等比数列的概念-公开课ppt课件
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《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
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• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
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• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列的概念PPT优秀课件
(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 （1） 首项
a n
a1
： 能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 （1） 首项
a n
a1
： 能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?
等比数列的概念及通项公式ppt课件
a与b的 等比 中项
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋ 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
又a1－1＝－2，
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
n
1
8
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
❖ 方法：累加法
等 a2-a1d
差 数 列
a3 -a2 d
a4 -a3 d
类比
……
+）an -an-1 d
累乘
等法
比
数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n-1
等差数列anan- 1d,n2
a2 a1d
归
a3 a2 d
(a1 d ) d
纳 法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d ) d
a…1 …3d
ana1(n-1)d
等比数列 anan-1q,n2
a2 a1q
a3
aa21qq2(a1q)q
a4 a3q (a1q2)q
a1q3
……
a a q n-1
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个 常数，且不能为0.
等比数列完整版课件PPT
通项 公式2
an
am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
布置作业
1.求数列an 的通项公式.
a1 =5，且2an1 3an.
2.已知数列an 为等比数列，
且a2Leabharlann 4, a51 2, 求an.
q3 27
q3
a1 1 a4 a1q3 27 an 3n1(n N*)
能力提升
2014理科全国卷Ⅱ
已知数列an满足a1 1, an1 3an 1.
证明an
1 2
是等比数列，并求
an
的通项公式。
证明：设an
1 2
bn
an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an 1
an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或
an an1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如
果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
①
1, 1 , 1 , 1;
②
248
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
二、新课探究
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q(q≠0) 表示.
等比数列的概念完整PPT课件
(1) 1，3，9，27，…
1. 各项不能为零,即 a n 0
2. 公比不能为零,即 q 0
(2) 1, 1, 1, 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
.
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(叠加法)
a2a1d
a3 a2 d a4…a3…d
(n-1)个 式子
an1an2 d
an an1 d
ana1(n1)d .
3
因此 a aq1638
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
.
3
课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是 4 ,公比是 1 ，求它的第1项；
9
3
解：设它的第一项是 a ，则由题意得 1
a1
( 1)51 3
4 9
解得， a1 3 6
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是 a ，公比是 q ，则由题意得 1 a1q10 ， a1q2 20
解得， a1 5 ， q 2 因此 a4 a1q340 答：它的第一项是5.，第4项是40.
等比数列的例题
例2 已知 an,bn是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
等比数列(公开课课件)
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，
等比数列的概念优秀课件
n a S 3 c， （1）、设数列 n 的前项和为 n 若a n 是等比数列，求 c 。
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d
a n 的前n项和
A
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d
a n 的前n项和
A
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
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，1 ，1 48
1Hale Waihona Puke ，16，…
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，… 3
等比数列概念
等比数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
等差数列
❖ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的 差 等于同一个常数，
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
3
12
课堂互动
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这
种物质是原来的 84% ，这种物质的半衰期为多长？（放射性物
质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期）
(2)一个等比数列中，a5 - a1 = 15, a4 - a2 = 6 ，求它的第3项；
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列. 6
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a
4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512 a32 124a3 512 0 a3 128或a3 4
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
(2) 1 , 1 , 1 , 1 , 3. 当q>0，各项与首项同号
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
性质
n + m = p + q(n, m, p, q ? N *)
公式
? an am = ap + aq
2
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
(1)
1 ，1 2
13
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
证明:设数列an 首项为a1,公比为q1;bn 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a1 q1n1 b1 q2n1与a1 q1n b1 q2n
即为 a1b1(q1q2 )n1与a1b1(q1q2 )n
an1 an
bn1 bn
a1b1(q1q2 )n a1b1(q1q2 )n1
q1q2 .它是一个与n无关的常数，
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 14
回顾小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前 概念 从第2项起,每一项与它前
一项的比等同一个常数
一项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零 性质 d可正可负,且可以为零
an a1 • qn1 通项 an a1 (n 1)d
an akqnk
通项 变形
(n, k N * )
an
ak
(n k)d
(n, k N *)
15
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
9
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N*)
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am和公
比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amqnm (n, m N * ) 10
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab
G ab
11
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
1
32
那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫
做等差数列的公差（d）。
4
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
方法二:(归纳法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d 7
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:累积法
方法二:归纳法
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
(n-1)个 式子
…a3 …
an q
a n 1
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
8
等比数列的通项公式
a1
等比数列 an ，首项为 ,公比为q,则通项公式为
an a1 • qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
(6) 0，0，0，0，0，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
5
对概念的更深理解
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an
(1) 1，3，9，27，…
郑蒲港二中高一数学组
1
旧知回顾
名称
等差数列
概念 常数 性质 通项 通项 变形
从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d) d可正可负,且可以为零
an = a1 + (n - 1)d
an = ak + (n - k)d (n, k ? N *)
中项 公式
2an = an- 1 + an+1(n ? 2)