辽宁工业大学高数习题课(10)
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L
六、典型例题
【例1】计算曲线积分I L ( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy, 其中L 为曲线
y 1 | 1 x | (0 x 2) 沿
x 增大的方向.
分析
P Q 由于 y x ,
故曲线积分与路径有关. 又因为曲线 L
不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法： 一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用 补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方 法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为 L
L与 L 构成封闭曲线，然后在封闭曲线L L上应用Green
公式, 即
Q P ( )dxdy . L L Pdx Qdy x y D
再计算 L Pdx Qdy, 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即
I (
L L
)Pdx Qdy
AB AB
变力 F ( x, y ) P ( x, y ) i Q( x, y ) j 沿L
AB
所作的功.
二、对坐标的曲线积分的性质
1．线性性质：
[ F ( x,
1 L
y ) F2 ( x , y )] d r F1 ( x , y ) d r F2 ( x , y ) d r
L为区域 0 x , 0 y sin x 的边界，取逆时针方向。
P Q , y x
分析 由于
故曲线积分与路径有关。
又因L为封闭曲线（如图）。 且 P、 Q 在 L 所围区域上满足 格林公式的条件，故本题可 采用格林公式方法来计算，
0
y
y sinx
L
.
x
即采用框图中线路2→21的方法。
L
设 : x (t ), y (t ), z (t ) ; t 从 变到 ; 则
P ( x , y, z )dx Q( x ,
y , z )dy R( x , y , z )dz
(t ) R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt { P[ (t ), (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t ), (t )]
由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数
P ( x , y ), Q( x , y )及积分曲线 L, 然后判断等式
P Q , ( x , y ) D 是否 y x
成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 D 内与积分路径 无关. 此时的计算方法是，看积分曲线 L 是否封闭. 若 L 为封闭 曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零; 若 L 不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于 坐标轴的折线L )来计算所给积分，即
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
由Stokes公式，得
1 I
x 1
3 1
y 1
3 1
z y
3 dS
1
dS 3
1 3
D
1 3 dxdy dxdy 2 D
【例3】计算曲线积分 I L e x [(1 cos y )dx ( y sin y )dy] , 其中
2 圆周x 2 y 2 a （按逆时针方向绕行） .
2 2 2 分析 由于本题积分曲线 L为圆周 x y a , 故可首先写
出 L 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算， 即可采用框图中线路2→23的方法计算；另外，考虑到积 分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可
L
三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法： （化为定积分计算）
（1）参数方程： 设 L : x (t ), y (t ); t 从 变到 ; 则
P ( x , y )dx Q( x , y )dy { P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt
L
其中 , 为有向曲线弧 L 在点( x , y ) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
Yes
I Pdx Qdy
L
P Q y x
No
积分与路径无关
积分与路径相关 Yes
L 封闭
Yes
No
L 封闭
No
I 0
取特殊曲线L
I Pdx Qdy
4．斯托克斯（Stokes）公式计算法
Pdx Qdy Rdz
cos x P
cos y Q
cos dS. z R
（这里 是有向曲面 的正向边界曲面)
四、两类曲线积分之间的联系
L
Pdx Qdy
( P cos Q cos )ds.
L L
2．可加性：若 L L1 L2（方向不变），则
F ( x,
L
y) d r
F ( x,
L1
y) d r
F ( x,
L2
y) d r
3. 与积分曲线的方向有关性： 设L 是L 的反向曲线弧，则
L
F ( x,
y ) d r F ( x, y) d r .
I Pdx Qdy Pdx Qdy.
L L
若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方 法是，看积分曲线 L 是否封闭. 若L为封闭曲线, 则直接利用
Green公式计算所给积分，即
I
L
Pdx Qdy
(
D
Q P )dxdy x y
若 L 不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线 积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 L , 使
故利用格林公式，得
I
(
D
Q P )dxdy x y
sin x 0
x ye dxdy D
dx
0
e x ydy (1 e ).
