上海市上海中学高二第一学期期末数学试卷
沪教版高二上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
沪教版高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为．2．（4分）向量在上的投影为．3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于（用反三角函数式表示）．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为．二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为45° ．【解答】解：∵A（﹣1，2）、B（3，6），∴，由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线AB的倾斜角为45°．故答案为：45°．2．（4分）向量在上的投影为．【解答】解：向量在上的投影为＝＝，故答案为：3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于arctan3（用反三角函数式表示）．【解答】解：直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的斜率分别为﹣1 和2，设直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角为θ，则tanθ＝＝3，∴θ＝arctan3，故答案为：arctan3．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为﹣37．【解答】解：由中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，得，∴依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为：（﹣1）1+3＝＝﹣37．故答案为：﹣37．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝﹣6+4．【解答】解：以点为直径的圆的圆心为（0，），半径为||＝＝，故该圆的方程为x2+＝，即x2+y2﹣（5+）y﹣1+5＝0．而已知圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，故D＝0，E＝﹣5﹣，F＝﹣1+5，∴D+E+F＝﹣6+4，故答案为：﹣6+4．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝9．【解答】解：设动点P（x，y），∵点A（4，﹣2），动点P满足，∴（x，y）•（x﹣4，y+2）＝4，整理得：x2﹣4x+y2+2y＝4，即动点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝9．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是2047．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，a＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝7不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝15不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝31不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝63不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝127不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝255不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝511不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1023不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2047此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为2047．故答案为：2047．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝﹣5．【解答】解：要求，即求，而＝＝．故答案为：﹣5．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．【解答】解：由题意可类比得：平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．故答案为：||．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为200．【解答】解：等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，∴a3＝10×22＝40，S3＝＝70．则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，分类讨论：x≥70，y≥﹣40时，化为：x+y＝40．x＞70，y＜﹣40时，化为：x﹣y＝120．x＜70，y＞﹣40时，化为：x﹣y＝100．x＜70，y＜﹣40时，化为：x+y＝20．画出图形：所表示的图形正方形ABCD的面积＝＝200．故答案为：200．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．【解答】解：设P（x，y），以GH中点为原点，GH为x轴，GH的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵平面上线段|GH|＝4，三角形GPH上的顶点P永远保持，∴G（﹣2，0），H（2，0），＝2，y≠0，整理，得x2+y2﹣+4＝0，y≠0，圆心坐标（，0），半径r＝＝＝，∴三角形GPH面积的最大值S＝＝．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为1．【解答】解：点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，转换为参数方程为：（θ为参数），所以：，，，由于：，（2，1）＝x（0，2）+y（1+cosθ，sinθ），故：y＝，2x＝1﹣则：2x+y＝1+﹣，＝1+2（），设，故：t+t cosθ＝1﹣sinθ，t cosθ+sinθ＝1﹣t，所以：，由于，故：t≥0整理得：2x+y的最小值为1+2×0＝1．故答案为：1二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．【解答】解：∵直线m的一个法向量是，∴直线的一个方向向量为（3，2），∴直线的斜率为：．又∵直线过点A（4，5），∴直线的点方向式方程为：．故选：D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n ＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为，故选：D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要【解答】解：二元一次方程组存在唯一解充要条件为⇔a1b2≠a2b1，⇔向量与不平行，即列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的充要条件，故选：C．16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，令S＝x2dx＝x3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S＝．故选：B．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．【解答】解：由题意，可知：此二元一次方程组对应的系数行列式为：．①系数行列式＝0，即m2﹣4＝0，m＝±2．当m＝2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；当m＝﹣2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；②系数行列式≠0，即m2﹣4≠0，m≠±2．此时二元一次方程组有唯一解，此时唯一解为：．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知有：＝||||cos120°＝1×＝﹣1，又，则＝（3﹣）•（t+2）＝3t2﹣22+（6﹣t）＝4t﹣14，故答案为：＝4t﹣14，（2）由与的夹角为钝角，则＝4t﹣14＜0且≠λ，即t且t≠﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6）．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）由题意，可设点P的坐标（x，y），则有：（x，y）•＝（3，1），即：（x+3y，2x﹣y）＝（3，1）．∴，解得：．∴点P的坐标为：（）．（2）由题意，可假设这样的直线l存在，且直线方程为ax+by+c＝0．设直线l上任意一点P（x，y）经矩阵A变换后得到的点为P′（x′，y′）仍在该直线l上．则有：（x，y）•＝（x′，y′），即：（x+3y，2x﹣y）＝（x′，y′）．∴，∵任意一点P（x，y）在该直线l上，∴ax+by+c＝0．又∵点P′（x′，y′）仍在该直线l上，∴ax′+by′+c＝0．即：a（x+3y）+b（2x﹣y）+c＝0．整理，得：（a+2b）x+（3a﹣b）y+c＝0．∴，解得：．∴不存在这样的直线．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．【解答】解：（1）圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点，∴△AOB为等腰直角三角形，∴点O到直线AB的距离为，（2）证明：∵圆C上有两个动点S、T，使得，∴⊥，∴△SOT为等腰直角三角形，∴点O到直线ST的距离为，即点O到直线ST的距离为定值，（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，∴⊥，∴OU＝r，OV＝2，∴|UV|＝，∴d•＝2r，∴d＝，∴d＝f（r）＝，∴d＝f（r）＝2•＝2∈（0，2）．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．【解答】（1）由a1＝|OP1|2＝400，由S3＝（a1+a3）＝1140，得出a3＝360，联立方程：X2+Y2＝360，（X﹣10）2+Y2＝100，求得X＝18，Y＝±6，∴P3的坐标为（18，±6）（2）对于每个自然数k，1≤k≤n，|OP k|2＝（k﹣1）d，对于递增数列来说，最大值为k＝n时，（2r）2＝4r2∴|OP n|2＝（n﹣1）d＜4r2∴0＜d＜（3）由a1＝|OP1|2＝（a+r）2，∴OP k的最大值为a+r，最小值为|a﹣r|，∴d＜0∴a n＝|OP n|2＝（a+r）2+（n﹣1）d≥（a﹣r）2，得到0＞d≥﹣∵n≥3，∴＞0∴S n＝na2+在区间0＞d≥﹣递增，∴S n的最小值为n（a+r）2+＝n（a+r）2+（﹣）＝n（a2+r2）。
2021-2022学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）化简：i366+i384+i500=___ ．2.（填空题，4分）在极坐标系中，以点A(3，π2)、B（4，0）和极点O为顶点的三角形的面积为 ___ ．3.（填空题，4分）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工 ___ 人．4.（填空题，4分）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道、大观园、历史博物馆、练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 ___ 种安排方式（用数字作答）．5.（填空题，4分）在4个复数a+bi（a，b∈{1，2}）中随机取出两个不同的复数z、ω，则zω为纯虚数的概率为 ___ ．6.（填空题，4分）两个事件A、B满足P(A)=P(B)=13，且A和B独立，则P（A∪B）=___ ．7.（填空题，5分）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达90%，则全年级该题得分的标准差为 ___ ．8.（填空题，5分）参数方程{x=4cosθy=2sinθ（θ为参数）所表示的曲线为Γ，椭圆Γ'以Γ的焦点为顶点、且以Γ的其中两个顶点为焦点，则椭圆Γ'的标准方程为 ___ ．9.（填空题，5分）过点M（1，1）作斜率为12的直线与双曲线Γ：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则双曲线Γ的离心率为 ___ ．10.（填空题，5分）已知复数z1、z2满足|z1|=3，|z2|=1，若z1和z2的幅角之差为π3，则|z1−z2z1+z2| =___ ．11.（填空题，5分）对任意复数z1，z2，定义z1∗z2=z1z2，其中z2是z2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下结论：① （z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）；② z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）；③ （z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④ z1*z2=z2*z1．则其中正确结论的序号为 ___ ．12.（填空题，5分）已知平面上两个点集M={（x，y）||x+y+1|≥ √2(x2+y2)，x，y∈R}，N={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1，x，y∈R}．若M∩N≠∅，则a的取值范围是___ ．13.（单选题，5分）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z-3|=|z-i|，则动点Z的轨迹为（）．A.直线B.线段C.两条射线D.圆14.（单选题，5分）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（）A.事件A发生一定导致事件C发生B.事件B发生一定导致事件C发生C.事件A发生不一定导致事件C发生D.事件C发生不一定导致事件B发生15.（单选题，5分）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m千米，距地球表面最远点的距离为n千米，地球可近似地看作一个半径为R千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（）千米．A.m+n+2RB. 2√(m+R)(n+R)C. m+n+2R2D. √(m+R)(n+R)16.（单选题，5分）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A到B，乙从点C到D，且每人每次都只能向上或向右走一格．则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（）A. 37B. 57C. 514D. 132117.（问答题，14分）“FMC”是由复旦大学附属中学联合浦东分校、青浦分校、复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长、或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现将某次参加“FMC”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组．各小组的小长方形的高的比为1：3：6：4：2，第五组的频数为12． 请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题： （1）该样本的容量是多少？（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率； （3）该样本的第75百分位数在第几组中？18.（问答题，14分）已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-4a+4=0（a∈R ）在复数范围内的两根分别为α、β．（1）若该方程没有实根，求实数a 的取值范围；并在复数范围内对x 2-2ax+a 2-4a+4进行因式分解；（2）若|α|+|β|=3，求实数a 的值．19.（问答题，14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知两定点A （1，0）、B （0，-1），动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（m-1） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m∈R ）．当m 发生变化时，动点P 的轨迹记为L ．（1）求轨迹L 的方程；（2）若L 与圆C ：x 2+y 2-ax+2ay-1=0交于D 1、D 2两点，求弦D 1D 2长的最小值．20.（问答题，16分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，满足|z+5|-|z-5|=2a （a ＞0）的复数z=x+yi （x ，y∈R ）对应的动点P （x ，y ）的轨迹记为Γ． （1）若Γ为双曲线，求该双曲线的焦距和a 的取值范围；（2）若a=1，且直线l 1：y=x+1与Γ交于A 、B 两点，求△OAB 的面积S △OAB ；（3）若a=3，过点M （0，2）的直线l 2与Γ有且仅有一个公共点，求l 2与Γ的公共点坐标．21.（问答题，18分）给出如下的定义和定理：定义：若直线l 与抛物线Γ有且仅有一个公共点P ，且l 与Γ的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线Γ相切，公共点P 称为切点．定理：过抛物线y 2=2px 上一点（x 0，y 0）处的切线方程为y 0y=px 0+px ． 完成下述问题：如图所示，设E 、F 是抛物线Γ：y 2=2px （p ＞0）上两点．过点E 、F 分别作抛物线Γ的两条切线l 1、l 2，直线l 1、l 2交于点C ，点A 、B 分别在线段EC 、CF 的延长线上，且满足 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ＞0． （1）若点E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，用y 1、y 2和p 表示点C 的坐标； （2）证明：直线AB 与抛物线Γ相切；（3）设直线AB 与抛物线Γ相切于点G ，求 S△EFG S △ABC．2021-2022学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）化简：i366+i384+i500=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据虚数单位i，以及指数的运算即可求出．【解答】：解：∵i2=-1，∴i3=-i，i4=1∴i366+i384+i500=（i4）91•i2+（i4）96+（i4）125=-1+1+1=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了复数的运算，属于基础题．2.（填空题，4分）在极坐标系中，以点A(3，π)、B（4，0）和极点O为顶点的三角形的面2积为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：首先把极坐标在转换为直角坐标，进一步求出三角形的面积．)转换为直角坐标为A（0，3），【解答】：解：点A(3，π2×3×4=6．故S△AOB=12故答案为：6．【点评】：本题考查的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.（填空题，4分）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取一个容量为40的样本，用分层抽样法应抽取50岁以上年龄段的职工 ___ 人．【正确答案】：[1]8【解析】：直接利用饼状图的百分比的应用求出结果．【解答】：解：根据饼状图：50岁以上的职工人数占20%，所以40×20%=8．故答案为：8．【点评】：本题考查的知识要点：饼状图，主要考查学生的视图能力，属于基础题．4.（填空题，4分）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道、大观园、历史博物馆、练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 ___ 种安排方式（用数字作答）．【正确答案】：[1]20160【解析】：分两步，先从7名老师中选取4人，分配到4组学生中，再分配到4处景点，根据分步计数原理可得．【解答】：解：先从7名老师中选取4人，分配到4组学生中，再分配到4处景点，故有A74A44=20160种．故答案为：20160．【点评】：本题考查了分步计数原理，考查了运算求解能力，属于基础题．5.（填空题，4分）在4个复数a+bi（a，b∈{1，2}）中随机取出两个不同的复数z、ω，则zω为纯虚数的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：基本事件总数n= C42 =6，利用列举法求出zω为纯虚数包含的基本事件有2个，由此能求出zω为纯虚数的概率．【解答】：解：4个复数a+bi（a，b∈{1，2}）中随机取出两个不同的复数z、ω，基本事件总数n= C42 =6，zω为纯虚数包含的基本事件有（1+2i，2+i），（1+i，2+2i），共2个，∴zω为纯虚数的概率P= 26 = 13．故答案为：13．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，4分）两个事件A、B满足P(A)=P(B)=13，且A和B独立，则P（A∪B）=___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用相互独立事件的概率公式化简即可求解．【解答】：解：两个事件A、B满足P(A)=P(B)=13，且A和B独立，则P（A∪B）=P（A）×P（B）= 13×13=19，故答案为：19．【点评】：本题考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）某次高一年级数学期末考试的填空题第六题，答对得4分，答错得0分，全年级480人的正确率高达90%，则全年级该题得分的标准差为 ___ ．【正确答案】：[1]1.2【解析】：根据题意，分析可得全年级中得4分的人数，进而求出其平均数和方差，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，全年级480人的正确率高达90%，即得4分的有480×90%=432人，其余48人的分为0，则得分的平均数x = 432×4480=3.6，则全年级该题得分的方差S2= 1480[（4-3.6）2×432+（0-3.6）2×48]=1.44，则其标准差为1.2；故答案为：1.2．【点评】：本题考查方差、标准差的计算，注意求出数据的平均数，属于基础题．8.（填空题，5分）参数方程{x=4cosθy=2sinθ（θ为参数）所表示的曲线为Γ，椭圆Γ'以Γ的焦点为顶点、且以Γ的其中两个顶点为焦点，则椭圆Γ'的标准方程为 ___ ．【正确答案】：[1] y 216+x212=1【解析】：由已知椭圆的参数方程求得普通方程，进一步求出顶点与焦点坐标，结合题意可得椭圆Γ'的焦点在y 轴上，得到b 与c 的值，可得a 的值，即可得到椭圆Γ'的标准方程．【解答】：解：由 {x =4cosθy =2sinθ （θ为参数），得 x 216+y 24=1 ，则椭圆Γ的两个焦点为（-2 √3 ，0），（2 √3 ，0）， 四个顶点分别为（±4，0），（0，±2），由题意可知，椭圆Γ'的焦点为（0，±2），短轴的两个顶点坐标为（ ±2√3 ，0）， 可得椭圆Γ'是焦点在y 轴上的椭圆，且b=2 √3 ，c=2． ∴a 2=b 2+c 2=12+4=16．则椭圆Γ'的标准方程为 y 216+x 212=1 ．故答案为： y 216+x 212=1 ．【点评】：本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的几何性质与椭圆方程的求法，是基础题． 9.（填空题，5分）过点M （1，1）作斜率为 12 的直线与双曲线 Γ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为 ___ ． 【正确答案】：[1] √62【解析】：根据已知条件，利用“点差法”和双曲线的性质，即可求解．【解答】：解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵A ，B为双曲线 Γ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）的两点，∴ {x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减，化简整理，可得 y 1−y2x 1−x 2•y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2∵M （1，1）为AB 的中点，且直线AB 斜率为 12 ， ∴ 12×22 = b 2a 2 ，∴则双曲线Γ的离心率为e= √1+b 2a 2 = √62． 故答案为． √62．