晶体学基础(第二章)

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材第二章_晶体学基础

材第二章_晶体学基础

25
12 简单立方点阵
a=b=c,α=β=γ =90°
26
13 体心立方点阵
a=b=c,α=β=γ =90°
27
14 面心立方点阵
a=b=c,α=β=γ =90°
28
2.3、晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直 线 来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。
8
2.2 布拉菲点阵
点阵(晶格)模型
晶胞
代表性的基本单元(最小平行六面体)
9
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
10
选取晶胞的原则: 1.要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性; 2.在满足1的基础上,单胞要具有尽可能多的直角; 3.在满足上条件,晶胞应具有最小的体积。
1
2
6
3
4 5
晶体学选取晶胞的原则
47
描述晶胞从以下几个方面: 晶胞中原子的排列方式 (原子所处的位置) 点阵参数 (晶格常数和晶轴间夹角) 晶胞中原子数 原子半径 R(原子的半径和点阵常数关系) 配位数和致密度 密排方向和密排面 晶体结构中间隙 (大小和数量) 原子的堆垛方式
48
三种典型金属晶体结构刚球模型
间隙有两种:四面体间隙和八面体间隙 八面体间隙: 位于晶胞体中心和每个棱边的中点, 由 6 个面心原子所围成,大小rB=0.414R,rB为间隙半径, R为原子半径,间隙数量为4个。
面心立方八面体间隙
55
面心立方四面体间隙
四面体间隙:由一个顶点原子和三个面心原子围成,其大 小:rB=0.225R,间隙数量为8个。
42
晶带定理的应用

2-1-晶体学基础

2-1-晶体学基础

原始晶胞)、 素晶胞 (原始晶胞 、复晶胞 原始晶胞
晶胞参数: 晶胞参数:大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离: ½ a. 之间的距离:
Cs+ 与 Cl- 之间的距离: a . 之间的距离:
3 2
结构基元数目: 结构基元数目:
4
1
2
8
晶体结构: 晶体结构:空间点阵 + 结构基元
31
32
7 个晶系和 32 个点群
33
空间群
空间群:晶体的全部对称性群。 空间群:晶体的全部对称性群。 全部对称性群 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合, 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合, 点群操作和平移操作的组合 共有230个晶体空间群。 个晶体空间群。 共有
34
石英晶体:m 与 m 面 (法线 夹角为 法线) 石英晶体: 法线 60°0',m 与 r 面 (法线 夹角为 38°13' 法线) ° , 法线 °
理想石英晶体: 六个m面原组成六方柱 理想石英晶体 六个 面原组成六方柱 歪晶: 外界环境的影响,形态畸变。 歪晶 外界环境的影响,形态畸变。 通过对晶面间角度的测量,可以揭示晶体固有的对称性, 通过对晶面间角度的测量,可以揭示晶体固有的对称性,绘制出理想的晶 体形态图,为几何结晶学研究打下基础, 体形态图,为几何结晶学研究打下基础,并为晶体内部结构的探索给予了 有益的启发; 有益的启发; 通过晶体测量,即可鉴定晶体的种类。 通过晶体测量,即可鉴定晶体的种类。
13
Fe,Ni: 混合价态,存在不同价态之间的电荷转移跃迁, , 混合价态,存在不同价态之间的电荷转移跃迁, 吸收可见光,使其具备很深的颜色。 吸收可见光,使其具备很深的颜色。

第二章 晶体学基本理论

第二章 晶体学基本理论
第四十一页,共55页
2.7.1 倒易点阵定义
倒易点阵: 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间,与a.b.c描
述的正空间互为倒易
倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2)
第四十二页,共55页
2.7.1 倒易点阵定义
这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶 面,用{hkl}表示
例如:立方晶系中
{ 1 0 0 } ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
{ 1 1 1 } ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
第二十八页,共55页
晶向指数的确定
由原点o指向任意一个倒易结点所连接的矢量hakblchkl为整数倒易矢量的方向垂直正点阵的hkl面或平行于晶面的法线hkl晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系立方晶系倒易点阵示意图立方晶系倒易点阵100110010001011021020120121101102uvw倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示272倒易点阵的性质则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示273倒易点阵的几何意义正点阵中的一组平行晶面hkl相当于倒易点阵中的一个该组晶面间距的倒数
上还有一个阵点,
阵点坐标 000 , 110,101,011
22 2 2 22
第十七页,共55页
强调:晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象,用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性,由于各阵点 的周围环境相同,它只能有14中类型
晶体结构是晶体中实际质点(原子、离子或 分子)的具体排列情况,它们能组成各种类型的 排列,实际存在的晶体结构是无限的

