等比数列概念课件
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高一数学 等比数列(课件) ppt课件
n1
(a1 0, q 0)
3、探究等比数列的图像
等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点 构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什 么结果？它的图像如何？
a n a1 q
n 1
（n≥2）
y a1 q q x (x N )
指数函数
由此可知等比数列 an 的图象是函数
07年广西高考(文科): 1.(第16题）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1， 2S2，S3成等差数列，则{an}的公比为 __ 。 2. （第21题）设{an}是等差数列， {bn}是等比数列， 且a1=b1=1 , a3+b5=21 , a5+b3=13. （Ⅰ）求{an}、 {bn}的通项公式； （Ⅱ）略
a1q 2 12 ① 3 a1q 18 ②
a4 18 2 q ① a1q 12 ② 方法2： a3 12 变式1.等比数列 ， a1 1, q 3, 求a8与an a中 n
变式2.等比数列
（3）思考消元方法。
， a中 n
a1 2, a9 32, 求q
5.看看高考(课后练习)
.
10
2.5 10 10 所以到第5代大约可以得到种子2.5 10 粒。
a1 120, q 120, a5 120120
51
例2(见教材例2)：一个等比数列第三项与第四项 分别是12与18，求它的第1项和第2项。
分析：方法1：
（1）如何将已知条件与要求的a1与q联系起来？ （2）列出方程：
等 比 数 列
第一课时
一、温故而知新
1、等差数列的定义： 2、等差数列性质：
温馨提示： 您是否还记得？
4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列， 那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数 列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
人教A版(2019)选择性必修第二册 4-3-1等比数列的概念 课件(53张)
他5年内每年末得到的本利和分别是
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)
析 (2)a2＋a5＝18，a3＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
由④÷③得 q＝21，从而 a1＝32.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，
又 an＝1，所以 32·12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
解： 设前三个数分别为a，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a， q
a＋ 由题意得 q
2aq－a
＝21，
a＋aq＝18，
解得 q＝2 或 q＝35.
当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18；
an a1q n1
当q=1时，这是一 个常数列， an ≠ 0。
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64, … (2) 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 (3)1，3，9，27，81，243，…
an 2 2n1 2n
（第一课时）
复习回顾
1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 符号表示：
2.等差中项的定义：
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b 的等差中项,
A ab. 2
3.等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d , n N 不完全归纳法、累加法
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
高中数学《等比数列的概念及通项公式》课件
[跟踪训练]
1．已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中项，
则 ab＝
()
A．6
B．－6
C．±6
D．±12
解析：依题意知，2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
∴a＝32，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：C
2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝________. 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
⑤
将④⑤代入②，得 a23＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
a1＋a3a5 ∴a3＝ a3＋a5 ，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)． 化简，得 a23＝a1·a5.又 a1，a3，a5 均不为 0，所以 a1，a3，a5 成等
比数列．
2．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn ＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n. 而bbn＋n 1＝121223－ －nn＝12－1＝2，又 b1＝122＝14. ∴数列{bn}是以14为首项，2 为公比的等比数列，通项公式 为 bn＝2n－3.
求等比数列通项公式的常用方法 (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法； (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最 后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练] 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
又∵an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2an＋3
4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2
不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3
不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13
a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零 公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b
a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件
4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
等比数列及其前n项和_课件
【训练2】 (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或 q＝32.
答案
3 2
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128， 前n项和Sn＝126，则公比q＝________.
(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝ ________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”； (2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a99.
为非零常
数且 n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是 不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为 常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
在解决有关等比数列的计算问题时，要 注意挖掘隐含条件，充分利用其性质 ，特别是性质 “若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算 量，提高解题速度．
【训练3】 (2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－ 1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．
A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3 解析 由等比中项知 y2＝3，∴y＝± 3， 又∵y 与－1，－3 符号相同，∴y＝－ 3，y2＝xz，
等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
等比数列的概念课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念
（第一课时）
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；3.体会等比数列与指数函数的关系。
1.等差数列的定义是什么？
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
解：（1）由题意得，2与8的等比中项为 .（2） 和 的等比中项为 .
不存在
4
练习2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
题型三：等比数列的判定方法
课堂小结
等差数列
等比数列
通项公式推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
公差公比
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
累乘法
新知探究
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
两个，需对和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
定义
a，A，b成等差数列
（第一课时）
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；3.体会等比数列与指数函数的关系。
1.等差数列的定义是什么？
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
解：（1）由题意得，2与8的等比中项为 .（2） 和 的等比中项为 .
不存在
4
练习2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
题型三：等比数列的判定方法
课堂小结
等差数列
等比数列
通项公式推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
公差公比
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
累乘法
新知探究
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
两个，需对和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
定义
a，A，b成等差数列
等比数列PPT课件
3. 当q＝1时, {an}是常数列; 4. 当q＜0时, {an}是摆动数列．
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思考:
通项为an＝2n－1的数列的图象与 函数 y＝2x－1的图象有什么关系？
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讲解范例:
例4.已知无穷数列，Fra bibliotek01
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
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判断等比数列的常用方法:
定义法 等比中项法 通项公式法
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讲解范例:
例3.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数 列，求证{an ·bn}是等比数列.
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思考:
1. {an}是等比数列，C是不为0的常数， 数列{can}是等比数列吗？
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讲解范例:
例1. 三个数成等比数列，它的和为14， 它们的积为64，求这三个数.