【点评】：本题主要考查“点差法”和双曲线的性质，考查了转化思想，属于中档题．10.（填空题，5分）已知复数z1、z2满足|z1|=3，|z2|=1，若z1和z2的幅角之差为π3，则|z1−z2z1+z2| =___ ．【正确答案】：[1] √9113【解析】：由已知结合复数的几何意义及余弦定理即可求解．【解答】：解：如图，△OAC中，OA=|z1|=3，OC=|z2|=1，∠AOC= π3，以OA，OC为邻边作▱OABC，由余弦定理得，|CA|=|Z1-Z2|=| √32+12−2×1×3×12= √7，|OB|=|Z1+Z2|= √32+12−2×1×3×(−12) = √13，所以|z1−z2z1+z2| = √7√13= √9113．故答案为：√9113．【点评】：本题主要考查了复数的几何意义及余弦定理的应用，属于中档题．11.（填空题，5分）对任意复数z1，z2，定义z1∗z2=z1z2，其中z2是z2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下结论：① （z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）；② z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）；③ （z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④ z1*z2=z2*z1．则其中正确结论的序号为 ___ ．【正确答案】：[1] ① ②【解析】：根据已知的新定义对应各个项逐个判断即可求解．【解答】：解：① （z1+z2）*z3=（z1+z2）z3 =z 1z3+z2z3，而（z1*z3）+（z2*z3）=z 1z3+ z 2z3，故① 正确，② z1*（z2+z3）=z1（z2+z3）=z 1(z2+z3）=z 1z2+z1z3，（z1*z2）+（z1*z3）=z 1z2 +z 1z3，故② 正确，③ （z1*z2）*z3=z 1z2z3，z1*（z2*z3）=z 1z2z3 =z 1z2z3，故③ 错误，④ z1*z2=z 1z2，z2*z1=z 2z1，故④ 错误，故答案为：① ② ．【点评】：本题考查了新定义的应用，考查了学生的理解能力以及运算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）已知平面上两个点集M={（x，y）||x+y+1|≥ √2(x2+y2)，x，y∈R}，N={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1，x，y∈R}．若M∩N≠∅，则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1- √6，3+ √10 ]【解析】：判断集合M的点集，以及集合N的点集，利用函数与方程的特征，求出方程的解，然后判断a的范围即可．【解答】：解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x+y+1=0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以（a，1）为中心的正方形及其内部的点集（如图）．考察M∩N=∅时，a的取值范围：令 y=1，代入方程|x+y+1|≥ √2(x2+y2)，得 x2-4x-2=0，解出得 x=2± √6．所以，当 a＜2−√6−1=1−√6时，M∩N=∅．… ①令 y=2，代入方程|x+y+1|≥ √2(x2+y2)，得x2-6x-1=0，解出得 x=3± √10．所以，当 a ＞3+√10时，M∩N=∅．… ②因此，综合① 与② 可知，当 1- √6≤a≤3+ √10，即a∈[1- √6，3+ √10 ]时，M∩N≠∅．故答案为：[1- √6，3+ √10 ]．【点评】：本题考查集合的交集的求法，函数的零点以及函数与方程的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．13.（单选题，5分）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z-3|=|z-i|，则动点Z的轨迹为（）．A.直线B.线段C.两条射线D.圆【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】：解：z=x+yi（x，y∈R），∵|z-3|=|z-i|，∴|x-3+yi|=|x+（y-1）i|，即（x-3）2+y2=x2+（y-1）2，化简整理可得，x-3y+4=0．故动点Z的轨迹为直线．故选：A．【点评】：本题主要考查复数模公式，属于基础题．14.（单选题，5分）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（）A.事件A发生一定导致事件C发生B.事件B发生一定导致事件C发生C.事件A发生不一定导致事件C发生D.事件C发生不一定导致事件B发生【正确答案】：D【解析】：把事件A，B，C的关系用韦恩图表示，利用数形结合对应各个选项即可判断求解．【解答】：解：由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图事件A，B，C用集合表示：则选项A，B正确，事件A表示集合A以外的，包含部分集合B与集合C，则C正确，事件C表示集合C以外的部分，不包含集合A，B，故D错误，故选：D．【点评】：本题考查了随机事件的包含关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 15.（单选题，5分）2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m 千米，距地球表面最远点的距离为n 千米，地球可近似地看作一个半径为R 千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（ ）千米．A.m+n+2RB. 2√(m +R )(n +R )C.m+n+2R2D. √(m +R )(n +R ) 【正确答案】：B【解析】：由题意可得a+c ，a-c 的值，求出a ，c 的值，进而求出b 的值，即求出短轴长2b 的值．【解答】：解：由题意可得 {m +R =a −cn +R =a +c可得a= m+n+2R 2 ，c= n−m 2 ，所以短轴长2b=2 √a 2−c 2 =2 √(m+n+2R 2)2−(n−m 2)2=√(m +m +2R +n −m )•(m +n +2R −n +m ) =2 √(m +R )(n +R ) ， 故选：B ．【点评】：本题考查椭圆的定义的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格．则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（ ） A. 37 B. 57C. 514D. 1321【正确答案】：C【解析】：先求出甲从点A到B，乙从点C到D总的路径的对数，再计算甲从点到到B，乙从点C到D的相交的路径的对数，其等于甲从点A到D，乙人点C到B相交的路径的对数，进而可得甲、乙行走路线没有公共点的路径的对数，再利用古典概型概率率计算公式求解即可．【解答】：解：首先考虑甲从点A到B，乙从点C到D总的路径的对数，甲从点A到B，需要向上走4步，向右走4步，共8步，∴甲从点A到B有C84C44种走法，乙从点C到点D，需要向上走4步，向右走4步，共8步，∴乙从点到D有C84C44种走法，由分步乘法计数原理得：甲从点A到B，乙从点C到D，有C84C44C84C44 =4900种方法，下面计算甲从点A到B，乙从点C到D的相交路径的对数，证明：甲从点A到B，乙从点C到D相交路径的对数等于甲从点A到D，乙从点C到B相交路径的对数，事实上，对于甲从点A到B，乙从点C到B的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如图1，设从左到右，从小到上的第一个交点为P，如图2，实线路径表示甲从A到B的路径，虚线路径表示乙从点C到D的路径，将P点以后的实绩路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点A到D，乙从点C到B的相交路径，如图3，反之，对于甲从点A 到d ，乙从点C 到B 的任意一组相交路径，也都可能用同样的方法将之变换成甲从点A 到B ，乙从点C 到D 的一组相交路径， 即这两者之间的相交路径是一一对应的，∵甲从点A 到D ，乙从点C 到B 的任意一组路径都是相交路径， ∴甲、乙行走的没有公共点的有4900-3150=1750种方法， 甲、乙的行走路线没有公共点的概率为P= 17504900 = 514． 故选：C ．【点评】：本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是难题．17.（问答题，14分）“FMC”是由复旦大学附属中学联合浦东分校、青浦分校、复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长、或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现将某次参加“FMC”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组．各小组的小长方形的高的比为1：3：6：4：2，第五组的频数为12． 请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题： （1）该样本的容量是多少？（2）成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率； （3）该样本的第75百分位数在第几组中？【正确答案】：【解析】：（1）首先求出第五组的频率，再根据频数÷样本容量=频率即可求出结果． （2）根据频率分布直方图分析即可得解． （3）首先求出各组的频率，即可判断．【解答】：解：（1）由题意可知第五组的频率为 21+3+6+4+2 = 18 ． ∴样本的容量为1218=96．（2）根据频率分布直方图可知，成绩落在[70.5，80.5）的人数最多，频率为 61+3+6+4+2 = 38 ． （3）依题意可得[50.5，60.5）的频率为 11+3+6+4+2 = 116 ，[60.5，70.5）的频率为 31+3+6+4+2 =316 ，[70.5，80.5）的频率为 61+3+6+4+2 = 616 = 38 ，[80.5，90.5）的频率为 41+3+6+4+2 = 416 = 14， ∵116+316+38 =0.625＜0.75，116+316+38 +14=0.825＞0.75，∴该样本的第75百分位数在第4组中．【点评】：本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的分布，属于基础题． 18.（问答题，14分）已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-4a+4=0（a∈R ）在复数范围内的两根分别为α、β．（1）若该方程没有实根，求实数a 的取值范围；并在复数范围内对x 2-2ax+a 2-4a+4进行因式分解；（2）若|α|+|β|=3，求实数a 的值．【正确答案】：【解析】：（1）Δ=（-2a ）2-4×1×（a 2-4a+4）＜0可求得a 取值范围，在复数范围内写出两根然后进行因式分解；（2）把两个复数根代入|α|+|β|=3可求得a 值．【解答】：解：（1）关于x 的方程x 2-2ax+a 2-4a+4=0（a∈R ）中Δ=（-2a ）2-4×1×（a 2-4a+4）＜0， 解得a∈（-∞，1）； 解得a∈（-∞，1）；其在复数范围内的两根为 2a±√(−2a )2−4×1×(a 2−4a+4)2=a±2 √1−a i ，∴x 2-2ax+a 2-4a+4=（x-a-2 √1−ai ）（x-a+2 √1−ai ）；（2）∵|α|+|β|=3，∴2 √a 2+4(1−a ) =3，解得a= 12 或 72 （舍去）． 故实数a 的值为 12 ．若Δ=（-2a ）2-4×1×（a 2-4a+4）=16（a-1）≥0，解得a∈[1，+∞），方程根为a±2 √a −1 ＞0，又∵|α|+|β|=3，∴a+2 √a −1 +a-2 √a −1 =2a=3，解得：a= 32 ． 综上，a 的取值为 12 或 32 ．【点评】：本题考查复数运算，考查数学运算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知两定点A （1，0）、B （0，-1），动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（m-1） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m∈R ）．当m 发生变化时，动点P 的轨迹记为L ．（1）求轨迹L 的方程；（2）若L 与圆C ：x 2+y 2-ax+2ay-1=0交于D 1、D 2两点，求弦D 1D 2长的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）写出P 点的坐标，消去参数m 可得P 点的轨迹方程；（2）写出弦长关于参数a 的表达式，根据函数关系可以求得弦D 1D 2长的最小值．【解答】：解：（1）因为A （1，0）、B （0，-1），动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（m-1） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m∈R ），所以 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，0)，(m −1)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1−m) ， 所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，1−m) ， 设P （x ，y ），即 {x =my =1−m′ 两式相加得，x+y=1， 即轨迹L 的方程为：x+y-1=0； （2）将圆方程化为标准方程为： (x −a 2)2+(y +a )2=5a 24+1，a ∈R ，圆心为 (a2，−a) ，半径 r =√5a 24+1 ， 圆心到直线的距离 d =|a 2−a−1|√2=|a 2+1|√2d 2=a 24+a+12，所以 12D 1D 2=√r 2−d 2=√5a 24+1−a 24+a+12=√9a 28−a 2+12，当 a =29时， (12D 1D 2)min=√118−218+918=23 ，所以弦D 1D 2长的最小值为 43 ．【点评】：本题考查了动点的轨迹方程，与圆有关的最值问题，属于中档题．20.（问答题，16分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，满足|z+5|-|z-5|=2a （a ＞0）的复数z=x+yi （x ，y∈R ）对应的动点P （x ，y ）的轨迹记为Γ． （1）若Γ为双曲线，求该双曲线的焦距和a 的取值范围；（2）若a=1，且直线l 1：y=x+1与Γ交于A 、B 两点，求△OAB 的面积S △OAB ；（3）若a=3，过点M （0，2）的直线l 2与Γ有且仅有一个公共点，求l 2与Γ的公共点坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由|z+5|-|z-5|=2a （a ＞0），推出Γ表示的几何意义为的复数z=x+yi （x ，y∈R ）对应的动点P （x ，y ）到F 1（-5，0），F 2（5，0）距离之差为2a ，若Γ为双曲线，则0＜2a ＜10，解得a 的取值范围，双曲线的焦距．（2）当a=1时，由（1）知Γ为双曲线，写出方程为x 2- y 224 =1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 1与双曲线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得弦长|AB|，点O 到直线l 1的距离d ，即可得出S △OAB = 12 |AB|•d ．（3）当a=3时，由（1）知Γ为双曲线，写出Γ的方程，分两种情况： ① 当直线l 2与双曲线Γ相切时， ② 当直线l 2与双曲线Γ的渐近线平行时，分析l 2与Γ的公共点坐标，即可得出答案．【解答】：解：（1）因为 || z+5|-|z-5 || =2a （a ＞0），所以Γ表示的几何意义为的复数z=x+yi （x ，y∈R ）对应的动点P （x ，y ）到F 1（-5，0），F 2（5，0）距离之差为2a ，若Γ为双曲线，则0＜2a ＜10，解得0＜a ＜5， 双曲线的焦距为|F 1F 2|=10．（2）当a=1时，由（1）知Γ为双曲线，且2c=10， 所以a=1，c=5， 所以b 2=c 2-a 2=24， 它的方程为x 2-y 224=1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立 {y =x +1x 2−y 224=1，得23x 2-2x-25=0，所以x 1+x 2= 223 ，x 1x 2=- 2523 ， 所以|AB|= √1+12 √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √2 • √(223)2−4•(−2523) = √2 • √2304232 = √2• 24×223，点O 到直线l 1的距离d=√12+(−1)2= √2， 所以S △OAB = 12 |AB|•d= 12• √2•24×223 • √2= 2423 ． （3）当a=3时，由（1）知Γ为双曲线，且2c=10， 所以c=5，所以b 2=c 2-a 2=25-9=16， 所以Γ的方程为 x 29- y 216=1， ① 当直线l 2与双曲线Γ相切时， 设直线l 2的方程y=kx+2，联立 {y =kx +2x 29−y 216=1 ，得（16-9k 2）x 2-36kx-180=0，所以Δ=（-36k ）2-4（16-9k 2）×（-180） =-5184k 2+11520=0， 得k=±2√53，又x=36k±√△2(16−9k 2) = 36k 2(16−9k 2) = 18k16−9k 2， 化简得 {k =2√53x =−3√5 或 {k =−2√53x =3√5 ，代入y=kx+2，得y=-8，所以l 2与Γ的公共点坐标为（-3 √5 ，-8），（3 √5 ，-8）， ② 当直线l 2与双曲线Γ的渐近线平行时， 由上可知双曲线的渐近线的方程为y=± 43 x ，联立 {y =43x +2x 29−y 216=1 ，解得 {x =−154y =−3 ，联立 {y =−43x +2x 29−y 216=1 ，解得 {x =154y =−3所以l 2与Γ的公共点坐标为（- 154 ，-3），（ 154，-3），综上所述，l 2与Γ的公共点坐标为（-3 √5 ，-8），（3 √5 ，-8），（- 154 ，-3），（ 154，-3）．【点评】：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）给出如下的定义和定理：定义：若直线l 与抛物线Γ有且仅有一个公共点P ，且l 与Γ的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线Γ相切，公共点P 称为切点．定理：过抛物线y 2=2px 上一点（x 0，y 0）处的切线方程为y 0y=px 0+px ． 完成下述问题：如图所示，设E 、F 是抛物线Γ：y 2=2px （p ＞0）上两点．过点E 、F 分别作抛物线Γ的两条切线l 1、l 2，直线l 1、l 2交于点C ，点A 、B 分别在线段EC 、CF 的延长线上，且满足 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ＞0． （1）若点E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，用y 1、y 2和p 表示点C 的坐标； （2）证明：直线AB 与抛物线Γ相切；（3）设直线AB 与抛物线Γ相切于点G ，求 S△EFG S △ABC．【正确答案】：【解析】：（1）分别写出切线CE 和切线CF 的方程，联立方程即可求出点C 的坐标． （2）设出切点坐标，根据切点坐标写出切线AB 的方程，从而求出点A ，B 的坐标，根据点A ，B 的坐标可求λ的值，从而证明直线AB 与抛物线相切．（3）首先根据（2）的结论求出 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；然后求 S △AEG S △ABC和S 四边形ECBG S △ABC的值，再根据 S △CEF =λ21+λS △ABC， S △BGF =1λ(1+λ)S △ABC ，可得到S △EFG =S四氻形ECBG-S △CEF -S △BGF =2S △ABC ，从而可求出答案．【解答】：解：（1）因为点E ，F 的纵坐标分别为y 1，y 2，所以 E (y 122p ，y 1)，F (y 222p ，y 2) ， 所以在 E (y 122p ，y 1) 处的切线CE 方程为 y 1y =p ×y 122p+px ，即 y =y 12+py 1x ， 同理在 F (y 222p ，y 2) 处的切线CF 方程为 y =y 22+py 2x ，两式联立，解得 x =y 1y 22p，y =y 1+y 22， 所以点C 的坐标为 (y 1y 22p ，y 1+y 22) ． （2）设G （x 0，y 0）为抛物线上的一点，则 x 0=y 022p ， 抛物线在点G （x 0，y 0）处的切线方程为 y 0y =p ×y 022p+px ，即 y =y 02+py 0x ， 由 {y =y02+py 0xy =y 12+p y 1x，得 A′(y 1y 02p ，y 1+y 02) ，由 {y =y 02+py 0xy =y 22+p y 2x，得 B′(y 2y 02p ，y 2+y 02) ， 所以 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 1y 2−y 122p ，y 2−y 12)=y 2−y 12(y 1p ，1)，CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 1y 0−y 1y 22p ，y 0−y 22)=y 0−y 22(y 1p ，1) ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 22−y 1v 22p ，y 2−y 12)=y 2−y 12(y 2p ，1)，FB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 2y 0−y 222p ，y 0−y 22)=y 0−y 22(y 2p ，1) ， 所以 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2−y 1y 0−y 2CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2−y 1y 0−y2FB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 取 λ=y 2−y1y 0−y 2，则点A′为点A ，B′为点B ，此时满足 EC⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以直线AB 与抛物线Γ相切；（3）因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λFC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以根据（2）可知， GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 S △AEGS △ABC =|AG|⋅|AE||AB|⋅|AC|=(1+λ)⋅1+λλ=(1+λ)2λ ， 所以 S 四边形ECBGS △ABC =(1+λ)2−λλ=λ2+λ+1λ， 而 S △CEF =|EC|⋅|CF|CA|⋅|CB|S △ABC=λ⋅λ1+λS △ABC =λ21+λS △ABC ， S △BGF =|FB|⋅BG||CB|⋅|AB|S △ABC =11+λ⋅1λS △ABC =1λ(1+λ)S △ABC ，所以S △EFG =S四讱形ECBG -S △CEF -S △BGF =2S △ABC ， 所以 S△EFG S △ABC =2 ．【点评】：本题考查了直线与圆锥曲线的综合，属于难题．。
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，
由切线长定理可得 AM AN ， F1M F1G ， F2G F2N ，
所以， AF2 F1F2 AF1 AN F2N F1G F2G AM F1M
F2N F2G 2 F2G 2c 2a ，则 F2G c a ，所以点 G 的横坐标为 c c a a .
n
a1
1 2
2a1 d
d
0，
与已知 Sn 0 恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以 d 0 .
所以an 是严格增数列，故②正确； 对于③，设数列an 公比为 q ，则由已知可得 a1 0 ， q 1.
所以
S2023
a2023
a1
1 q2023 1 q
a1q2022
a12q2022
【详解】对于①，设 an 公差为d ，则 an1 an d ，
an1
2 2 2 则
an1 an
d
2an
个常数，所以 2an 为等比数列，故①正确；
是 对于②，设d 0，显然有a1 0.
则当 n 2a1 1时，有 n 1 2a1 ，
d
d
有
Sn
na1
nn 1ห้องสมุดไป่ตู้
2
d
n
a1
n 1d 2
0 3
0
即可得出答案.
【详解】将直线方程 2x my 3m 0 化为 2x m y 3 0 .
x 0
x 0
解
y
3
0
，可得
y
3
，
所以，当 m 变动时，所有直线都通过定点 0, 3 .
故答案为： 0, 3 .
2. 已知直线 l1 ： x 2y 3 0 ， l2 ： x ay 1 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为______.
