规划论及模型
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
【最新精选】生涯规划的理论模型
生涯决策的理论模型——CASVE循环教学目标：通过教学，让学生了解生涯决策的几种理论模型，学会运用CASVE 循环模型来确定自己的生涯计划。
教学准备：多媒体课件教学地点：教室教学时间：一课时一、课堂导入同学们，今天我们要学的内容是：生涯决策的理论模型。
首先，让我们一起来做个小测验，请同学们拿出一张纸和一支笔。
职业生涯决策风格测试。
二、教学过程过渡：接下来，我们一起来分享个案例，请同学们帮案例中的主人公做出决策。
呈现故事：故事分析。
（一）生涯决策的基本原则1．择己所爱对生涯方向和目标的选择首先要遵从个人的价值观和兴趣，这样才能从职业中体会到人生的价值和意义，得到生活的乐趣。
2．择己所能生涯决策要考虑自身的能力、性格等的人职匹配，选择要在自己的能力和潜能范围之内，并具有一定的挑战性。
3．择世所需生雅决策必须遵循社会的发展规律，适应社会人才结构的需求。
人的价值要体现在对社会所做的贡献上。
4．择己所利决策也是利益选择的过程，在个人利益和集体利益不相冲突的前提下，合理范围内两弊相衡取其轻、两利相权取其重，追求利益（包括物质利益和精神利益）的最大化。
（二）决策模型——CASVE循环1．CASVE循环理论的解释①沟通（Communication）是个体意识到“我需要做出一个选择”的过程。
在这个阶段，个体通过内部或外部的信息交流途径发现问题信号。
个体从认知和情绪上与这些信号充分接触，体会到理想情境与现实情境的差距给个体带来的不平衡感，开始分析问题的根源，探索它的成因，从而启动一个CASVE循环。
②分析（Analysis）是“了解我自己和我的各种选择”的阶段。
在这个阶段，好的决策者会花时间去思考、观察、研究，完善自我知识，尤其是在兴趣、价值观和技能领域，还要不断了解职业领域、学习领域、工作组织和行业类型等各种选择信息。
总之，决策者尽可能了解在沟通阶段体会到的不平衡感的所有构成因素。
③综合（Synthesis）这个阶段的基本问题是：“为了解决问题我可以做些什么？”我们将在这个阶段综合和加工上一阶段提供的信息，从而制订出消除问题或差距的行动方案。
战略规划方法论 业务领先模型(BLM)理论与实践
业务计划与预算
预算编制：根据业务计划制 定合理的预算
制定业务计划：明确目标、 策略和行动计划
预算执行：按照预算执行确 保资源合理分配
预算监控：定期监控预算执 行情况及时调整预算和行动
计划
执行中的监控与调整
监控指标：设定关键绩效指标（KPI）定期评估执行效果 调整策略：根据监控结果调整执行计划和策略 沟通反馈：及时与团队成员沟通反馈执行情况共同解决问题 持续改进：不断优化执行过程提高执行效率和效果
业务领先模型（BLM）战略制定
03
战略意图和业务愿景
战略意图：明 确企业的发展 方向和目标为 战略制定提供
指导
业务愿景：描 绘企业未来的 发展蓝图激发 员工的积极性
和创造力
战略制定：根 据战略意图和 业务愿景制定 具体的战略计 划和行动方案
战略实施：将 战略计划和行 动方案付诸实 践确保战略目
标的实现
业务领先模型（BLM）执行与监控
04
资源分配与组织协同
资源分配：根据 业务领先模型 （BLM）的战 略目标合理分配 资源确保资源利 用最大化
组织协同：建立 跨部门、跨团队 的协同机制提高 工作效率和执行 力
绩效管理：制定 合理的绩效考核 标准激励员工积 极参与业务领先 模型的执行与监 控
培训与提升：定 期进行员工培训 提升员工业务能 力和执行力确保 业务领先模型的 有效执行与监控
BLM在数字化时代的创新应用
数字化技术：利用大数据、人工智能等技术提高BLM模型的准确性和效率 数字化平台：搭建数字化平台实现BLM模型的在线管理和应用 数字化服务：提供数字化服务如远程咨询、在线培训等提高BLM模型的应用范围 数字化生态：构建数字化生态实现BLM模型与其他数字化工具的协同应用
线性规划理论与模型应用01
n
min
z
c
j 1
j
xj
s.t.
