2014年全国数学竞赛初三决赛试题(含答案)
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2014年全国初中数学联赛决赛试题
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441
111211
()()()3x y x y x y
+
+=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）
A ．47
B ．59
C ．916
D ．12
25 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）
A
B
C
D
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）
A ．
12 B ．25 C ．23 D ．34
5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足3
3118x x +
=，则1
{}{}x x
+=
（ ）
A ．
12
B ．3
C ．1(32
D ．1
6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为
（ ）
A ．4-
B ．2
C ．1
1)2
D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，
111
1a b c b c a c a b
++=+-+-+-，则
abc =____．
2．使得不等式
98
1715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．
3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．
4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2
b a
c =，则
A D
b = ．
三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求
2211a b
+的值．
四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．
五、（本题满分25分）
设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3
3
3
3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P . （1）试判断1，2，3是否具有性质P ；
（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？
F
B D
2014年全国初中数学联赛决赛试题
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441
111211
()()()3x y x y x y
+
+=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答】 C.
由已知等式得2244
224423x y x y x y xy x y x y
++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.
若32()xy x y =-，则(32)(3
2)4x y +-=-.又,x y 为整数，
可求得12,x y =-⎧⎨=⎩
，或21.x y =-⎧⎨=⎩，
所以1x y +=或1x y +=-.
因此，x y +的可能的值有3个.
2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．
47 B ．59 C ．916 D ．12
25
【答】 A.
21
222()2()()4
t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++
212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734
()477x =--+，
易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4
7
.
3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）
A
B
C
D
【答】 B.
因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B
C B
D =，
所以BD =
DP =.
又易知△AEP ∽△BDP ，所以
AE PE
BD DP =
，从而可得PE AE BD DP =⋅=. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可
以作为三角形的三边长的概率是 （ ）