上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共5套)
上海市高二第一学期期末考试数学试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1、计算=-+ii11 。
（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。
3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线y x m =+被圆221x y +=，则m =_______________。
5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。
6、椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为 。
7、以抛物线x y 162=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以()1,3-=p、()1,3=q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S 。
9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[,]44p pa ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或34k ?；③如果实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，那么yx的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。
10、如图2，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为 。
2024年上海师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解
上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________6.已知双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.11.能使得命题“曲线2221(0)9x ya a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC体积的最大值为________.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A . B.C. D.14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若2AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.【答案】18y =-【分析】由22y x =得212x y =，根据准线方程定义即可求解．【详解】由22y x =得212x y =，所以准线方程为18y =-．故答案为：18y =-2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.【答案】6090θ︒≤≤︒【分析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，结合直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒即可得.【详解】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，且直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是6090θ︒≤≤︒.故答案为：6090θ︒≤≤︒.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.【答案】【分析】根据长方体的几何特征列方程组，用已知表示体对角线即可.【详解】设长，宽，高分别为,,x y z ，则()()252,436xy xz yz x y z ++=++=，===.故答案为:4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________【答案】【分析】根据等腰直角三角形的几何性质，结合由斜二测画法得到的直观图与原图的面积关系，可得答案.【详解】方法一：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，∴直角三角形的面积是112=，∴原平面图形的面积是1⨯=方法二：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，则O A ''=，根据斜二测画法，原图如下图：则OA =2OB =，则12ABO S AO BO =⋅⋅=V故答案为：6.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x=±【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b a c a b，双曲线的渐近线方程为y x =±故答案为y x=±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.【答案】217【分析】证明AB ⊥平面11ACC A ，再利用等体积法求解【详解】因为11,2,1AB BC AC AA ====，所以222,BC AB AC AB AC =+⊥，又三棱柱为直棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面A B C ，又平面11ACC A 平面,ABC AC =,AB AC AB ⊥⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11ACC A ，易得1A B ==12A C ==在△1A BC中由余弦定理：得1co s BA C ∠=，故1414sin BA C ∠=，于是111117sin 22A BC S A C AB BAC =⋅⋅∠= ，由棱柱性质得11//B C BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC ，点1B 到平面1A BC 的距离即点1C 到平面1A BC 的距离，设为d因为1111C A BC B A C C V V --=，所以111171131323232A C CC d AB ⋅⨯=⨯⨯=⨯,解得217d =故答案为：2178.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.【答案】106【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱1111ABCD A B C D -和正四棱锥1111O A B C D -的侧面积，即可求解.【详解】如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA=，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积分别为142324S =⨯⨯=，正四棱锥1111O A B C D -=所以正四棱锥1111O A B C D -的侧面积21422S =⨯⨯=，所以21246S S ==.故答案为：6.【点睛】本题主要考查棱柱和棱锥的几何结构特征，以及棱柱和棱锥的侧面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，利用侧面积公式准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.【答案】9【分析】分类讨论.第一类为当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，；第二类当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧.【详解】如图所示，有两种情况：①当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，若AB 为底面棱有两种（平面ABC 左右两侧各一组），同理BC AC 、为底面棱时有各两种，故共有6种；②当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧，若AB 为底面对角线则有一组，同理BC AC 、为底面对角线各有一组，故共有3种；综上所述，共有9种.故答案为：911.能使得命题“曲线2221(0)9x y a a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.【答案】3a >或3a <-的任意实数，例如4【分析】由题意可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，可得m n =，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【详解】曲线()222109x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形，可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，则AB AD =，即22m n =，即m n =，由曲线的方程可得2221(0)9x y a a-=≠，即2221(0)9m m a a-=≠有解，即有222999a m a =>-，可得290a ->，解得3a >或3a <-，故答案为：3a >或3a <-的任意实数，例如4．【点睛】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC 体积的最大值为________.【答案】92##4.5【分析】作出图形，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠.要解决三棱锥-P ABC 体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，接下来就根据条件把APC S 和BM 用同一个变量表示出来即可求解.【详解】由题意APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠，由题意得：13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，因为60APC ∠= ，45BPC ∠= ，所以120cos cos cos 322cos sin sin 322γαβθαβ-⋅-⋅==-⋅，()0,πθ∈，sin 3θ∴=，sin sin 333BM BD BD PB PB θβ=⋅==⋅⋅=⋅，133sin 22APC S PA PC PC α=⋅=⋅ ，()21111633222P ABC APC V S BM PB PC PB PB PB PB -∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅-=-+ 当3PB =时，P ABC V -的最大值为92.故答案为：92.【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.【详解】解：对于选项A ：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；对于选项B ：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；对于选项C ：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；对于选项D ：截面的形状不可能是等腰梯形；故选：D14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥ D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥【答案】B【分析】对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得αβ⊥；对于C ，l 与β平行或l β⊂；对于D ，l 与β相交、平行或l β⊂．【详解】设l 是直线，α，β是两个不同的平面，对于A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，若//l α，则α内存在直线//l l '，因为l β⊥，所以l β'⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ⊥，l α⊥，则l 与β平行或l β⊂，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误．故选：B ．15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C 【分析】由题设()()F x k f x ''=-，令y kx =与()y f x =切点横坐标为12,x x 且12x x <，由图存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，则()F x '有三个不同零点102x x x <<，结合图象判断()F x '的符号，进而确定()F x 单调性，即可确定答案.【详解】由题设，()()F x kx m f x =+-，则()()F x k f x ''=-，又直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点且横坐标为12,x x 且12x x <，所以()0F x '=的两个零点为12,x x ，由图知：存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，综上，()F x '有三个不同零点102x x x <<，由图：1(0,)x 上()0F x '<，10(,)x x 上()0F x '>，02(,)x x 上()0F x '<，2(,)x +∞上()0F x '>，所以()F x 在1(0,)x 上递减，10(,)x x 上递增，02(,)x x 上递减，2(,)x +∞上递增.故()F x 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】C 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．故选C.考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．【答案】（1）高为6，斜高为43213（2）表面积为3，体积为483【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出OH ，进而在Rt SOH △中，可求出SO ,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰SBC △中可求得侧棱长；（2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可.【小问1详解】如图：在正六棱锥S ABCDEF -中，SB SC =，H 为BC 中点，所以SH BC ⊥．因为O 是正六边形ABCDEF 的中心，所以SO 为正六棱锥的高．32OH BC ==，在Rt SOH △中，60SHO ∠=︒，所以tan 606SO OH =⋅︒=．在Rt SOH △中，SH ==在Rt SHB 中，SH =，2BH =，所以SB ==．故该正六棱锥的高为6，斜高为【小问2详解】SBC △的面积为11422BC SH ⨯=⨯⨯=OBC △的面积为11422BC OH ⨯=⨯⨯=，所以正六棱锥的表面积为66⨯+⨯=体积为13⨯=ABCDEF S SO 1663⨯⨯=18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.【答案】（1）12（2）10【分析】（1）根据题干条件作出辅助线，求出cos303DE AC AB a === ，即23b a =，进而求出离心率.（2）先推出BC ⊥平面ACD ，设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，推出BC ⊥平面ACE ，从而可得点D 的轨迹是矩形AEFC ，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】（1）如图：由题意得：30BAC ∠= ，2AB a =，2DE b =，且AC DE =，则在直角三角形ABC 中，cos303AC AB a == ，所以23b a =，于是此椭圆的离心率22112c b e a a ==-=.（2）因为AB 是圆柱下底面圆O 的直径，所以BC AC ⊥，又BC AD ⊥，AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，如图：因为⊥AE 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE BC ⊥，因为AE AC A = ，,AE AC ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，所以点D 在平面ACE 内，又点D 在圆柱的表面，于是点D 的轨迹是矩形AEFC .依题意得5AE =，2OA OC ==，π3AOC ∠=，所以2AC =，所以矩形AEFC 的面积为5210⨯=.故点D 的轨迹所围成图形的面积为10.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.【答案】（1）15π192（2）89【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.【详解】（1）如图所示：由题意母线长为正方形边长，即1PE =，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，不妨设圆锥底面半径为OE r =，所以π2π12r =⨯，解得14OE r ==，所以圆锥的高4PO h ===，所以圆锥的体积为2211111515πππ33344192V Sh r h ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题意不妨设AB h =，则4222h AD r h -===-，所以2h r =-，所以圆柱的体积可表示为()()()22ππ2,02V r r h rr r ==-<<，求导得()()()π43,02V r r r r '=-<<，所以当403r <<时，()0V r '>，()V r 单调递增，当423r <<时，()0V r '<，()V r 单调递减，所以当圆柱的体积最大时43r =，此时矩形ABCD 的面积为()4282339S rh r r ==-=⨯=.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.【答案】（1）9π（2）6个（3）43π【分析】（1）确定点P 以点A 为球心的，半径为（2）确定P 在平面11ADC B 上，根据1||P AB d PQ -=得到P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案．（3）确定P 点轨迹为圆的一部分可求解【小问1详解】若62AP =，则点P 以点A 为球心半径为62的球面上运动，又P 在正方体表面运动，6,AD AD =⊥平面11CDD C ，则P 在以D 为圆心，半径为()226266-=的圆上（正方形11CDD C 内部），如图所示： 1632D C ππ=⨯=，同理可得 111632B C B D ππ==⨯=，故点P 的轨迹长度为339ππ⨯=【小问2详解】若P 到平面ABCD 、11ADD A 距离相等，根据对称性知P 在平面11ADC B 上，AD ⊥平面11AA B B ，AD ⊂平面11ADC B ，故平面11ADC B ⊥平面11AA B B ，故P 到平面11ABB A 的距离即P 到1AB 的距离，设正方体的中心为Q ，即1||P AB d PQ -=，故P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，正方体棱长为6，1AB 中点为M ，以MQ 所在的直线为x 轴，以线段MQ 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，抛物线方程为26y x =，当32y =±932x =<，故抛物线与棱11B C 和AD 相交，故共有236⨯=个点满足条件．【小问3详解】易知正方体中AD ⊥平面11DCC D ，MC ⊥平面11DCC D ，,DP PC ⊂平面11DCC D ，所以,AD DP MC CP ⊥⊥，又APD MPC ∠=∠，所以~Rt ADP Rt MCP 2PD AD PC MC ∴==即2PD PC =如图，在平面11DCC D 中，以D 为原点，1,DC DD 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系：则()()()0,0,6,0,,D C P x y 由2PD PC =知()()()()222200260x y x y -+-=-+-化简整理得()22816,06x y x -+=≤≤所以点P 的轨迹为圆()22816,x y -+=在正方形11DCC D 内部的部分，即 EF ,其中24CM MF ==，，则3FMC π∠=，由弧长公式知4433ππ⨯=21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）,222p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦（3）28y x=【分析】（1）根据题意画图象，由斜率可得MF ，从而利用BF KF MF =-即可得证；（2）同理（1）求FA ，结合π4θ≥和cos y θ=单调性可得FA 的取值范围；（3）先求直线CD 的倾斜角，再结合（1）（2）求出CF ，DF ，并求出ACF △与BDF V 面积之和的表达式，通过不断换元，并利用导数判断函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p 的值，从而得出抛物线的方程．【小问1详解】证明：抛物线2Γ:2(0)y px p =>的准线方程1:2p l x =-，分别作11,BB l BM x ⊥⊥轴，1l 与x 轴交于点K ，AFH θ∠=，如图：由抛物线的定义可知，1,BF BB KF p ==，在Rt BFM 中，BFM AFH θ∠=∠=，cos MF BF θ=，由图可知，1cos BF BB KM KF MF p BF θ===-=-，即()1cos BF p θ+=，进而得1cos p BF θ=+.所以1cos p BF θ=+.【小问2详解】同理（1），1cos AF AA KF FH p AF θ==+=+，可得1cos p AF θ=-.因为函数cos y θ=在()0,π上单调递减，而π,π4θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是1cos 2θ-<≤，进而221cos 22θ≤-<，则11221cos θ<≤+-.所以(221cos p p p θ<≤+-，即(22p FA p <≤+.故π4θ≥时，FA 的取值范围,22p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【小问3详解】由（1）（2）可知，1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，因为AB CD ⊥，所以直线CD 的倾斜角为π2θ+，因此，π1sin 1cos 2p p CF θθ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，π1sin 1cos 2p p DF θθ==-⎛⎫++ ⎪⎝⎭.ACF ∴△的面积为：()()21221cos 1sin ACFp S AF CF θθ=⋅=-+ ()()2222sin 2cos 2sin cos 12cos 2sin cos 1p p sin θθθθθθθθ==+---+-+()2222(sin cos )2sin cos 1(1sin cos )p p θθθθθθ==-+-++-，即22(1sin cos )ACF p S θθ=+-△.同理可得BDF V 的面积为：22(1sin cos )BDFp S θθ=-+△.令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知0πθ<<，即πππ444θ-<-<，则()1,1t ∈-.则ACF △与BDF V 面积之和为：()2222222221(1)(1)(1)p t p p t t t ++=+--，再令[)211,2x t =+∈，则ACF △与BDF V 面积之和为：()222222221224(1)(2)4p t p x p t x x x+==--+-，令44y x x =+-，当[)1,2x ∈时2240x y x-'=>，所以函数44y x x =+-在[)1,2上单调递减，于是4041x x <+-≤，则1144x x ≥+-，所以222244p p x x≥+-.综上所述，当1x =时，ACF △与BDF V 面积之和取到最小值，即2232p =，由于0p >，得4p =，因此，抛物线的方程为28y x =．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，通过换元法得到面积最值的表达式，利用对勾函数的单调性求出最值的情况，从而得到方程，解出即可.。
