高中数学导数与定积分知识点
积分导数知识点总结高中
积分导数知识点总结高中积分和导数的概念最初来源于求解曲线的斜率和面积的问题。
导数描述了曲线在某一点的斜率，而积分则描述了曲线下的面积。
接下来，我们将深入探讨积分和导数的相关知识点，包括它们的定义、性质和求解方法等。
一、导数的概念和性质导数是函数在某一点处的斜率，它描述了函数在该点附近的变化率。
导数可以用以下极限形式来定义：\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，\( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数。
导数的性质包括：1. 可导性：如果函数在某点处有导数，那么它在该点处是可导的。
2. 导数的基本性质：- 两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数的和（差）；- 两个函数的积的导数等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以第一个函数的导数；- 两个函数的商的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
3. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为该函数的二阶导数，类推，可以得到更高阶的导数。
二、积分的概念和性质积分描述了函数下的面积，或是曲线的长度。
积分的概念最初来源于求解面积问题，它可以用以下定积分的形式来定义：\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]其中，\( \int \) 表示积分，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的上下限，\( f(x) \) 是要积分的函数。
积分的性质包括：1. 可积性：如果函数在闭区间上是有界的，则它在该区间上是可积的。
2. 积分的基本性质：- 根据可积性，定积分是存在的；- 定积分的几何意义是曲线与 \( x \) 轴之间的面积；- 定积分满足可加性和线性性质。
3. 不定积分：不定积分表示求解函数的原函数的过程，它是积分的逆运算。
三、积分和导数的关系积分和导数是微积分中最重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
高中数学微积分知识点
高中数学微积分知识点一、导数的概念与运算。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 函数y = f(x)的导数f^′(x)，y^′或(dy)/(dx)，f^′(x)=limlimits_Δ x→0(f(x + Δ x)-f(x))/(Δ x)。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
3. 基本初等函数的导数公式。
- C^′=0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′=-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′=e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)（x>0）4. 导数的运算法则。
- (u± v)^′=u^′± v^′- (uv)^′=u^′v + uv^′- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)二、导数的应用。
1. 函数的单调性。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，则y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，则y = f(x)在这个区间内单调递减。
2. 函数的极值。
- 设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0) = 0。
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
2
数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
大一高数知识点总结
大一高数知识点总结大一高等数学是一门基础课程，重点讲解一元函数的极限、连续性、导数以及定积分等内容。
以下是对大一高等数学知识点的总结：一、函数及极限1. 函数的概念：定义域、值域、对应关系2. 极限的概念：数列极限和函数极限的定义3. 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼定理4. 无穷大与无穷小：无穷大的定义与性质、无穷小的定义与性质、等价无穷小5. 极限运算法则：四则运算、复合函数、极限的存在准则6. 常用极限：基本极限、反函数极限、三角函数极限、指数函数和对数函数极限、洛必达法则二、连续性与间断点1. 连续函数的定义：初等函数的连续性、反函数的连续性、复合函数的连续性2. 间断点的分类：第一类间断点、第二类间断点、可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点3. 连续函数的性质：介值定理、零点定理、连续函数的保号性、闭区间上连续函数的最值定理三、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的性质：四则运算法则、复合函数求导、反函数求导、常用函数的导数3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数4. 导数的几何应用：切线与法线、函数图形的凹凸性、极值与变曲率5. 微分的概念：微分的定义、微分的性质、微分近似计算四、函数的应用1. 泰勒公式与函数展开：泰勒公式及其应用、函数展开与近似计算、求极限与展开2. 极值问题：最值问题的转化、最大最小值的判断方法、约束最值问题的求解3. 曲线的拟合与函数模型：最小二乘法及其应用、曲线拟合的方法与模型选择五、定积分1. 定积分的概念：黎曼和、不定积分与原函数、定积分的定义与性质2. 定积分的计算：定积分的基本性质、定积分的换元法、分部积分法、换限积分法、参数方程与极坐标下的定积分3. 定积分的应用：定积分的几何应用、物理应用、平均值与积分中值定理、变限积分与定积分的微分学应用总之，大一高等数学是培养学生逻辑思维和分析问题的能力的基础课程。
高中数学微积分知识点总结
高中数学微积分知识点总结微积分是数学中重要的分支之一，涵盖了许多关键的概念和技巧。
在高中数学教育中，微积分被广泛教授，并且是进入大学数学学习的基础。
本文将总结高中数学微积分的关键知识点，帮助学生巩固学习成果，并为他们进一步深入研究提供基础。
1. 导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的计算方法包括使用基本的求导法则，如常数规则，幂函数规则，指数函数规则和三角函数规则。
在计算导数时，我们还可以使用链式法则和隐式微分法。
2. 函数的极值函数的极值是函数图像上的最大值和最小值。
根据导数的性质，我们可以通过求导来找到函数的极值点。
具体来说，函数在导数为零或导数不存在的点可能具有极值。
然后，我们可以通过二阶导数的符号来确定这些点是极大值还是极小值。
3. 定积分定积分是微积分中的另一个关键概念，用于计算曲线下的面积或曲线长度。
定积分的计算需要求出积分上下限之间的函数的面积。
我们使用不定积分来计算定积分，并使用积分上下限来确定曲线的范围。
4. 微分方程微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
高中数学中，主要学习了一阶微分方程。
求解微分方程的一般步骤包括分离变量，积分，以及解释常数。
解方程时，需要根据给定初始条件来求解常数。
5. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某点周围展开为幂级数的表达式。
它可以用来近似计算复杂函数的值。
泰勒展开的基本思想是使用函数值及其各阶导数的信息来逼近函数的形式。
具体的展开公式取决于所考虑的阶数。
以上是高中数学微积分的一些关键知识点的总结。
通过掌握这些知识，学生们将能够更好地理解微积分的基本概念和方法，并为进一步深入研究打下坚实的基础。
希望本文对高中数学学生的学习有所帮助，并激发他们对微积分的兴趣和探索精神。
让我们一起享受微积分带来的挑战和成就吧！。
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分的概念
知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
������ ������
������(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-������2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.
题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
������
·1 =
������
∑
������ ������=1
3(������-1) ������ 2
+
5 ������
=
3 ������ 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ������2-������ = 2 · ������2 + 5
13 3
= 2 − 2������.
(3)取极限
2 1
−
������+������-1 = 1.
������
������
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材 新人教A版选修22
定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1li m nbi an i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'b baaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１ 计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２ 计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如 例３ 计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。
高中数学一轮复习导数与定积分：第6节导数与函数的最值
第6节导数与函数的最值【基础知识】函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【规律技巧】设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a ，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【典例讲解】例1已知函数f(x)＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．【解析】由f(x)＝e x －ax 2－bx －1，有g(x)＝f ′（x)＝e x －2ax －b.所以g ′（x)＝e x－2a.因此，当x ∈[0,1]时，g ′（x)∈[1－2a ，e －2a]．当a ≤12时，g ′（x)≥０，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′（x)≤０，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b ；当12<a<e 2时，令g ′（x)＝0得x ＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b.综上所述，当a ≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当12<a<e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ；当a ≥e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b.【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f(x)在(a ，b)内所有使f ′（x)＝0的点，再计算函数y ＝f(x)在区间内所有使f ′（x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】已知函数f (x)＝(x －k)e x .(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间[0,1]上的最小值．【针对训练】1、已知函数32()1f x x bxcx 有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ，则(1)f 的取值范围是（）A ．[3,12]B ．3[,6]2C ．3[,3]2D ．3[,12]2【答案】A 2、已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R)．(1)若函数f(x)在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞)，f(x)在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．【答案】（1）b ＝－11；（2）163.【综合点评】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．【练习巩固】1、设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．2、若不等式29ln bx c x x 对任意的0+x ，，03b ，恒成立，则实数c 的取值范围是．【答案】9ln 3，3、已知函数()ln()x f x e x m ．x ＝0是f(x)的极值点，则m= ，函数的增区间为，减区间为.【答案】1,(0,),(1,0).4、已知函数f(x)＝(x 2＋bx ＋b)1－2x(b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f (x)在区间0，13上单调递增，求b 的取值范围．5、设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．【解析】(1)设f(x)＝ln x x ，则f ′(x)＝1－ln xx 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于，x ≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g ′(x)＝1－f ′(x)＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x<1时，x 2－1<0，ln x<0，所以g ′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g ′(x)>0，故g(x)单调递增．所以g(x)>g(1)＝，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．6、已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．。
高考数学 第三章 导数及其应用 专题11 导数与定积分考场高招大全
专题11 导数与定积分考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律1.解读高招2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f(x)=e x sin x在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P是函数y=e x-e-x-3x图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是.【答案】(1)-1(2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .ln 2【答案】 1-3.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招y-y1=f'(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x ln(-x)+x+2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为()A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为.【答案】 (1)B(2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。
第三章 导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
＝
2 3 1 x ＋ x249 3 2 2
2 3 2 3 1 2 1 1 2 ＝ ×9 － ×4 ＋ ×9 － ×4 ＝45 . 3 2 3 2 2 2 6 1＋cosx (4) cos dx＝ dx 2 2
π 0
2x
π 0
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
(3)
9 4
1 x(1＋ x)dx＝ (x ＋x)dx 2
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
(1)定积分bf(x)dx是一个常数． a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和
式
n f(ζi)Δx，记λ为每个小区间Δxi＝xi＋1－xi i＝ 1
(i＝0,1,2，…，n－1)中的长度最大者，当λ 趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0.