第二章 晶体学基础

第二章  晶体学基础

第2章
晶体学基础
晶胞参数 (晶格常数)
a、b、c : 确定晶胞
大小α、β、γ: 确 定晶胞形状
第2章
晶体学基础
原子分数坐标
晶胞内容(即用于 表达晶胞中原子的位置)
OP=xa+yb+zc 由于P点在晶胞内,x,y,z≤1,我们将x,y,z称为原子P的 分数坐标。
第2章
晶体学基础
对于CsCl的晶胞, 原子分数坐标为:
第2章
晶体学基础
第2章
晶体学基础
空间点阵和实际晶体结构之间的关系
第2章
晶体学基础
第2章
晶体学基础
晶胞:将a、b、c向量把点阵点互相连结起来则 可将空间点阵划分为空间格子或晶格,空间格子可 将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本,这 个基本单位叫做晶胞(unit cell) 或说:晶胞就是按晶体内部结构的周期性,划分出 大小、形状完全相同的平行六面体,可代表晶体结 构的基本重复单位。即是具有代表性的基本单元。 晶胞的两个要素: 一是晶胞的大小、型式; 二是晶胞的内容。
第2章
晶体学基础
固体材料除了晶体和非晶体外,还有一 种称为“准晶体(quasi-crystal)”结构的物 质,它是一种具有长程取向有序,但不具有 长程平移有序结构的物质。是准周期性晶体 的简称。 准晶体制备方法: 快速凝固法、退火法、高能粒子束辐照 法、固态反应法、真空气相沉积法。
第2章
晶体学基础
晶面指数(四轴坐标)
第2章
晶体学基础
四轴坐标标定六方晶系晶面示例
第2章
晶体学基础
三、晶向指数(Orientation index)
晶向(Crystallographic Direction)—指晶体 中各阵点列的方向。位于一条直线上的结点构成 一个晶向; 求解某一晶向的指数:可通过原点作一平行于该 晶向的直线,取直线上任一点的坐标,并将化为 互质的整数即可。 晶向指数代表一组互相平行,方向一致的晶向。 *指数看特征,正负看走向。

晶体学基础(第二章)

晶体学基础(第二章)

2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪: 双圈反射测角仪:晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时,我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角), 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角), ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度,是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度,是该晶面的球面坐标。
使用很简单,但精度较差,且不适于测量小晶体。 使用很简单,但精度较差,且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪, 单圈反射测角仪,精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时, 带上的面角时,必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据,通过投影, 的数据,通过投影,可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数,确定晶面符号(见第四章) 同时, 常数,确定晶面符号(见第四章),同时,还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算, 为了便于投影和运算,一 般所测的角度不是晶面的 夹角, 夹角,而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角),称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
三方晶系:唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系:唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系:唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系(等轴晶系):有4个 3
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵(布拉菲格子)
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
—— 单胞的三个下,它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族(crystal category):3个晶族 低级晶族:无高次轴 中级晶族:只有一个高次轴 高级晶族:高次轴多于一个
2.晶系(crystal system):7个晶系
三斜晶系:只有 1 或 1
单斜晶系:2 和 m 均不多于一个 正交晶系(斜方晶系):2 和 m 的总数不少于3个