上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．设A 、B 是两个事件，以下说法正确的是（ ）．A ．若()()1P A PB +=，则事件A 与事件B 对立B ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 互斥C ．若()()()P A B P A P B =+U ，则事件A 与事件B 互斥且不对立D ．若()()()P A B P A P B Ç=，则事件A 与事件B 相互独立14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，P 是线段11A C 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（ ）三、解答题17．已知数列{}na 为等比数列，且为严格增数列，2410a a +=，2416a a ×=，22log 6n nb a =-．(1)求数列{}na 的通项公式及前n 项和n S ；(2)求数列{}nb 的前n 项和n T 的最小值．18．已知方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=（m ÎR ）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(3)求证：存在满足条件的数列{}a，使得在该数列中有无穷多项为2024．n11//BB DD ，当P 是11A C 与11B D 的交点时，BP Ì平面11BDD B ，BP 与1DD 相交，A 不是；当点P 与1C 重合时，BP Ì平面11BCC B ，BP 与1B C 相交，B 不是；当点P 与1A 重合时，因为长方体1111ABCD A B C D -的对角面11A BCD 是矩形，此时1//BP D C ，C 不是；因为AC Ì平面ABCD ，,B AC B ÏÎ平面ABCD ，而P Ï平面ABCD ，因此BP 与AC 是异面直线，D 是.故选：D 15．C【解析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【详解】A ：对任意的d ，假设均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形，∵1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，23131222a a a a a a a \+>+=>,， 而1231a a a a d +-=-不一定大于0，因此不一定存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形，故不正确；B ：由A 可知：当10a d ->时，存在以为1l ，2l ，3l 三边的三角形，因此不正确；C ：对任意的d ，由于34224113234124200a a a a a a d a d a a a a a +>+=+=++>+-=>,, ，因此均通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2024的数出现的问题.。
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________． 【答案】4π【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径， 1h =1r =则表面积. ()24S r r h ππ=+=故答案为：4π2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、80100人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受12015情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】6【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.120156********⨯=++故答案为：63．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，4212B B 、212W W 、从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____. 2Ω=【答案】（答案不唯一）121121{},,B B BW B W 【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可. 2【详解】从袋中任取个球，2共有如下情况.121112212212,,,,,B B BW BW B W B W WW 其中一个不等可能的样本空间为，121121Ω},,{B B BW B W =此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间. 故答案为：.(答案不唯一)121121Ω},,{B B BW B W =4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____. 1cm 22cm π【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案.1cm 22cm π【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为, r SA l O 如图:12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在中, SOA Rt ∆1cos 2OA SAO SA ∠==∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:.3π故答案为:.3π【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程800度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数80080080表的第行到第行：4632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____. 5636【答案】328【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算， 6253,313457,736,007,328,800故抽到的第名员工的编号是. 6328故答案为：3286．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）8100的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值8683x y +为________.【答案】10【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.【详解】甲班平均分()18678798285868094968x =⨯++++++++解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数， 8x =45即，解得，所以. 8084832y ++=2y =10x y +=故答案为：107．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______. 462【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公23式可得答案.【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l 长为， 2r =3R =2则圆台的高h ===故圆台的体积.()()222211223333V h r rR R =⋅++=+⨯+=ππ8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到369的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占36,36,37,37,40,43,43,44,44(),x s x s -+总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到） x s 1%【答案】56%【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案. 【详解】因为，363637374043434444409x ++++++++==，即，2161699099161610099s ++++++++==103s =， 110130,33x s x s -=+=所以年龄在内的人数为， 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为. 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5100%56%9⨯≈故答案为：56%9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满31111ABCD A B C D -P ABCD足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________. 1D P 1CC π6DP【答案】3π4【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解. 1D P 1DD π6DP =【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为， 11//DD CC 1D P 1CC π6只需与直线所成角的大小为， 1D P 1DDπ6所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 1D P 1DD π6，所以1π6tan DP DD=DP =点的轨迹是以 PD 所以在上扫过的面积为. DP ABCD 213ππ44⨯⨯=故答案为:. 3π410．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】67【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 6634C 所以有个直角三角形， 3412C 48⨯=所以所求的概率为， 486567=故答案为：. 6711．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数 1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数____________ 60P =【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵，1032443460200100+++=故这批电子元件的第60百分位数160. 160180601702P +==故答案为：170.12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其20中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一1010次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________. 【答案】##0.512【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的12话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：①甲红乙两红，概率为；111222⨯⨯②甲白乙先红后白，概率为；111222⨯⨯③甲白乙先白后红，概率为；111222⨯⨯④甲白乙两红，概率为，111222⨯⨯所以乙获胜的概率是.111142222⨯⨯⨯=故答案为：12二、单选题13．现要完成下列项抽样调查：2①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；4②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教3602805525职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ） 72A ．①简单随机抽样，②分层抽样 B ．①简单随机抽样，②简单随机抽样 C ．①分层抽样，②分层抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样 【答案】A【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法. 【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； ②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样． 故选：A.14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为80%41（ ） A ．B ．C ．D ．5126252566251136251625【答案】A【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率1和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为. 1041344414256256512(()()555625625C C ++==故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.15．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1A D 1D BA ．直线与直线垂直，直线平面 1A D 1DB //MN ABCD B ．直线与直线平行，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD BC ．直线与直线相交，直线平面 1AD 1D B //MN ABCD D ．直线与直线异面，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD B 【答案】A【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面1AD ∥MN AB MN ，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.ABCD 1A D ⊥1ABD 11A D D B ⊥【详解】连接，在正方形中，由M 为的中点，可知，且M 为1AD 11ADD A 1A D 11AD A D M = 1A D 的中点，.11AD A D ⊥又∵N 为D ，B 的中点，∴. ∥MN AB ∵平面，平面， AB ⊂ABCD MN ⊄ABCD ∴∥平面.MN ABCD ∵平面，平面， AB ⊥11ADD A 1A D ⊂11ADD A ∴，1AB A D ⊥∵，平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂1ABD∴平面， 1A D ⊥1ABD ∵平面， 1D B ⊂1ABD ∴，故A 正确. 11A D D B ⊥故选：A16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与ABCD CDFE EFC ∆FC EC 所成角的取值范围是（ ）ACA ．B ．C ．D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，AF AC CF ==3ACF π∠=4ECF π∠=EFC ∆FC ，且，结合线线角的取值范围即得解.CEA ECF FCA ∠≤∠+∠CEF ACF ECF ∠≥∠-∠【详解】如下图所示，连接，因为正方形和，则，，又因为面AF ABCD CDFE AD CD ⊥FD CD ⊥AD DC DF ==面，面面，ABCD ⊥CDFE ABCD ⋂CDFE CD =则面， AD ⊥CDFE 因此.AD DF ⊥因此，，， 222AF AD DF =+222AC AD DC =+222CF CD DF =+则， AF AC CF ==因此 3ACF π∠=因为，4ECF π∠=则当沿着直线旋转一周， EFC ∆FC 712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=，12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 CEF ∠EC AC CEF ∠当为钝角时，直线和所成的角等于的补角CEF ∠EC AC CEF ∠因此直线和所成的角的取值范围是EC AC ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高2 r=OP==所以圆锥的体积为.2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以，OD D PA122OD PA==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O⊥⋂=所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.OC⊥PAB ODC∠在中，，所以.Rt ODC,22COD OD OCπ∠===4ODCπ∠=即直线CD与平面PAB所成角的大小为.4π18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x 、y 的值.【答案】（1）（2）x ＝40，y ＝5 710【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l 人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出10539N =N ，从而能求出x ，y 的值试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2）， （B 2，B 3），（B 1，B 3）.其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）， （S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴ ,解得x ＝40，y ＝5.∴x ＝40，y ＝5.【解析】古典概型及其概率计算公式19．在长方体中，，，，为棱的中点.1111ABCD A B C D -2AB =2BC =14CC =M 1CC（1）求证：平面；BM ⊥11A B M （2）求异面直线和所成的角的大小. BM 1B A【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面22211BB BM B M =+1BM B M ⊥11A B ⊥11BCC B ，可以证明，即得证；11A B BM ⊥（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余'M 1DD '//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠弦定理可得解【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点. 2AB =2BC =14CC =M 1CC故114BM B M BB =====即：222111BB BM B M BM B M =+∴⊥又长方体，故平面 1111ABCD A B C D -11A B ⊥11BCC B 平面，BM ⊂11BCC B 11A B BM ∴⊥又1111A B B M B = 平面BM ∴⊥11A B M （2）取为中点，连接，故 'M 1DD 'MM '////MM CD AB 且'MM CD AB ==故四边形为平行四边形'ABMM 故，即异面直线和所成的角的大小即为'//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠连接，11B D11''B A AM B M======2221111''cos'2'AB AM B MB AMAB AM+-∠==⋅1'B AM∴∠=因此异面直线和所成的角的大小为BM1B A【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件1K2K1L2L3L概率0.6 0.5 0.4 0.5 0.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；1K2K(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；1K2K(3)求在时间T 内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.8； (3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得. i B (1,2,3)i L i =()()()32122P P P B P B P B =+【详解】（1）设表示发生故障， i A (1,2)i K i =则，()()120.6,0.5P A P A ==单位时间T 内，与同时发生故障的概率：1K 2K ．()()1120.60.50.3P P A P A ==⨯=（2）在时间T 内．由于或发生故障而影响电路的概率：1K 2K ． ()()()()()()2121212P P A P A P A P A P A P A =++0.60.50.40.50.60.50.8=⨯+⨯+⨯=（3）设表示发生故障，则i B (1,2,3)i L i =，()()()1230.4,0.5,0.7P B P B P B ===在时间T 内，任一元件发生故障而影响电路的概率：()()()32122P P P B P B P B =+0.80.40.50.7=+⨯⨯．0.94=21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，GDP 把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表： 空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200天数2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？ 附：空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200 200-300300 空气质量指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良91.667100<（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为 .22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为元. 8502100600⨯+⨯=又元，50006004400-=所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．。
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知双曲线G：224-=，直线l过()x y0,2．“直线l平行于双曲线G的渐近线”是“直线l与双曲线G恰有一个公共点”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．空间中，设P 是直线l外一点，a 是一个平面，则以下列命题中，错误的是（ ）．A ．过点P 有且仅有一条直线平行于l B ．过点P 有且仅有一条直线垂直于lC ．过点P 有且仅有一条直线垂直于aD ．过点P 有且仅有一个平面垂直于l15．已知00(,)P x y 是圆222:(0)C x y r r +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y r +=与圆C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA AD =，():,0AB AD l l =>，E 是棱11A B 的中点，点P 是线段1D E 上的动点，给出以下两个命题：①无论l 取何值，都存在点P ，使得PC BD ^；②无论l 取何值，都不存在点P ，使得直线1AC ^平面PBC ．则（ ）．A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题17．在空间直角坐标系中，设()0,2,3A 、()2,1,6B -、()1,1,5C -、()3,3,4D ．(1)设()2,0,8a =--r，b AB AD =+r uuu r uuu r ，求b r 的坐标，并判断a r 、b r 是否平行；(2)求AB uuu r 、AC uuu r 的夹角q ，以及AB uuu r 、AC uuu r 为相邻两边的三角形面积S ．18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为1BB 中点．(1)求证：1BD ^平面MNP ；(2)求异面直线1B D 与1C M 所成角的余弦值．19．在如图所示的圆锥中，P 是顶点，O 是底面的圆心，A 、B 是圆周上两点，且【点睛】关键点睛：本题第三问，x 0MQ NQ k +=，联立直线l ¢与双曲线G 21．(1)xOy 平面截曲面C 所得交线是平面见解析。
上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案
上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 ．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分 （2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3） 由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。
上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
①前 4 天的极差大于后 4 天的极差；②前 4 天的方差小于后 4 天的方差；③这组数据的
中位数为 31 或 33；④这组数据的第 60 百分位数与众数相同.