n a ij x j bi , i 1, , m j 1 x 0 , j 1, , n j
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
（LP ) min z cx s.t. Ax b x 0
一般形式转换为标准形
目标函数是求最大值 max z=c1x1 +c2x2+…+ cn xn 应转换为求最小值问题, 令z’= - z即目标系数乘 以- 1 为
单纯形法的第二个缺陷是, 1972年, V.Klee和 G.Minmty构造了一个例子, 发现单纯形法的迭代次 数是指数次运算. 一般认为求解一个问题的算法, 运 算次数如果是问题规模的多项式函数称为多项式算法, 则这一问题可有效地用计算机进行求解, 而单纯形法 不是多项式算法. V.Klee和G.Minmty的例子使单纯形 法受到了严重的挑战, 也提出了一个新的问题---有无 求解线性规划问题的多项式算法。
解：
线 性 规 划 模 型
决策变量：设x11、x12、x13、x14分别表示甲地调往A、B、C、D 城的蔬菜数量；x21、x22、x23、x24分别表示乙地调往A、B、C、 D城的蔬菜数量。
总运费：z=21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x22+37x23+15x24
从甲乙两地分别调往A、B、C、D城的蔬菜数量总和分别等于 2000吨和1100吨，即
数学建模——规划模型
Lingo求解
! 例2的Lingo求解; model: min=40*x1+36*x2; 5*x1+3*x2>=45; x1<=9; x2<=15; end
Matlab求解
改写为：
x1 min z 40 36 x 2 x1 s.t. 5 3 (45) x 2
三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900， 三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用两种不同车 床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。 问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求， 又使加工费用最低？
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
和
规划模型的一般意义
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
x ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
在约束条件 hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
g i ( x ) 0( g i ( x ) 0), i 1,2,..., p.
DEM——需求量，RP——正常生产的产量，OP——加班 生产的产量，INV——库存量 目标函数：
约束条件： 能力限制 RP(I)≤40，I=1，2，3，4 产品数量的平衡方程 INV（I）＝INV（I－1）＋RP（I）＋OP（I）－ DEM（I） Ｉ＝１，２，３，４ INV（０）＝10； 变量的非负约束
设按第i种方法截 xi 根钢材(决策变量). 目标函数 min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 约束条件 2x1+x2+x3+x4 100 2x2+x4+2x5+3x6+x7 100 x1+2x3+x4+2x5+3x7+4x8 100 x i 0 , i=1,…,8
城市规划模型
城市规划模型城市规划模型是城市规划师为了解决城市发展问题而建立的一种模型。
城市规划模型通常包括城市发展的目标、城市发展的规划内容、城市发展的指标、城市发展的路径和城市发展的评价等内容。
城市规划模型的目标是指城市规划师所要达到的城市发展的目标。
城市发展的目标通常包括经济发展目标、社会发展目标和生态环境目标。
经济发展目标是指通过城市规划，促进城市的经济增长和产业结构优化，提高城市的竞争力和吸引力。
社会发展目标是指通过城市规划，改善城市居民的生活质量，提供优质的教育、医疗和文化资源，提高城市居民的生活水平。
生态环境目标是指通过城市规划，保护和改善城市的自然环境，降低城市的环境污染和生态破坏。
城市规划模型的内容是指城市规划师制定的城市发展的内容。
城市发展的内容通常包括城市用地规划、城市交通规划、城市绿化规划、城市水资源规划和城市污染治理规划等。
城市用地规划是指城市规划师根据城市发展的需要，确定不同用地的布局和规模。
城市交通规划是指城市规划师制定的城市交通网络的布局和设计，以提高城市交通的效率和方便性。
城市绿化规划是指城市规划师制定的城市绿化的区域和比例，以提高城市的生态环境和居民的生活质量。
城市水资源规划是指城市规划师制定的城市水资源的开发和利用规划，以确保城市居民的饮水安全和城市的可持续发展。
城市污染治理规划是指城市规划师制定的城市污染治理的目标和措施，以改善城市的环境质量和居民的生活水平。
城市规划模型的指标是指城市规划师用来衡量城市发展情况的指标。
城市发展的指标通常包括人口增长率、经济增长率、城市用地的利用率、城市交通拥堵指数、城市绿化率、水资源利用效率和环境污染指数等。
城市规划师可以通过这些指标来评估城市发展的进程和效果，以及制定相应的调整和改进措施。
城市规划模型的路径是指城市规划师所制定的城市发展的途径和方法。
城市发展的路径通常包括长远的规划和短期的规划。
长远的规划是指城市规划师制定的城市发展的蓝图和框架，以引导城市未来的发展方向。
线性规划模型
