Advanced Mathematics

高等数学教学大纲

课程代码：2040109

课程名称：《高等数学》

课程类别：公共基础课

总学时总学时/学分：108 /6

适用对象：理工科、经济管理等专业本科生

第一部分：

（一）课程性质

《微积分》课程是国家教委在高等学校财经类专业中设置的核心课程之一，它也是其他经济数学课程如《线性代数》、《概率统计》等的基础。高等数学在经济科学、管理科学中有着广泛的应用。更是现代经济科学研究与应用的重要工具。因此，学好《微积分》不仅对学习后继课程是必不可少的，而且对掌握现代经济管理理论并应用与实际也是很有必要的。（二）教学目的

《微积分》是财经类专业的一门基础课程，是学习现代经济科学的重要工具。通过教学，使学生掌握《微积分》基本理论，基本知识和基本方法，具有比较熟练的计算能力并为学好其他后继数学课程以及各门经济类课程打下扎实的数学基础，从而能正确地运用数学工具解决经济类专业学习中的问题。

（三）教学内容

本课程以微积分学为核心内容，主要包括函数、极限、导数与微分、积分、级数、微分方程等。一元函数和多元函数是微积分研究的对象，而极限理论则是最重要的基础。导数、微分、不定积分、常义及广义积分、级数这些基本概念均是借助于极限建立起来的。微分方程则作为微积分的延伸和应用。大纲中不带“ * ”号的内容为基本内容，有些专业如对数学知识有更高的要求，可根据实际需要选学大纲中带“ * ”号的内容。

（四）教学时数

根据学分数，《微积分》的正式教学时数（包括习题课）为144 学时（讲授一个学期）。（五）教学方式

以课堂教学为主，部分章节可根据学生的情况和实际需求采用各类实践教学活动。二、正文

第一章函数

教学要点：

1 、理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。

2 、理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。

3 、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。

4 、了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。

5 、理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复

合函数分解为较简单函数的方法。

6 、理解基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。

7 、理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。

8 、会建立简单应用问题的函数关系。

9 、本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，

不必再作详细讲解。

教学内容：

第一节预备知识

实数及其几何表示，实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式；区间与邻域的概念。第二节函数概念

常数与变量，函数的定义与表示法，函数定义域的求法。

第三节函数的几何特性

单调性，有界性，奇偶性，周期性。

第四节反函数

反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值。

第五节复合函数的定义

第六节初等函数

基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形；初等函数的定义。

第七节分段函数

分段函数的概念及其图形特征。

第八节建立函数关系的例子

经济变量间的数量关系――经济函数。总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。

考核要求：

领会函数、反函数、复合函数的定义，识记各类经济函数，学会分段函数的应用

第二章极限与连续

教学要点：

1 、了解数列与函数极限的概念 。 关于数列与函数极限的分析定义不作要求。

2 、了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量和无穷大量的关系。

3 、知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。单调有界数列的极限存在性定理不证明。

4 、熟练掌握两个重要的极限，两个重要极限的证明不作要求。

5 、了解函数连续的概念，函数间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。

6 、了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义域内必连续的结论。

7 、了解闭区间上连续函数的基本定理。基本定理不证明，只作几何说明。

8 、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要的极限以及函数的连续性等求极限的值。

教学内容：

第一节 数列的极限

数列的概念，数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。

第二节 函数的极限

0x x → 时，函数 ()f x 的极限；x →∞时，函数 ()f x 的极限；函数极限的几何解释；单边极限（左 、右极限，x →+∞或 x →-∞时，函数()f x 的极限）。

第三节 无穷小量与无穷大量

无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。

第四节 极限的四则运算

第五节 极限的基本性质：唯一性、有界性、保号性、极限不等式等。（两学时）

第六节 极限的存在性定理：夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。（两课时）

第七节 两个重要的极限

0sin lim

1x x x →=， 1lim(1)x x e x

→∞+=. 第八节 函数的连续性

函数的改变量。函数的连续性，左连续与右连续；函数连续与极限的关系。函数的间断点及其分类。

连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。

第九节闭区间上连续函数的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理。（两课时）

考核要求：

领会极限、连续定义及极限、连续的性质定理。综合应用无穷小和无穷大及函数连续性求极限。应用左、右极限及连续判断函数的间断点及其分类。综合应用闭区间上连续函数的基本定理。

第三章导数与微分

教学要点：

1 、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系。

2 、熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3 、熟练掌握导数的四则运算公式。

4 、掌握反函数的导数公式（反函数求导公式证明不作要求）

5 、熟练掌握复合函数的链式求导公式（证明不作要求）。

6 、掌握对数求导法与隐函数求导法。

7 、了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。

8 、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性；熟练掌握求可微函数微分的方法。

9 、知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用题。

教学内容：

第一节导数概念

变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率。导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。第二节基本初等函数的导数公式

第三节导数的四则运算

第四节反函数与复合函数的导数，隐函数的导数；对数求导法

第五节高阶导数的概念与求法

第六节微分

微分的定义与几何意义；可导与微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不变性。