积分微分知识点及习题和答案(仅供参考)

仅供参考

积分和微分

积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种

1、不定积分

设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.

由定义可知：

求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.

2、定积分

众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已

知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.

实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若

F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.

而相对于不定积分,就是定积分.

所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.

定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的

函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加

起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两

个端点a、b.

我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函

数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?

定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下

限在原函数的值的差.

正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数

学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.

3、微积分

积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质

决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一

函数.其中：[F(x) + C]' = f(x) 。一个函数在区间[a,b] 上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在 b 的值减去在 a 的值.

几何意义：

设Δx是曲线y = f(x) 上的点M 的在横坐标上的增量, Δy是曲线在点M 对应Δx在纵坐标上的增量,dy 是曲线在点M 的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当| Δx很| 小时,| Δ－y dy|比| Δy|

要小得多 (高阶无穷小 ),因此在点 M 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段 .

多元微分：同理 ,当自变量为多个时 ,可得出多元微分得定义 . 运算法则： dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du ·v+dv ·u

d(u/v)=(du 1、定积分

说明： v ·-dv ·u)/v^2

（ 1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（ 2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限 .

2、微积分基本定理 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式 )

如果 F (x)

f (x) ，且 f ( x) 在[ a,b] 上可积，则

b

b

a

f (x)dx F ( x) a

F (b) F (a) ，

【其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数，因为

F (x) C

F (x)

f (x) 】

3、常用定积分公式

x

1

⑴ 0dx

c （ c 为常数） ⑵ 1dx x c

⑶ x dx

c 1

(

1)

⑷

1

dx x

ln x c ⑸

e x

dx e

x

c

⑹

a x

dx

x

a

c (a

0, a 1)

ln a

⑺ sin xdx

cos x c ⑻ cos xdx sin x c

⑼ sin axdx 1

cos ax c (a 0) a

⑽ cos axdx

1

sin ax c (a 0) a

4、定积分的性质 b b

b

b b ⑴

kf ( x) dx a

k f ( x) dx （

k 为常数）； ⑵

a

f (x) a

g(x)dx

f ( x)dx

a

g( x) dx ；

a

b c b ⑶

f ( x )dx

f (x )dx

f ( x ) dx （其中 a c b) ;

a

a

c

⑷利用函数的奇偶性求定积分

: 若 f ( x) 是 [ a, a] 上的奇函数 , 则

a f (x ) dx

a

0 ; 若 f (x) 是

[ a, a] 上的偶函数 , 则

a

f (x )dx a

a

2 f ( x )dx .

5、定积分的几何意义

b

定积分

f (x )dx 表示在区间 [ a,b] 上的曲线 a

y

f ( x) 与直线 x a 、 x b 以及 x 轴所

围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和。 6、求曲边梯形面积的方法与步骤

⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ⑶写出定积分表达式；