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等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
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等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
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复习引入
3. {an}成等比数列
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复习引入
3. {an}成等比数列
an1 q (n N , q 0)
an
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4. 求下面等比数列的第4项与第5项：
(1) 5, 15, 45,;
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思考:
通项为an＝2n－1的数列的图象与 函数 y＝2x－1的图象有什么关系？
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讲解范例:
例4.已知无穷数列，Fra bibliotek01
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
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判断等比数列的常用方法:
定义法 等比中项法 通项公式法
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讲解范例:
例3.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数 列，求证{an ·bn}是等比数列.
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思考:
1. {an}是等比数列，C是不为0的常数， 数列{can}是等比数列吗？
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讲解范例:
例1. 三个数成等比数列，它的和为14， 它们的积为64，求这三个数.
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等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
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等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
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3. {an}成等比数列
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复习引入
3. {an}成等比数列
an1 q (n N , q 0)
an
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4. 求下面等比数列的第4项与第5项：
(1) 5, 15, 45,;
等比数列的概念及基本运算ppt课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
第18页
(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
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项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0). an q (n 2且n N* ). 数学语言： an 1
an 1 或 q n N * an
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③a，a，a，…，a；
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零
常数
an amq
an a1 q
n 1
通项 公式
通项 * 变形 中项 公式
n m
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
ab 等差中项 A 2
(n, m N )
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
探究四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
2 1 3 1
解得，
3 q 2
2 1
16 ，a 3
1
因此
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
解：设它的第一项是
1 51 4 a1 ( ) 3 9
0.05 2 2 0.05 2 ……
是首项为0.05x2，
公比为2的等比数列
0.0等比数列的定义
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, , , , 2 4 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
应用示例
例1.在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求an ; (2)a3 12, a4 18, 求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项： （ 1） 2,a, 8； a 4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 9
应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是
那么
a,公比是q ，
1
a q 12 a q 18
n
a1 q b1 q2 与a1 q b1 q2 n1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为
n1 1
n1
n 1
n
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
五.回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q 0 )
数学无处不在
• 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对 折，再对折，…..对折一次厚度是多少？ 对折两次呢？对折50次后报纸厚多少？
• • • • 对折一次厚度 对折两次厚度 ……. 对折50次厚度
0.05 2 2 0.05 2 ……
0.05 2
50
发挥想象力，你觉得 0.05 2 m m大约 是多高？一本字典？一棵大树？一座高 楼？还是……..?
an 2n-1 ＿＿＿＿＿＿
an 8 7
1 n 上式还可以写成 a n 2 2
可见，这个等比数列 的图象都在函数
· · · ·
1 2 3
6
5
y1 2 2
x
4
3
2 1
0
的图象上，如右图所示。
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
4
n
变形结论:
在等差数列 a n 中
等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G ab
2
探究三：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.累乘法 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
(n, m N )
*
等比中项 G ab
谢 谢 ！
积跬步以致千里，积怠惰以致深渊
数学励志公式，用心看，你懂得
50
0.05 2 mm 5.6310 mm 5.6310 m
50 13 10
地球与月球的距离约为
8 3.8410 m
哇，太不可思议了
数学无处不在
• 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对 折，再对折，…..对折一次厚度是多少？ 对折两次呢？对折50次后报纸厚多少？
• • • • 对折一次厚度 对折两次厚度 ……. 对折50次厚度
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;b n 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
解得，
a1，则由题意得
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... × 非零的 ⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？常数列
探究二.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an 1 或 q n N * an
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③a，a，a，…，a；
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零
常数
an amq
an a1 q
n 1
通项 公式
通项 * 变形 中项 公式
n m
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
ab 等差中项 A 2
(n, m N )
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
探究四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
2 1 3 1
解得，
3 q 2
2 1
16 ，a 3
1
因此
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
解：设它的第一项是
1 51 4 a1 ( ) 3 9
0.05 2 2 0.05 2 ……
是首项为0.05x2，
公比为2的等比数列
0.0等比数列的定义
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, , , , 2 4 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
应用示例
例1.在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求an ; (2)a3 12, a4 18, 求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项： （ 1） 2,a, 8； a 4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 9
应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是
那么
a,公比是q ，
1
a q 12 a q 18
n
a1 q b1 q2 与a1 q b1 q2 n1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为
n1 1
n1
n 1
n
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
五.回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q 0 )
数学无处不在
• 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对 折，再对折，…..对折一次厚度是多少？ 对折两次呢？对折50次后报纸厚多少？
• • • • 对折一次厚度 对折两次厚度 ……. 对折50次厚度
0.05 2 2 0.05 2 ……
0.05 2
50
发挥想象力，你觉得 0.05 2 m m大约 是多高？一本字典？一棵大树？一座高 楼？还是……..?
an 2n-1 ＿＿＿＿＿＿
an 8 7
1 n 上式还可以写成 a n 2 2
可见，这个等比数列 的图象都在函数
· · · ·
1 2 3
6
5
y1 2 2
x
4
3
2 1
0
的图象上，如右图所示。
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
4
n
变形结论:
在等差数列 a n 中
等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G ab
2
探究三：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.累乘法 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
(n, m N )
*
等比中项 G ab
谢 谢 ！
积跬步以致千里，积怠惰以致深渊
数学励志公式，用心看，你懂得
50
0.05 2 mm 5.6310 mm 5.6310 m
50 13 10
地球与月球的距离约为
8 3.8410 m
哇，太不可思议了
数学无处不在
• 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对 折，再对折，…..对折一次厚度是多少？ 对折两次呢？对折50次后报纸厚多少？
• • • • 对折一次厚度 对折两次厚度 ……. 对折50次厚度
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;b n 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
解得，
a1，则由题意得
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... × 非零的 ⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？常数列
探究二.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1