函数图像的平移变换经典例题讲解

函数图象考纲解读 1.考查常见函数的图象的平移变换与对称变换；2.以基本初等函数经过代数运算构成的基本函数的图象辨认；3.利用函数图象解决函数性质的应用．[基础梳理]1．利用描点法作函数图象的基本步骤及流程 (1)基本步骤：列表、描点、连线． (2)流程：①确定函数的定义域； ②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．平移变换y ＝f (x )――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . 3．伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a(a >0)倍y ＝f (ax )． y ＝f (x )―――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x )． 4．对称变换y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 5．翻折变换y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. [三基自测]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图象是( )答案：C2．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C 3．函数y ＝ln11＋x的图象大致为( )答案：B4. (必修1·习题1.2B 组改编)函数r ＝f (p )的图象如图所示，若只有唯一的p 值与r 对应，则r 的范围为________．答案：(3,5]∪(0,2)5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝f (x )的图象如图，其定义域为__________．答案：[－π，0)∪(0，π][考点例题]考点一 作函数的图象|方法突破[例1] 作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.[解析] (1)先化简，再作图．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x ＜2，图象如图实线所示． (2)因为y＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．[方法提升] 作函数图象的方法 方法 解读适合题型直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出基本初等函数、“对号”函数转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象绝对值函数图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变能够准确找到基本函数换单位及解析式的影响[母题变式]将本例(3)变为函数y ＝log 2|x －1|，作其图象．解析：作y ＝log 2|x |的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y ＝log 2|x －1|的图象．考点二 函数图象的识别|模型突破角度1 巧用特殊点识别函数图象[例2] (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在同一直角坐标系下的图象大致是( )[解析] 因为函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除选项A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位长度得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除选项C.选B. [答案] B(2) (2018·聊城模拟)如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB ＝2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列选项中，能表示y 与x 的函数关系的大致图象是( )[解析] 当P 为的中点时，即OP ⊥AB 时，S △AOP 最大．此时AP ＝x ＝2，不是1，排除B 、D.当AP ＝x ＝1时，S △AOP ＝34>14.故排除C ，选A. [答案] A [模型解法]角度2 巧用函数性质判断函数图象[例3] (1)在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象只可能是( )[解析] 由选项中的函数图象可知，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 是单调递减的，所以0<ba <1. 因为二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－b 2a ，所以－12<－b 2a <0，即二次函数的对称轴在y 轴的左侧，直线x ＝－12的右侧，显然只有选项A 满足．故选A.[答案] A(2)函数f (x )＝cos xx的图象大致为( )[解析] f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称．f (－x )＝cos (－x )－x＝－cos xx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，则图象关于原点对称，故排除A ，B ， 当x →0＋，cos x →1，cos x x →＋∞，故选D.[答案] D [模型解法][高考类题]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π1－cos π2＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin3π21－cos3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.答案：D考点三 函数图象的应用|方法突破[例4] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x (x >0)，－－x (x ≤0)与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．(－∞，－e]C ．[e ，＋∞)D ．∅[解析] (定性分析)设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧ln (－x )，x <0，－x ，x ≥0，作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示． ∵f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，∴y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，∴－a ≤－e ，即a ≥e.故选C. [答案] C(2)如图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )[解析] (函数模型)当0≤t ≤1时，甲从O 点行往B 点，乙从O 点行往A 点，故所围图形为三角形，所以S ＝12×2t ×t ×sin π6＝12t 2(0≤t ≤1)；当甲从B 点沿圆弧行往C 点时，乙则停在A 点，故所围图形为三角形加扇形，其面积为S ＝S △AOB ＋S 扇形＝12＋12|AB |×3(t －1)＝12＋325－23t －325－23(t >1)． 设t ＝t 0时，甲行至C 点，S 达到最大值S 0，所以S ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t 2，0≤t ≤1，325－23t ＋12－325－23，1<t <t 0，S 0，t >t 0，显然选项A 符合，故选A.[答案] A(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(0≤x ＜1)2x －12(x ≥1)，设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．[解析] (定量计算) 画出函数图象如图所示，由图象可知要使a ＞b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，12≤b ＜1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )＜2.[答案] ⎣⎡⎭⎫34，2[方法提升]解决函数应用问题的常用方法[跟踪训练]1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )解析：分两种情况讨论：当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．答案：B2．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )解析：当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎡⎭⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.答案：C[真题感悟]1.[考点二](2016·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：当x ＝2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，排除A ，B ；易知函数y ＝2x 2－e |x |为偶函数，当x ∈[0,2]时，y ＝2x 2－e x ，求导得y ′＝4x －e x ，当x ＝0时，y ′<0，当x ＝2时，y ′>0，所以存在x 0∈(0,2)，使得y ′＝0，故选D.答案：D2.[考点一、三](2015·高考全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：法一：设平面上一点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋y 12＝－x 0＋x 12，y 1－y 0x 1－x 0＝1，所以x 1＝－y 0，y 1＝－x 0，故点(－2，f (－2))，(－4，f (－4))关于直线y ＝－x 的对称点分别为(－f (－2)，2)，(－f (－4)，4)．由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2＝2－f (－2)＋a ，4＝2－f (－4)＋a ， 所以8＝2－[f (－2)＋f (－4)]＋2a ，故由题设知22a －1＝8， 解得a ＝2.法二：在y ＝f (x )的图象上任取一点P (x 0，y 0)，则P (x 0，y 0)关于直线y ＝－x 对称的点为P ′(－y 0，－x 0)，所以P ′必在y ＝2x ＋a 的图象上，即－x 0＝2－y 0＋a ，所以－y 0＋a ＝log 2(－x 0)，所以y 0＝a －log 2(－x 0)，所以f (x )＝a －log 2(－x )，又f (－2)＋f (－4)＝1，所以2a －log 22－log 24＝1，所以2a －1－2＝1，解得a ＝2，故选C.答案：C3.[考点一、二](2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：当点P 与C 、D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，P A＋PB ＝2P A ＝2 2.显然，1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )不取最大值，故C 、D 选项错误．当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A.故选B. 答案：B4.[考点一、三](2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ， x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．解析：f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.答案：(3，＋∞)。