A．0
B．1
C．2
D．3
15．已知等差数列an的公差为
2 3
，集合 S
cosan n N*
，若 S a,b ，则 ab （
）
A．－1
试卷第 2页，共 5页
(2)当 n 为何值时， Sn 最大，并求出 Sn 的最大值.
18．用数学归纳法证明：对于任意正整数 n 都有：12 22 32 …+n2= n n 12n 1 .
6
19．设 Sn 为数列an的前 n 项和，已知 a2 1, 2Sn nan ．
(1)求 an 的通项公式；
事件 B：至少收到两个 0，是否互相独立，并给出证明.
21．已知数表
A2n
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
中的项
aij
(i
1,
2;
j
1,
2,,
n)
互不相同，且满足
下列条件：
① aij 1, 2,, 2n ；
② (1)m1 a1m a2m 0(m 1, 2,, n) .
则称这样的数表 A2n 具有性质 P .
名，然后在此基础上进行简单随机抽样.ห้องสมุดไป่ตู้
5．已知无穷等比数列
an
，
i 1
ai
3，
i 1
ai2
9 2
，则公比 q
．
6．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图
如图所示，数据的分组依次为20，40，40，60 ，60，80 ，80 ，100 ，若该校的学生总人数为
2023-2024学年上海长宁区高二上学期数学期末区统考试卷及答案(2024.01)
1长宁区2023学年第一学期高二年级数学期末区统考2024.01一、填空题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.答案填在答题纸相应位置）.1.“平面α经过直线AB ”用集合符号语言可表示为________;2.已知1AO B ∠和21,50CO D AO B ∠∠= 且1212//,//O A O C O B O D ,则2CO D ∠=________; 3.若一个球的体积为43π,则这个球的表面积为________; 4.从总体容量为N 的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本,若每个电子元件被抽到的可能性为15%，则总体容量N =________;5.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若他们的平均数相等,则图中x 的值是________;6.在正方体1111ABCD A B C D −中,点M 是棱11C D 的中点,则直线AM 与直线1CC 的位置关系是________;7.一次考试,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是________;8.已知ABC ∆中,,,126C A BC ππ∠∠,将ABC ∆绕AC 所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积是________;9.若正四棱锥的底面边长是2,棱锥被平行于底面的平面所截,已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为1:2,则该棱台的体积是________;10.已知斜三棱柱111ABC A B C −的底面是正三角形,1A 与底面中心的连线垂直于底面,侧棱14AA =,1AA BC ⊥,且1AA 与底面所成角的大小是6π,则此三棱柱的底面边长是________; 11.已知圆锥的底面直径为8,母线长为5,过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截,则截面面积的最大值是________;12.已知长方体1111ABCD A B C D −中,13,4,5AB AD AA ===,点E 在线段BC 上,过点1A C 、、E 三点的平面截长方体，则所得截面面积的取值范围是________;2二、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.13.①:植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类,某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量;②:检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）.A.(1)用简单随机抽样,(2)用分层随机抽样;B.(1)用简单随机抽样,(2)用简单随机抽样;C.(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样;D.(1)用分层随机抽样,(2)用分层随机抽样.14.已知直线a b 、和平面αβ、,则下列命题中,真命题是（ ）.A.若//,a b a α⊥，则b ⊥α;B.若//,a αα⊥β,则a ⊥β;C.若//,a b b ⊂α,则//a α;D.若//,a αβ⊥α,则a ⊥β.15.掷一枚骰子,设事件A :落地时向上的点数是奇数;B :落地时向上的点数是3的倍数;C :落地时向上的点数是是2;D ：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）.A.A 和B 有可能同时发生;B.A 和D 是对立事件;C.B 和C 是对立事件;D.A 和C 是互斥事件.16.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场比赛轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都是12,则甲最终获胜的概率是（ ）. A.1;16 B.716; C.38; D.932; 三、解答题（本大题共5小题,共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.(本题满分8分,共有2小题,第（1）小题4分,第（2）小题4分).3如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D −,(1)求证:AC ⊥平面11BDD B ;(2)求证:平面11//AB D 平面1BDC18.(本题满分8分,共有2小题,第(1)小题4分,第（2）小题4分).掷黑、白两枚质地均匀的骰子,(1)写出事件A :“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率;(2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的.19.(本题满分10分,共有2小题,第(1)小题5分,第(2)小题5分).如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上,AB 为圆O 的直径,6,120AB BOP =∠= ,1AA 和1BB 是圆柱1OO 的母线,且圆柱的侧面积为24π;(1)求三棱锥1A ABP −的体积;(2)求异面直线1A P 与AB 所成角的大小.420.(本题满分12分,共有2小题,第（1）小题6分,第（2）小题6分）.如图,平行四边形ABCD 中,4,2AB AD ==,将ABD ∆沿BD 翻折,得到四面体PBCD .(1)若4BD PC ==,作出二面角P BC D −−的平面角,说明作图理由并求其大小;(2)若60PC A =∠= ,求点D 到平面PBC 的距离.21.(本题满分14分,共有3小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第（3）小题4分). 某市采用“33+”高考模式.其中第一个“3”指“语、数、外”三个必选学科,第二个“3”指选考学科,学生可在“物理、化学、政治、生物、地理、历史”这六门学科中选三科参加高考.选考学科通过等级赋分的方式计入总成绩.按等级赋分是将学生每门的原始成绩从高到低按所占比例划定为11个等级，每个等级所占比例和换算分值如下表所示. 评价等级 A + A B + B B − C +C C −D + D E所占比例 5% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 5%换算分值 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 402023年,某市约有50000名学生参加高考。
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高二第一学期期末考试数学时间90分钟，满分100分，(2023年1月)一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。
1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( )A.120x y -+=B.20x y +-=C.120x y +-=D.20x y -+=2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不可能3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.(2，+∞)B.(－∞，2)C.[2，+∞)D.()(),22,-∞+∞5、若双曲线C ：221824x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.66、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A.DD 1B.B 1CC.D 1CD.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( )2 2π 2π 28、方程222143x y λλ+=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或119、已知抛物线C ：212y x =，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )是经过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线的焦点点，且125x x +=，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在 10、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1=2，AB=BC=1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1A 所成角的正切值为( )A.2B.2147C.172D.17711、当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点B(2022，0)，则AB 的中点P 的轨迹方程为( ) A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++= C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=12、已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点(3，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) 3 3 3 313、已知直线l 经过抛物线232x y =的焦点为F ，交抛物线于M ，N 两点，若在y 轴负半轴上存在一点T(0，t)，使得∠MTN 为钝角，则t 的取值范围为( )A.(－8，0)B.(－∞，－8)C.(－4，0)D.(－∞，－4)14、已知直线l ：2x ty =+和双曲线C ：228y x -=，若l 与C 的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是( )A.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭ D.12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF ∆的周长为16，离心率12e =，则△2MNF 面积的最大值为( )A.1216、已知双曲线Γ：2212425x y -=，点P 为曲线Γ在第三象限一个动点，以下两个命题，则( ) ①点P 到双曲线两条渐近线的距离为1d ，2d ，则12d d ⋅为定值。
2022-2023学年上海市育才中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市育才中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．三条互相平行的直线最多可确定____个平面．【答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面，所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面.故答案为：3.2．过点且与直线平行的直线方程为______．（用一般式表示）()1,2A 2310x y -+=【答案】2340x y -+=【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，即得.230x y D -+=()1,2A D 【详解】设与直线平行的直线为,2310x y -+=230x y D -+=又在直线上,()1,2A 230x y D -+=所以，即，2320D -⨯+=4D =所以所求直线方程为.2340x y -+=故答案为：.2340x y -+=3．古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的π长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为______． 221273x y +=【答案】9π【分析】根据椭圆方程求出、，依题意椭圆的面积，从而计算可得.a b πS ab =【详解】对于椭圆，则， 221273x y +=a =b =所以椭圆的面积；π9πS ab ==故答案为：9π4．若直线是圆的一条对称轴，则______．2y x m =+2220x y x y ++-=m =【答案】2【分析】根据圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 2220x y x y ++-=1(,1)2-把圆心代入直线，可得，解得. 1(,1)2-2y x m =+112(2m =⨯-+2m =故答案为：.25．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．16π【答案】16π【分析】设球的半径为,根据圆柱的体积可求得，利用球的表面积公式即可求得答案.r r 【详解】设球的半径为,则圆柱的底面直径和高皆为，r 2r 故圆柱的体积为，2π216π,2r r r ⨯=∴=故球的表面积为 ，24π16πr =故答案为：16π6．如图，在长方体中，设，，，则______． 1111ABCD A B C D -11AA =2AB =3AD =11CC BD -=【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.【详解】由11111CC BD BB BD D -=-==7．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所()2,6P -()1,4Q -10x y +-=在直线方程为______（用一般式表示）【答案】210x y +-=【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点PQ M关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程.()1,4Q -10x y +-=N MN 【详解】由题意可得所在直线方程为:，即， PQ ()644121y x --=+-+220x y +-=联立直线方程，解得入射点， 22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩()1,0M 设点关于直线的对称点为()1,4Q -10x y +-=(),N x y 则，解得，所以， ()4111141022y x x y -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-++⎪+-=⎪⎩32x y =-⎧⎨=⎩()3,2N -即反射光线方程为:，即 MN ()2131y x =---210x y +-=故答案为:210x y +-=8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积10x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP 的取值范围是______．【答案】 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的,A B AB AB 距离，1d 从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.P 2d 【详解】由题意得：，()1,0A -()0,1B-AB ∴=由圆知：圆心，半径()2222x y -+=()2,0r =圆心到直线距离∴10x y ++=1d =到直线距离，即P ∴10xy ++=[]211,d d r d r ∈-+2d ∈ 2115,222ABP S AB d ⎡⎤∴=⋅∈⎢⎥⎣⎦故答案为：15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．直线与曲线b 的取值范围是__________．y x b =+x =【答案】或.11b -<≤b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，表示以原点为圆心，半径为的右半圆， x =221(0)x y x +=≥1是倾斜角为的直线与曲线y x b =+4πx =（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；d r =1d b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.11b -<≤故答案为：或.11b -<≤b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限x y 制，需要数形结合进行分析.10．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为2240x y x ++=224600x y x +--=______．【答案】 2212521x y +=【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得.【详解】圆，即，圆心为，，2240x y x ++=()2224x y ++=(2,0)A -1=2r 圆，即，圆心为，，224600x y x +--=()22264x y -+=(2,0)B 28r =设动圆的圆心为，半径为，P r 由题意得，，||2PA r =+||8PB r =-则，104PA PB AB +=>=所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆， P ,A B 可设方程为，则，， 22221(0)x y a b a b+=>>210a =2c =所以，，5a =221b =所以动圆圆心的轨迹方程为. 2212521x y +=故答案为：. 2212521x y +=11．已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为______．【分析】由题意作出图像，结合图像和椭圆的性质，求得的值，利用离心率的定义，即可求,,a b c 解.【详解】如图所示，圆柱的底面直径为，所以椭圆的短轴长，即，424b CD ==2b =又因为椭圆所在的平面与圆柱底面所成的角为，45所以，解得， 4c s4542o AB a == a ==2c ==所以椭圆的离心率为c e a ===12．在棱长为1的正方体中，,是线段上的动点，过作平1111ABCD A B C D -BD AC O ⋂=M 1D O M 面的垂线交平面于点，则点到点的距离最小值是___________．1ACD 1111D C B A N N A【详解】连结，易知面面，而，即，在面11B D 1ACD ⊥11BDD B 1MN ACD ⊥1NM D O ⊥NM 11BDD B 内，且点的轨迹是线段，连结，易知是等边三角形，则当为中点时，N 11B D 1AB 11AB D N 11B D NA二、单选题13．下列说法正确的是（ ）A ．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B ．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C ．任何一条直线都有唯一的斜率；D ．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； A 2ππ,,33αβαβ==>1212tan 0,tan 0,k k k k αβ=<=><A 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； B π2B 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； C π2C 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.D D 故选：.D 14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b 假设：，由可得：，////a b c //a b //a β//b α又，可知，l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15，化简的结果是（ ）12=A ． B ． C ． D ． 