第2章 贵金属材料晶体学基础

第2章 贵金属材料晶体学基础

每个面心立方结构晶胞中实际只有 1/8×8+1/2 ×6=4 晶格常数只用晶胞的棱边长a一个数值表示,原 子间最小距离为两个原子中心的距离,等于原子的 直径d: d=√2/2a 面心立方结构n=4 致密度:K=nv/V K=n×原子球体体积/晶胞体积 = 4 ×(4/3πR3)/a3 =0.74=74%
c 密排六方结构
每个面心立方结构晶胞中实际只有: 1/6×12+1/2×2+3=6 晶格常数有2个,六方底面的边长a与上下底面的间 距c(即六方柱的高度),它们之比c/a称为密排六方 结构的轴比,理想轴比为1.633。 原子的直径d与a的关系为: d=a
K=nv/V =0.74=74% 配位数为12 最密排面为{0001}面 密排六方结构和面心立方结构的配位数 和致密度都相等,因为都为最紧密堆积, 从晶体化学来看还有很多相似的性质。
第2章 贵金属材料晶 体学基础
第1节晶体结构及晶体结构间隙
1 晶体 晶体是内部质点(原子、离子或分子)在三维 空间周期性地重复排列构成的固体物质 晶体具有自限性、均一性、各项异性、对称性、最 小内能性 (1) 晶体与非晶体 晶体 非晶体 内部构造 宏观外形 方向性 具有格子构造 具有规则的几何外 形 各向异性 不具格子构造 不具有规则的几 何外形 各向同性
1 固溶体 固溶体是原子溶入固体溶剂中所形成的均一的 结晶相。固溶体的一个特点是成分可以在一定范围 内连续变化,这种变化不引起原来溶剂金属的点阵 类型发生改变 固溶体 置换固溶体 间隙固溶体
(1)置换固溶体 溶质原子置换了溶剂结构中的一些溶剂原子
影响固溶体固溶度的因素: a 组员的晶体结构因素 b 原子尺寸因素 c 化学亲和力因素
(1)正常价化合物 一般有AB,A2B(AB2),A3B2三种类型,分 子式对应相同类型分子的离子化合物。

第2章 晶体学基础

第2章 晶体学基础

晶向指数的确定
建立坐标系,结点为原点, 1. 建立坐标系,结点为原点,三 棱为方向, 棱为方向,点阵常数为单位 ; 2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 (x2,y2,z2)。 平移晶向或坐标, 平移晶向或坐标,让在第一点 在原点则下一步更简单) 在原点则下一步更简单); 3. 计算x2-x1 : y2-y1 : z2计算x2y2z2x2 z1 ; 化成最小、整数比u 4. 化成最小、整数比u:v:w ; 放在方括号[uvw] [uvw]中 5. 放在方括号[uvw]中,不加逗 号,负号记在上方 。
习 题
分别为3, , (1)截距 、s、t分别为 ,3,5 )截距r、 、 分别为 (2)1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ) (3)最小公倍数 , )最小公倍数15, (4)于是,1/r,1/s,1/t分别 )于是, , , 分别 得到5, , , 乘15得到 ,5,3, 得到 因此,晶面指标为( 因此,晶面指标为(553)。 )。 c a b y
红线由两个结点的坐标之差确定
2.2.2 晶面及晶面指标
在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 晶面 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多 样的. 不同的划法划出的晶面(点阵面 点阵面)的 样的 不同的划法划出的晶面 点阵面 的阵点密 度是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相 是不相同的 所以给不同面以相应的指标(hkl),代表一 同. 所以给不同面以相应的指标 , 组平行的晶面。 组平行的晶面。
学习要点
⑴ ⑵ ⑶ (4) 晶体结构周期性与点阵。 晶体结构周期性与点阵。 7个晶系和14种Bravias空间格子。 个晶系和14种Bravias空间格子。 14 空间格子 晶胞,晶带,晶向,晶面,晶面间距,晶面夹角。 晶胞,晶带,晶向,晶面,晶面间距,晶面夹角。 倒易点阵