当λ→0时，此和式如果无限接近某个常数，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx. 即 f(x)dx＝ lim f (ξi)Δxi，这里a与b分别叫做积 λ→0
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
高中数学导数与积分知识点归纳总结
高中数学导数与积分知识点归纳总结在高中数学中，导数和积分是两个重要的概念。
它们在计算和解决数学问题时起着关键作用。
以下是导数和积分的一些核心知识点的总结。
导数导数可以理解为函数在某一点的变化率。
它描述了函数在不同点的斜率或曲线的切线。
以下是导数的一些重要知识点：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
2. 导数的计算：使用导数的定义，我们可以通过求极限来计算导数。
另外，还有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性、乘法法则、除法法则和链式法则等。
这些性质可以简化导数计算的过程。
4. 高阶导数：除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的曲率和曲线的变化情况。
积分积分可以理解为函数的累积总和。
它是导数的逆运算，可以用来计算曲线下面的面积或实现函数的反向操作。
以下是积分的一些重要知识点：1. 定积分：定积分是指对函数在给定区间上的积分。
定积分的计算可以使用黎曼和或牛顿-莱布尼茨公式等方法。
2. 不定积分：不定积分是指对函数求积分得到的含有任意常数的函数。
不定积分可以通过求导的逆运算来计算。
3. 积分的性质：积分具有一些重要的性质，如线性性、换元法、分部积分法等。
这些性质可以简化积分计算的过程。
4. 定积分的应用：定积分在几何学、物理学和经济学等领域有广泛的应用。
它可以用来计算曲线下的面积、质心、弧长以及求解各种实际问题。
以上是高中数学中导数和积分的一些核心知识点的归纳总结。
导数和积分在数学的不同领域中都具有重要的应用价值，例如计算、物理学、工程学等。
希望这份总结对您的学习和应用有所帮助。
高中数学教材——导数篇
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2B.21－2ln 2C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .[答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a .设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]， x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：；函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但xf′(x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 第一课时 导数与函数的单调性 考点一 求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1， 即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716 [题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． 7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；。
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第四讲定积分与微积分基本定理课件理
3
1
解析 (1)因为(ln )＇ = , 所以
2
1
2
d = 2
2
1
1
d = 2ln| 12 = 2(ln2−
ln1) = 2ln2.
(2)因为(sin)‘ = cos,所以
π
π = sin π−sin0 = 0.
cosd
=
sin|
0
0
考向1
(3)
(1)若f(x)为偶函数,则− f(x)dx=20
f(x)dx;
(2)若函数f(x)为奇函数,则− ()d=0.
考点2
微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F＇(x)=f(x),那么
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨
| ；
|
；
(3)
1
(5) dx=ln|x|
sin xdx=-cos x | ；
| ；
(6)
exdx=ex | ；
理解自测
判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
f(x)dx=
奇函数.
0
所以 −5 （ 3 3 + 4sin)d = − 50 (3 3 + 4sin x)dx.
5
所以 −5 （ 3 3 + 4sin)d = 0.