线性规划（Linear Programming)创始人： 线性规划（ Programming)创始人： 创始人 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 年美国人G.B.丹齐克 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 年提出单纯形算法 1963年Dantzing写成“ 1963年Dantzing写成“Linear Programming and 写成 Extension” Extension” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 年苏联的Khachian提出 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法” 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法” 年印度的Karmarkar提出 线性规划是研究线性不等式组的理论，或者说是研究 线性规划是研究线性不等式组的理论， 高维空间中）凸多面体的理论， （高维空间中）凸多面体的理论，是线性代数的应用和发 展。
1-1第一讲规划模型
第一讲规划模型本讲介绍的规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型。
这类规划问题，模型规范，建模直接，激发想象；模型求解方法典型，实用面宽广。
掌握这类规划问题的数学建模、是建模者必须具备的基本建模素养。
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视。
随着计算机的逐渐普及，它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为、核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量。
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型。
从历年全国大学生数模竞赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了近20次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解。
下面首先讨论静态系统的优化问题，介绍线性规划、整数规划、目标规划和非线性规划；然后讨论动态系统的多阶段优化问题。
线性规划问题及其数学模型线性规划模型线性规划是运筹学的重要分支之一。
一般认为，运筹学的主要分支有规划论(包括线性规划、非线性规划、动态规划等)、排队论、对策论(亦称博奕论)与决策分析、图论、存贮论、模型论等分支．线性规划只是运筹学中研究较早，理论比较完整、应用最广的一个分支。
1．线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力等资源、以便得到最好的经济效益。
先来看两个实例。
问题1拟定生产计划问题问题提出某工厂生产甲、乙两种产品．这两种产品都需要在A，B，C三种不同设备上加工，每吨甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时，它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数均列于下表中．如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大?模型建立设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为x1吨、x2吨(x1，x2称为决策变量)，该厂的目标是在不超过二种设备总有限台时数的条件下，确定产量x1及x2，以获得最大利润，用Z表示利润．则有目标函数：Max Z = 32*x1 + 30*x2由于设备A，B，C在计划期内的有效台时数分别为36．40，76，可以得出限制产量的条件，即约束条件；3*x1+4*x2<=36 (设备A对产量的限制)5*x1+4*x2<=40 (设备B对产量的限制)，9*x1+8*x2<=76 (设备C对产量的限制)，x1，x2≥0 (产量不能为负值)．问题2 运输问题问题提出两个煤厂A1和A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应三个居民区(Bl，B2，B3)。
目标规划的数学模型概述
3
通过权重调整，可以突出或降低某个目标在整体 优化中的地位，从而在满足其他目标的同时，更 好地实现关键目标。
约束处理策略
约束处理策略是目标规划中处理各种限制条件的关键 技术，包括等式约束、不等式约束和边界约束等。
约束处理策略的目标是在满足所有约束条件的前提下 ，实现目标的优化。
常见的约束处理方法包括消元法、增广拉格朗日乘子 法和罚函数法等，这些方法可以根据问题的特性和约
金融投资中的目标规划
总结词
金融投资中的目标规划旨在实现投资组合的优化配置，以最大化收益或最小化风险为目标。
详细描述
在金融投资中，目标规划用于确定最佳的投资组合配置，以最大化投资收益或最小化投资风险。通过 设定具体的目标函数和约束条件，金融投资中的目标规划可以找到平衡收益和风险的最佳解决方案， 帮助投资者实现投资目标。
最优解是指在满足约束条件的前 提下，使目标函数达到最优值的 解。
目标规划的解法
解析法
解析法是通过分析目标函数的性 质和约束条件的特点，采用数学 分析的方法来求解最优解的方法 。
梯度法
梯度法是通过计算目标函数的梯 度，采用迭代的方法来求解最优 解的方法。
遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化原 理的优化算法，通过模拟自然选 择和遗传机制来求解最优解的方 法。
