圆锥曲线部分二级结论
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+by y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B aA =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--1111 15.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝+→)(lim ，b ax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34= 17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29) AC C B B A S z A C y C B x B A ?+?+?==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ac e =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=+- 24.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab。
圆锥曲线常用二级结论及推导
圆锥曲线常用二级结论及推导
一级定理：
圆锥曲线以圆锥为开口的曲面，可以分为无穷类：双曲线、抛物线、圆环等，它们具有相同的曲线性质：
其曲线方程与相应圆锥的椭球坐标方程有关；
1. 每条曲线都由两个圆锥内切，且两个圆锥圆心恒定；
2. 每条曲线都内切于两个椭球相同的u轴对称，且保证轴线恒定；
3. 每条曲线都具有特定的v轴对称性，即它的曲线的曲线的v值是它的相反数；
4. 各曲线的曲率系数及曲率半径都是椭球坐标系中固定的；
5.曲线的凹凸性及其轮廓都是椭圆的图形而不受其开口的圆锥影响。
1. 椭圆圆锥曲线的抛物线曲线方程：
uV=C。
其中，C为椭球坐标系中定义的一个常量，用来表示曲线定义的空间维度。
证明：由三维圆锥的椭球坐标方程u2/ a2+v2 /b2=1，得到uV/a2b2=1，即uV=a2b2，故结论得证。
关于圆锥曲线的二级结论
关于圆锥曲线的二级结论一、概述圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，由于其广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，因此对其性质和特征的研究具有重要意义。
本文将介绍圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
二、焦点定理1.定义焦点定理是描述圆锥曲线与其两个焦点之间距离关系的定理。
对于一个圆锥曲线，它与其两个焦点之间的距离之和等于常数2a，即：PF1 + PF2 = 2a其中PF1和PF2分别表示曲线上任意一点到两个焦点的距离。
2.证明为了证明焦点定理，我们可以使用以下方法：（1）假设一个圆锥曲线C是由一个固定点F1和一个固定直线L（称为直母线）生成的。
将另一个焦点F2定义为C上任意一点P到直母线L垂直平分线与L交点。
（2）根据定义得到PF1 + PF2 = 2a。
（3）利用勾股定理可以得到：PF1^2 = d^2 + (a - x)^2PF2^2 = d^2 + (a + x)^2其中d表示点P到直母线L的距离，x表示点P到直母线L垂直平分线的距离。
（4）将PF1和PF2代入焦点定理公式中，得到：d^2 + (a - x)^2 + d^2 + (a + x)^2 = 4a^2化简可得：x^2 = a^2 - d^2这个结论表明，圆锥曲线上任意一点到其两个焦点的距离之和等于常数，与其到直母线的距离平方成比例。
三、切线方程和法线方程1.定义对于一个圆锥曲线C上任意一点P，我们可以定义它的切线为通过该点且与C相切的直线。
同样地，我们可以定义它的法线为通过该点且垂直于切线的直线。
对于一个二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），其在某个点处的切线和法线可以用以下方式求出：（1）切线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = F’(x0,y0)(x - x0)（2）法线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的法线方程为：y - y0 = -1/F’(x0,y0)(x - x0)2.举例以椭圆为例，设其方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1则在点P(x0,y0)处，有：F(x,y) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - 1F’(x,y) = 2x/a^2 + 2y/b^2因此，该椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为：y - y0 = (-x/a^2)/(y/b^2)(x - x0)化简可得：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = -(x - x0)/a^2同样地，它的法线方程可以由切线方程变形得到：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = a^2/(y - y0)四、总结本文介绍了圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线部分二级结论
圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b，b）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
本文档总结了高中数学中与圆锥曲线有关的二级结论。
包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆结论
1. 椭圆的定义：椭圆是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率介于0和1之间。
3. 椭圆的焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
4. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 椭圆的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴的差除以长轴。
双曲线结论
1. 双曲线的定义：双曲线是到两个定点距离之差等于常数的点
的轨迹。
2. 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
3. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
4. 双曲线的长轴和短轴：双曲线的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 双曲线的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴
的差除以长轴。
抛物线结论
1. 抛物线的定义：抛物线是到一个定点距离等于定直线距离的
点的轨迹。
2. 抛物线的焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是焦点和准线的交点。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于准线，通过顶点。
5. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。
以上是高中数学圆锥曲线二级结论的大全。