考向1
新人教版高中数学选修2-2教案：第1章 导数与定积分 1.1导数的概念与运算
1.1导数的概念及运算【知识要点】1、导数的概念：一般地，函数=()y f x 在包含0x 的某个区间有意义，当自变量在0 x =x 处附近改变量为x ∆时，函数值也相应的改变=00y f(x+x )-f(x )∆∆，当0x ∆→（x ∆趋近于0）时，此时在0x =x 处的瞬时变化率是：00lim =lim00x x f(x+x )-f(x )yx x∆→∆→∆∆∆∆，称它为函数=()y f x 在0 x =x 处的导数，记作0=()y f x '或0==00|,|=()=lim 00x x x x x f(x+x )-f(x )y y f x x∆→∆'''∆即2、函数=()y fx 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是：曲线=()y f x 上过点0x 的切线的斜率。
理解导数的几何意义应注意以下三点： （1）利用导数求曲线的切线方程：①求出=()y f x 在点0x 处的导数0()f x '；②利用直线方程的点斜式得切线方程为：0=()00y f x (x -x )+y '（2）若曲线=()y f x 在点0x 处的导数0()f x '不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。
3、导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 都是可导的，则称f(x)在开区间(a,b)内可导，在区间(a,b)构成一个新函数f (x)'，我们把这个函数称为函数=()y f x 的导函数，简称导数。
注意：①函数在一点处的导数，就是该点的函数改变变量与自变量的比值的极限，它是一个数，不是变数。
②某点0x 可导，即导数存在，则说明()=()+-00f x f x ''，即该点的左导等于右导。
否则，此点导数不存在。
4、常用的基本初等函数的导数(重点)： (1)常见函数的导数： ①=0C '；②=1x '；③(kx+b)=k(k b )'、常数④22(x)=x '；⑤323(x)=x '；⑥211()-=x x'；⑦='（2）基本初等函数的导数：①-1()()nn x=nx n Q '∈②(sin )=cos x x '；③(cos )= -x sinx '； ④()=x x e e '⑤()=ln ()xx a a a a >0a 1'≠且⑥1(ln )=x x'⑦1(log )=(>00)ln a x a a x a'≠且（3）导数的运算法则（()g()f x ,x 均为可导函数）①[()g()]=()g ()f x x f x x '''±±②[()*g()]=()g()+()g ()f x x f x x f x x '''③2()()g()-()g ()[]=[g()0]g()[g()]f x f x x f x x x x x '''≠ (4)复合函数的导数：设函数=()u x ϕ在点x 处有导数=(),u x ϕ''函数=()y f u 在点x 的对应点u 处有导数=()y f u ''，则复合函数=(())y f x ϕ在点x 处的导数有导数，即：=(())=()*(x),=()x y f x f u u x ϕϕϕ''''【解题方法】【关于导数的定义】1-1、 第一步：对于未给定具体的自变量x 的值，求解导数一般要构造出求导数的形式，对于缺少项采用添项补项的方法，如出现了0(+)f x a x ∆则分子要补项0-()f x ，分母要乘以a 。
导数高端知识点总结高中
导数高端知识点总结高中一、导数的概念1. 导数的定义在数学中，导数是函数变化率的量度，它表示函数在某一点的变化速率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x)=lim[(f(x+Δx)-f(x))/Δx](Δx→0)存在，则称f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义可以从图像的角度来理解。
在函数图像的某一点A处，函数的导数f'(x)表示了曲线在A点的切线斜率，也就是函数在这一点处的变化速率。
如果导数为正，表示函数在该点处是递增的；如果导数为负，表示函数在该点处是递减的；如果导数为零，表示函数在该点处的变化率为零，即函数在该点处有极值。
3. 导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，物体的位移与时间的关系可以用函数来描述，而物体的速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
因此，导数可以用来描述物体在某一时刻的速度和加速度，这对于研究物体的运动特性具有重要的意义。
二、导数的性质1. 导数存在的条件函数f(x)在点x处可导的条件是函数在该点处的左导数和右导数存在且相等。
这个条件可以用极限的形式来描述，即lim[Δx→0-(f(x+Δx)-f(x))/Δx]=lim[Δx→0+(f(x+Δx)-f(x))/Δx]。
2. 导数的四则运算性质导数具有四则运算的性质，即对于两个可导函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数可以通过原函数的导数来求得。
具体的性质如下：（1）和函数的导数：(f+g)'=f'+g'（2）差函数的导数：(f-g)'=f'-g'（3）积函数的导数：(fg)'=f'g+fg'（4）商函数的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^23. 复合函数的导数如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也是可导的，它的导数可以通过链式法则来求得。
高三导数都学什么知识点
高三导数都学什么知识点导数是高中数学课程中的重要内容之一，它是微积分学的基础知识，具有广泛的应用领域。
在高三阶段，学生需要掌握并深入理解导数的各种概念、性质和应用。
本文将介绍高三阶段学习导数所需的主要知识点。
一、导数的定义导数的定义是理解导数概念的重要起点。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率，它表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义主要分为几何定义和极限定义，学生需要熟练掌握两种定义的形式及其间的相互转换。
