ADAMS自由度以及冗余约束的分析
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2.3 基本副创建移动副和转动副 1) 移动副
添加垂直副限制其绕 X 轴转动，长方体只能沿 Marker_1 的 X 轴移动，选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Y 和 Z 轴，生成的 Marker_9 和 Marker_10 的 Z 轴与 Marker_1 的 Y 轴和 Z 轴一致，如图 8，要保证 Marker_9 与 Marker_10 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 X 轴的转动将被限制，长方体只 一个自由度，即沿 Marker_1 X 轴的移动，通过在 ADAMS 中定义 General Motion 仿真验证可知，自由度的个数和方向是正确的. 2) 转动副 添加点面副来限制其沿 X 轴移动，使长方体只能绕 Marker_1 X 轴转动，选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和大地，选取大地上的 Marker_1，方向选 取 Marker_1 的 X 轴，生成的 Marker_9 和 Marker_10 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴 一致，如图 9，长方体绕 Marker_1 的 X 轴的移动将被限制，其只剩下了一个自 由度，即绕 Marker_1 X 轴的转动，通过在 ADAMS 中定义 General Motion 仿真 验证可知，自由度的个数和方向是正确的.
3) 根据以上分析可知，用基本运动副来约束构件，同时避免出现冗余的基本 技巧和方法：依据表 1 中基本副对自由度的约束关系，用基本副的组合创建低副 或高副时，要保证已经约束过的自由度，不再被约束（即自由状态）；添加基本 副时，在未被约束的自由度中约束不需要的自由度.
4 交叉型平面二自由度并联机械手仿真 模型建立以及冗余约束的处理方法
固定副 旋转副 移动副 圆柱副 球铰副 胡克铰 平面副 点-线 副 线-线 副 方向副 点线副 平行副 点面副 垂直副
X轴 移动 × × × × × × √ ×
×
√ × √ √ √
Y 轴移 动 × × × × × × √ ×
×
√ × √ √ √
Z 轴移动
× × √ √ × × × √
√
√ √ √ × √
为了在 ADMAS 中分析的方便，机构模型简图和建立的局部参考系如图 13， 局部参考系均位于关节的几何中心，方向和大地坐标系一致，其中 Ma_rker 13 是关节 B4 作用于动平台的参考点，Marker 14 是关节 B4 作用于连杆 3_0 的参考 点，Marker 15 是关节 A4 作用于连杆 3_0 的参考点，Marker 16 是关节 A4 作用 于滑块 2 的参考点；Marker 17 是固结于机架，用于创建滑块 1 与机架移动副的 参考点；Marker 18 是固结于机架，用于创建滑块 2 与机架移动副的参考点， ADAMS 环境中的机构的模型如图 14.
长方体剩下两个自由度，即沿 Marker_1 X 轴的移动和绕 Marker_1 X 轴的转动， 通过在 ADAMS 中定义 General Motion, 选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取 长方体和大地，位置选取大地上 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Z 轴，如图 5， 通过仿真测得绕 X 轴转动角度和沿 X 轴移动位移的曲线如图 6、7 ，表明自由 度的个数和方向是正确的.
