对数函数图象的平移和变换
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当时，变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).，那么①加法：②减法：③数乘：⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。
对数函数图象平移(优秀)PPT资料
将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位， 5x|的图象，说出二者的关系．
于y轴右侧局部，而将位于y轴右侧局部作关于y 即得y＝log3x－2的图象.
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明二者之间关系．
例1 ．如下图曲线是对数函数y＝logax的图
像，a值取0.2，0.5， 1.5，e，那么相应于C1，
C2，C3，C4的a的值依次
为
．
y
C1
O 1
C2 x
C3
C4
数学探究：
例2．分别将以下函数与y＝log3x的图象在同
一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
(1) y＝log3(x－2)；
y
(2) y＝log3(x＋2)；
对数函数图象平移
情境问题：
对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函 数．对数函数的定义域为(0，＋)，值域 为R ． 对数函数的图象和性质： 对数函数的图象恒过点(1，0)， 当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋) 上递减； 当a＞1时，对数函数在(0，＋)上递 增．
数学应用：
数学应用：
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y ＝log2(－x)的图象，并说明二者之间关系．
y y＝log2(－x)
y＝log2x
x O
将函数y＝log2x的图象作关于y对称的图象， 即为函数y＝log2(－x)的图象．
数学应用：
(3)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与 y＝－log2x的图象，并说明二者之间关系．
O
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
指数函数对数函数图像变换
设奇函数 f(x) 的定义域为[-5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如右图所
示. 则不等式 f(x)<0 的解集
是 (-2, 0)∪(2, 5]
.
y
o 2
x 5
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 Y=f f((x12)的图x象)关于 fx (1212对x称) ，则
f (1 ) f ( 1 ) f ( 3 ) ————
第二象限，则实数m的取值范围是
________.
(2)若0<a<1,b<-1,则函数 f ( x) a x b 的图
象不经过第______象限. （3）函数 y log3(x 1) 的图象经过的象限有
________.
1.若函数y=ax+(b-1)（a>0,且a≠ 1）的图象不经 过第二象限，则有（ ）
1.函数 y=2-x 的图象向右平移 2 个单位
得函数__y_=_2_-x_+2_____的图象. y=2-(x-2)
2.函数y=log2(3x-1)的图象左移2个单
位得函数__y_=_lo_g_2_(3_x_+_5_)__ 的图象.
y=log2[3(x+2)-1]
练习:
（1）要使函数 y 2x1 m 的图象不经过
y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=|f(x)|
y f 1(x)
f
(|
x
|)
f (x),(x 0) f (x),(x 0)
对数函数的图象及性质--优质获奖精品课件 (12)
即0<x<3， y>1.
因为lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)，
所以lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即lgy＝3x·(3－x)， 所以f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0<x<3，
即定义域为(0,3)．
(2)令u＝－3x2＋9x＝－3x－322＋247，0<x<3. 因为0<－3x2＋9x≤247， 所以1<y≤10247， 所以f(x)的值域为(1,10247]．
把本例(1)变成“y＝ log122－x”求定义域．
【解】 由题意可知
log122－x≥0， 2－x>0，
∴log122－x≥log121， 2－x>0，
∴22－－xx≤>01，， 即1≤x<2.
故函数y＝ log122－x的定义域为{x|1≤x<2}.
因忽略对数函数的定义域致误 设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)． (1)求f(x)的表达式及定义域； (2)求f(x)的值域．
D．[0,1]
【解析】 因为y＝ xln(1－x)，所以x1≥－0x，>0 ， 解得0≤x<1.