遗传算法在处理多目标优化、约束优化和大规模优化问题时具有较好的性 能表现，广泛应用于机器学习、数据挖掘、机器人等领域。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的随机 搜索算法，通过模拟固体退火过程来寻找最优 解。
模拟退火算法采用一定的概率接受劣质解，以 避免陷入局部最优解，并逐步寻找全局最优解 。
生产计划中的目标规划
规划模型
数学建模及其实验
目录
5.1 有限资源的生产分配问题 5.2 配料问题 5.3 生产与存贮问题 5.4 资金的最优使用 5.5 组合投资问题 5.6 生产计划的目标管理 5.7 渡河问题 5.8 森林救火问题
数学建模及其实验
5.1 有限资源的生产分配问题
在生产管理和经营活动中， 在生产管理和经营活动中，经常提到一类 问题：如何合理地利用有限的人力、物力、 问题：如何合理地利用有限的人力、物力、 财 力等资源，以得到最好的经济效果．不论从微 力等资源， 以得到最好的经济效果． 观和宏观上，人们在做生产计划和资源分配时， 观和宏观上，人们在做生产计划和资源分配时， 总是要面临到它． 总是要面临到它．如：下一个生产周期的计划 如何制定、设备负荷如何分配、 如何制定、设备负荷如何分配、资金如何使用 等等． 等等 ． 1941年 ， Koopmans等提出了该问题 年 等提出了该问题 的一个线性规划模型．从而为用数学方法解决 的一个线性规划模型． 该问题开创了先例． 该问题开创了先例．
数学建模及其实验
将目标函数转换为：
min z = −0.4 x1 − 0.28 x 2 − 0.32 x3 − 0.72 x 4 − 0.64 x5 − 0.6 x6
Matlab求解 求解 Lingo求解 求解
数学建模及其实验
模型的分析与讨论
可以看到A产品的价格在 可以看到 产品的价格在 从例1.1的Lingo软件的灵敏度分析有 [0.4－0.112,∞]内变动，即在 内变动， － 内变动 Objective Coefficient Ranges [0.3888, 内变动 内变动， a 模型中， 模型中，我们假定系数 ij ,bi c j 都是常数，这些常数在实∞]内变动，最优解不 Current Allowable Allowable , 都是常数， 生产计划不变). 产品的价 生产计划不变 践中常常是估计值和预测值．在一个生产周期内， 变(生产计划不变 B产品的价 Variable 践中常常是估计值和预测值．在一个生产周期内，我们可以这 Coefficient Increase Decrease 格在[0.256, ∞]内变动，最优解 内变动， 格在 内变动 样假设．但在下一个生产周期，这些系数就可能会变化． 样假设．但在下一个生产周期，这些系数就可能会变化．如市 X( 1) 0.4000000 INFINITY 0.1120000 场条件一变， 的值就会变化；生产工艺条件的改变， 产品的价格在 场条件一变，价格 c j 的值就会变化；生产工艺条件的改变，单 不变. 产品的价格在[0.225, ∞] 不变 C产品的价格在 X( 2) 0.2800000 ；资源投入的变化，拥有量 b 就会变化．于是就 INFINITY 0.2400000E-01 aij就会变化 资源投入的变化， 耗 就会变化； 内变动，最优解不变. 产品的 内变动，最优解不变 D产品的 i 就会变化． X( 3) 0.3200000 INFINITY 0.9500000E-01 会提出这样的问题：当这些系数发生变化时， 会提出这样的问题：当这些系数发生变化时，已求得的线性规 价格在[∞,1]内变动，最优解不 内变动， 价格在 内变动 X( 4) 0.7200000 0.2800000 INFINITY 划问题最优解会有什么变化． 划问题最优解会有什么变化．或者这些系数在什么范围内变化 产品的价格在[∞,0.7]内变 变. E产品的价格在 产品的价格在 内变 X( 5) 0.6400000 0.6000000E-01 INFINITY 线性规划问题的最优解不变． 时，线性规划问题的最优解不变．前者是线性规划问题的灵敏 最优解不变. 产品的价格 动，最优解不变 F产品的价格 度分析，后者是线性规划问题的参数规划． 度分析，后者是线性规划问题的参数规划． X( 6) 0.6000000 0.2533333 INFINITY 内变动， 在[∞,0.85]内变动，最优解不变 内变动 最优解不变. Righthand Side Ranges 甲原料的数量在[700, ∞]内变动， 内变动， 甲原料的数量在 内变动 Row Current Allowable Allowable 最优解不变. 乙原料的数量在[0, 最优解不变 乙原料的数量在 RHS Increase Decrease 1000]内变动，最优解不变 丙 内变动， 内变动 最优解不变. 2 850.0000 INFINITY 150.0000 原料的数量在[0,400]内变动， 内变动， 原料的数量在 内变动 3 700.0000 300.0000 700.0000 最优解不变. 最优解不变 丁原料的数量在 4 100.0000 300.0000 100.0000 [0,1350]内变动，最优解不变 内变动， 内变动 最优解不变. 5 900.0000 450.0000 900.0000
数学规划模型2014
j 1
x j 0, j 1,2,,n
LP模型的向量形式
或
min z CX
s.t. AX b 等约束的LP模型的矩阵形式
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm） xj 0, j 1,2,,n 线性规划模型（LP）
n
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2,,m