晶体学基础第二章-晶体的宏观对称元素的组合

晶体学基础第二章-晶体的宏观对称元素的组合
2.2 晶体的宏观对称元素的组合
对称元素的组合规律:
cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2) sin( / sin( / 2) cos( ) cos ' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
sin( / 2)sin( / 2) cos '' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
例如: L4 ·L2L44L2 , L3 ·L2L33L2
定理二:Ln ·P LnP C (n为偶数)
逆定理:Ln ·C LnP C (n为偶数) P ·C LnP C (n为偶数)
这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生 第三者。
因为偶次轴包含L2 。
定理三:Ln 半)。
·P//
LnnP//(P与P夹角为Ln基转角的一
逆定理:两个P相交,其交线必为一Ln,其基转角为P 夹角的两倍,并导出其他n个包含Ln的P。
思考: 两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理四:Lin ·L2或 Lin ·P// Linn/2L2 n/2P// (n为偶数) Lin ·L2 或 Lin ·P// Linn L2 nP//(n为奇数)
sin( / 2)sin( / 2)
对称轴间夹角为特殊角度的对称元素的组合规律: 对称轴间夹角 0°或 90°
定理一:Ln ·L2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理: L2与L2相交,在其交点且垂直两L2会产生Ln,
其基转角是两L2夹角的两倍,并导出其他n-2个 在垂直Ln平面内的L2。
例:四方四面体 Li42L2 2P

第2章 晶体学基础2.1

第2章 晶体学基础2.1

晶体与非晶体的区别:
1. 原子规排:晶体中原子(分子或离子)在三维空间呈周 期性重复排列,而非晶体的原子无规则排列的。 2. 固定熔点:晶体具有固定的熔点,非晶体无固定的熔点, 液固转变是在一定温度范围内进行。 3. 各向异性:晶体具有各向异性(anisotropy),非晶体为 各向同性。
二、空间点阵和晶胞

晶 格 常 数 示 意 图
3. 空间点阵类型(晶系)

根据6个参数间相关系可将全部空间点阵归为七大类,十四种(称为 布拉菲点阵)。
1)七大晶系
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
三斜晶系(Triclinic System) 单斜晶系(Monoclinic System) 正交晶系(斜方晶系,Orthogonal System) 四方晶系(正方晶系,Tetragonal System) 立方晶系(Cubic System) 六方晶系(Hexagonal System) 菱形晶系(Rhombohedral System)


晶体结构的微观特征 晶体可看作某种结构单元(基元)在三维空间作周期 性规则排列 质点或基元(basis):原子、分子、离子或原子团 (组 成、位形、取向均同)
抽象为 质点 抽象为
阵点
质点的三维空间周期排列
空间点阵
1. 空间点阵

空间格子:把晶体中质点的中心用直线联起来构成的空 间格架即空间格子(Lattice)。 晶体点阵:由这些结点构成的空间总体称为晶体点阵。 晶体结点为物质质点的中心位置。 空间点阵中结点仅有几何意义,并不真正代表任何质点。
⑦菱形晶系(RHOMBOHEDRAL SYSTEM) 特点:对称轴和单胞的一个轴 (设a轴)夹角为某一角度α, 另外两个轴和对称轴夹角亦为 α并且长度相等。这三个轴构 成的六面体就是一个菱形单胞。 菱形晶系点阵常数间的关系为:

晶体学基础第二章-课件1.

晶体学基础第二章-课件1.

第二章 晶体的对称性(Symmetry in Crystal)自然界中的对称• 宇宙间的普遍现象 • 建造大自然的密码 • 永恒的审美要素¾ 在所有智慧的追求中,很难找到其他例子能够在 深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。

—— 李政道 ¾ 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。

发展到近代,我们已经知道这个观念是晶体学、分 子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学 等现代科学的中心观念。

—— 杨振宁C60手性分子• 组成地球生命体的几乎都是左旋 氨基酸,而没有右旋氨基酸。

• 右旋分子是人体生命的克星!Outline1.晶体的宏观对称元素与对称操作 2.对称要素的组合 3.晶体的32种点群及其符号 4.晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵 5.晶体的微观对称元素与对称操作 6.准晶2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作一、对称、对称元素、对称操作的概念对称(symmetry): 物体(或图形)中等 同部分有规律的重复。

¾ 自然科学最基本的概念。

对称操作(symmetry operation) : 使物体(或图形)中等同部分之间重合的动作,也就 是使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。

