第二章：晶体的X射线衍射

析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作用。
一、倒格子的定义
假设晶格的原胞基为 a1 、 a2 、a3 ，原胞体积 为 a1 (a2 a3 ) ，建立一个空间，其基矢为 2 b1 a2 a3 2 b2 a3 a1 2 b3 a1 a2 a a a3 为基矢 由这组基矢构成的格子称为对应于以 1 、 2 、 b1 、 b2 、b3 称为倒 的正格子的倒易格子(简称倒格子），
说明
• 原点仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的 区域叫第一B.Z; • 第一B.Z又可表述为从原点出发，不与任何中垂面相交， 所能达到的倒空间区域。第 n个 B.Z则是从原点出发跨 过（n－1）个倒格矢中垂面所达到的区域； • 各级B. Z体积相等。
•布里渊区界面方程
Kh x d h Kh
1) X射线 （X-ray）
1895年伦琴发现用高速电子冲击固体时，有一种新射线从固体 上发出来。
阴级 性质：
+
阳级
具有很强的穿透能力，能使照片感光，空气电离。本质是什 么？不知道，就叫“X射线”吧！
当时人们以照X射线像为时髦。
X-射线
• 发现的X射线是什么呢？人们初步 认为是一种电磁波，
于是想通过光栅来观察它的衍射现象，但实验中并没有 看到衍射现象。
劳厄斑 晶体 X射线 晶体的三维光栅
劳厄斑证明了X射线的波动性。
3）布拉格定律
1913 年 英 国 布 拉 格 父 子 （W.H .Bragg 和W.L.Bragg)建立 了一个公式 : 布拉格公式。不但 能解释劳厄斑点，而且能用于对 晶体结构的研究。 布拉格父子认为当能量 很高的X射线射到晶体各 层面的原子时，原子中的 电子将发生强迫振荡，从 而向周围发射同频率的电 磁波，即产生了电磁波的 散射，而每个原子则是散 射波波源；劳厄斑正是散 射的电磁波的叠加。
与X射线及晶体衍射有关的部分诺贝尔奖获得者名单
§2-2 倒格子和布里渊区
• 为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念:倒格子。 • 引入设想：如果晶格的基矢未知，只有一些周期性分布的点，
这些点与晶格中的每族晶面对应，通过对应关系求出未知晶 格的基矢，那么这些点组成的格子就是倒格子。
• 倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分
• 原因：X射线的波长太短，只有一埃（1Å）。
• 一光栅d=3104Å（每mm333条刻痕）实际上是无法分辩 的 • 要分辩X射线的光栅也要在埃的数量级才行。人们想到了 晶体。因为晶体有规范的原子排列，且原子间距也在埃
的数量级。是天然的三维光栅。
2） 劳厄斑
1912年德国物理学家劳厄想到了这一点，索 末菲的助教W.弗里德里奇和伦琴的博士研究 生P.克尼平终于做出了X射线的衍射实验。
a3 a1 K h AC (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) ( ) 2 2 0 h3 h1
同理： 得证!
K h AB 0
2 d 4、倒格矢 K h 与晶面间距 d h1h2h3 关系为 h h h Kh
1 2 3
因为Kh垂直于ABC面，所以面间距：
4）X射线衍射的应用
已知X射线的波长测定晶体的晶格常数。
原理：

X射线分析仪
2d sin n
？ ？
世界闻名的事件:1953年,用于测定“DNA”脱氧核糖核酸的双 螺旋结构就是用的此法。
• X 射线的波长 0.01 - 100 nm • 用于测定晶体结构的X-ray 的波长 0.05 - 0.25 nm • 用X 光管在高压下加速电子,冲击Mo靶或Cu靶产生X射线， 用金属滤片或单色器:单色化。
倒格矢的性质：
1） K hkl 是密勒指数为 （h，k，l） 所对应的晶面族的法线。 2） K hkl 2 d hkl 3）
Rl K hkl 2
其中
Rl ma nb lc
所以倒格矢 K hkl 可以代表 晶面。 （h，k，l）
三、布里渊区
定义：任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、 第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些 倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面 体称第一B.Z，其“体积”为倒格子原胞体积 Ω*＝b1· (b2×b3)
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍

*
(2 ) 3
( b1 (b2 b3 ) 为倒格子原胞体积。）
*
证明：
(2 ) 3 * b1 [b2 b3 ] [a 2 a3 ] [a3 a1 ] [a1 a 2 ] 3
Mo 或Cu
衍射分析技术的发展
年 份 学 科 1901 物理 1914 物理 1915 1917 1924 1937 1954 1962 1962 1964 1985 1986 1994 得奖者 伦琴Wilhelm Conral Rontgen 劳埃Max von Laue 亨利.布拉格Henry Bragg 物理 劳伦斯.布拉格Lawrence Bragg. 物理 巴克拉Charles Glover Barkla 物理 卡尔.西格班Karl Manne Georg Siegbahn 戴维森Clinton Joseph Davisson 物理 汤姆孙George Paget Thomson 化学 鲍林Linus Carl Panling 肯德鲁John Charles Kendrew 化学 帕鲁兹Max Ferdinand Perutz Francis H.C.Crick、JAMES d.Watson、 生理医学 Maurice h.f.Wilkins 化学 Dorothy Crowfoot Hodgkin 霍普特曼Herbert Hauptman 化学 卡尔Jerome Karle 鲁斯卡E.Ruska 物理 宾尼希G.Binnig 罗雷尔H.Rohrer 布罗克豪斯 B.N.Brockhouse 物理 沙尔 C.G.Shull 内 容 X射线的发现 晶体的X射线衍射 晶体结构的X射线分析 元素的特征X射线 X射线光谱学 电子衍射 化学键的本质 蛋白质的结构测定 脱氧核糖核酸DNA测定 青霉素、B12生物晶体测定 直接法解析结构 电子显微镜 扫描隧道显微镜 中子谱学 中子衍射
Kh
由晶面方程：
x
当x
矢 k 时，得到布里渊区界面方程
换为倒格矢中垂面上的任意波
Kh K k h 2 Kh
由于 K h R l 2 K h 为倒格矢，μ为整数
有 q q K h ，（由于 K h 为任意格矢） 即： j (q K h ) j (q)
a1 h1b1 h2b2 h3b3 2 d OA K h h1 Kh Kh Kh
Rll 与倒格矢 K 5、正格矢 R 的关系 与倒格矢 K h h 的关系 Rl K h 2 （为整数）
晶面族（h1h2h3）中离原点距离为dh的晶面方程： Kh x d h Kh
例2：二维四方格子，其基矢为： a1 ai a2 2aj
此时可假设一个垂直于平面的单位矢量 a3 k
再计算：
b1
b2
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二、正、倒格子之间的关系
1 、正格子基矢和倒格子基矢的关系： =2 (i=j)
ai· bj=2i j =0 (ij)
证明如下： a1· b1=2 a1 · ( a2a3) / a1 · ( a2a3) = 2 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有： a2· b1=0 a3· b1=0
利用： A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
[a3 a1 ] [a1 a2 ] {[a3 a1 ] a2 }a1 {[a3 a1 ] a1}a2 a1
3 3 3 （2） （2） （2） [a 2 a3 ] a1 [a 2 a3 ] a1 所以： 2 *
格子基矢。
从数学上讲，倒易点阵和布拉菲点阵是互相对应的傅 里叶空间。
倒易空间的格矢量： K h h1b1 h2 b2 h3b3
倒格矢的量纲：1/长度
例1：简立方格子的倒格子。
简立方的基矢：
a1 ai ，a2 a j，a3 ak
2 2 2 简立方倒格子的基矢： b1 i , b2 j , b3 k a a a
2
2
2
0
q
Kh Kh

Kh 2
—— 布里渊区边界面方程
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。 简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。
3 2 Ⅱ 1 3 Ⅱ 2
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一 布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。
布里渊区
正格子 格常数 倒格子 格常数
简约区 （第一布里渊区） 由6个{100}面 围成的立方体 由12个{110}面 围成的正12面体 由8个{111}面和6个{100} 面围成的14面体
X是晶面上任意点的位矢，对于格点其位移矢为：
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
Rl K h 2
（为整数）
推论：
1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数
倍，这个矢量一定是倒格矢。
2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
3、倒格矢 K h 是晶面指数为（h1，h2，h3）所对应的晶面族的法线

证明：
晶面族 （h1，h2，h3）最靠近原点O的晶面 ABC在基矢a1, a2, a3上的截距: a1/ h1, a2/ h2, a3/ h3 矢量： AC OC OA a3 a1
h3 h1
a2 a1 AB OB OA h2 h1
2 k= s
k0 =
2

s0
则, Rm· (k-k0) =2 劳厄方程（倒空间） k-k0=nKh (n为整数,是衍射级数) 夫琅和费衍射
sc
a
sc
2 a
bcc
a
fcc
4 a 4 a
fcc
a
bcc
体心立方晶格的倒格子与简约区
面心立方晶格的倒格子与简约区
§2-3 晶体的衍射条件
1 劳厄方程(衍射方程)
两个基本假设：
1) s0 和 s 分别为入射、衍射X 射线的 单位矢量，可以看成是平行光
A
s .O
B
. P
s0
0
a
.
2) 散射前后波长不变
OP为任一位矢，Rm=ma+nb+pc, （a, b, c为晶胞基失, m, n, p是整数） 做OA⊥S, PB ⊥ S0, 光程差 ∆=AP-OB=S· Rm-S0· Rm=Rm· (S-S0) 衍射加强的条件: ∆=, 为整数, 为X射线的波长 即: Rm· (S-S0) = 如果用波矢表示,
固体物理基础 第二章：晶体的X射线衍射 苏艳 赵纪军
大连理工大学 物理与光电工程学院
第二章 晶体的X射线衍射
• X射线衍射是研究晶体结构最有效的手段。 • 除了X射线衍射外，还有电子衍射（适合薄膜）、中子 衍射（研究氢、碳在晶体中的位置）等。 • 共同特点：波长和晶格常数是同量级（零点几个纳米）
§2－1 X射线衍射简介
在 q 空间中， j q 是以倒 格矢 K h 为周期的周期函数，仍 可将波矢 q 限制在简约区或第 一布里渊区中
Kh

q
0
q
Kh
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 面上周期对应的两点间应满足关系：
Kh
q q K h q
q
0
q
Kh
q Kh q
2q K h K h