221364x y +=2213632x y +=2213616x y +=2213616y x +=【答案】B 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.【详解】，可得点到定点，的距离之12=(),M x y ()12,0F ()22,0F -和等于12， 即，1212124MF MF F F +=>=所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， (),M x y x 22221(0)x y a b a b +=>>则，，212a =2c =所以，，6a =b =故方程为. 2213632x y +=故选：B.16．对于圆上任意一点，当时，的()()()2220x a y b r r -+-=>(),P x y m n ≠22x y m x y n -++-+值与，无关，有下列结论：x y ①点的轨迹是一个圆； ②点的轨迹是一条直线； (),a b (),a b③当时，； ④当，时，． 4m n -=r r =1m =[)11,n ∈+∞其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】由，将已知条件看作到直线、d =(,)P x y 20x y m -+=20x y n -+=且已知圆在平行线、，再结合各项描述分析正误. 20x y m -+=20x y n -+=2r ≥【详解】令，可看作到直线、d =(,)P x y 20x y m -+=20x y n -+=由的值与无关， ()22x y m x y n m n -++-+≠,x y 所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，P 20x y m -+=20x y n -+=， 2r ≥时，的轨迹是平行于、直线，①错误； 2r =(),a b 20x y m -+=20x y n -+=时,的轨迹不是直线,②错误 2r >(),a b③时，，正确； 4m n -=r ≤=④时，则，故，④错误. 1r m ==r ≤|1|10n -≥][(),911,n ∈-∞-⋃+∞所以正确的有③.故选： A三、解答题17．已知，()1,3A ()5,7B (1)求线段垂直平分线所在直线方程AB (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程l ()1,0-A B l l 【答案】(1)；80x y +-=(2)或.10x y -+=5450x y -+=【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即AB 得；（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.【详解】（1）因为点，．()1,3A ()5,7B 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， AB ()3,5AB 73151-=-因此直线的中垂线的斜率为，AB 1-因此线段的垂直平分线所在直线方程为，AB ()53y x -=--即；80x y +-=（2）因为直线过点，，，l ()1,0-()1,3A ()5,7B 当直线的斜率不存在时，显然不合题意，l 设直线的方程为，即，l ()1y k x =+0kx y k -+=或， 1k =54k =所以直线的方程为或.l 10x y -+=5450x y -+=18．已知，，()1,0A -()10B ,C (1)求点的轨迹方程；C(2)设直线经过点，且与点的轨迹相交所得弦长为的方程；l ()2,2-l C l 【答案】(1)()223+8x y +=(2)或34140x y -+=20x +=【分析】(1)根据两点间距离公式应用已知条件化简即可得轨迹方程;(2)设直线方程,把半径,弦长和圆心到直线距离转化为关于的方程求解即可.k【详解】（1）设因为，(),C x y ()1,0A -()10B ,=化简得,()()22222121x y x y ++=-+即得22+610x y x ++=点的轨迹方程为C ()223+8x y +=（2）因为点的轨迹方程为,圆心为,半径C ()223+8x y +=()3,0C -r =设的方程为或l ()22y k x -=+2x =-又因为与点的轨迹相交所得弦长为l C所以圆心到直线的距离()3,0C -l 1d =,即得解得,且符合题意. 1d 22441k k k -+=+34k =2x =-的方程为或 l ()3224y x -=+2x =-所以的方程为或l 34140x y -+=20x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求：异面直线与所成角的大小；1BC AE (2)求：直线与平面所成角的正弦值．1AA 1AD E 【答案】(1)(2).23 【分析】（1）利用坐标法，求出和的坐标，由空间向量夹角公式即可求解； 1BC AE （2）求出平面的法向量和的坐标，由空间向量夹角公式即得.1AD E 1AA 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空A AD AB 1AA x y z间直角坐标系，设正方体棱长为，A xyz -2则，，，，，()0,0,0A ()0,2,0B ()12,2,2C ()12,0,2D ()0,2,1E 所以，，()12,0,2BC = ()0,2,1AE = 所以111,o c s BC AE BC AE BC AE ⋅===所以直线与所成的角为1BC 1D E （2）由题可知、、、，()0,0,0A ()10,0,2A ()12,0,2D ()0,2,1E 所以，，，()12,0,2AD = ()0,2,1AE = ()10,0,2AA = 设平面的法向量为，1AD E (),,n x y z = 由， 122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，1y =()2,1,2n =- 设直线与平面所成角为， 1AA 1AD E α则， sin α11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅===-=⨯⋅ 因此直线与平面所成角的正弦值为. 1AA 1AD E 2320．已知椭圆的长轴长为8，是坐标原点，，分别为椭圆的左、()2222:10x y C a b a b+=>>O 1F 2F C 右焦点，点在椭圆上，且的面积为4．()0,2M x C 12MF F △(1)求椭圆的方程；C (2)设直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率之和为():0,0l y kx m k m =+>>C E F OE OF 2k -．①求直线经过的定点的坐标；l ②求的面积的最大值．OEF 【答案】(1)2211612x y +=(2)①;②(0,【分析】（1）根据长轴长为8可求出，再根据的面积公式可求出，进而确定椭圆的方a 12MF F △c 程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为的表2-达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出的面积，求此表达式的最大值即可. OEF【详解】（1）由题意可知， 121228,2MF MF a F F c +===所以有，所以， 121211222422MF F M S F F y c c =⨯=⨯⨯== 2c =因为，所以椭圆的方程为. 22212b a c =-=C 2211612x y +=（2）①设， ()()1122,,,E x y F x y 联立整理，得， 22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484480k x kmx m +++-=所以，可得， ()()2222Δ644344480k m k m =-+->221216m k <+， 21212228448,3434km m x x x x k k -+=-=++设直线的斜率分别为，因为直线的斜率之和为，所以，,OE OF 12,k k ,OE OF 2k -122k k k +=-即， ()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--所以，又，所以，所以直线经过的定点的坐标为. 224m =0m>m =l (0,②设直线经过的定点为， l (0,N 则，212OEF OEN OFN S S S x =-=⨯-== 设，则，0=>t2166OEF t S t t t==≤=++ 当且仅当时，即时取等号，此时， 6t t =t=294k =0∆>所以的面积的最大值为OEF S ≤ OEF。
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z2＝．2．（4分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．3．（4分）抛物线x2＝16y的准线方程是．4．（4分）已知复数z＝2+4i，其中i是虚数单位，，则|ω|＝．5．（4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，DA的中点，若AC⊥BD．6．（4分）直线l与抛物线y2＝4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，若，则x1x2＝．7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆x2+2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|+．8．（5分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于9．（5分）已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，P A⊥平面ABCD，现有以下五个数据：（1）a＝；（2）；（3）a＝；（4）a＝2；（5），当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，则a可以取．（填上一个正确的数据序号即可）10．（5分）在所有经过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中任取k条，求这k条直线恰是两两异面，则k的最大值为．11．（5分）在平面几何里，有勾股点了“设△ABC的两边AC，AB互相垂直2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC，ADB两类互相垂直，则有．12．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）13．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2＝1表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G∥EFB．A1H⊥EFC．B1G与AE相交D．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD116．（5分）已知直线l：x+y+2＝0与椭圆Γ：＝1交于A，直线l1与椭圆T交于M，N两点，有下列直线l1：①x﹣y﹣2＝0；②x+；③x+y﹣2＝0；④x﹣y+2＝01可以是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④三、解答题（本大题共5小题，满分35分）17．（7分）已知复数z1，z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，且复数z1在复平面内对应的点在第一象限，若z1+2z2＝12﹣3i，其中i是虚数单位．（1）求复数z1，z2；（2）若复数z满足|z|＝1，求|z﹣z1|的最大值和最小值．18．（7分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4（1）若军营所在区域为Ω：x2+y2≤2，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为Ω：|x|+2|y|≤2，求“将军饮马”的最短总路程．19．（7分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，点P在底面ABCD（含边界）内运动．（1）证明：BD⊥平面AA1C1C；（2）若A1P和A1B与平面ABCD所成的角相等，求点P的轨迹长度．20．（6分）已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，且直线l交椭圆C于A，点A，F，B在直线l'：x＝4上的射影依次为点D，K（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探究λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值；否则，说明理由；（3）连接AE，BD，试探究当m变化时，请求出定点的坐标，并给予证明，说明理由．21．（8分）已知平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1的距离之和为3的动点M的轨迹是Γ，（1）求曲线Γ与x轴的交点P的坐标；（2）求曲线Γ的方程；（3）设B（a，1）（a为常数），求|MA|+|MB|的最小值d（a）．2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z2＝2+3i．【分析】直接利用对称知识求出复数的代数形式即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝5+3i，故答案为：2+7i．【点评】本题考查复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．（4分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．【解答】解：＝．∵复数是纯虚数∴，解得：a＝8．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（4分）抛物线x2＝16y的准线方程是y＝﹣4．【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【解答】解：抛物线x2＝16y，可知抛物线的开口向上，所以抛物线的准线方程是：y＝﹣4．故答案为：y＝﹣8．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4．（4分）已知复数z＝2+4i，其中i是虚数单位，，则|ω|＝．【分析】求出，求出ω，从而求出|ω|的值即可．【解答】解：∵复数z＝2+4i，其中i是虚数单位，∴＝3﹣4i，∴＝＝＝＝﹣i，则|ω|＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，考查复数求模，是一道基础题．5．（4分）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，DA的中点，若AC⊥BD 矩形．【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形．根据AC⊥BD，可得EF⊥EH．即可判断出四边形EFGH的形状是矩形．【解答】解：如图所示，∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，CD，∴EF AC AC，∴EF HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又AC⊥BD，∴EF⊥EH．则四边形EFGH的形状是矩形．故答案为：矩形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、矩形，考查了空间想象能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）直线l与抛物线y2＝4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，若，则x1x2＝4．【分析】把点的坐标代入方程，结合向量的数量积化简求解即可．【解答】解：直线l与抛物线y2＝4x，（x≥3）交于两点A（x1，y1），B（x7，y2），可得y13＝4x1，y72＝4x7，所以16x1x2＝y52y26，y1y2＝±4，O为坐标原点，若，可得x1x2+y6y2＝﹣4，x7x2±4+4＝8，解得x1x2＝8．x1x2＝﹣5（舍去）．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．7．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆x2+2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|+2．【分析】求出椭圆的a，b，运用中点的向量表示，得到|+|＝2||，再设P（x，y），运用椭圆方程，以及二次函数的值域即可得到最小值．【解答】解：椭圆x2+2y2＝2，即为2＝1，则椭圆的a＝，b＝1，则由OP为△PF1F3的中线，即有＝（），则|+|＝2||，可设P（x，y），则2＝1，即有||＝＝＝≥6，当x＝0时，取得最小值1．则|+|的最小值为2．故答案为：7．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查平面向量的中点表示，及向量模的公式，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于12【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝6，再由|PF1|：|PF2|＝2：1，求出|PF1|，|PF2|，由此转化求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，F1（﹣7，0），F2（8，0）1F7|＝6，∵|PF1|：|PF6|＝2：1，∴设|PF4|＝x，则|PF1|＝2x，由双曲线的性质知|4x﹣x|＝2，解得x＝7．∴|PF1|＝2，|PF2|＝6，∴cos∠F1PF3＝＝，sin∠F1PF4＝．∴△PF7F2的面积为×4×＝12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．9．（5分）已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，P A⊥平面ABCD，现有以下五个数据：（1）a＝；（2）；（3）a＝；（4）a＝2；（5），当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，则a可以取①或②．（填上一个正确的数据序号即可）【分析】根据三垂线定理结合PQ⊥QD，可得PQ在底面的射影AQ也与QD垂直，由此可得平面ABCD内满足条件的Q点应在以AD为直径的圆上，得出a≤1即可选出正确选项．【解答】解：连接AQ，因为PQ⊥QD，根据三垂线定理可得AQ⊥QD在平面ABCD内，直径所对的圆周角为直角所以Q点在以AD为直径的圆上，故当BC与以AD为直径的圆有公共点时，在BC边上存在点Q因此AB，即a≤1故答案为：①或②【点评】本题考查了空间的直线与平面、直线与直线的位置关系，属于中档题．充分利用三垂线定理和平面内点的轨迹，是解决本题的关键所在．10．（5分）在所有经过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中任取k条，求这k条直线恰是两两异面，则k的最大值为4个．【分析】根据异面直线的判断方法，结合正方体的结构特征即可判断．【解答】解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，即至多可选出4条，又可以选出6条两两异面的线（如图DB，B1C，A1C4，AD1），故所求k的最大值是4．故答案为：7．【点评】本题主要考查正方体的结构特征，异面直线的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）在平面几何里，有勾股点了“设△ABC的两边AC，AB互相垂直2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC，ADB两类互相垂直，则有S2△ABC+S2△ACD+S2△ABD＝S2△BCD．【分析】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得结果．【解答】解：“设△ABC的两边AC，AB互相垂直2+AC2＝BC5．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC，ACD，则有由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S2△ABC+S2△ACD+S4△ABD＝S2△BCD．故答案为：S2△ABC+S4△ACD+S2△ABD＝S2△BCD．【点评】本题考查平面几何的勾股定理类比立体图形的面积公式，考查简单的类比推理等基础知识，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．12．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为13．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）8+y2＝4的圆心为（﹣2，0）1＝7；圆C2：（x﹣4）5+y2＝1的圆心为（5，0）2＝2，设双曲线x2﹣＝7的左右焦点为F1（﹣4，2），F2（4，5），连接PF1，PF2，F3M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|5＝（|PF1|2﹣r82）﹣（|PF2|4﹣r22）＝（|PF8|2﹣4）﹣（|PF4|2﹣1）＝|PF8|2﹣|PF2|3﹣3＝（|PF1|﹣|PF4|）（|PF1|+|PF2|）﹣7＝2a（|PF1|+|PF8|﹣3＝2（|PF3|+|PF2|）﹣3≥7•2c﹣3＝7•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号．