【答案】 B
3．函数y＝loga(x－1)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________． 【解析】 当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)． 【答案】 (2,1)
4．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋x－1 3； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
2．函数图象的平移变换规律：
3．函数图象的对称变换规律：
函数y＝ fx的图象
―y并―轴“―左复―侧制―图―”象―一去―份掉―翻，―到―右y―侧轴―保左―留侧→
对数函数的性质与图像(对数函数图像及其性质的应用)(课件)-高一数学(人教B版2019必修第二册)
a>1
时，f(x)＝loga
x＋1 x－1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当 0<a<1 时，f(x)
＝loga xx＋－11的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
课堂练习 【训练 1】若 a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
课堂总结
对数型函数 y＝logaf(x)性质的研究
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
常见题型：解对数不等式 【典例】若－1<loga34<1(a>0 且 a≠1)，求实数 a 的取值范
围. 【解析】∵－1<loga34<1，∴loga1a<loga34<logaa.
当 a>1 时，0<1a<34<a，则 a>43；当 0<a<1 时，1a>34>a>0，
5.3 对数函数(第1课时 对数函数的概念、图象和性质)2024-2025学年高一上北师版必修1
3.反函数
指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不
同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数
函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数
规律方法
定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式
被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究点四
对数函数的图象
【例4】 函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
性质 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
解析 由题意知f(x)=2x,
故当x>0时,g(x)=2x+x2.
∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究点三
与对数函数有关的定义域、值域问题
对数函数像变换求对数函数像的平移伸缩与反转
对数函数像变换求对数函数像的平移伸缩与反转对数函数是数学中的一种常见函数形式，广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和计算机科学等。
在图像处理和数据分析中，对数函数的变换常常用于对数据进行压缩、扩展或反转。
本文将重点探讨对数函数像的平移、伸缩以及反转的计算方法和应用。
1. 对数函数基本概念对数函数是指以某个正数为底的对数的函数，常用表示为f(x) =loga(x)，其中a为底数，x为定义域内的正实数。
当底数a大于1时，对数函数为增函数，即随着自变量的增加，函数值也会增加；当底数a介于0和1之间时，对数函数为减函数，即随着自变量的增加，函数值会减小。
2. 对数函数像的平移对数函数的平移可以通过改变函数中的参数实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，当x加上某个常数h时，函数图像沿x轴方向左移h个单位，记为f(x - h)。
同样地，对于f(x) = loga(x)来说，当f(x)加上某个常数k时，函数图像沿y轴方向上移k个单位，记为f(x) + k。
通过平移操作，对数函数的图像可以在坐标系中移动到新的位置。
3. 对数函数像的伸缩对数函数的伸缩可以通过改变函数中的参数实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，若将x替换为x/c，则函数图像沿x轴方向压缩c倍，记为f(x/c)；若将f(x)替换为c*f(x)，则函数图像沿y轴方向伸缩c倍，记为c*f(x)。
通过伸缩操作，可以改变对数函数图像的形状和大小。
4. 对数函数像的反转对数函数的反转可以通过对函数图像应用一定的操作实现，具体而言，对于f(x) = loga(x)来说，将其应用到1/x上，则函数图像将关于直线y = x对称。
这意味着函数图像中的点(x, f(x))的镜像点为(f(x), x)。
通过反转操作，可以使对数函数图像发生关于直线y = x的对称变换。
5. 对数函数像变换的应用对数函数像变换在实际应用中具有广泛的用途。
对数函数考点分析及经典例题讲解
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
对数函数图形与性质(二)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
对数函数4图象平移
代数问题
在解决代数问题时，常常需要将函数图像进行平移来理解 函数的变化规律，例如在研究函数的最值、单调性等问题 时。
要点二
解析几何
在解析几何中，平移用于研究平面几何图形的位置关系和 性质，例如平移变换可以用于证明几何定理或解决几何问 题。
在物理问题中的应用
波动与振动
在波动和振动的研究中，平移用于描述波的传播和物 体的振动，例如在研究声波、电磁波和机械振动等问 题时。
向下平移
总结词
对数函数图像向下平移时，函数的值会减小。
详细描述
当对数函数图像向下平移时，由于对数函数的特性，函数的值会减小。这是因为对数函数的y轴截距 是常数项，当常数项减小，整个函数图像会向下平移。
04 平移的数学表达
x值平移
左加右减
若函数$f(x)$向左平移$a$个单位，则新的 函数解析式为$f(x+a)$；若函数$f(x)$向右 平移$a$个单位，则新的函数解析式为$f(xa)$。
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数学教育
对数函数图像平移是数学教学中的一个重要内容，通过对这一内容的研 究和探讨，可以帮助学生更好地理解对数函数的性质和应用，提高数学 素养和解决问题的能力。
对数函数图像平移的未来发展方向
拓展应用领域
随着科学技术的不断发展，对数函数图像平移的应用领域将会更加广泛，例如在人工智能、机器学习等领域，可以通 过对数函数图像平移来实现数据的缩放、归一化等操作。
深入研究
对数函数图像平移的性质和规律还有很大的研究空间，例如对于不同底数的对数函数图像平移，其规律和性质有何不 同，需要进一步深入研究。
数学与其他学科的交叉研究
对数函数图像平移是数学与其他学科交叉的一个重要研究方向，未来可以通过与其他学科的交叉研究， 进一步拓展对数函数图像平移的应用领域和研究范围。
对数函数(高一新教材A版必修第一册)
