浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用

浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用

发表时间：2018-12-21T14:00:50.797Z 来源：《文化研究》2018年第12月作者：吉润辰

[导读] 切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系

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摘要：切比雪夫不等式一直以来在概率统计中占有十分重要的地位，它阐明了实验均数和方差之间的具体关系，并为大数定律提供理论基础,在生产和生活中有广泛的应用。利用该不等式可以成功推导得到正态分布的3准则，并引出利用中心极限定理将各类分布形式与正态分布相联系。本文主要介绍切比雪夫不等式和大数定律的推导方式，并举例说明二者在实验科学中的具体应用。

关键词：切比雪夫不等式；大数定律；马尔科夫不等式；标准正态分布

1.引言

切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究概率统计规律中发现的，并用该不等式描述了标准差与实验样本量之间的关系，具有十分普遍的意义，是概率统计中最重要的不等式之一，可以将其推广为切比雪夫定理[2]。它将随机变量的期望和方差联系起来，并阐述了实验样本数据与理论计算真值的误差具体关系。除此之外，切比雪夫不等式也是马尔可夫不等式的特殊形式，即随机变量的误差函数大于或等于任意一个正数的概率的上限，该不等式是以俄国数学家马尔可夫命名，但它也曾出现在一些更早的文献中。

切比雪夫不等最重要的应用就是证明了大数定律，这为中心极限定理和正态分布的进一步研究打下基础[3]。说明了当实验次数达到一定数量时，可以将实验误差看作均匀分布的函数，并可以用实验样本频率来近似的替代实验概率，是各类概率统计方法的前提条件，并为统计方法的一般化提供令人信服的理论基础，是该类方法在各个领域均有广泛的应用。本文主要介绍切比雪夫不等式及大数定律的推导方式，并与马尔科夫不等式相联系，列举二者在解决实际问题中的具体应用。我们可以发现，正态分布最为重要的3准则便由此得到，并拓宽中心极限定理的一般化应用。

2.基本原理

2.1 切比雪夫不等式

切比雪夫不等式的具体表述如下：设任意一组随机变量为X，且该组数据的期望为E（X）=，方差为D（x）=。对于任意一个正数，均有如下表示[1]：

将已知数据带入可得，求解得到n1437，即实验次数至少要达到1437次。可以看出，利用中心极限定理得到的结果比切比雪夫不等式更加准确，但是使用前提必须满足，即当实验次数n足够大时，才能将二项分布根据中心极限定理近似为正态分布，进而可以得到精确解。但是，若实验次数过少，只能选择切比雪夫不等式计算。从这一方面也解释了大数定律中，实验次数n要求足够数量，才能合理的用实验频

率近似理论概率，否则精度会大打折扣。

4. 结论

本文通过介绍切比雪夫不等式的推导和应用，以及大数定律与该不等式之间的密切联系，阐述了二者在概率统计学中的重要地位，并将其推广至马尔科夫不等式，进一步说明当实验次数达到一定量时，随机变量数据与期望和方差间的关系。列举生物学小白鼠感染病毒死亡情况实验，进一步说明切比雪夫不等式的数值计算应用，并与中心极限定理所得结果相对比，指出两种方法具体使用条件，即当实验次数不足时，切比雪夫不等式优于中心极限定理；当实验次数达到一定量时，中心极限定理计算结果更准确。由此可以看出，切比雪夫不等式在生活中有更加广泛的应用有待我们开发。

参考文献

[1] 周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩 译. 理工科概率统计[M]. 北京:机械工业出版社,2009.

[2] 楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54.

[3]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.

[4] 韩生,白岩,刘光清,李茂.契比雪夫不等式的一个新证明[J].长春师范学报.1995,17(1):24-25.

[5] 沈伟利. 谈切比雪夫不等式的应用[J]. 郑州铁路职业技术学院学报. 2005,17(3):24-25