故答案为：13．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）13．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2＝1表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．【解答】解：a＞0，b＞03+by2＝1不一定表示椭圆，如a＝b＝8；反之，若方程ax2+by2＝5表示椭圆，则a＞0．∴“a＞0，b＞3”是“方程ax2+by2＝4表示椭圆”的必要非充分条件．故选：C．【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．14．（5分）已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直【分析】作两个相交平面，交线为n，使直线m⊥α，然后利用反证法说明，假设β内一定存在直线a与m平行，根据面面垂直的判定定理证明α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，然后根据线面垂直的性质说明β内必存在直线与m垂直，从而证得结论．【解答】解：作两个相交平面，交线为n，假设β内一定存在直线a与m平行，∵直线m⊥α，而a∥m∴直线a⊥α，而a⊂β∴α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾∴β内不一定存在直线a与m平行；∵直线m⊥α，n⊂β∴直线m⊥直线n∴β内必存在直线与m垂直故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及面面垂直的判定，同时考查了反证法，以及推理论证的能力，属于中档题．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G∥EFB．A1H⊥EFC．B1G与AE相交D．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1【分析】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨取AD＝2．A．B1G与EF为异面直线，即可判断出正误；B．计算•与0 比较，即可判断出正误；C．根据GE∥DC1，DC1∥AB1，可得四边形AB1EG为梯形，即可判断出正误；D．连接BC1，可得BC1∥EF，于是EF∥AD1，即可判断出正误．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A．B1G与EF为异面直线，因此A不正确；B．A1（5，0，0），4，1），2，3），2，2），＝（0，2，8），，0，1），∵•，因此A1H与EF不垂直，因此B不正确；C．∵GE∥DC1，DC7∥AB1，∴GE∥AB1，GE＝AB1，于是四边形AB7EG为梯形，因此B1G与AE相交，因此C正确；D．连接BC1，则BC7∥EF，又BC1∥AD1，因此EF∥AD6，可得平面AEF∩平面AA1D1D ＝AD6，故正确．故选：CD．【点评】本题考查了正方体的性质、空间线面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）已知直线l：x+y+2＝0与椭圆Γ：＝1交于A，直线l1与椭圆T交于M，N两点，有下列直线l1：①x﹣y﹣2＝0；②x+；③x+y﹣2＝0；④x﹣y+2＝01可以是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④【分析】根据于椭圆具有轴对称和中心对称的性质，经过平移和旋转即可求出直线l1的方程．【解答】解：由于椭圆具有轴对称和中心对称的性质，把直线l向右平移到l1为：x+y﹣7＝0时，当线l：x+y+5＝0与原点对称时1为x﹣y﹣2＝0，再把直线x﹣y﹣2＝0向左平移到，此时满足△OAB与△OMN的面积相等，故满足直线为①③④，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，以及直线的平移和旋转，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，满分35分）17．（7分）已知复数z1，z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，且复数z1在复平面内对应的点在第一象限，若z1+2z2＝12﹣3i，其中i是虚数单位．（1）求复数z1，z2；（2）若复数z满足|z|＝1，求|z﹣z1|的最大值和最小值．【分析】（1）设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi（a＞0，b＞0），代入z1+2z2＝12﹣3i，整理后利用复数相等的条件列式求得a与b的值，则z1，z2可求；（2）满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，求出|z1|，则|z﹣z1|的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi（a＞5，b＞0），由z1+6z2＝12﹣3i，得（a+bi）+5（a﹣bi）＝3a﹣bi＝12﹣3i，∴3a＝12，b＝3，b＝3．∴z8＝4+3i，z6＝4﹣3i；（2）满足|z|＝6的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，而，∴|z﹣z1|的最大值为2，最小值为4．【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．18．（7分）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4（1）若军营所在区域为Ω：x2+y2≤2，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为Ω：|x|+2|y|≤2，求“将军饮马”的最短总路程．【分析】设点A（3，0）关于直线x+y＝4的对称点为A′（a，b），由对称性，解得A′（4，1），作出可行域，结合图形，即可解得答案．【解答】解：由题知点A（3，0）和军营所在区域在河岸线所在直线的同侧，设点A（8，0）关于直线x+y＝4的对称点为A′（a，则AA′的中点M（，）在直线x+y＝3上，则有，解得，1），（1）若军营所在区域为Ω：x2+y7≤2，作图如下：设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程|PB|+|P A|＝|PB|+|P A′|，要使得路程最短，只需要|PB|+|P A′|最短，即点A′到军营的距离最短，即点A′到x2+y2≤2的最短距离，为|OA′|﹣＝﹣（2）若军营所在区域为Ω：|x|+2|y|≤2，作图如下：联立，解得x＝6，即B（2，所以点A′到区域Ω最短距离|A′B|＝＝，【点评】本题考查曲线与方程，最值，解题关键是利用数形结合思想，属于中档题．19．（7分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，点P在底面ABCD（含边界）内运动．（1）证明：BD⊥平面AA1C1C；（2）若A1P和A1B与平面ABCD所成的角相等，求点P的轨迹长度．【分析】（1）连接AC，结合正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C1C．（2）连接A1P，根据题意可得tan∠A1BA＝tan∠A1P A，推出AB＝AP，点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，进而可得点P的轨迹长度．【解答】（1）证明：连接AC，由正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AA2∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C．（2）解：A6B与平面ABCD所成的角为∠A1BA，A1P与平面ABCD所成的角为∠A8P A，所以tan∠A1BA＝tan∠A1P A，即＝，所以AB＝AP，所以点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，所以点P的轨迹长度为×2π×1＝．【点评】本题考查立体几何中的轨迹问题，解题关键是明确轨迹形状，属于中档题．20．（6分）已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，且直线l交椭圆C于A，点A，F，B在直线l'：x＝4上的射影依次为点D，K（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探究λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值；否则，说明理由；（3）连接AE，BD，试探究当m变化时，请求出定点的坐标，并给予证明，说明理由．【分析】（1）根据题意可得c＝1，有抛物线x2＝4的焦点坐标得b，计算出a2＝b2+c2＝4，进而可得椭圆C的方程为．（2）根据题意可得l与y轴的交点为M（0，﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，用坐标表示＝λ1，得λ1＝﹣1﹣，同理λ2＝﹣1﹣，再计算化简λ1+λ2即可得出答案．（3）由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2），进而可得D（4，y1），E（4，y2），写出直线AE 方程，再把x＝代入，得y＝0，推出点N（，0）在直线AE上，同理可证，点N（，0）也在直线BD上，进而得出结论．【解答】解：（1）易知椭圆的右焦点为F（1，0），所以c＝7，抛物线x2＝4的焦点坐标为（0，），所以b＝，a2＝b2+c5＝3+1＝7，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）易知，m≠4，﹣），设直线l交椭圆于A（x1，y7），B（x2，y2），由，得（7m2+4）y6+6my﹣9＝6，所以△＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m3+1）＞0，所以y2+y2＝﹣，y8y2＝﹣，又由＝λ6，所以（x1，y1+）＝λ1（1﹣x6，﹣y1），所以λ1＝﹣3﹣，同理λ4＝﹣1﹣，所以λ1+λ2＝﹣6﹣（+），因为+＝＝﹣）＝，所以λ3+λ2＝﹣2﹣（+）＝﹣2﹣•，所以λ1+λ7的值为﹣．（3）由（2）知A（x2，y1），B（x2，y8）所以D（4，y1），E（7，y2），所以直线AE方程为：y﹣y2＝（x﹣4），当x＝时，y＝y2+（﹣＝＝＝＝3，所以点N（，2）在直线AE上，同理可证，点N（，所以m变化时，直线AE与直线BD相交于定点（．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点，定值问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．21．（8分）已知平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x＝﹣1的距离之和为3的动点M的轨迹是Γ，（1）求曲线Γ与x轴的交点P的坐标；（2）求曲线Γ的方程；（3）设B（a，1）（a为常数），求|MA|+|MB|的最小值d（a）．【分析】（1）设点M坐标为（x，y），根据题意可得+＝3，令y ＝0，求得x，即可得出答案．（2）分类当x＜﹣4时，当﹣4≤x≤﹣1时，当x＞﹣1时，讨论曲线Γ方程．（3）通过分类讨论，在不同范围内，由曲线方程的意义求得最小值．【解答】解：（1）设点M坐标为（x，y），因为动点M到定点A（1，0）的距离到定直线x＝﹣3的距离之和为3，所以+＝3，当y＝0时，代入求得x＝±，所以曲线Γ与x轴的交点P的坐标（±，0）；（2）由（1）知曲线Γ方程为+＝3，当x＜﹣4时，因为|x+8|＞3，当﹣4≤x≤﹣6时，化为，化为y2＝10x+15（﹣≤x≤﹣1），当x＞﹣1时，化为，化为y7＝﹣2x+3（﹣5＜x≤），综上可得，曲线方程为y7＝10x+15（﹣≤x≤﹣6）2＝﹣2x+3（﹣1＜x≤），（3）当﹣≤x≤﹣5时2＝10x+15，当﹣1＜x≤时，曲线Γ化为y2＝﹣8x+3，令y＝1则10x+15＝8或﹣2x+3＝2，解得x＝﹣1.4或x＝4，①当a≤1.4或a≥7时，MB+MA≥BA，所以d（a）＝|AB|＝＝，②当﹣1＜a＜1时，当直线y＝7与y2＝﹣2x+4（﹣1＜x≤）相交时，交点M满足MB+MA取得最小值，因为抛物线准线方程为x＝2，所以直线y＝1与准线交点坐标为（7，1），此时d（a）＝2﹣a，③当﹣6.4＜a≤﹣1时，当直线y＝5与y2＝10x+15（﹣≤x≤﹣1）相交时，交点M满足MB+MA取得最小值，此时抛物线准线的方程为形，所以y＝1与准线交点坐标为（﹣4，1），此时d（a）＝a+4，综上所述d（a ）＝．【点评】本题考查了曲线轨迹方程的求法，解题关键是利用分类讨论思想确定方程的解析式，求出最小值，属于中档题．第21页（共21页）。
2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．在的二项展开式中，系数最大的项为______.81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】70【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当时，二项展开式的系数为正，求出各项，0,2,4,6,8r =得到系数最大的项.【详解】的二项展开式为，81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()8182188C 1C r r r r r r r T x x x ---+=-=-显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负，0,2,4,6,8r =1,3,5,7r =其中，，()()2408824440183858C ,1C 28,1C 70T x x T x x T x ===-==-=()6644781C 28T x x --=-=，()8888981C T xx --=-=故系数最大的项为.570T =故答案为：702．已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距19π36π离为______.【答案】1或17【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为和，分别求得两个平行截面的半径和球心到19π36π截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解.【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为和，19π36π6，则球心到截面，1O9=球心到截面，2O 8=当截面圆在球心的同侧时，如图所示：这两个平行截面之间的距离为12981O O =-=当截面圆在球心的异侧时，如图所示：这两个平行截面之间的距离为 ，129817O O =+=故答案为：1或173．有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有______种不同的选法.【答案】4096【分析】按分步计数原理计算可得.【详解】由已知得，每位顾客都有8种选法，所以共有种方法，4888884096⨯⨯⨯==故答案为：40964．现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【分析】因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队两种情况进行分类计算即可.【详解】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有种分法，再将四组老师分到4个班24C 级共有种分法；44A即甲乙同队共又种；2444C A 144=②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有种分法，再将甲、44A 乙分别分到两个不同的班级共有种分法；24A 即甲、乙不同队共有；4244A A 288=综上可知，不同的带队方案共有种.144288432+=故答案为：4325．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数16080260200740560好评率0.40.30.20.250.30.15（好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值）从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为______.【答案】##0.75294125【分析】直接查出总电影数和获奖的电影数，然后根据古典概率计算公式进行求解即可.【详解】根据已知条件，一共有部电影，160802602007405602000+++++=其中获得好评的电影共有.1600.4800.32600.22000.257400.35600.15496⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选取一部电影没有获得好评的概率为.496150494120002000125-==故答案为：941256．除以17的余数为______.504【答案】16【分析】由题得，根据二项式展开解决即可.5502(1741)=-【详解】由题知，，250250124121522412425025252525252505(1471)17(1)17(1)17(1)....17(1)17(1)C C C C C =-=-+-+-++-+-因为是17的倍数，只有最后一项不能被17整除，17n1-所以除以17的余数为16，1-所以除以17的余数为：16504故答案为：167．8个男生和4个女生排成一排，要求女生不排在两端，则4个女生排在一起的概率为______.【答案】7450【分析】根据排列组合计算排法，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】8个男生和4个女生排成一排，则排法总数为，1212A 女生排在两端的情况，则排法数为，即女生不排在两端的排法数为，210410A A 1221012410A A A -女生排在一起，不排在两端的排法数为，481487A A C 则4个女生排在一起的概率为，4814871221012410A A C 4!8!74!77A A A 12!4310!121110943109450⨯⨯⨯===--⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯故答案为：.74508．某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是______.【答案】1727【分析】利用古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】选出的27人中有12名男生，有9名高二学生，其中此人是男生或高二年级学生的人数为17人，此人是男生或是高二年级学生的概率是，1727故答案为：.17279．甲乙两队进行一场排球比赛，采用五局三胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛），已知每局甲队胜乙队的概率是，且各局比赛的胜负相互独立，则最终甲队获胜的概率为______.14【答案】53512【分析】分别求出比赛场数为时甲队获胜的概率，即可得出答案.3,4,5【详解】设甲队获胜时进行了场比赛，，X 3,4,5X =，，()3113464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()22313194C 444256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2224131275C 444512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故最终甲队获胜的概率为：.()()()19275334564256512512P P X P X P X ==+=+==++=故答案为：5351210．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序310固定，则共有______种不同的站队方法.【答案】25200【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【详解】设10名学生中，有女生人，男生人，x ()10x -则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率，()()1210310109C C 32C12010x x x x x P ---⨯===整理得：，即()()10972x x x --=321990720x x x -+-=因式分解可得：，()()()61120x x x ---=解得：或（舍去）或（舍去）61x =>1x =12x =所以10名学生中，有女生6人，男生4人，将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法，66A 6467A A 因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法，44A 所以一共有，646744A A 654321765425200A 4321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯故答案为：2520011．已知球的表面积为，点A 、、在球的表面上，且，O 676πB C O 7AB =，，则球心到平面的距离为______.8AC =120BAC∠=︒O ABC 【分析】球心到平面的距离即为球心到的外心的距离，由余弦定理求得BC ，再由O ABC O ABC 正弦定理求得外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离.ABC 【详解】球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，O ABC 1O O ABC 1OO球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，O 676πO r 2π676πr =26r =26OA OB OC ===则为的外心，111O A O B O C ==1O ABC∵，，，由余弦定理得，由正弦定理7AB =8AC =120BAC ∠=︒BC得，外接圆半径ABC 112sin120BC O A =×故到平面1OO O ABC12．