1 5
( x y )dx ( x y )dy 【例4】 计算曲线积分 I L . 其中L 为 2 2 x y
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
第十章 曲线积分与曲面积分
习题课（二）
对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
P( x, y)dx Q( x,
L
y )dy lim P ( i , i )xi Q( i , i )yi
0
i 1
n
2．物理意义
W
AB
F d r ( P i Q j ) (dx i dy j ) Pdx Qdy
0 x1 x, y , 再代入被积函数中计算。 2 x , 1 x 2
0 x1 x, , 解：由于 y 2 x , 1 x 2
L
所以
I ( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy
2 x dx x (2 x ) dx x 2 (2 x ) 2 (dx)
（2）直角坐标：
设 L : y ( x ); x 从a 变到b ; 则
P ( x , y )dx Q( x ,
L
y )dy { P[ x, ( x )] Q[ x, ( x )] ( x )}dx
a
b
设 L : x ( y ); y 从 c 变到 d ; 则
2 2 2 0 1 1
2 2 2 2 4 2 3 2 2( 2 x ) dx ( 2 x ) . 1 1 3 3 3 3
1
2
2
【例2】 计算曲线积分I dx dy ydz, 其中 为有向闭折线
B(0, 1, 0) 、 C (0, 0, 1). ABCA , 这里的 A, B, C 依次为点 A(1, 0, 0) 、
解法2：利用格林公式计算。
2 2 2 设 L 由所围区域为 D ,则 D : x y a ; 于是
I
( x y )dx ( x y )dy 1 2 ( x y )dx ( x y )dy L 2 2 a L x y 1 2 2 2 2 ( 1 1)d d a 2 . 2 2 a D a D a
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
z
C (0,0,1)
o
B(0,1,0)
y
AB : x x, y 1 x, z 0; x从 1 变到 0 。
x
A(1,0,0)
BC : x 0, y 1 z, z z; z 从 0 变到 1 。
CA : x x, y 0, z 1 x; x 从 0 变到 1 。
L
确定D
对L补上特殊曲线 L
转化为 定积分
应用Green公式
在封闭曲线 L L 上应用Green公式
转化为定积分
P Q I dxdy I x y D
P Q dxdy L Pdx Qdy x y D
x x Q e ( y sin y) . 则 P e ( 1 cos y ) 解: 令 ，
P Q e x sin y, e x ( y sin y ). y x
P Q . 由于 D : 0 y sinx, 0 x . 即 y x
P ( x , y )dx Q( x ,
L
y )dy { P[ ( y ), y] ( y ) Q[ ( y ), y]}dy
c
d
注: 下限 起点 A, 上限 终点 B.
2．格林（Green）公式计算法
Q P Pdx Qdy x y dxdy.（注意使用条件！） D L
0
1
从而
I
源自文库
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
D为 在坐标面 xoy上的投影区域，则D : x y 1, x 0, y 0;
分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参 数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的 参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利 用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。
解法1：化为定积分计算. 由于
L AB BC CA (如图)，这里
六、典型例题
【例1】计算曲线积分I L ( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy, 其中L 为曲线
y 1 | 1 x | (0 x 2) 沿
x 增大的方向.
分析
P Q 由于 y x ,
故曲线积分与路径有关. 又因为曲线 L
不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法： 一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用 补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方 法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为 L
L与 L 构成封闭曲线，然后在封闭曲线L L上应用Green
公式, 即
Q P ( )dxdy . L L Pdx Qdy x y D
再计算 L Pdx Qdy, 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即
I (
L L
)Pdx Qdy
AB AB
变力 F ( x, y ) P ( x, y ) i Q( x, y ) j 沿L
AB
所作的功.
二、对坐标的曲线积分的性质
1．线性性质：
[ F ( x,
1 L
y ) F2 ( x , y )] d r F1 ( x , y ) d r F2 ( x , y ) d r
L为区域 0 x , 0 y sin x 的边界，取逆时针方向。
P Q , y x
分析 由于
故曲线积分与路径有关。
又因L为封闭曲线（如图）。 且 P、 Q 在 L 所围区域上满足 格林公式的条件，故本题可 采用格林公式方法来计算，
0
y
y sinx
L
.
x
即采用框图中线路2→21的方法。
L
设 : x (t ), y (t ), z (t ) ; t 从 变到 ; 则
P ( x , y, z )dx Q( x ,
y , z )dy R( x , y , z )dz
(t ) R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt { P[ (t ), (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t ), (t )]
由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数
P ( x , y ), Q( x , y )及积分曲线 L, 然后判断等式
P Q , ( x , y ) D 是否 y x
成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 D 内与积分路径 无关. 此时的计算方法是，看积分曲线 L 是否封闭. 若 L 为封闭 曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零; 若 L 不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于 坐标轴的折线L )来计算所给积分，即
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
由Stokes公式，得
1 I
x 1
3 1
y 1
3 1
z y
3 dS
1
dS 3
1 3
D
1 3 dxdy dxdy 2 D
【例3】计算曲线积分 I L e x [(1 cos y )dx ( y sin y )dy] , 其中
2 圆周x 2 y 2 a （按逆时针方向绕行） .