4.2 仿真系统的建立
建立转动副 Joint 1 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 2 和滑块 1，方向选择 Marker 2 的 Z 轴；建立转动副 Joint 2 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 2 和动平 台，方向选择 Marker 6 的 Z 轴；建立转动副 Joint 3 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择 连杆 1 和滑块 1，方向选择 Marker 4 的 Z 轴；建立转动副 Joint 4 ,选择 2 Body-1Loc , 分别选择连杆 1 和动平台，方向选择 Marker 5 的 Z 轴；建立转动副 Joint 5,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_1 和滑块 2，方向选择 Marker 10 的 Z 轴；建立转 动副 Joint 6 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_1 和动平台，方向选择 Marker 11 的 Z 轴；建立转动副 Joint 7 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_0 和滑块 2，方 向选择 Marker 15 的 Z 轴；建立转动副 Joint 8 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_0 和动平台，方向选择 Marker 14 的 Z 轴；建立移动副 Joint 9 ,选择 2 Body-1Loc , 分别选择滑块 1 和机架，方向选择 Marker 17 的 X 轴建立；建立移动副 Joint 10 , 选择 2 Body-1Loc ,分别选择滑块 2 和机架，方向选择 Marker 18 的 X 轴；建立 固定副 Joint 11, 选择 2 Body-1Loc ,分别选择 Ground 和机架，通过模型验证，得 到系统提示有两者自由度，且出现 10 个冗余自由度信息，如图 15。
4.1 交叉型平面二自由度并联机械手
如图 12 所示，机构的定平台通过支链 1、2 与动平台相连，两条支链呈“交叉” 形 分布，其中支链 1 采用平行四边形结构，支链 1 中连杆 1、连杆 2 通过转动副与 滑块和动平台相连，其转动副的中心分别为 A11、B11 和 A22、B22；支链 2 中 连杆 3_1、连杆 3_0 通过转动副与滑块 2 和动平台相连，其转动副的中心分别为 A3、B3 和 A4、B4；通过改变各分支中滑块的移动量, 来来实现动平台在平面一 定范围内不同位置的变化。
X 轴转 动 × × × × √ √ × √
Y 轴转 动 × × × × √ √ × √
Z 轴转 动 × √ × √ √ × √ √
自由度 数目 0 1 1 2 3 2 3 4
√
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4
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3
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4
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5
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2.2 基本运动副构建圆柱副
对于如图 1 的长方体，MARKER_1 为固结于大地，位置和姿态与原点一致的点， MARKER_2 为控制长方体位置和方向的点，姿态和位置与 MARKER_1 一致，其 在空间中有 6 个自由度，要实现长方体具有绕 X 轴转动和沿 X 轴移动两个自由 度，即圆柱副，使其绕 Y 轴转动、沿 Y 轴移动、绕 Z 轴转动以及沿 Z 轴移动将 被限制，主要有以下几个步骤：
3 冗余约束分析及处理方法
1) 2.3 中步骤 1）采用创建平行副来限制长方体绕 Marker_1 X 轴的转动，使 其沿 Marker_1 X 轴移动，选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和大地， 位置选取大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 Z 轴，，长方体绕 Marker_1 X、 Y 轴的转动被限制, 此时验证模型提示只有一个自由度，同时出现冗余约束，如 图 10，分析表明，当创建平行副来限制其绕 Marker_1 X、Y 轴的转动,使长方体 沿 Marker_1 X 轴的移动，考虑到 1.2 中步骤 3）的垂直副已经约束长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动，其绕 Marker_1 Y 轴的转动约束两次，出现过约束即冗余 约束的问题，采用 2.3 中步骤 1）创建的垂直副的方法或解除 2.2 中步骤 3）的垂 直关系采用本节的方法可以避免冗余约束.
3) 添加垂直轴副来限制长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动，选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和大 地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 X 轴和 Z 轴，生成 Marker_7 和 Marker_8 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴和 Z 轴一致，如图 4，要保证 Marker_7 与 Marker_8 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动将被限制，考虑到步骤 1）、2），
ADAMS 自由度以及冗余约束的分析
1引言
虚拟样机分析软件 ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems），是对机械系统的运动学与动力学进行仿真计算的商用软件，目前己 经被全世界各行各业的数百家主要制造商采用。一个系统通常是由多个构建组成 的，各个构件之间的这种约束通常存在某些约束关系，即一个构件限制另一个构 件的运动，两个构件之间的这种约束关系，通常称为运动副或者铰链，ADAMS 中运动副分为低副、高副和基本副[1] [2]，这些运动副对构件的自由度进行约束， ADAMS 为每个约束列出一个或多个代数约束方程，在实际中,存在着大量的机 构由于人为的带入虚约束而导致过约束的情况[3]，有时需要通过引入虚约束来 增加系统的刚度[4]，在定义运动副过程中，往往会出现过约束及冗余约束的情 况，文献[5]分析了过约束问题，文献[6]对凸轮机构的冗余情况进行了分析，用 一个点线副和一个平行副的组合来代替滑移副来解决冗余约束，但是没有分析具 体方法。
2 运用基本运动副约束物体自由度
2.1 运动副的约束关系
一个构件在空间中具有 6 个自由度，即 3 个转动自由度和 3 个移动自由度。不同 运动副，限制构件自由度的个数不同，转动副限制构件的 5 个自由度，只有 1 个绕转轴转动的自由度， 表 1 给出不同运动副对构件自由度的约束关系
表 1 运动副对自由度约系束关
1) 添加垂直副约束，限制长方体绕 轴转动，在垂直轴选项中选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和 大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴，生成的 Marker_3 和 Marker_4 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴一致，如图 2，要保证 Marker_3 与 Marker_4 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 的 Z 轴的转动将被限制，其只 有五个自由度，即绕 Marker_1 的 X、Y 轴的转动，和沿 Marker_1 的 X、Y、 Z 轴的移动.