对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为( ) A ．5 B.15 C.1e D.12 A [由图可知，a >1，故选A.]2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．f (x )＝log 2x [设对数函数的解析式为f (x )＝l o g a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得l o g a 4＝2，∴a ＝2，即f (x )＝l o g 2x .]3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．(－1，＋∞) [由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．]对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)； ⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( ) A ．③④⑤ B ．②④⑥ C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________.(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎨⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f⎝⎛⎭⎪⎫12＝log212＝－1.]判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)log a x是对数函数，则a＝________.2[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解](1)要使函数f(x)有意义，则log12x＋1>0，即log12x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎨⎧x＋1>0，2－x>0，即⎩⎨⎧x>－1，x<2，解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x＋8>0，2x－1>0，2x－1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x>12，x≠1.故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪12<x<2，且x≠1.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．[解] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0.2．函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．【例3】 (1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[思路点拨](1)结合a>1时y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax及y＝log a x的图象求解．(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a>1，∴0<1a<1，∴y＝a－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.](2)[解]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝log a x”改为“y＝log a(－x)”，则函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()C[∵在y＝log a(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a＞1时，y＝log a(－x)是减函数，y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝log a(－x)是增函数，y＝a－x＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是增函数，∴C满足条件，故选C.]2．把本例(2)改为f(x)＝||log2(x＋1)＋2，试作出其图象．[解]第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．(1)(2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3)(4)函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x ＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a>0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R.()(2)函数y＝log a(x＋2)恒过定点(－1,0)．()(3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln xD [结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确．] 3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 C [由⎩⎨⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.]4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围． [解] (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 所以所求a 的取值范围为0<a <2.课后作业 对数函数的概念、图象及性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题 1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)C [要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.]2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．－log 23B ．－log 32 C.19D. 3B [由题意可知f (x )＝log 3x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312＝－log 32，故选B.]3．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．a >b >1 D ．b >a >1B [作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1.]4．函数y＝log2x的定义域是[1,64)，则值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,6) D．[0,64)C[由函数y＝l o g2x的图象可知y＝l o g2x在(0，＋∞)上是增函数，因此，当x∈[1,64)时，y∈[0,6)．] 5．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A[∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.]二、填空题6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得l o g2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]7．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(4，－1)[y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.]8．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(22)＝________.－32[设f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，则－3＝log a8，∴a＝1 2，∴f(x)＝log 12x，f(22)＝log12(22)＝－log2(22)＝－32.]三、解答题9．若函数y＝log a(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．[解](1)将(－1,0)代入y＝log a(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝log a(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解] ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧lg x ＋1，x >0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．