计算方法线性方程组的数值解法

x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
第3章 线性方程组的数值解法
回代过程：
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
(i n 1, ...,1)
定理：若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消 去法能顺序进行消元，得到唯一解。
a(k) ij
bi(k )
lik
a(k kj
)
lik bk(k )
(i, j k 1, ..., n)
(i k 1, ..., n)
共进行 n 1步，得 到
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n
...
a(n nn
)
x1
程组的有效方法。
思 首先将方程组Ax=b 化为上三角方程 路 组，此过程称为消去过程，再求解上
三角方程组，此过程称为回代过程.
第3章 线性方程组的数值解法
§1 高斯消去法
一、顺序消去法
1、三角形方程组的解法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
角形方程组
x1 2x2 x3 3 ①
3x2 6x3 3 ②
12x3 3
③
(3―6")
第3章 线性方程组的数值解法
x1 2x2 x3 3
3x2
6 x3
3
12x3 3
从方程组(3―6“)的方程③解出x3,将所得 的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代 入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为
x1
1 4
,
x2
3 2
,
x3
1 4
第3章 线性方程组的数值解法
上述求解方程组的方法就是高斯 (Gauss)消去法。从式(3―6)到 (3―6“) 的过程称为消元过程而由(3―6”)求出x3、 x2、x1的过程称为回代过程。
因此用高斯消去法求解线性方程组 要经过消元和回代两个过程。
第3章 线性方程组的数值解法
aij
aik
• akj
/
akk
aij ,
i k 1, k 2,, n j k 1, k 2,, n
(3―11)
1
2）回代过程
对于k=n,n-1,…,2,1,计算
n
xk (akn1
akj x j ) / akk
jk 1
(3―12)
第3章 线性方程组的数值解法
b1(1) b(2)
其中
(2)
aij (2) bi
a(1) ij
b(1) i
l a(1) ,i, i1 1 j
l b(1) i1 1
j
2,3,
,n
第3章 线性方程组的数值解法
第k步：设
a(k) kk
，0计算因子
lik
ai(kk )
/
a(k) kk
且计算
a(k 1) ij
b(k 1) i
L
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
L
22 2
2n n
2
L
a x a x a x b
n1
1
L
n2 2
nn n
n
矩阵表示记为 AX b
这里 a A [ ]ij nn , X (x1 , L , xn )T , b (b1 , L ,bn )T
AX=b
第3章 线性方程组的数值解法
第3章 线性方程组的数值解法
解线性方程组的两类方法:
直接法: 经过有限次运算后可求得方程 组精确解的方法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通 过构造一个无穷序列去逼近精确解的 方法(一般有限步内得不到精确解)
第3章 线性方程组的数值解法
§1 高斯消去法
高斯消去法是一个古老 的直接法，由它改进的 方法是目前计算机上常 用的求低阶稠密矩阵方
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
如此再解出xn-2,…,x2,x1，一般有 n
xi (bi aik xk ) / aii ,i n, n 1, ,1
k i1
(3―5)
第3章 线性方程组的数值解法
2、一般线性方程组的解法
现举例如下:
解方程组
x1 x1
2x2 x3 x 2 5x3
✓ 若A非奇异，即|A|≠0，则X=A-1b
✓ 克莱姆法则：则Xi=Ai / |A|
每项共 n个因
子
计算量：
共包 含n！
项
☺ 一个n阶行列式，需要(n-1)*n!次乘法
☺ 要计算n+1个n阶行列式，需(n+1)(n-1)*n!
☺ X含有n个分量，要做n次除法，共需运算次数
(n+1)(n-1)*n!+n= (n2-1)*n!+n
a11 ... a1i det(Ai ) ... ... ...
ai1 ... aii
第3章 线性方程组的数值解法
3、顺序高斯消去法的计算步骤： 在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数 项排于系数矩阵的第n+1列，
1）消元过程
对于k=1,2,…,n-1列,若按顺序有某一ark≠0,r≥k,则 交换k与r行,然后计算
第3章 线性方程组的数值解法
第3章 线性代数计算方法
§1 高斯消去法 §2 高斯―约当消去法 §3 解实三对角线性方程组的追赶法 §4 矩阵的三角分解 §5 行列式和逆矩阵的计算 §6 迭代法 §7 迭代法的收敛性
第3章 线性方程组的数值解法
n 阶线性方程组：
a x a x a x b
2、一般的线性方程组
消去过程：
记A(1)
A (a(1) ) ij nn
, b(1) b(b1(1)L
bn(1) )T
第一步：设
a(1) 11
，0计算因子
l
(1)
ai1
i1
a (1)
11
将增广矩阵的第 i 行 + li1 第1行，得到：
a (1) 11
a (1) 12
...
a (1) 1n
A(2)
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3 0
① ②
4x1 x 2 2x3 2 ③
(3―6)
第3章 线性方程组的数值解法
作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③ 中的x1,则方程组(3―6)化为
x1 2x2 x3 3 ①
3x2
6 x3
3
②
7x2 2x3 3 ③
对方程组(3―6′)作③-②×
(3―6′)
7 3
,得到三
L
ann xn bn
且aii≠0,i=1,2,…,n
第3章 线性方程组的数值解法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
L
(3―4)
ann xn bn
由方程组(3―4)的最后一个方程直接可得
xn bn / ann
将其代入倒数第二个方程可求得