全等三角形证明分类

全等三角形证明分类整理

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全等三角形证明分类

【题型一】公共边类型的全等三角形

图形1 图形2 图形3

注意：隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA

【例1】在ABC

∆中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证：ABD

∆≌ACD

∆

【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.

【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．

【题型二】公共角类型的全等三角形

【例4】如图，AB=AC, AD=AE，BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.

【题型三】对顶角类型的全等三角形

图形1 图形2

【例5】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：∠B=∠D.

【例6】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分

别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF

A

B C

D

A

B C

D

B C

A D

D C

B

A

A

B C

D

3

4

【题型四】边加减类型的全等三角形

图形1 图形 2

图形3 图形4

【例7】已知点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D.

【例8】如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //.

【例9】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，

求证：△ABC ≌△DEF ．

【例10】如图，已知：BF CE DF AE CD AB ===,,.求证：（1）

DE AF =;(2)AE ∥DF.

A D

B E F

C (A

B

F E

C

D

(

A B

FE D C

(2

A

B E

F D

C (∵

BE=CF ∵

BE=CF

∵

BE=CF ∵

BE=CF

A D

B E

C F

B

C D

E

F A

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【题型五】角加减（旋转）类型的全等三角形

图形1 图形2

图形3 图形4

【例11】如图，已知AB=AD ， ∠B=∠D，∠1=∠2，证明：BC=DE

【例12】已知：如图(1)，AB=AD ，BC=DE ，∠1=∠2. 求证：(1)AC=AE ； (2) ∠CAE=∠CDE.

【例13】已知：如图(2)，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF ；③△CAN ≌△ABM ；④CD=DN.其中正确的结论是__________________.

【题型六】大山型的全等三角形

【例14】已知：如图，AB ⊥CD,ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ，求证：AC ⊥CE.

同步练习：

1. 如图所示，已知CD CB AD AB ==,，E 是AC 上一点. 求证：

AED AEB ∠=∠.

E

D

C B A N

M F

E D

C B

A

E

D C

B

A

6

2. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE .

3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

4.如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===. 求证：点B 是线段AC 的中点.

5．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .

6．已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ． 求证：ED ⊥AC ．

学法提炼：

1、三角形全等的证题思路（判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS 或HL(R t △)）

（1）SAS

HL SSS

→⎧⎪→⎨⎪→⎩

找夹角已知两边找直角找另一边 （2）ASA AAS →⎧⎨

→⎩找夹边已知两角找任意一边 （3）AAS SAS ASA

AAS →→⎧⎪

→⎧⎪

⎨⎪

→→⎨⎪⎪⎪

→⎩⎩

边为角的对边找任意一角找夹角的另一边已知一边和一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2. 角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

数学语言表达(如图所示)：

∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

数学语言表达(如图所示)：

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

【例题讲解】

1．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。

2．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF。求证：CF=EB

E

D

C B

A

E

A

B

C

D

F

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