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2,,m
性 规
mj 1
xij bj , j 1,2,, n
划 模
i 1
型
xij 0, i 1,2,,m; j 1,2,,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2,,m
数学规划模型
I 引言
一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是研究在一 定约束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某 些）指标达到最优的一门学科。
数学规划是最优化中的重要部分。它包括线性规划、 整数规划、目标规划、动态规划、非线性规划等。
数学规划方法在经济、军事、科技等领域内都有广 泛的应用。
城市规划中的城市规划理论与方法
城市规划中的城市规划理论与方法城市规划是指通过对城市发展的长远规划和设计，来实现城市空间的有序发展和良好的生活环境。
而城市规划理论和方法则是指在城市规划过程中所运用的理论框架和规划方法。
在城市规划领域，城市规划理论和方法的选择和应用至关重要，它们直接影响着城市规划的效果和可持续发展。
一、城市规划理论在城市规划理论中，有许多重要的理论框架被广泛应用。
其中之一是城市功能分区理论。
这个理论认为城市中不同区域应该根据其功能特点进行合理划分，比如商业区、居住区、工业区等。
通过将不同功能区域合理布局，可以提高城市的效率和便利性。
另一个重要的城市规划理论是城市生态学理论。
这个理论强调了城市与自然环境的关系，认为城市规划应该尽量减少对自然环境的破坏，并保护和恢复生态系统。
例如，通过合理规划绿地和水体，可以改善城市的生态环境，提高居民的生活质量。
此外，城市可持续发展理论也是城市规划中的重要理论之一。
这个理论认为城市规划应该注重经济、社会和环境的协调发展，以满足当前和未来世代的需求。
通过合理规划城市的土地利用、交通和能源等资源，可以实现城市的可持续发展。
二、城市规划方法城市规划方法是指在城市规划实践中所采用的方法和工具。
其中之一是城市设计方法。
城市设计方法通过对城市建筑、道路、公共空间等进行设计，来提升城市的形象和品质。
例如，通过合理设计城市的街道和广场，可以提高城市的可达性和人们的活动空间。
另一个重要的城市规划方法是城市交通规划方法。
城市交通规划方法通过研究城市的交通需求和交通网络，来制定合理的交通规划方案。
例如，通过合理规划公共交通线路和鼓励非机动交通方式，可以减少私家车的使用，缓解交通拥堵问题。
此外，城市社区规划方法也是城市规划中的重要方法之一。
城市社区规划方法通过研究社区居民的需求和社区的特点，来制定适合社区发展的规划方案。
例如，通过合理规划社区的公共设施和社区活动场所，可以提高居民的生活质量和社区的凝聚力。
《数据、模型与决策》第2部分_线性规划理论_学生
a21 x1 + a22 x2 + ···+ a2nxn = b2
s.t
······
am1x1 + am2x2 + ···+amn xn = bm
x i ≥ 0 i = 1······n
要求右端项 bj ≥0 j = 1······m
线性规划模型的标准形式
模型的矩阵表示:
决策变量 X =（x1, x2 , ······, xn ) T (列向量)
目标系数 c = ( c1, c2 , ······, cn ) T (列向量)
右端项 b = ( b1 , b2 , ······, bm )T (列向量)
系数矩阵
a11 a12 ···a1n
A = a21 a22 ···a2n = ( a i j ) m × n
a···m1
a
···
m2
···a···mn
• 若设计变量要求只取 ( 0, 1 )， —— 0 -1规划
• 若函数中引入时间参数,
—— 动态规划
另：若目标有多个,
—— 多目标规划/
北京科技大学 经济管理学院
8
线性与非线性的区别：
f(x1)
2维(一元)
x1
3维(二元)
x2
f(x1 , x2) x1
• 不是线性的函数，均称为非线性函数。
例如： 2 x12 + 3 x1x2
x i ≥ 0 i =1······5
Max Z = 20 x 1 + 30 x 2
1 40
x1 +
1 56
1 600
x1 +
1 380
x2 ≤ 120 x2 ≤ 10
第二章 非线性规划理论及模型
由于非线性规划问题在计算上常是困难的， 由于非线性规划问题在计算上常是困难的， 理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的 结果形式和全面透彻的结论. 结果形式和全面透彻的结论 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时， 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大 时，则考虑用非线性规划. 则考虑用非线性规划
例5．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， ． 石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 但要求存储的石油能满足客户的要求. 但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问 题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义 假设只经营两种油， 如表4所示. 如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的 速度. 速度.
