解析∵数列{a n}为等比数列，a 2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，设数列的公比为q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，解得q＝－2或q＝1，当q＝－2时，则a6＝(－2)6＝64，当q＝1时，则a6＝－2.思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a n}的前n项和S n＝na1；当q≠1时，{a n}的前n项和S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.跟踪训练1(1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于()A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析a1＝2，a m＋n＝a m a n，令m＝1，则a n＋1＝a1a n＝2a n，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1. 解①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35.题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)·a n，设b n＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．解(1)由条件可得a n＋1＝2(n＋1)nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n＋1n＋1＝2a nn，即b n＋1＝2b n，又b1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以a n＝n·2n－1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n}满足a n＋2＝2a n＋1＋3a n.(1)证明：数列{a n＋a n＋1}为等比数列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{a n}的通项公式．(1)证明a n＋2＝2a n＋1＋3a n，所以a n＋2＋a n＋1＝3(a n＋1＋a n)，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1 ＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三等比数列的性质例3(1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于() A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012 答案C解析由题意得a5a2019＝3，根据等比数列性质知，a 1a2023＝a2a2022＝…＝a1011a1013＝a1012a1012＝3，于是a1012＝12 3，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023＝log3(a1a2a3 (2023)＝log311011233⎛⎫⋅⎪⎝⎭＝20232.(2)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40 B．60 C．32 D．50答案B解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝__________.答案7 3解析设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案2解析由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3(1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于()A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案C解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)已知函数f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2，若等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2023)等于()A.12B.20232 C ．2 D ．2023 答案D解析根据题意，等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1，则有a 2a 2022＝a 3a 2021＝…＝(a 1012)2＝1，若a 1a 2023＝1，则1a 1＝a 2023，则f (a 1)＋f (a 2023)＝f (a 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＝2，同理f (a 2)＋f (a 2022)＝f (a 3)＋f (a 2021)＝…＝f (a 1011)＋f (a 1013)＝2， f (a 1012)＋f (a 1012)＝f (a 1012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1012＝2，则f (a 1012)＝1，故f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2023)＝2×1011＋1＝2023.课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于()A.643B．－643C.323D．－323答案A解析设等比数列{a n}的公比为q，则a4＋a5a1＋a2＝q3＝8，所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，所以a1＝1 3，所以a7＝a1×q6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()A．2B．4C.92 D．6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5＝a24，∴a24＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.又∵a1＝1，a1a7＝a24＝4，∴a7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n＝32n－1＋r，则r的值为()A.13B．－13C.19D．－19答案B解析由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为()A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是() A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案D 解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列，故A 错误；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故B 错误；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故C 错误；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故D 正确．6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，向量m ＝(a 1，a 2)，n ＝(a 3，a 4)，则()A ．