5.章末复习课

(7)若
f(x)＝logax
(a>0，a≠1)，则
f′(x)＝ 1 xln
a
.
(8)若 f(x)＝ln x，则 f′(x)＝ 1 . x
2.导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的. (2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x).
②[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(.x)
第二章 变化率与导数
章末复习课
学习目标
1.理解导数的概念. 2.能利用导数的几何意义解决一些实际问题. 3.能熟练利用导数公式求导数.
问题导学
题型探究
达标检测
知识点一 导数的概念
定义式
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法
f′(x0)
实质 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬__时__变__化__率__
解 f′(x)＝3x2－1. (1)f′(1)＝2， 则在点(1,0)处的切线方程为y－0＝2(x－1). 即y＝2x－2. (2)由点(1,0)在f(x)＝x3－x图像上. ①当点(1,0)为切点时，由(1)可得切线方程为y＝2x－2. ②当点(1,0)不为切点时，设切点(x0，x03－x0)， 则 f′(x0)＝3x20－1. 由题意知xx030－－x10＝3x20－1.
类型一 导数的定义 例 1 已知一物体的运动方程是 s＝f(t)＝329t2＋＋32，t－0≤32t，≤t3>，3. 求此物体
分别在 t＝1 和 t＝4 时的瞬时速度.
解 当 t＝1 时，ΔΔst＝31＋Δt2＋2Δ－t 3×12＋2＝6＋3Δt. ∴f′(1)＝lim (6＋3Δt)＝6.
Δt→0
＝exln x＋exx.
1－sin x (3)y＝1＋cos x； 解 y′＝11＋－csoins xx′
1＋sin x′1＋cos x－1＋sin x1＋cos x′
＝
1＋cos x2
cos x1＋cos x＋sin x1＋sin x sin x＋cos x＋1
＝
1＋cos x2
＝ 1＋cos x2 .
知识点二 导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
＝f′(x0).
知识点三 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c是常数)，则f′(x)＝ 0 . (2)若f(x)＝xα(α是常数)，则f′(x)＝ αxα－1. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ cos x； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； (5)若f(x)＝ax (a>0，a≠1)，则f′(x)＝ axln a； (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex .
x5＋ x＋sin x
(4)y＝
x2
；
解
y＝x3＋x
3 2
＋sixn2
x，
y′＝3x2－
3 2
5
x22－
3 2
x
5 2
xcos ＋
x－2sin x3
x .
(5)y＝a3xcos(2x＋1). 解 (a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝[－sin(2x＋1)](2x＋1)′＝－2sin(2x＋1). y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝(3ln a)a3xcos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1) ＝a3x[3ln a·cos(2x＋1)－2sin(2x＋1)].
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－x，对于f(x)的图像是否存在与直线y＝－ x＋5平行的切线，若存在，求出切线方程. 解 设切点(x0，x30－x0)， 由题意知，f′(x0)＝3x02－1＝－1，
解得 x0＝0，则 f′(0)＝－1， ∴所求切线方程为 y＝－x.
类型三 导数的计算 例3 求下列函数的导数： (1)y＝lg x－x12； 解 y′＝(lg x－x12)′＝xln110＋x23. (2)y＝exln x； 解 y′＝(exln x)′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′
反思与感悟
(1)应用基本初等函数求导公式和法则，一定要熟记公式，透彻理解函数结构特 点，恰当选择公式，挖掘内在联系和规律. (2)对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形，常见形式有把乘积式展开，分式 形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，三角形式多为三角恒等变形. (3)复合函数的求导步骤
即当t＝1时，物体的瞬时速度为6.
当 t＝4 时，ΔΔst＝29＋34＋Δt－3Δ2－t [29＋34－32]＝6＋3Δt.
∴f′(4)＝lim (6＋3Δt)＝6.
Δt→0
即t＝4时物体的瞬时速度为6.
反思与感悟
对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容以及Δx→0的方式， 掌握用定义求导数的三个步骤，以及用定义求导数的一些简单问题.
③gfxx′＝
f′xgx－fxg′x g2x
.
3.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义： ①一般形式是 y＝f(ax＋b). ②可分解为 y＝f(u) 与 u＝ax＋b，其中u称为中间变量 . (2)求导法则：复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数 间的关系为：y′x＝ f′(u)φ′(x) .
跟踪训练 1
若 f′(x0)＝2，则lim k→0
fx0－k2k－fx0＝ －1 .
解析
fx0－k－fx0
lim
k→0
2k
＝－12lki→m0
f[x0＋－k]－fx0 －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1.
类型二 导数的几何意义 例2 已知函数f(x)＝x3－x，求函数图像. (1)在点(1,0)处的切线方程； (2)过点(1,0)的切线方程.
即 2x20－x0－1＝0， 得 x0＝－21或 1(应舍去). ∴切线方程为 y－0＝－41(x－1). 即 y＝－14x＋14， ∴所求切线方程为 y＝2x－2 或 y＝－41x＋14.
反思与感悟
求曲线的切线分两种情况 (1)求某点处的切线 ，该点在曲线上 ，且此点是切点，切线斜率k＝ f′(x0). (2)求过某点P的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0， y0)，求出切线斜率k＝f′(x0)，利用点斜式方程写出切线方程，再根据 点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程.