[等级过关练]1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]B [由⎩⎨⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.]2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )A B C DB [由lg a ＋lg b ＝0，得lg(ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b ，所以当0＜b ＜1时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.－1或2 [当x >0时，f (x )＝log 2x ， 由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1. 综上a ＝－1或 2.]4．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于________．16 [∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.]5．若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1. 即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.第2课时对数函数及其性质的应用比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log534<log543.法二(中间值法)：因为log534<0，log543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log230.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝log 23x是减函数，且0.5<0.6，所以log230.5>log230.6.(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.(3)因为0>log70.6>log70.5，所以1log70.6<1log70.5，即log0.67<log0.57.(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)＝log a(x－1)，g(x)＝log a(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．[解] (1)由⎩⎨⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )， ①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎨⎧1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎨⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)． 对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y ＝a f (x )单调性的判断法，你能分析一下y ＝log 12(2x －1)的单调性吗？ 提示：形如y ＝a f (x )的单调性满足“同增异减”的原则，由于y ＝log 12(2x －1)由函数y ＝log 12t 及t ＝2x －1复合而成，且定义域为2x －1>0，即x >12，结合“同增异减”可知，y ＝log 12(2x －1)的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 2．如何求形如y ＝log a f (x )的值域？提示：先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x 的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．【例3】 (1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．[思路点拨] (1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得． (2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f (x )＝l o g a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎨⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎨⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]， 因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．]1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．[解]∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴log 126≤log12(x2＋2x＋3)≤log122，即－log26≤f(x)≤－1，∴f(x)的值域为[－l o g26，－1]．2．求本例(2)的单调区间．[解]∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，又y＝log 12t在(0，＋∞)为减函数，且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log 12(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log 12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log 12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >bD [a ＝l o g 32<l o g 33＝1；c ＝l o g 23>l o g 22＝1，由对数函数的性质可知l o g 52<l o g 32，∴b <a <c ，故选D.]3．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [易知函数f (x )的定义域为－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.]4．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2. (1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值．[解] (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.∴实数a 的取值范围是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎨⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75.(3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.课后作业 对数函数及其性质的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10， 即2<x ≤7，故选B.]2．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <bA [由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)， 又log a 13>log b 13，作出图象如图所示， 结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.]4．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [∵a ＝20.2＞1＞b ＝l o g 4(3.2)＞0＞c ＝l o g 2(0.5)，∴a ＞b ＞c .故选A.]5．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)． 当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝12.] 二、填空题6．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________． [－2，＋∞) [－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254，∴根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象(图略)即可得到： log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]7．