m ⊥nB ．m ∥nC ．(m ＋n )·(m －n )＝0D ．|m |＝|n | 答案B解析对于A ，m ·n ＝a 1a 3＋a 2a 4＝a 21q 2＋a 21q 4＝a 21q 2(1＋q 2)>0，A 错误；对于B ，∵a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1a 4－a 2a 3＝0，∴m ∥n ，B 正确；对于C ，D ，由(m ＋n )·(m －n )＝0得m 2＝n 2，即|m |＝|n |，又|m |2＝a 21＋a 22＝a 21＋a 21q 2＝a 21(1＋q 2)，|n |2＝a 23＋a 24＝a 23＋a 23q 2＝a 23(1＋q 2)，∴当a 21≠a 23，即q ≠±1时，|m |≠|n |，C ，D 错误．7．(2022·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案381解析由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)．若数列{b n }满足b n ＝a n －12.(1)求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明因为a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)，所以a n ＋1－12＝3a n －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12，又b n ＝a n －12，a 1＝32，所以b n ＋1＝3b n ，即b n ＋1b n＝3(n ∈N *)，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝3n －1，即a n －12＝3n －1，所以a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝30＋12＋31＋12＋…＋3n －1＋12＝30＋31＋…＋3n －1＋12×n＝1－3n 1－3＋n 2 ＝3n ＋n －12.10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎨⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210 ＝1994.11．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于() A ．(2＋2)[1－(2)n ] B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1) D.2(1－2n ) 答案C解析由{a n}为正项等比数列，且a2＝2，a3＝2a1，可得a1＝1，公比q＝2，所以数列{a n a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2(1－2n)1－2＝2(2n－1)．12．(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，a7－1a8－1<0.则下列结论正确的是()A．q>1B．a7·a9>1C．S n的最大值为S9D．T n的最大值为T7答案D解析∵a1>1，a7·a8>1，a7－1a8－1<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A错误；a 7a9＝a28<1，故B错误；∵a1>1,0<q<1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n无最大值，故C错误；又a7>1,0<a8<1，∴T7是数列{T n}中的最大项，故D正确．13．记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N*)，已知a m－1a m＋1－2a m＝0，且T2m－1＝128，则m ＝________.答案4解析∵a m－1a m＋1－2a m＝0，由等比数列的性质可得，a2m－2a m＝0，∵a m ≠0，∴a m ＝2.则T 2m －1＝a 1·a 2·…·a 2m －1＝(a 1a 2m －1)·(a 2a 2m －2)·…·a m＝a 2m －2m a m ＝a 2m －1m＝22m －1＝128，∴2m －1＝7，∴m ＝4.14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是()A ．k 可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案D解析对于A ，若k ＝0，则a n ＋2－a n ＋1＝0，分母不可能为0，k 不可能为0，错误；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解(1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

等比数列及其性质-人教版高中数学

知识图谱-等比数列的概念-等比数列的性质与判定-等比数列的前n项和等比数列的概念等比数列的通项公式等比中项等比数列的性质等比数列的判定等比数列的前n项和等比数列前n项和之比等比数列前n项和的变形第03讲_等比数列及其性质错题回顾等比数列的概念知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：二. 等比数列的通项公式由累积法推导等比数列的通项公式：，将这个式子的等号两边分别相乘得：，即.三. 等比数列的公比的公比为，由等比数列的通项公式易知：1. 对于任意正整数：，.2. 若是递增数列；是递减数列；是常数列．三点剖析一. 注意事项1. 等差数列公比时为摆动数列，符号正负相间，隔项符号一定相同；所以当给定数列某些项的值时，需要判断公比的符号，再确定数列的通项公式；2.等比数列的公比和各项都不为零.二. 方法点拨等比数列项数的设法1. 通项法：设数列的通项公式或.2. 对称法：当等比数列为的项数为奇数时，可设中间的一项为，再以公比为向两边分别设项：；当项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公比为向两边分别设项：三. 必备公式通项公式；公比题模精讲题模一等比数列的概念例1.1、如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（）A、b=3，ac=9B、b=-3，ac=9C、b=3，ac=-9D、b=-3，ac=-9例1.2、已知数列是等比数列，且，，则的公比为（）A、B、C、2D、例1.3、已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A、1+B、1-C、3+2D、3-2题模二等比数列的通项公式例2.1、已知等比数列{a n}为递增数列，且=a10，2(a n+a n+2)=5a n+1，则数列a n的通项公式a n=____．例2.2、数列的前项之和为则________.例2.3、下表给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（，，），则等于_____，（）．，，，…随堂练习随练1.1、公比为等比数列的各项都是正数,且,则（）.A、2B、4C、5D、7随练1.2、已知等比数列的前三项依次为，，，则______．随练1.3、在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是____．随练1.4、已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_______．等比数列的性质与判定知识精讲一. 等比中项如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.二. 