对称元素(symmetry element): 进行对称操作所凭借的辅助几何要素(点、线、面)。

二、晶体的对称• 晶体的对称:晶体中等同部分之间有规律重复。

晶体对称性的来源与体现¾从微观角度,所有晶体都是对称的。

由三维 空间规则重复排列的粒子组成,通过平移使之 重复,即平移对称性。

¾ 晶体的对称是有一定限制的,遵循晶体对称 定律。

符合格子构造的对称才能在晶体上出现。

¾晶体对称不仅包含几何意义,也包含了物理 意义(如光学、力学和电学性质)。

•对称是晶体分类的依据,对材料的力 学和物理等性能有重要的影响。

晶体的对称性包括:宏观对称性:至少有一点不动,没有平移操作 微观对称性:晶格的对称性,可以有平移操作 ¾ 晶体的宏观对称主要表现在外部形态上,如 晶体的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

的反演面,
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作

群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号:
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个

群加上中心反演

群加上反演面

群加上与n重轴垂直的反演面,共4个

群加上含有n重轴的反演面,共4个
Dnh群

Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面,
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
2.3 晶体的32种点群及其符号
一、晶体对称元素的组合:
任何晶体的宏观对称性只能有以下十பைடு நூலகம்对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导:
A类组合:高次轴(n > 2)不多于1个 B类组合:高次轴多于1个
二、晶体的32种点群:
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号: 国际(Hermann-Mauguin)符号 熊夫利(Schoenflies)符号 C,D,S,T,O i,s,v,h,d
晶体点群的熊夫利符号:
—— 不动操作,只含一个元素,表示没有任何对称性的晶体

第二章晶体化学基础

第二章晶体化学基础
( el ),e电荷, l 为极化后正、负电荷的中心距
2)主极化:一个离子以其本身的电场作用于周围离子,使其它 离子极化。主极化能力用极化力β来表示,极化力与离子的电 价(W)成正比,与离子半径(r)的平方成反比;
w r2
式中: w为离子的电价, r为离子的半径。极化力反映了极
化周围其它离子的能力。
2
0
2
0







一.等径球体的最紧密堆积
等径球体有六方和面心立方两种最紧密堆积方式。 1.六方密堆
①先将各球排列在一平面上,每个球为6个球所包围,球 间有两空隙:尖角朝下的B空隙▽和尖角朝上的C空隙△; ②第二层球的中心都落在尖角朝下的B空隙▽上; ③第三层球体排列的位置和第一层的球完全相同; ④堆垛顺序为ABABAB……,密排面为(0001)面。
个等径球体堆积而成的系统,四面体空隙应有 n 8 2n个,
4
八面体空隙应有
n 个6 。n
6
八面体空隙:在六方柱内部共6个,四面体空隙有12个: 6(六方柱内部)+2(底心连线上)+6 ×2 ×1/3 (六条棱边上)=12个。
八面体空隙有4个:1(立方体心)+12 ×1/4 (12条棱边中点)=4个; 四面体空隙共有8个:位于8个1/8小立方体的体心。
晶体结构取决于其组成质点的数目、相对大小以及极化性能。
离子晶体: ro=r++r共价晶体: ro=rA+rB 金属晶体: ro=2rm
二.配位数和配位多面体 1.配位数(CN):一个原子或离子邻近周围的原子个数或异号 离子的个数。
单质晶体: CN=12,非密堆则CN<12,单质金属 共价晶体: CN较低≤4,SiC 离子晶体: CN=4,6,Al2O3 2.配位多面体 以一个阳离子为中心,将其周围与之形成配位关系的阴离子中 心联接起来所得的多面体。

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

2.晶系(crystal system):7个晶系
三斜晶系:只有 1 或 1
单斜晶系:2 和 m 均不多于一个 正交晶系(斜方晶系):2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系:唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系:唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系:唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系(等轴晶系):有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族(crystal category):3个晶族 低级晶族:无高次轴 中级晶族:只有一个高次轴 高级晶族:高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵(布拉菲格子)
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系

—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向,在一般情况下,它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成