2) 添加点线副来限制长方体沿 Y 和 Z 轴两个移动自由度，在点线副选项中选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和和大地，位置选取长方体上的 Marker_1，方向选择 X 轴，生成的 Marker_5 和 Marker_6 的 Z 轴与 Marker_1 X 轴一致，如图 3，考虑到 1）中垂直轴副约束，长方体只有沿 Marker_1 的 X 轴 的移动，和绕 Marker_1 的 X、Y 轴的转动三个自由度.
并联机构具有高精度、高刚度、承载能力大和运动反解简单等特点, 成为机 器人学者的研究热点[7] ,自由度小于 6 的少自由度并联机构, 因其驱动部件少、 结构简单、控制成本低等特点, 一直是国际学术界关注的热点和研究的前沿 [8-14]，交叉型平面二自由度并联机构属于少自由并联机构家族中的一种。本文 对运用基本运动副代替低副约束刚体的自由度，同时不出现冗余约束，进行了详 细的分析，总结了避免出现冗余约束的技巧，最后以交叉型平面二自由度并联机 械手为对象，运用上述方法和技巧，详细介绍了在 ADAMS 中建立其运动学和 动力学仿真模型的具体方法和步骤，为样机开发和实时控制系统的研究提供重要 的参考。
2) 2Βιβλιοθήκη Baidu3 中步骤 2）采用添加点线副来限制长方体沿 Marker_1 的 X 轴移动，使 其只能绕 Marker_1 X 轴转动，选择 2_Bodies 1_Location,实体分别选取长方体和
大地，位置选取大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Z 轴，此时验证模型 提示只有一个自由度，但出现冗余约束，如图 11，分析表明，当创建点线副来 限制长方体沿 Marker_1 X、Y 轴的移动，考虑到 2.2 步骤中 2）创建的点线副已 经约束长方体沿 Marker_1 Y 轴的移动，其沿 Marker_1 Y 的移动被约束两次，出 现过约束即冗余约束问题，采用 2.3 中步骤 2）创建点面副的方法可以避免冗余 约束.
添加垂直副限制其绕 X 轴转动，长方体只能沿 Marker_1 的 X 轴移动，选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Y 和 Z 轴，生成的 Marker_9 和 Marker_10 的 Z 轴与 Marker_1 的 Y 轴和 Z 轴一致，如图 8，要保证 Marker_9 与 Marker_10 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 X 轴的转动将被限制，长方体只 一个自由度，即沿 Marker_1 X 轴的移动，通过在 ADAMS 中定义 General Motion 仿真验证可知，自由度的个数和方向是正确的. 2) 转动副 添加点面副来限制其沿 X 轴移动，使长方体只能绕 Marker_1 X 轴转动，选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和大地，选取大地上的 Marker_1，方向选 取 Marker_1 的 X 轴，生成的 Marker_9 和 Marker_10 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴 一致，如图 9，长方体绕 Marker_1 的 X 轴的移动将被限制，其只剩下了一个自 由度，即绕 Marker_1 X 轴的转动，通过在 ADAMS 中定义 General Motion 仿真 验证可知，自由度的个数和方向是正确的.
3) 根据以上分析可知，用基本运动副来约束构件，同时避免出现冗余的基本 技巧和方法：依据表 1 中基本副对自由度的约束关系，用基本副的组合创建低副 或高副时，要保证已经约束过的自由度，不再被约束（即自由状态）；添加基本 副时，在未被约束的自由度中约束不需要的自由度.
4 交叉型平面二自由度并联机械手仿真 模型建立以及冗余约束的处理方法
固定副 旋转副 移动副 圆柱副 球铰副 胡克铰 平面副 点-线 副 线-线 副 方向副 点线副 平行副 点面副 垂直副
X轴 移动 × × × × × × √ ×
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Y 轴移 动 × × × × × × √ ×
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Z 轴移动
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为了在 ADMAS 中分析的方便，机构模型简图和建立的局部参考系如图 13， 局部参考系均位于关节的几何中心，方向和大地坐标系一致，其中 Ma_rker 13 是关节 B4 作用于动平台的参考点，Marker 14 是关节 B4 作用于连杆 3_0 的参考 点，Marker 15 是关节 A4 作用于连杆 3_0 的参考点，Marker 16 是关节 A4 作用 于滑块 2 的参考点；Marker 17 是固结于机架，用于创建滑块 1 与机架移动副的 参考点；Marker 18 是固结于机架，用于创建滑块 2 与机架移动副的参考点， ADAMS 环境中的机构的模型如图 14.