2 2 2 分析 由于本题积分曲线 L为圆周 x y a , 故可首先写
出 L 的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算， 即可采用框图中线路2→23的方法计算；另外，考虑到积 分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算，即可
L
三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法： （化为定积分计算）
（1）参数方程： 设 L : x (t ), y (t ); t 从 变到 ; 则
P ( x , y )dx Q( x , y )dy { P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt
L
其中 , 为有向曲线弧 L 在点( x , y ) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
Yes
I Pdx Qdy
L
P Q y x
No
积分与路径无关
积分与路径相关 Yes
L 封闭
Yes
No
L 封闭
No
I 0
取特殊曲线L
I Pdx Qdy
4．斯托克斯（Stokes）公式计算法
Pdx Qdy Rdz
cos x P
cos y Q
cos dS. z R
（这里 是有向曲面 的正向边界曲面)
四、两类曲线积分之间的联系
L
Pdx Qdy
( P cos Q cos )ds.
L L
2．可加性：若 L L1 L2（方向不变），则
F ( x,
L
y) d r
F ( x,
L1
y) d r
F ( x,
L2
y) d r
3. 与积分曲线的方向有关性： 设L 是L 的反向曲线弧，则
L
F ( x,
y ) d r F ( x, y) d r .
I Pdx Qdy Pdx Qdy.
L L
若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方 法是，看积分曲线 L 是否封闭. 若L为封闭曲线, 则直接利用
Green公式计算所给积分，即
I
L
Pdx Qdy
(
D
Q P )dxdy x y
若 L 不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线 积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 L , 使
故利用格林公式，得
I
(
D
Q P )dxdy x y
sin x 0
x ye dxdy D
dx
0
e x ydy (1 e ).
1 5
( x y )dx ( x y )dy 【例4】 计算曲线积分 I L . 其中L 为 2 2 x y
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
第十章 曲线积分与曲面积分
习题课（二）
对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
P( x, y)dx Q( x,
L
y )dy lim P ( i , i )xi Q( i , i )yi
0
i 1
n
2．物理意义
W
AB
F d r ( P i Q j ) (dx i dy j ) Pdx Qdy
0 x1 x, y , 再代入被积函数中计算。 2 x , 1 x 2
0 x1 x, , 解：由于 y 2 x , 1 x 2
L
所以
I ( x 2 y 2 )dx ( x 2 y 2 )dy
2 x dx x (2 x ) dx x 2 (2 x ) 2 (dx)
（2）直角坐标：
设 L : y ( x ); x 从a 变到b ; 则
P ( x , y )dx Q( x ,
L
y )dy { P[ x, ( x )] Q[ x, ( x )] ( x )}dx
a
b
设 L : x ( y ); y 从 c 变到 d ; 则
2 2 2 0 1 1
2 2 2 2 4 2 3 2 2( 2 x ) dx ( 2 x ) . 1 1 3 3 3 3
1
2
2
【例2】 计算曲线积分I dx dy ydz, 其中 为有向闭折线
B(0, 1, 0) 、 C (0, 0, 1). ABCA , 这里的 A, B, C 依次为点 A(1, 0, 0) 、
解法2：利用格林公式计算。
2 2 2 设 L 由所围区域为 D ,则 D : x y a ; 于是
I
( x y )dx ( x y )dy 1 2 ( x y )dx ( x y )dy L 2 2 a L x y 1 2 2 2 2 ( 1 1)d d a 2 . 2 2 a D a D a
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
z
C (0,0,1)
o
B(0,1,0)
y
AB : x x, y 1 x, z 0; x从 1 变到 0 。
x
A(1,0,0)
BC : x 0, y 1 z, z z; z 从 0 变到 1 。
CA : x x, y 0, z 1 x; x 从 0 变到 1 。
L
确定D
对L补上特殊曲线 L
转化为 定积分
应用Green公式
在封闭曲线 L L 上应用Green公式
转化为定积分
P Q I dxdy I x y D
P Q dxdy L Pdx Qdy x y D
x x Q e ( y sin y) . 则 P e ( 1 cos y ) 解: 令 ，
P Q e x sin y, e x ( y sin y ). y x
P Q . 由于 D : 0 y sinx, 0 x . 即 y x
P ( x , y )dx Q( x ,
L
y )dy { P[ ( y ), y] ( y ) Q[ ( y ), y]}dy
c
d
注: 下限 起点 A, 上限 终点 B.
2．格林（Green）公式计算法
Q P Pdx Qdy x y dxdy.（注意使用条件！） D L
0
1
从而
I
源自文库
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
D为 在坐标面 xoy上的投影区域，则D : x y 1, x 0, y 0;
分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参 数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的 参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利 用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。
解法1：化为定积分计算. 由于
L AB BC CA (如图)，这里