希望能对你的学习有所帮助！。
圆锥曲线的二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
首先我们来看椭圆。
椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。
取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。
根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。
又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。
因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。
所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
我们需要证明N恰好是焦点F。
首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。
其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。
根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。
而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。
所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。
通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。
接下来我们来看双曲线。
双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。
取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。
根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。
又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。
因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。
所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
高中常用圆锥曲线常用的二级结论汇总
圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线抛物线标准方程()012222>>=+b a by ax 焦点()()0021，，，c F c F -()0012222>>=-b a by ax ，焦点()()0021，，，c F c F -()022>=p px y 焦点⎪⎪⎭⎫⎝⎛02，p F 图像焦半径的坐标形式0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标0201ex a PF ex a PF -=+=，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标20p x PF +=x 0为点P 的横坐标焦半径的角度形式θcos 2c a b PF -=PFO∠=θac b PF ±=θcos 2PFO ∠=θ，同正异负θcos 1+=p PF PFO∠=θ通径ab 22ab 22p 2焦点弦的角度形式θ2222cos 2c aab PQ -=PFO ∠=θθ2222cos 2c aab PQ -=PFO∠=θθ2sin 2p PQ =PFO∠=θ两条焦半径的关系2211ba QF PF =+2211ba QF PF =±同正异负pQF PF 211=+椭圆双曲线抛物线焦三角形2tan221θb S F PF =∆离心率βαθsin sin sin +=e 2tan2cot 2221θθb b S F PF ==∆离心率βαθsin sin sin -=e θsin 22p S POQ =∆θ为直线PQ 倾斜角顶角范围21PF F ∠=θ点P 由长轴端点向短轴端点运动的过程中，θ逐渐增大21PF F ∠=θ点P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小点P 与点Q 由原点向远离原点运动的过程中，POQ ∠逐渐减小垂径定理22a b k k OC AB -=⋅C 为线段AB 的中点22a b k k OC AB =⋅C 为线段AB 的中点py k C AB =⋅y c 为点C 的纵坐标椭圆双曲线抛物线周角定理22ab k k PB P A -=⋅P 为椭圆上异于A 与B 的点22a b k k PB P A =⋅P 为双曲线上异于A 与B 的点无周角定理推广形式22ab k k PB P A -=⋅直线AB 过原点O P 为椭圆上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在22a b k k PB P A =⋅直线AB 过原点O P 为双曲线上异于A 与B 的点且P A k 与PB k 均存在无准线方程椭圆上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：双曲线上任意一点P 到焦点F 和到准线L 的距离之比为e 焦点F 与准线L 在y 轴的同侧ca x L 2±=：抛物线的焦点F 与准线L 在y 轴的异侧2p x L -=：椭圆双曲线抛物线准线的性质=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为准线L 与x 轴的交点焦点F 与准线L 在y 轴的同侧=+PB P A k k 直线AB 过焦点F P 为抛物线准线L 与x 轴的交点切线方程点()00,y x P 在椭圆上椭圆在点P 处的切线方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线上双曲线在点P 处的切线方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线上抛物线在点()00,y x P 处的切线方程为()x x p y y +=00切点弦方程点()00,y x P 在椭圆外过点P 作椭圆的两条切线交椭圆于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=+by y ax x 点()00,y x P 在双曲线外过点P 作双曲线的两条切线交双曲线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为12020=-by y ax x 点()00,y x P 在抛物线外过点P 作抛物线的两条切线交抛物线于A 、B 两点则切点弦AB 的方程为()x x p y y +=00。
史上最全圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)二级结论