长方体剩下两个自由度，即沿 Marker_1 X 轴的移动和绕 Marker_1 X 轴的转动， 通过在 ADAMS 中定义 General Motion, 选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取 长方体和大地，位置选取大地上 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Z 轴，如图 5， 通过仿真测得绕 X 轴转动角度和沿 X 轴移动位移的曲线如图 6、7 ，表明自由 度的个数和方向是正确的.
4.2 仿真系统的建立
建立转动副 Joint 1 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 2 和滑块 1，方向选择 Marker 2 的 Z 轴；建立转动副 Joint 2 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 2 和动平 台，方向选择 Marker 6 的 Z 轴；建立转动副 Joint 3 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择 连杆 1 和滑块 1，方向选择 Marker 4 的 Z 轴；建立转动副 Joint 4 ,选择 2 Body-1Loc , 分别选择连杆 1 和动平台，方向选择 Marker 5 的 Z 轴；建立转动副 Joint 5,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_1 和滑块 2，方向选择 Marker 10 的 Z 轴；建立转 动副 Joint 6 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_1 和动平台，方向选择 Marker 11 的 Z 轴；建立转动副 Joint 7 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_0 和滑块 2，方 向选择 Marker 15 的 Z 轴；建立转动副 Joint 8 ,选择 2 Body-1Loc ,分别选择连杆 3_0 和动平台，方向选择 Marker 14 的 Z 轴；建立移动副 Joint 9 ,选择 2 Body-1Loc , 分别选择滑块 1 和机架，方向选择 Marker 17 的 X 轴建立；建立移动副 Joint 10 , 选择 2 Body-1Loc ,分别选择滑块 2 和机架，方向选择 Marker 18 的 X 轴；建立 固定副 Joint 11, 选择 2 Body-1Loc ,分别选择 Ground 和机架，通过模型验证，得 到系统提示有两者自由度，且出现 10 个冗余自由度信息，如图 15。
4.1 交叉型平面二自由度并联机械手
如图 12 所示，机构的定平台通过支链 1、2 与动平台相连，两条支链呈“交叉” 形 分布，其中支链 1 采用平行四边形结构，支链 1 中连杆 1、连杆 2 通过转动副与 滑块和动平台相连，其转动副的中心分别为 A11、B11 和 A22、B22；支链 2 中 连杆 3_1、连杆 3_0 通过转动副与滑块 2 和动平台相连，其转动副的中心分别为 A3、B3 和 A4、B4；通过改变各分支中滑块的移动量, 来来实现动平台在平面一 定范围内不同位置的变化。
X 轴转 动 × × × × √ √ × √
Y 轴转 动 × × × × √ √ × √
Z 轴转 动 × √ × √ √ × √ √
自由度 数目 0 1 1 2 3 2 3 4
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2.2 基本运动副构建圆柱副
对于如图 1 的长方体，MARKER_1 为固结于大地，位置和姿态与原点一致的点， MARKER_2 为控制长方体位置和方向的点，姿态和位置与 MARKER_1 一致，其 在空间中有 6 个自由度，要实现长方体具有绕 X 轴转动和沿 X 轴移动两个自由 度，即圆柱副，使其绕 Y 轴转动、沿 Y 轴移动、绕 Z 轴转动以及沿 Z 轴移动将 被限制，主要有以下几个步骤：
3 冗余约束分析及处理方法
1) 2.3 中步骤 1）采用创建平行副来限制长方体绕 Marker_1 X 轴的转动，使 其沿 Marker_1 X 轴移动，选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和大地， 位置选取大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 Z 轴，，长方体绕 Marker_1 X、 Y 轴的转动被限制, 此时验证模型提示只有一个自由度，同时出现冗余约束，如 图 10，分析表明，当创建平行副来限制其绕 Marker_1 X、Y 轴的转动,使长方体 沿 Marker_1 X 轴的移动，考虑到 1.2 中步骤 3）的垂直副已经约束长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动，其绕 Marker_1 Y 轴的转动约束两次，出现过约束即冗余 约束的问题，采用 2.3 中步骤 1）创建的垂直副的方法或解除 2.2 中步骤 3）的垂 直关系采用本节的方法可以避免冗余约束.