若log a 23<1，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． (1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．]三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．[解] (1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )，∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． 10．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3. (2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，1≤t ≤3，当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1， 即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1.[等级过关练]1．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg 1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.]2．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22C [当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，故选C.]3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.]4．设常数a ＞1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，若y 的最大值为2，则x 的值为________．18[实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，化为log a x ＋2log a x ＋log a ylog ax ＝－3.令log a x ＝t ，则原式化为log a y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322＋14.∵a ＞1，∴当t ＝－32时，y 取得最大值2， ∴log a2＝14，解得a ＝4，∴log 4x ＝－32，∴x ＝4－32＝18.]5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值． [解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4.因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.第3课时不同函数增长的差异三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝2x D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 019x B．y＝2019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知： 函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226 401 626 901 y 2 2 32 1 024 37 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907y 2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．故填y 2.]指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32； 当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 019)＞g (2 019)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.1．思考辨析(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x<kx<a x成立．()(3)函数y＝log12x衰减的速度越来越慢．()[答案](1)×(2)×(3)√2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3xC[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝l o g3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]4．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．课后作业不同函数增长的差异(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．当a>1时，有下列结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是()A．①③B．①④C．②③D．②④B[结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝l o g2x，故y2>y1>y3.]3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16xC[用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．] 4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝l o g2x，可知满足题意．故选D.]5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .y＝x2[当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．]7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①[结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.]8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]三、解答题9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．[解]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x12，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．[等级过关练]1．函数y＝2x－x2的图象大致是()A B C DA[分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()A B C DD [设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝l o g 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.]3．若已知16<x <20，利用图象可判断出x 12和log 2x 的大小关系为________．x 12>log 2x [作出f (x )＝x 12和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x 12>log 2x ；x ＝4或x ＝16时，x 12＝log 2x ；在(4,16)内，x 12<log 2x ；在(16,20)内，x 12>log 2x .]4．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．1．75 [∵y ＝a ·0.5x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎨⎧1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？[解] 借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x 的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．。