史上最全圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）二级结论第一部分 椭圆二级结论大全1.122PF PF a += 2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b+=+;(2) L = 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=，2(tan )2b Pc γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立. 25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,ce a=);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离，ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc eα≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a -c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a -c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a =-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.第二部分 双曲线二级结论1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
以下是一些高中数学圆锥曲线的二级结论:
1. 过曲线和直线的交点的曲线系方程为 ,其中为参数。
2. 共焦点的有心圆锥曲线系方程为 ,其中表示椭圆，表示双曲线。
3. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为 ,其中为直线的倾斜角，为直线的斜率。
4. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：当曲线上的点 A 和 B 重合时，线段 AB 的中点 M 的横坐标等于 A、B 两点的横坐标之差。
5. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是 ;曲线关于直线成轴对称的曲线是。
6. 椭圆与双曲线对偶结论：椭圆双曲线标准方程中，焦点焦点焦半径为离心率，为点的横坐标。
为椭圆上一点，为焦点;为双曲线上一点，为焦点。
7. 通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径，通径长为。
8. 直线过焦点与椭圆相交于两点，则的周长为 ;直线过焦点与双曲线相交于两点，则。
9. 焦点弦倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点，焦点弦长最长为长轴，最短为通径;倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点，焦点弦长最长为通径，最短为。
10. 与数量关系直线过焦点与椭圆相交于两点，则 ;直线过焦点
与双曲线相交于两点，则。
这些结论有助于更好地理解和掌握圆锥曲线的性质和结构，有助于提高解题速度和效率。
圆锥曲线二级结论常用
圆锥曲线二级结论常用1. 圆锥曲线的离心率定义：$e=\frac{c}{a}$，其中$a$为长轴的长度，$c$为离心点到焦点的距离。
2. 椭圆和双曲线的离心率分别为$0<e<1$和$e>1$，而抛物线的离心率为$e=1$。
3. 圆锥曲线的直线方程：对于椭圆和双曲线，直线方程通常为$y=mx+n$或$x=my+n$形式；而对于抛物线，直线方程为$x=a$或$y=b$形式。
4. 圆锥曲线的参数方程：椭圆和双曲线通常由参数方程$x=a\cos t,\ y=b\sin t$或$x=a\sec t,\ y=b\tan t$等表示；而抛物线通常由参数方程$x=at^2,\ y=2at$表示。
5. 圆锥曲线的一般式：一般式通常为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$形式，其中$B^2-4AC<0$表示椭圆，$B^2-4AC>0$表示双曲线，$B^2-4AC=0$表示抛物线。
6. 圆锥曲线焦点和准线：对于椭圆和双曲线，焦点分别位于中心点的两侧，而准线为离心点所在的直线；对于抛物线，焦点位于抛物线的顶点，准线为与对称轴平行的直线。
7. 圆锥曲线的离心角和离心距离：对于椭圆和双曲线，离心角$\theta$由$\cos \theta=\frac{c}{a}$或$\cosh\theta=\frac{a}{c}$计算，离心距离$d=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{2}$；对于抛物线，离心角和离心距离都为$0$。
8. 轴线、标准方程和对称性：对于椭圆和双曲线，轴线分别为长轴和短轴，标准方程为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$或$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$形式，具有$x$轴、$y$轴或原点对称性；对于抛物线，轴线为对称轴，标准方程为$y=ax^2$或$x=ay^2$形式，具有$x$轴或$y$轴对称性。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论包括：
1. 离心率与焦距之间的关系：离心率e是焦点到准线的距离与焦距的比值，对于椭圆和双曲线来说，离心率e小于1；对于抛物线来说，离心率e等于1。
2. 曲线方程：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1，抛物线的标准方程为y² = 4ax。
3. 曲线的对称性：椭圆关于x轴、y轴对称；双曲线关于x轴、y轴对称以及关于原点对称；抛物线关于y轴对称。
4. 焦距和半长轴、半短轴之间的关系：椭圆的焦距为2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² - b²；双曲线的焦距为
2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² + b²；抛物线的焦距为2a，其中a为焦点到准线的距离。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于焦点到准线的中垂线上，焦点和准线的距离相等。
6. 椭圆的准线和双曲线的渐近线：椭圆的准线是它的对称轴，双曲线的渐近线是两条对称轴，与椭圆和双曲线的切线垂直。
以上是一些圆锥曲线常用的二级结论，这些结论对于研究和解题有很大的帮助。
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。
首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。
对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。
假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。
这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。
再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。
若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。
接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。
有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。
还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。
接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。
焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
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一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b，b）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。