3) 添加垂直轴副来限制长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动，选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和大 地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 X 轴和 Z 轴，生成 Marker_7 和 Marker_8 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴和 Z 轴一致，如图 4，要保证 Marker_7 与 Marker_8 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 Y 轴的转动将被限制，考虑到步骤 1）、2），
ADAMS 自由度以及冗余约束的分析
1引言
虚拟样机分析软件 ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems），是对机械系统的运动学与动力学进行仿真计算的商用软件，目前己 经被全世界各行各业的数百家主要制造商采用。一个系统通常是由多个构建组成 的，各个构件之间的这种约束通常存在某些约束关系，即一个构件限制另一个构 件的运动，两个构件之间的这种约束关系，通常称为运动副或者铰链，ADAMS 中运动副分为低副、高副和基本副[1] [2]，这些运动副对构件的自由度进行约束， ADAMS 为每个约束列出一个或多个代数约束方程，在实际中,存在着大量的机 构由于人为的带入虚约束而导致过约束的情况[3]，有时需要通过引入虚约束来 增加系统的刚度[4]，在定义运动副过程中，往往会出现过约束及冗余约束的情 况，文献[5]分析了过约束问题，文献[6]对凸轮机构的冗余情况进行了分析，用 一个点线副和一个平行副的组合来代替滑移副来解决冗余约束，但是没有分析具 体方法。
2 运用基本运动副约束物体自由度
2.1 运动副的约束关系
一个构件在空间中具有 6 个自由度，即 3 个转动自由度和 3 个移动自由度。不同 运动副，限制构件自由度的个数不同，转动副限制构件的 5 个自由度，只有 1 个绕转轴转动的自由度， 表 1 给出不同运动副对构件自由度的约束关系
表 1 运动副对自由度约系束关
1) 添加垂直副约束，限制长方体绕 轴转动，在垂直轴选项中选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和 大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴，生成的 Marker_3 和 Marker_4 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴一致，如图 2，要保证 Marker_3 与 Marker_4 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 的 Z 轴的转动将被限制，其只 有五个自由度，即绕 Marker_1 的 X、Y 轴的转动，和沿 Marker_1 的 X、Y、 Z 轴的移动.
2) 添加点线副来限制长方体沿 Y 和 Z 轴两个移动自由度，在点线副选项中选择 2 Bodies-1 Location,实体分别选取长方体和和大地，位置选取长方体上的 Marker_1，方向选择 X 轴，生成的 Marker_5 和 Marker_6 的 Z 轴与 Marker_1 X 轴一致，如图 3，考虑到 1）中垂直轴副约束，长方体只有沿 Marker_1 的 X 轴 的移动，和绕 Marker_1 的 X、Y 轴的转动三个自由度.
并联机构具有高精度、高刚度、承载能力大和运动反解简单等特点, 成为机 器人学者的研究热点[7] ,自由度小于 6 的少自由度并联机构, 因其驱动部件少、 结构简单、控制成本低等特点, 一直是国际学术界关注的热点和研究的前沿 [8-14]，交叉型平面二自由度并联机构属于少自由并联机构家族中的一种。本文 对运用基本运动副代替低副约束刚体的自由度，同时不出现冗余约束，进行了详 细的分析，总结了避免出现冗余约束的技巧，最后以交叉型平面二自由度并联机 械手为对象，运用上述方法和技巧，详细介绍了在 ADAMS 中建立其运动学和 动力学仿真模型的具体方法和步骤，为样机开发和实时控制系统的研究提供重要 的参考。
2) 2Βιβλιοθήκη Baidu3 中步骤 2）采用添加点线副来限制长方体沿 Marker_1 的 X 轴移动，使 其只能绕 Marker_1 X 轴转动，选择 2_Bodies 1_Location,实体分别选取长方体和
大地，位置选取大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 Z 轴，此时验证模型 提示只有一个自由度，但出现冗余约束，如图 11，分析表明，当创建点线副来 限制长方体沿 Marker_1 X、Y 轴的移动，考虑到 2.2 步骤中 2）创建的点线副已 经约束长方体沿 Marker_1 Y 轴的移动，其沿 Marker_1 Y 的移动被约束两次，出 现过约束即冗余约束问题，采用 2.3 中步骤 2）创建点面副的方法可以避免冗余 约束.