二、导数的基本性质1. 导数的可导性：学生需要掌握函数在某一点可导的条件，以及可导函数的充要条件。
2. 导数的四则运算法则：学生需要了解导数的四则运算规则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则，能够应用这些法则求解导数。
3. 复合函数的导数：学生需要掌握复合函数导数的链式法则，即复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
4. 反函数的导数：学生需要了解反函数导数与原函数导数的关系，能够通过已知原函数导数求解反函数导数。
三、高阶导数与导数的应用1. 高阶导数：学生需要了解高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。
对于常见的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数，学生需要能够计算其高阶导数。
2. 极值问题：学生需要掌握极值问题的解法，包括利用导数判定函数的极值和求解极值点的方法。
同时，还要学会应用拉格朗日乘数法解决含有约束条件的极值问题。
3. 函数的图像与导数：学生需要了解函数的导数与函数图像的关系，通过导数的符号表述，判断函数在不同区间的单调性、凹凸性以及极值情况。
4. 应用问题：学生需要学会将导数应用于实际问题的解决。
例如，利用导数求解最优化问题、求曲线的切线和法线、求解最大最小值等。
四、其他导数的知识点除了上述主要知识点外，高三阶段还需要学习和掌握导数的其他相关知识，如导数的应用于函数的增减性、导函数与导数的关系、不定积分与原函数等。
总结起来，高三导数的学习内容主要包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数与导数的应用以及其他导数的知识点。
高中数学中的函数求导与积分分析
高中数学中的函数求导与积分分析函数求导和积分是高中数学中的重要概念与技巧，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将对高中数学中的函数求导和积分进行分析和解释。
首先，让我们从函数求导开始。
函数求导是研究函数变化率的一种方法，可以帮助我们了解函数在不同点上的斜率或速率。
求导的结果是一个新的函数，称为导函数，它描述了原函数的每个点的变化率。
求导可以通过计算函数的导数来实现，导数的定义是函数在某一点的切线的斜率。
在高中数学中，我们通常使用导数的基本规则来计算导函数，这些规则包括常数规则、幂规则、和差规则以及乘积和商的规则。
函数的导数可以提供有关函数的许多重要信息，如函数的极值点、增减性以及凹凸性等。
通过求导，我们可以找到函数的最大值和最小值，这在优化问题中非常有用。
此外，导数还可以用来解决直线和曲线的切线问题，通过计算切线的斜率和穿过给定点的切线方程，我们可以确定曲线在该点的切线。
除了函数求导，积分也是高中数学中的重要概念。
积分是求函数的面积或曲线下的面积的方法。
在解决实际问题时，一个曲线下的面积可以表示为对函数进行积分的结果。
高中数学中使用的积分方法包括定积分和不定积分。
定积分用于计算两个给定点之间的曲线下的面积，其结果是一个确定的数值。
不定积分则用于找到函数的原函数。
与求导相反，不定积分可以将导函数还原为原函数。
在高中数学中，我们使用简单的积分法则如幂法则、常数法则和和差法则来计算不定积分。
函数求导和积分在物理、经济学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，通过求导和积分，我们可以了解速度、加速度和位移之间的关系。
在经济学中，积分可以用来计算收益和成本之间的差异，而导数可以帮助我们了解市场需求和供应之间的关系。
在工程学中，求导可以用来计算速度和压力的变化率，而积分可以用来计算负载和能量消耗。
总之，高中数学中的函数求导和积分是重要的数学技巧，它们不仅仅是数学学科中的概念，还广泛应用于其他学科和实际问题的解决。
高数积分大一上知识点总结
高数积分大一上知识点总结一、导数与微分在学习高数积分之前，我们首先需要掌握导数与微分的概念。
导数是指函数在某一点处的变化率，可以通过求斜率来计算。
微分则是导数的微小变化，代表函数在某一点处的局部线性近似。
通过导数，我们可以判断函数在某一点的增减性，求解极值点和拐点等问题。
常见的导数运算规则包括加法、减法、乘法及链式法则等。
二、不定积分与定积分不定积分是求函数的原函数，也叫不定积分。
通过不定积分，我们可以解决一些基本的积分问题。
常见的不定积分规则包括常数因子法则、幂函数法则、反函数法则等。
定积分是指求解函数在一定区间上的积分，也称为定积分。
定积分可以帮助我们计算曲线下面的面积、求解物理中的位移、质量等问题。
求解定积分时，我们需要掌握积分上限和下限的替换、换元积分法、分部积分法等技巧。
三、微分方程微分方程是描述变化过程的方程，它包括未知函数及其导数之间的关系。
微分方程可以分为一阶和高阶微分方程。
一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶导数的微分方程。
我们需要掌握分离变量法、齐次微分方程法、一阶线性常微分方程法等来解决一阶微分方程。
高阶微分方程是指方程中最高阶导数为高阶导数的微分方程。
我们需要学会使用常系数线性齐次微分方程法、常系数非齐次微分方程法等来解决高阶微分方程。
四、微积分的应用微积分在实际生活中有广泛的应用。
在物理学中，我们可以利用微积分来求解速度、加速度、力等问题。
在经济学中，微积分可以用来研究边际效应、最优化问题等。
在生物学中，微积分可以帮助我们研究生物进化、种群动力学等。
此外，在几何学中，微积分也有重要的应用。
我们可以利用微积分来研究曲线的弧长、曲率、曲率半径等问题。
微积分还可以帮助我们解决最小平方法、极值问题等。
总结起来，高数积分是大一上必修的一门课程，通过学习导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及微积分的应用，我们可以掌握基本的积分技巧，解决一些实际问题。
通过深入理解和不断练习，我们将能够更好地应用积分知识，拓宽自己的思维方式和数学能力。
高等数学之高中知识点总结