对数函数的图像和性质课件
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》 讲义
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》讲义《对数函数 y=log₂ x 的图象和性质》讲义一、对数函数的定义在数学中，如果 a 的 x 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
当底数 a 为 2 时，我们就得到了对数函数 y ＝ log₂ x。
二、对数函数 y ＝ log₂ x 的图象要绘制对数函数 y ＝ log₂ x 的图象，我们可以通过列表、描点、连线的方法来完成。
选取一些特殊的 x 值，计算出对应的 y 值：当 x ＝ 1 时，y ＝ log₂ 1 ＝ 0当 x ＝ 2 时，y ＝ log₂ 2 ＝ 1当 x ＝ 4 时，y ＝ log₂ 4 ＝ 2当 x ＝ 8 时，y ＝ log₂ 8 ＝ 3当 x ＝ 1/2 时，y ＝ log₂ 1/2 ＝－1当 x ＝ 1/4 时，y ＝ log₂ 1/4 ＝－2当 x ＝ 1/8 时，y ＝ log₂ 1/8 ＝－3根据这些点（1, 0)、（2, 1)、（4, 2)、（8, 3)、（1/2, －1)、（1/4,－2)、（1/8, －3) 等等，我们可以描绘出对数函数 y ＝log₂ x 的图象。
对数函数 y ＝ log₂ x 的图象是一条曲线，它经过点（1, 0) ，并且位于 y 轴的右侧。
三、对数函数 y ＝ log₂ x 的性质1、定义域对数函数 y ＝ log₂ x 的定义域为 x ＞ 0 ，因为对数中的真数必须是正数。
2、值域对数函数 y ＝ log₂ x 的值域为全体实数 R 。
3、单调性对数函数 y ＝ log₂ x 在其定义域上是单调递增的。
这意味着当 x₁＜ x₂时，log₂ x₁＜ log₂ x₂。
例如，log₂ 2 ＜ log₂ 4 ，即 1 ＜ 2 。
4、奇偶性对数函数 y ＝ log₂ x 是非奇非偶函数。
因为它既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称。
5、特殊点对数函数 y ＝ log₂ x 经过点（1, 0) ，这是因为 log₂ 1 ＝ 0 。
计算对数函数的平移和缩放
计算对数函数的平移和缩放对数函数是数学中常见且重要的函数之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
了解如何对对数函数进行平移和缩放操作，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和应用。
本文将介绍如何对对数函数进行平移和缩放的计算方法。
一、对数函数的基本形式对数函数的基本形式为：y = logb(x)其中，b为底数，x为函数的自变量，y为函数的因变量。
对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集。
二、平移操作平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，可以通过改变函数表达式中的常数项来实现。
对于对数函数来说，平移操作的一般形式如下：y = logb(x - h) + k其中，h为横向平移量，k为纵向平移量。
当h为正数时，向右移动h个单位；当h为负数时，向左移动|h|个单位。
当k为正数时，向上移动k个单位；当k为负数时，向下移动|k|个单位。
三、缩放操作缩放是指改变函数图像形状和大小的操作，可以通过改变函数表达式中的系数来实现。
对于对数函数来说，缩放操作的一般形式如下：y = alogb(cx)其中，a为纵向缩放系数，决定了函数图像的纵向空间拉伸或压缩程度。
当a大于1时，图像向上纵向拉伸；当0<a<1时，图像向下纵向压缩。
c为横向缩放系数，决定了函数图像的横向空间拉伸或压缩程度。
当c大于1时，图像向左横向压缩；当0<c<1时，图像向右横向拉伸。
若c为负数，则函数图像关于y轴对称。
四、计算示例为了更好地理解对数函数的平移和缩放，以下将分别以基本形式的对数函数为例进行计算示例。
示例一：y = log2(x)在此基础上，进行平移操作：y = log2(x - 1) + 2对于原函数y = log2(x)，横向平移量h为1，向右平移1个单位；纵向平移量k为2，向上平移2个单位。
示例二：y = log3(x)在此基础上，进行缩放操作：y = 2log3(-2x)对于原函数y = log3(x)，纵向缩放系数a为2，向上纵向拉伸；横向缩放系数c为-2，向右横向拉伸。
对数函数的像与平移
对数函数的像与平移数学中，对数函数是一类重要的函数，对数函数的特点之一是可以通过平移变换得到不同的函数图像和性质。
本文将通过讨论对数函数的像与平移来探究这一特点。
一、对数函数的定义对数函数是指以某一正数（底数）为底，真数的对数是指数的函数。
常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
我们以自然对数函数ln(x)为例进行讨论。
二、对数函数的基本性质1. 定义域与值域对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)。
而在定义域范围内，对数函数的值域则是整个实数集(-∞, +∞)。
也就是说，对数函数ln(x)的图像可以覆盖整个实数轴。
2. 对数函数的图像以对数函数ln(x)为例进行讨论，对数函数的图像具有以下特点：- 对数函数ln(x)经过点(1,0)，并且随着自变量x的增大，函数值也逐渐增大，但增速逐渐减缓，逼近于x轴。
- 当x取0时，对数函数ln(x)无定义，即不存在对数0的结果。
三、对数函数的像与平移对数函数的平移是指通过改变函数中的常数项，从而改变函数图像在平面坐标系中的位置。
具体而言，对数函数ln(x)的平移公式为ln(x-a)，其中a为平移的距离。
1. 向右平移当a为正数时，对数函数ln(x)的图像会向右平移|a|个单位。
这意味着函数的图像整体向右移动，原本在x轴上的点x=a将变为x=0，而对应的函数值ln(a)将变为0。
2. 向左平移当a为负数时，对数函数ln(x)的图像会向左平移|a|个单位。
与向右平移相反，这意味着函数的图像整体向左移动，原本在x轴上的点x=-a将变为x=0，而对应的函数值ln(-a)将变为0。
四、应用示例为了更好地理解对数函数的像与平移，我们以具体的应用示例来说明。
例子1：考虑函数y=ln(x-2)的图像。
这个函数由对数函数ln(x)向右平移了2个单位。
原本在x轴上的点x=2将变为x=0，而对应的函数值ln(2)将变为0。
这样，整个函数图像向右平移后变为y=ln(x)，其形状与原函数相同，只是位置发生了改变。
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函数专题：对数函数图象的平移和变换（2）
探究：如何画)1(log 2+=x y 的图象？
)1(log 2+=x y 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到：
→=x y 2log )1(log 2+=→x y
新知：1．对数函数图象的变换（c a a ,10≠>且为常数）.
① 左右平移变换. （针对x 变量的变化：符合口诀“左加右减”）
x y a log =−−−−−−−−−−−−−
→−) ()(log c x y a +=. ② 上下平移变换.（针对y 变量的变化：符合口诀“上加下减”）
x y a log =−−−−−−−−−−−−−
→−) (c x y a +=log . ③ x y a log =与)(log x y a -=的图象关于 y 轴 对称.
x y a log =与x y a log -=的图象关于x 轴 对称.
x y a log =与)(log x y a --=的图象关于原点中心对称.
④ x y a log =−−
−−−−−−−−−−−−−−→−)
(x y a log =. 解析说明：针对x 加绝对值，图像关于y 轴对称。
⑤ x y a log =−−
−−−−−−−−−−−−−−→−) (x y a log =. 解析说明：针对y 加绝对值，图像关于x 轴对称。
总结结论：函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现，就像自变量与函数值不可分离又相互对应一样。
所以，当我们看到x 身上发生变化时，那一定出现了关于y 的变换。
反之，也成立。