切比雪夫大数定律

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贝努利大数定律
设Sn是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A 发生的概率，则对任意的ε>0 ，存在
Sn lim P p 1 n n
该定律表明事件发生的频率具有稳定性。当试验次数n 很大时，事件发生的频率与其真实概率有较大偏差的可 能性很小.
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泊松大数定律
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第八章 保险费率厘定
一、随机事件和概率分布 二、大数法则及其在保险中的应用 三、保险费率的构成与厘定原则 四、财产保险的费率厘定 五、人寿保险的费率厘定
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4.1 财产保险费率厘定方法

分类法
— 纯费率法 — 损失率法

个案法 增减法
— 表定法 — 经验法 — 追溯法
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4.2 财产保险费率计算过程
泊松大数定律表明，尽管各个相互独立的危险单位的损 失概率可能各不相同，但只要标的足够多，仍可以在平 均意义上求出相同的损失概率。因此，可以把性质相近 的标的集中起来，从整体上求出一个平均的费率。
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二、大数法则及其在保险中的应用

大数定律在保险中的应用
— 要准确估计事件发生的概率，保险公司必须掌 握大量的经验数据； — 概率估计值必须运用到大量的危险单位中才能 对未来损失有较准确的估计；


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设某一随机事件A在第1次试验中出现的概率批p1为， 在第2次试验中出现的概率为p2，…,在第n次试验中出 现的概率为pn。同样用Sn表示事件A在n次试验中发生 的次数，则对任意的ε>0 ，存在
Sn p1 p2 pn lim P 1 n n n
缴纳的费用。

保险费的构成
— 纯保费：主要用于保险赔付的支出 — 附加保费：费用附加，安全附加，利润附加
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3.1保险费率的构成

保险费率：保险费与保险金额的比例，又被成
为保险价格。

保险费率的构成
— 纯费率：又称净费率主要用于保险赔付的支出 — 附加保费费率
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3.2 保险费率厘定的原则

法律原则 — 充分原则 — 合理原则 — 公平原则 业务原则 — 相对稳定原则 — 易操作原则 — 灵活原则 — 促进防灾防损的原则
1 n lim P X i 1 x n i 1 假设有个被保险人，同时投保了个相互独立的标的，每个标的发
生损失的大小为随机变量，且每个标的的损失期望值均相等，即。 如果根据保险标的可能发生损失的期望值计算纯保费，那么，根 据以上定理，只要承保标的的数量足够大，投保人所缴纳的纯保 费和每个被保险人所发生的损失平均值几乎相等。这样，保险人 就能从整体上保持收支平衡了。
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二、大数法则及其在保险中的应用

大数法则
用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消，事件发生的 频率将趋近于一个常数。大数法则是一系列定理的统称。 — 切比雪夫大数定律 — 贝努利大数定律 — 泊松大数定律
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切比雪夫大数定律
设X1,X2,…是两两不相关的随机变量序列，其期望值E(X1), E(X2),…及方差σ2(X1), σ2(X2), …都存在，且这些方差有共同的上界, 即σ2(Xi)≤K，i=1,2,… ，则对任意的ε>0，存在
第八章 保险费率厘定
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第八章 保险费率厘定
一、随机事件和概率分布 二、大数法则及其在保险中的应用 三、保险费率的构成与厘定原则 四、财产保险的费率厘定 五、人寿保险的费率厘定
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一、随机事件和概率分布

随机事件
所有可能结果组成的集合称为随机试验的样本空间， 样本空间的子集称为随机试验的随机事件。比如某 人在一年内死亡，汽车在1年内发生车祸，某个地 区在一年内发生强烈台风。
（1）计算纯费率
纯费率 保额损失率 （ 1 稳定系数）
保额损失率 赔偿金额 100% 保险金额
稳定系数
损失率的均方差 平均保额损失率x
（2）计算附加费率
附加费率由营业费率、营业税率和营业利润率构成
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4.2 财产保险费率计算过程
（3）计算毛费率
毛费率 纯费率+附加费率
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1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 x n i 1 n i 1
切比雪夫大数定律表明，当n充分大时，差不多不再是随机的了， 取值接近于其数学期望的概率接近于1。该定律给出了平均值稳定 性的科学描述。
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独立同分布大数定律
设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且， E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2 ， i=1,2,… ，则对任意的ε>0 ，存在

概率
表示随机事件发生可能性大小。
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一、随机事件和概率分布

概率分布
用于描述各种随机变量及其对应概率，可以分为离 散型和连续型。

损失期望值
保险业务中，随机变量的取值通常是损失的各种不 同数额，因此，随机变量的数学期望就是损失期望 值，也就是未来危险事故产生损失的均值。
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第八章 保险费率厘定
一、随机事件和概率分布 二、大数法则及其在保险中的应用 三、保险费率的构成与厘定原则 四、财产保险的费率厘定 五、人寿保险的费率厘定
— 假设前提： 1. 过去事件发生的概率和未来事件发生的概率相 同； 2. 对过去事件发生概率的估计是准确的。
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第八章 保险费率厘定
一、随机事件和概率分布 二、大数法则及其在保险中的应用 三、保险费率的构成与厘定原则 四、财产保险的费率厘定 五、人寿保险的费率厘定
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3.1 保险费率的构成

保险费：投保人为了获得经济保障而向保险人
第八章 保险费ห้องสมุดไป่ตู้厘定
一、随机事件和概率分布 二、大数法则及其在保险中的应用 三、保险费率的构成与厘定原则 四、财产保险的费率厘定 五、人寿保险的费率厘定
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5.1 人寿保险保费的构成

纯保费+附加保费，纯保费计算必须以死亡率和预 定利率为基础；附加保费则用于保险公司经营费用。 均衡保费：解决一个矛盾——在整个保险期间，按 照死亡率，每年实际发生的现金流支出是各不相同 的，而人们每年的收入也各不相同。 均衡保费：就是通过数学计算将投保人需要交纳的 全部保费在整个交费期内均摊，使投保人每期交纳 的保费都相同。