晶体学基础

晶体学基础

0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后,许多物理学家都在积极地研究和探索,1905年 和1909年,巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象,但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射,仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象,证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性,发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然,当X射线照射二 维原子网时,X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强,只有同时满足劳 厄第一和第二方程,才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网,圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点,也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H,K值,可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久,就引起英国布拉格父子的关注,他们都是X射 线微粒论者,年轻的小布拉格经过反复研究,成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式,清楚地解释了X射线晶体衍射的形成, 并提出著名的布拉格公式:nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性,更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计,并利 用这台仪器,发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作,成功地测定出了金刚石的晶体结构,并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性,使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

Dnh群

Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面,
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
的反演面,
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作

群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号:
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导:
A类组合:高次轴(n > 2)不多于1个 B类组合论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号: 国际(Hermann-Mauguin)符号 熊夫利(Schoenflies)符号 C,D,S,T,O i,s,v,h,d
晶体点群的熊夫利符号:
—— 不动操作,只含一个元素,表示没有任何对称性的晶体
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个

群加上中心反演

群加上反演面

群加上与n重轴垂直的反演面,共4个

群加上含有n重轴的反演面,共4个
任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素23晶体的32种点群及其符号一晶体对称元素的组合晶体的对称元素间至少有一点重合晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合点群晶体对称元素组合的推导
2.3 晶体的32种点群及其符号

2.晶体学基础

2.晶体学基础

三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照 一定的对应关系建立起来的空间点阵, 是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵,是因为它的基 矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为 了便于区别,有时将晶体点阵称为正 点阵
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题,能使几何关系更清楚,数学推演 更简化。 晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只 对应一个零维的倒易阵点,晶面间距和 取向这两个参量在倒易点阵中只用一个 倒易矢量就可以表达。 衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易 阵点的投影,从这个意义上讲,倒易点 阵本身就具有衍射属性
为了从(2-9)式得出倒易基矢量的长度,
将(2-9)式改写成其标量形式:
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
(2-10) 式中 、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角

图2-37以倒易基矢量c*为例,画出了它
与正点阵的对应关系 其中OP为c在c*上的投影,同时也是a、 b所构成的(001)晶面的面间距d001 OP=c cosω= d001 1 c*= 1/c cosω=
第二章 晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1