等比中项的推广在等比数列中，如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，公比为，则有；若，则，也就是：；若，则；推广到三项，即，，，，，且；推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．三. 等比数列的性质1. 在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，为等比数列，公比为．2. 若均为等比数列，且公比分别为，则数列，，，也为等比数列，且公比分别为.三点剖析一. 方法点拨1. 等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；2. 等比数列与对数的结合等比数列中，若，则，相应的，，是等差数列，公差为.题模精讲题模一等比中项例1.1、若等比数列满足则___________.例1.2、公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A、1B、2C、4D、8例1.3、已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为____．题模二等比数列的性质例2.1、已知为等比数列,则（）B、A、C、例2.2、已知等比数列中，则的值为（）A、12B、10C、8D、e例2.3、已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A、a1+a3≥2a2B、+≥2C、若a1=a3，则a1=a2D、若a3＞a1，则a4＞a2题模三等比数列的判定例3.1、数列中，如果（），那么这个数列是（）A、公差为的等差数列B、公差为的等差数列C、首项为的等比数列D、首项为的等比数列例3.2、如果数列是等比数列，那么（）A、数列是等比数列B、数列是等比数列C、数列是等比数列D、数列是等比数列例3.3、下列一些关于数列的命题：①若既是等差数列，又是等比数列，则一定是常数数列；②若是等比数列，则数列一定也是等比数列；③若满足递推公式，则一定是等比数列；④若的前项和，则一定是等比数列．其中正确的有_____________．随堂练习随练2.1、已知为各项都是正数的等比数列，若，则（）A、B、C、D、随练2.2、在等比数列中，则（）A、B、C、或D、或随练2.3、已知等比数列满足，，且，则当时，（）A、B、C、D、随练2.4、在数列中，，且．（1）求，的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；随练2.5、已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．等比数列的前n项和知识精讲一. 等比数列的前项和公式．用错位相减法推导等比数列前项和公式：，等式两边同乘，并将等式左边每一项向后顺移一个位置得：，将这两式相减得：，从而得到等比数列的前项和公式；当时，.二. 等比数列前项和的性质等比数列的前项和可以构成一个等比数列，即，，成等比数列.公比为（为偶数时，）如下图所示：三. 等比数列的前项和公式与指数型函数1. 区别和联系（1）解析式都是指数型；定义域为（2）图像是指数型函数图像上一系列的定义域为点．2. 观察和得；相应的，当数列满足时为等比数列.3. 有指数型函数的性质可得：当时，递减有最大值，当时，递增有最小值；当时，递减有最大值，当时，递增有最小值．三点剖析一. 注意事项特别要注意等比数列前项和公式应分为与两类，当时，当时，，或.尤其，对于的等比数列，当时，，趋近于一个定值.二. 方法点拨对于题目中给出前几项和之间的关系，可以直接把所有都化为与的形式然后解方程，也可以进行等式恒等变形，利用，，成等比数列，直接解得，往往更为简单.题模精讲题模一等比数列的前n项和例1.1、设公比为的等比数列的前项和为，若则例1.2、等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1-2a n=0，则S5=____．例1.3、在等比数列中则（）A、B、C、D、题模二等比数列前n项和之比例2.1、设等比数列的前项和为若则（）B、A、C、例2.2、是等比数列，前项和为则____________.例2.3、设是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为则下列等式中恒成立的是（）A、X+Z=2YB、Y（Y-X）=Z（Z-X）C、Y2=XZD、Y（Y-X）=X（Z-X）题模三等比数列前n项和的变形例3.1、在等比数列中，，，则公比__________；_________．例3.2、设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（）A、B、C、D、随堂练习随练3.1、若等比数列满足，，则公比___________，前项和___________．随练3.2、设，则等于（）.A、B、C、D、随练3.3、在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A、2n+1-2B、3nC、2nD、3n-1随练3.4、设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列三个命题①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n=a n+1（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列；这些命题中，真命题的序号是____．随练3.5、设等比数列的前项和为若求数列的公比.随练3.6、已知是公比为2的等比数列，若，则______；______．自我总结课后作业作业1、在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A、33B、72C、84D、189作业2、已知数列1，a，9是正项等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则的值为____．作业3、已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A、B、C、D、2作业4、在3和一个未知数间添上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是_________．作业5、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列．作业6、已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A、5B、7C、6D、4作业7、在各项均为正数的等比数列中，若，则___________．作业8、已知数列的前项和为，且满足，则=_________；数列的前项和为_____________．设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是____．作业10、命题1：若数列的前项和，则数列是等比数列；命题2：若数列的前项和，则数列是等差数列；命题3：若数列的前项和，则数列既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）A、0个B、1个C、2个D、3个作业11、（Ⅰ）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（Ⅱ）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．作业12、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为_________，的值为__________．作业13、数列中，设数列的前项和为则_________.设首项为正数的等比数列，它的前项和为80，前项和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．。