用一根长为54的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A 、、，将半径为6的球放置在这个B C 框架上（如图），若是球上任意一点，则四面体体积的最大值是______.M MABC【答案】【分析】设的内切圆心为，球心为，由几何关系求出，即可求出到底面的ABC 1O O 1OO M ABC 高的最大值，即可求体积的最大值.h【详解】正的边长为18，设的内切圆心为，半径为，则ABC ABC 1O r 13r =´=设球心为，则，则到底面的高的最大值为.O 13OO =M ABC h 369+=故四面体体积的最大值为.MABC 1118932æç´´´´=çè故答案为：二、单选题13．在下列各事件中，发生可能性最大的是（ ）A ．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2C ．有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖D ．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球【答案】A【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.【详解】对于A ，抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率；34P =对于B ，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可以为1，2，3，4，5，6，点数大于2的概率为；4263P ==对于C ，有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率；501100020P ==对于D ，袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率；205287P ==又，故发生可能性最大的是A ；352147320>>>故选：A 14．已知，，，则事件与的关系是（ ）()2532P A B =()78P A =()34P B =A B A ．与互斥不对立B ．与对立A B A B C ．与相互独立D ．与既互斥又独立A B A B 【答案】C【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互()78P A =()18P A =()()()78P A P B P A B +=≠ A B 斥，不对立；再利用算出即可得到答案()()()()P A B P A P B P A B =+- ()332P A B ⋂=【详解】由可得，()78P A =()()711188P A P A =-=-=因为，则与不互斥，不对立，()()()78P A P B P A B +=≠ A B 由可得，()()()()P A B P A P B P A B =+- ()332P A B ⋂=因为，所以与相互独立()()()332P A P B P A B ⨯==⋂A B 故选：C15．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）()1nx +511A ．B ．C ．D ．162152142132【答案】C【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，()1nx +5T 11T n 进而求得的值，由此得解.n 【详解】因为的展开通项为()1nx +1C 1C k n k k k kk n n T x x -+==又因为第项与第项的系数相等，所以，511410C C n n =由二项式系数的性质知，则，故，1010C C n n n -=410C C n n n -=14n =所以的二项展开式中所有项的系数之和为.()1nx +1422n =故选：C.16．已知，则（ ）()727012752x a a x a x a x -=++++ 0127a a a a ++++=A ．128B ．2187C ．78125D ．【答案】D【分析】由展开式通项公式可得系数小于0，系数大于0，由赋值法令0246a a a a 、、、1357a a a a 、、、，所求值即为.=1x -()7-5-1-2⨯⎡⎤⎣⎦【详解】的展开式中第项为，故系数()752x -1k +()()()77771777C 52C 52=kkkkk kk kk k T x x a x ----+-=-=-，()777C 52kk kk a --=-即当为奇数时，系数小于0，当为偶数时，系数大于0.k 0246a a a a 、、、k 1357a a a a 、、、.()7012701234567-823543----5-1-2a a a a a a a a a a a a ++++=++++=⨯=⎡⎤⎣⎦故选：D三、解答题17．如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径ABC 所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积.AB C【答案】表面积为，体积为(144π+(48π-【分析】作，三角形是等腰三角形，得到O 为圆心，分别求得圆锥AO 和圆锥BO 的CO AB ⊥ABC 底面半径，高和母线长求解.【详解】解：作，如图所示：CO AB ⊥因为三角形是等腰三角形，ABC 所以O 为圆心，因为，所以，6r =6AC BC CO ===所以，6AOBOS S π==⨯⨯=圆锥侧圆锥侧所以；(2462144AOBOS S SSππ=++=⨯+⨯=+几何体球圆锥侧圆锥侧则，1663AO BOV Vπ==⨯⨯=圆锥圆锥所以.()(2462483AO BO V V V V ππ=-+=⨯-⨯=-几何体球圆锥圆锥18．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm.(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？【答案】(1)3400πcm 3(2)26400克π【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：，313344256ππ4πcm 333V R ===⨯圆柱体积为：，2232ππ4348πcm V R h =⋅=⨯⨯=所以浮球的体积为：.312256400π48ππcm 33V V V =+=+=（2）上下半球的表面积：，22214π4π464πcm S R ===⨯圆柱侧面积：，222π2π4324πcm S Rh ==⨯⨯=所以，1个浮球的表面积为，264π24π88πcm S =+=3000个浮球的表面积为：，2300088π=264000πcm ⨯因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶克.264000π0.1=26400π⨯19．已知（为正整数）的二项展开式中.nn(1)若，求所有项的系数之和；024C C C 256n n n +++= (2)若，求展开式中的有理项的个数；012C C C 821n n n ++=(3)若，求系数最大的项.30n =【答案】(1)932⎛⎫⎪⎝⎭(2)11(3)101011301C 2T ⎛⎫= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.9n=91x =（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；40n=40310Z 4r -∈（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，1r+4011303011303011C C 2211C C 22rr r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，0123C C C C C 2n nn n n n n +++++= 而，0241351C C C C C C 2n n n n n n n -+++=+++= 所以.122569n n -=⇒=所以令中，则所有项的系数之和为：.91x =9913122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若，则，12C C C 821nnn++=()118212n n n -++=，解得：.()()40410n n -+=40n =则的通项为：，40340104140401C C 2r rrr r r T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，要使展开式为有理项，{}0,1,2,3,,40r ∈则，则，310Z4r -∈0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40r =故展开式中的有理项的个数为.11（3）若，则的通项为：，30n=30303304130301C C 2r rrrrr r T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭则设二项式展开式第项的系数最大，1r +则，得，11303011303011C C 2211C C 22rr r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()()()()()()1130!130!1!30!21!31!230!130!1!30!21!29!2r r r r r r r r r r r r -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎩化简得：，解得：.()11231113021r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥-+⎪⎩283133r ≤≤因为，则，所以系数最大的项为.r ∈Z 10r =101011301C 2T ⎛⎫= ⎪⎝⎭20．如图，在正三棱柱中，底面的面积为60，是的中点.111ABC A B C -ABCD AB (1)求异面直线与所成的角的大小；1C DAC (2)求直线与平面所成的角的大小.1C D 11ACC A 【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，取直线的方向向量，可得答案.（2）根据（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量，可得答案.【详解】（1）在正三棱柱中，，111ABC A B C -21sin 602ABC S AB =⋅⋅= 4AB =由侧面积为，则，解得，601360AB AA ⋅=15AA =取中点，连接，而是为中点，则，11A B 1D 1,CD DD D AB 11,//CD AB DD AA ⊥又平面，平面，有，因此，两两垂直，1AA ⊥ABC CD ⊂ABC 1AACD ⊥1DD CD ⊥1,,DBDC DD 以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，()10,C ()0,0,0D ()2,0,0A -()0,C 即，，异面直线与所成的角，()10,DC =()2,AC =1CD AC θ则，111||cos |cos ,|||||DC AC DC AC DC AC θ⋅====θ=故异面直线与所成的角为.1C D AC （2）由（1）知，，令平面的法向量，1(0,0,5)CC = 11ACC A (,,)n x y z = 则，令，得，令直线与平面所成的角为，12050n AC x n CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1y =(n = 1C D 11ACC A α则，111||sin |cos ,|||||n DCn DC n DC α⋅====α=所以直线与平面所成的角的大小为1C D 11ACC A 21．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，P ABCD -PA ⊥ABCD Q BC 2AB =，.4=AD 3PA =(1)求点到平面的距离；A PQD (2)求二面角的大小；A PD Q --(3)已知为的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，求这只蚂蚁爬到点的E PDB E 最短距离（结果精确到0.01）.【答案】(2)(3)3.61【分析】(1)应用等体积法可求点到平面距离;(2)建立空间直角坐标系,空间向量法求出二面角平面角;(3)分三种情况进行求侧面展开图求距离最小;【详解】（1）连接，AQ设点到平面的距离为,A PQD A h 因为,又因为平面,所以.A PQDP AQDV V --=PA ⊥ABCD 1133PQD A AQD S h S PA ⋅=⨯ 因为，，,底面是矩形，2AB =4=AD 3PA =ABCD所以,所以，5PQ QD PD ===222PQ QD PD +=则12PQD S == 14242AQD S =⨯⨯= 所以,即得1133PQD A AQD S h S PA ⋅=⨯ 1433A h =⨯⨯A h ==（2）如图建系,()()()()0,0,0,0,0,3,0,4,0,2,2,0A P D Q 设平面的法向量为,设平面的法向量为APD ()1,0,0n =PDQ (),,m x y z =()()0,4,3,2,2,0PD QD =-=-可得,即,,所以00m PD m QD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 430220y z x y -=⎧⎨-+=⎩334x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩()3,3,4m = 设二面角的平面角为A PD Q --θcos =所以θ=（3）该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内,设PBC PDC △E PBC PDC △,,BPC CPD γβ∠=∠=因为5,BC 4,CD 2,PC 2PB PE =====所以，，222PB BC PC +=222PD CD PC +=所以cos γγββ====，()1cos cos cos cos sin sin BPE γβγβγβ∠=+=-=在中,PBE △22211112cos BE PB PE PB PE BPE =+-⨯⨯∠25513242=+-774=该蚂蚁可能沿着和到达点，故将和展开在一个平面内,PBA △PDA E PBA △PDA ，25,4,2,52DE AD AB PD ====4cos 5ADP ∠=在中,2DBE ，2222222cos BE DB DE DB DE BDP=+-⨯⨯∠2554257336261242544=+-⨯⨯⨯=+=该蚂蚁可能沿着矩形和到达点，故将矩形和展开在一个平面内,ABCD PDA E ABCD PDA ，35,4,2,5,32PE AD AB PD PA =====33cos 5BPE ∠=在中,，3PBE △22233332cos BE PB PE PB PE BPE =+-⨯⨯∠2553256525251042544=+-⨯⨯⨯=+=因为，22137765044BE BE -=-=<所以，222132BE BE BE <<因为所以，223.612.96,3.6113.0321,==217732540 3.6113.02429BE -⨯≈-≈所以，1 3.61BE 所以蚂蚁从点出发，沿着四棱锥的表面爬行，这只蚂蚁爬到点的最短距离为.B E 3.61。
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上海中学2015学年第一学期期终考试
高二年级数学试卷
一. 填空题
1. 若不同的两点A 和B 都在参数方程式1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是 ； 2. z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则||z = ；
3. 将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的
13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ， 则椭圆E 的焦点坐标是 ；
4. 若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是 ；
5. 若双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相 等，则双曲线H 的方程是 ；
6. 二次函数238y x =
的图像的准线方程是 ； 7. 以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是 ；
8. 已知直线y m =与方程y =（[21,21]x k k ∈-+，k Z ∈）的曲线相交， 相邻交点间的距离皆相等，则m = ；
9. 设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合
M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是 ；
10. 已知动圆过定点(4,0)A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其 半径的最小值是 ；
11. 设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=（0y ≥）上，使得2OP PQ =（O 为坐标系 原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是 ；
12. 设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为 直径的圆过点(0,2)，则p 的值为 ；
二. 选择题
13. 已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）
A. 22x t y t =⎧⎨=-⎩
B. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩
C. 22x t y t =⎧⎨=-⎩
D. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩
14. 集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）
A. M R =∅
B. 0M ∉
C. 若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限
D. 若z M ∈，||2z =，则z 一定是纯虚数
15. 已知动圆C 的圆心00(,)x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与 圆22(3)1x y -+=（ ）
A. 总是相离
B. 总是外切
C. 一定有两个不同的公共点
D. 可以有公共点，也可以没有公共点
16. 已知点35(,)22
-
和点都在一条既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的二次曲线 上，则这条二次曲线（ ）
A. 一定是圆
B. 一定是椭圆
C. 一定是双曲线
D. 可以是椭圆，也可以是双曲线
17. 设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得22{,}{,}a b a b =成立，则满足要求的 集合A 的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 18.
设集合{(,)|1}A x y ==
，{(,)|x B x y y ⎧=⎪=⎨=⎪⎩(t 为参数)}，
则有（ ）
A. A B =∅
B. B A ⊂
C. A B =
D. 22{(,)|1}A
B x y x y =+=
三. 解答题
19. 把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩
化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相 应的曲线；
20. 已知z 是纯虚数并使得
21z R i
+∈-，求z ；
21. 对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，
若集合{(,)|(0}A x y x x ==，集合{(,)|}B x y y x k ==+，其 中k 是常数，求()f A B ；
22. 已知椭圆E 的方程是2
214
y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与 椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求||AB 的最大值；
23. 在如图所示的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过 点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴 长是2
H a ，试用两种方法证明：(2)(2)E H a a AB CD ⋅=⋅；
24. 设(,)M M M x y 是抛物线2
:2P x py =（0p >）上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一 的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求 动点F '的轨迹方程；。