学 基

根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类:
(l)简单点阵:用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点,每个阵点同时为相 邻的八个平行六面体所共有,因此,每个 阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方 法为:以阵胞的任意顶点为坐标原点,以 与原点相交的三个棱边为坐标轴,分别用 点阵周期(a、b、c)为度量单位。阵胞顶 点的阵点坐标为000。
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乌尔夫网是极射投影的量度工具。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
基园的刻度可用来度量方位角 ,旋转 一周为360; 直径上的刻度可以用来度量极距角, 从圆心为=0,到圆周为=90; 大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的夹 角。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
2.4 乌尔夫网的应用举例 标准的吴氏网,其基圆直径为20cm;网线的分度 为每格2。但是在两极附近,经线的间隔为10。 作图时的精度一般要求达到0.5;没有落在网线 上的点,其网线间的分度可以用插入法估计确定。 在应用吴氏网进行投影时,需要透明纸、大头针、 铅笔等作图工具。投影方法步骤如下: (1)将透明纸覆于网面上,用大头针在网心将两者 固定在一起,使透明纸能够相对于吴氏网旋转。 (2)用铅笔在透明纸上描出基圆,并用“×”表出 网心。 (3)在基圆上选一点(一般在直径右侧端点)作为 =0的标志。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 两晶面之间的面角,可以直接用投影球面上两极点之间 所夹的弧度度量。由图可以看出,P、Q是两晶面球面投 影点,两晶面法线的夹角(面角)就是OP、OQ之间的夹 角,其大小等于P、Q之间的大圆弧的弧度。同样,两条 相交直线之间的夹角,也可以用两个相应迹点间的大圆 弧度量。
2.1 面角守恒定律
晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 的数据,通过投影,可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数,确定晶面符号(见第四章),同时,还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算,一 般所测的角度不是晶面的 夹角,而是晶面的法线 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角),称为 面角(interfacial angle)。
2.2 晶体的球面投影及其坐标
球面投影可以真实地表示晶体上各种要素的空间 几何关系。由于这只是一种空间关系,在实际的 研究工作中难以应用,只有将它们投影到平面上, 成为平面的投影图形,才有实用价值。将球面投 影转变为平面投影的方法有正投影、极射赤平投 影和心射赤平投影。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 把球面转化为一种平面关系。常用极射赤面投影, 以过参考球球心作一平面作为投影面,投影面和 参考球相交的大圆称为基圆(Basic Circle), 又称为赤道平面(Equator Plane)。垂直于投 影面并过球心的轴NS为投影轴(Projection Axis)。投影轴在参考球上的两个交点S和N是南 极和北极(South and North Poles),又称下 目测点和上目测点。处于上半球面上的极点(迹点) 和下目测点相连,处于下半球面上的极点(迹点) 和上目测点相连,它们的连线和投影面的交点就 是这个极点(迹点)的极射赤面投影点。
2.2 晶体的球面投影及其坐标
晶体外形上及构造中的平面要素有晶面、 对称面、面网等;直线要素有晶棱、行列、 晶轴、对称轴等。
直线、晶面、平面的球面投影方法是不同 的。
2.2 晶体的球面投影及其坐标
⒈ 直线的球面投影
设想使晶体中心与投影球的球心重合,将晶体上任 意一直线平行移到投影球中心,然后向两端延伸, 使之与球面相交,交点为直线的球面投影点,称为 直线在球面上投影的迹点。任意一条直线在球面上 都有两个迹点。 可以看出,所有直线都必须平移到投影球中心,然 后才能进行投影。因此所有方向相同的直线,在球 面上的投影点的方位都相同。直线的球面投影点只 能反映直线的方向,而不能反映直线的具体位置。
晶面的球面投影点在北半球,以南极为视点进行投影, 投影点用“”表示:晶面的球面投影点在南半球, 以北极为视点进行投影,投影点用“”表示。 ①和赤道面平行的晶面,它的极射投影点必在基圆中心。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 ②垂直于赤道面的晶面,它们的极点的投影必在基圆 的圆周上。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 ③倾斜晶面的极点 倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内,晶面法 线与投影轴的夹角越小,则投影点距基圆中心越 近;反之,就越趋向于基圆圆周。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网 晶体上平面的极射赤平投影 ①投影球上的任意圆,不论是大圆或小圆,它们的 极射投影一般是圆或圆弧。
倾斜大圆的投影为以基圆为弦的一条弧,也称大圆弧。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
直立小园的投影为一段圆弧。其位置和大小取决 于小园的位置和大小。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
2.1 面角守恒定律