高等数学之高中知识点总结一、微积分微积分是高等数学中最基础也是最重要的内容之一。
微积分包括微分学和积分学两部分内容，主要研究函数的变化规律和面积、长度、体积等问题。
1. 函数及其性质函数的基本概念：自变量、因变量、变量域、值域等。
初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数等。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
极限与连续：函数极限的概念、极限性质、无穷小与无穷大、函数连续性及其判别法。
2. 微分学导数的定义及其几何意义：导数的定义、导数的几何意义、导数的性质。
常用函数的导数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等的导数。
高阶导数、隐函数与参数方程的导数、导数的运算法则。
微分：微分的概念、微分的性质、高阶微分、微分的应用。
泰勒公式与洛必达法则。
3. 积分学不定积分：不定积分的概念、基本积分、换元积分法、分部积分法、有理分式的积分、反常积分等。
定积分：定积分的概念、定积分的性质、定积分的计算法、变限积分的导数公式和积分公式。
定积分的应用：定积分的几何应用、物理应用、概率统计应用等。
二、线性代数线性代数是研究多维空间中向量、矩阵、线性方程组及其相关概念和理论的数学学科。
1. 线性方程组与矩阵线性方程组：线性方程组的概念、线性方程组的解的判别法、线性方程组的解的结构。
矩阵与矩阵的运算：矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的初等变换、矩阵的秩与逆。
2. 向量空间向量的概念、向量的线性运算和向量空间的性质。
向量空间的基与维数：线性无关组、向量组的秩、向量空间的基、维数。
3. 线性变换与矩阵的相似性线性变换的概念、线性变换的矩阵表示、线性变换与矩阵的相似性。
特征值与特征向量：特征值与特征向量的概念、求特征值与特征向量的方法。
4. 线性空间的结构内积、内积空间、正交向量组。
正交矩阵、正交变换。
三、数学分析数学分析是数学的一个重要分支，主要研究实数系统上的连续函数和变量的极限等问题。
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高中数学知识点—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f ’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n n x n x （３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定积分 （1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m ＝111++m x m ＋C（m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=b ac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
四．典例解析 题型1：导数的概念例1．已知s=221gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.03211.321)3()1.3(22=-=-=∆g g s s s s ∆指时间改变量。
059.313059.0==∆∆=t s v 。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，ts∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，ts∆∆的极限， V=0lim →∆x t s∆∆=0lim →∆x =∆-∆+ts t s )3()3(0lim →∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21 =g 21lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。
例2．求函数y=24x 的导数。
解析：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=∆，22)(24x x x xx x y ∆+∆+⋅-=∆∆， ∴00limlim→∆→∆=∆∆x x x y⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x =-38x 。
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。
题型2：导数的基本运算例3．（1）求)11(32xx x x y ++=的导数； （2）求)11)(1(-+=xx y 的导数；（3）求2cos 2sin xx x y -=的导数；（4）求y=xx sin 2的导数；（5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数。
解析：（1）2311x x y ++= ,.2332'xx y -=∴ （2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y∴.112121212321'⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=--x x x x y（3）先使用三角公式进行化简.x x x x x y sin 212cos 2sin -=-=.cos 211)(sin 21sin 21''''x x x x x y -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∴（4）y ’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=xxx x x 22sin cos sin 2-； （5） y ＝233x －x ＋５－219-x∴y ’＝３*（x 23）＇－x ＇＋５＇－９21(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－21）23-x＝1)11(292-+xx 。