高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末测试A 新人教B版

第二章圆锥曲线与方程

测评A (基础过关卷)

(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2

＝－28y B ．y 2

＝28x C ．y 2

＝－28x D ．x 2

＝28y

2．设P 是椭圆x 225＋y 2

16＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

3．以椭圆x 216＋y 2

9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )

A.

x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 2

27

＝1 D ．以上都不对

4．椭圆x 2

25＋y 2

9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )

A ．(5,0)或(－5,0)

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫5

2，－332

C ．(0,3)或(0，－3)

D.⎝

⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－532，32 5．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )

A ．2

B. 3

C. 2

D.32

6．在y ＝2x 2

上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

7．设双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2

＝12x

的准线上，则此双曲线的方程为( )

A.x 25－y 26＝1

B.x 27－y 2

5

＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 2

3

＝1

8．动圆的圆心在抛物线y 2

＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)

9．椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦点为2

c ，若

d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )

A.12

B.22

C.32

D.34

10．已知F 是抛物线y ＝14x 2

的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方

程是( )

A ．x 2

＝y －12

B ．x 2＝2y －116

C ．x 2

＝2y －1

D ．x 2

＝2y －2

第Ⅱ卷(非选择题 共50分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

11．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±1

2

x ，则b 等于__________．

12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为3

2

，则椭圆的标准方程为__________．

13．椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为__________．

14．已知过点(－2,0)的直线l 和抛物线C ：y 2

＝8x 有且只有一个公共点，则直线l 的斜率取值集合是__________．

15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2

的两条切线，切点

分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．

三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(6分)求与椭圆4x 2

＋9y 2

＝36有相同的焦距，且离心率为

5

5

的椭圆的标准方程． 17．(6分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.

18．(6分)已知椭圆方程为x 29＋y 2

4＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其

中0＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．

19．(7分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2

的一条切线，

记椭圆C 的离心率为e .

(1)若直线l 的倾斜角为π

3

，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；

(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．

参考答案

1. 解析：由条件可知p

2＝7，所以p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2

＝28x .

答案：B

2. 解析：由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D

3. 解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2

48＝1；当顶

点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2

27

＝1.

答案：C

4. 解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝

⎛⎭

⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.

当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C. 答案：C

5. 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，故b 2

a 2

＝1，所以c 2－a 2a

2＝1，即e 2

＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.

答案：C

6. 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2

的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，

由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， 所以|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号，