2.2 晶体的球面投影及其坐标 通过晶体测量,可以得到一组数据,即每一个晶 面的球面坐标,包括方位角值和极距角值。但 是仅由这组数据,还不能够直观地看出晶面空间 分布的规律性来。
为了解决这一问题,还需要把数据变换成一定形 式的平面图形,这就是晶体的平面投影。晶体的 平面投影全部是在球面投影的基础上进行的,因 此晶体的投影实际包括两个步骤:第一步是晶体 的球面投影,第二步是将球面投影转变为平面投 影。
水平小园投影仍为一个园,并以基园的圆心为圆心。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
倾斜小园的投影为网 ②和投影面垂直的大圆的极射投影是过基圆圆心的直线。
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
将基园拿出来,依据倾斜大园和直立小园投影的结果, 并标示出适当的角度间隔,就是著名的乌尔夫网(吴 氏网)。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 ① 极距角():投影轴与晶面法线或直线间的夹角,也 就是北极N与球面上投影点之间的弧度,故称极距角。 极距角都是从北极N点开始度量,从投影球N极到S极, 共分180°。 ② 方位角():是包含晶面法线或直线要素的子午面与 投影球零子午面之间的夹角。也就是球面上投影点所在 的子午线与零子午线之间的水平弧度,故称方位角。方 位角都是从零度子午线(=0,一般在投影球最右侧) 开始顺时针方向计角的,投影球一周的方位角共分为 360°。 有了球面坐标网以后,只要知道投影点的球面坐标值, 即可以确定投影点在球面上的位置。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 ⒉ 晶面的球面投影 ⑴ 投影方法 设想将晶体中心与投影球中 心重合,过中心作某晶面的 法线,并延伸使之与球面相 交,交点就是该晶面的球面 投影点,称为该晶面的极点, 在图中,A点为晶面的球面投 影点,即晶面的极点。 任意一晶面在球面上的投影均为一个点。晶面的球 面投影点只能反映晶面的空间方位,与晶面的实际 形态和大小无关。
除晶面以外的平面(如对称面),球面投影的方法与 晶面不同。 投影时设想将晶体中心与投影球中心重合, 将平面扩展后与投影球相交,平面与投影球的交线就 是该平面的球面投影。晶体上任一平面的球面投影均 为圆。通过投影中心的平面,其球面投影是一个与投 影球等径同心的圆,称大圆;不通过投影中心的平面, 其球面投影均小于大圆,称为小圆。
2.2 晶体的球面投影及其坐标
晶体的球面投影原理 设想将晶体安置在以单位长度为半径的参考球的球心,把 晶体上各种平面的和直线的要素,一一投影到球面上。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 投影球要素及名称如下: (1)投影中心:即球心,用O表示。 (2)赤道平面:过投影球中心的水平面,也是极射赤 道平面投影的投影面。赤道平面在投影球上只有一个。 (3)赤道:赤道平面与投影球面的交线;赤道为极射 赤道平面面投影的基圆。 (4)投影轴:过球心且垂直于赤道平面的直线。上端 与投影球的交点为北极N,下端与投影球的交点为南 极S。 (5)子午面:包含投影轴的直立平面。投影球上的子 午面有无数个,与球面的交线为子午线。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 ⑵ 球面上投影点的坐标 (极距角和方位角) 地球上任意一点的位置都可 以用经度和纬度来表示。如 果像地球上的经纬线那样, 在投影球面上画上坐标网线 的话,那么,投影点在球面 上的位置,也可以用该点的 极距角和方位角这两个球面 坐标来表示。
在球面坐标网中,与纬度相当的是极距角,与经 度相当的是方位角。如图所示。
2.1 面角守恒定律 面角守恒定理起源于晶体的格子构造。因为同种 晶体具有完全相同的格子构造,格子构造中的同 种面网构成晶体外形上的同种晶面。晶体生长过 程中,晶面平行向外推移,故不论晶面大小形态 如何,对应晶面间的夹角恒定不变。 面角守恒定律的确立,使人们从晶形千变万化的 实际晶体中,找到了晶体外形上所固有的规律性, 得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状,从而 奠定了几何结晶学的基础,并促使人们进一步去 探索决定这些规律的根本原因。
测量时,将参考网格转动,使测量的两个极点落在 同一条经线上,读出两极点之间的纬度,就是这两 极点之间的夹角。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 交棱相互平行的一组晶面,其极点分布在同一大圆 弧上。
经球面投影以后,晶面的大小、形态的影响被完全 消除,面角关系则不变,而且被突出显示出来。
2.2 晶体的球面投影及其坐标 ⒊ 平面的球面投影
2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪:晶体位于二旋转 轴的交点。光管射出的光束也正好 通过此二旋转轴的交点。当观测镜 筒中出现“信号”时,我们便可以 在水平圈上得到一个读数(极距角), 并在竖圈上得到一个读数(方位角), 和这两个数值犹如地球上的纬度 和经度,是该晶面的球面坐标。
双圈反射测角仪的精度可达l。当晶体安置好之后,除 被胶腊黏结的晶面外,其余全部晶面均可测量。且根据 所测得的晶面的球面坐标,可以直接进行投影。因此, 这种仪器得到了广泛的应用。
第二章 晶体的投影
2.1 面角守恒定律 2.2 晶体的球面投影及其坐标
2.3 极射赤平投影和乌尔夫网
2.4 乌尔夫网的应用举例
2.1 面角守恒定律
面角守恒定律(law of constancy of angle),斯丹诺于1669年提出,亦称斯丹 诺定律(law of Steno)。
同种晶体之间,对应晶面间的夹角恒等。这 里夹角一般指的是面角(interfacial angle),即晶面法线之间的夹角。
2.1 面角守恒定律 晶体测量使用的仪器有接触测角仪(contact goniometer)和反射测角仪(reflect goniometer)两类。
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