目标函数为 min
z ij d ij = ∑ ∑ z ij ( x i p j ) 2 + ( yi q j ) 2 , ∑∑
i =1 j =1 i =1 j = 1
m
n
m
n
约束条件为 （1）每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的 n zij ≤ ai , i = 1,2,, m 存储容量。 存储容量。
5.非线性规划模型 5.非线性规划模型 前面介绍了线性规划问题， 前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约 束条件都是线性函数的规划问题， 束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作 还常常会遇到另一类更一般的规划问题， 中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即 目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数 的规划问题，即非线性规划问题. 的规划问题，即非线性规划问题.
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
规划理论及模型
n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 即 ∑ ai = ∑ b j ，则称该问题为平衡的运输问题 则称该问题为平衡的运输问题.
i =1 i =1 m n
否则，称为不平衡的运输问题，包括： 否则，称为不平衡的运输问题，包括： 总产量>总销量和总产量 总销量 总产量 总销量和总产量<总销量 总销量和总产量 总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解. 我们的重点就是解决平衡运输问题的求解
数学模型： 数学模型：
min s .t .
z = ∑ ∑ cij xij
i = 1 j =1
m
n
∑ xij = ai , i = 1,2,, m j =1 ∑ xij = b j , j = 1,2,, n i =1
xij ≥ 0, i = 1,2,, m; j = 1,2,, n
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（ 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z = c1 x1 + + cn xn A i b1 a 系 x +11 x a12+ + a1nx = b , ain i = 1,, p s.t . ai1 1 ai 2 2 n i b= 数 a21 a22 a2n s aiA = + ai 2 x2 + + ain xn ≥ bi , i = p + 1,, x1 1 b 矩 m a a s + 1,, m + 2 阵 i1 x1 a ai 2 xa + +a in xn ≤ bi , i = 右端向量 mn m1 m2 x j ≥ 0, j = 1,, q 非负约束 Aj > 自由变量 x j < 0, j = q + 1, n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运输问题
例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
三、整数线性规划模型
对于线性规划问题，如果要求其决策变量取 整数值，则称该问题为整数线性规划问题.
对于整数线性规划问题的求解，其难度和运 算量远大于同规模的线性规划问题. Gomory割 平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 规划问题的方法（见文献[1]）. 此外，同线性规 划模型一样，我们也可以运用LINGO和LINDO软 件包来求解整数线性规划模型.
0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的 算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简 单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤 条件）的穷举法.
我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求 解0-1整数规划模型.
背包问题
例4. 有 n 个物品，编号为1, 2, …, n，第 i 件物品 重 ai 千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过 a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最 大，应如何装载这些物品？
i1
i 1, 2 ,L 7 j 1,2
s
.
t
.
7
w i x ij cw j
j 1,2
i1
7
i5
x ij
ti
( x i1 0取
xi2 ) 整数
s i
1, 2 ,L
7; j 1,2
4) 模型求解 运用LINGO软件求解得到：
x * 4 41 69 01 51 21 20 0 , f* 2 0 3 9 .4
必须消除其不等式约束和符号无限制变量.
对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
n
aij x j bi
j 1
可引入一个剩余变量 s i ，用
n
aijxj si bi, si 0
j1
代替上述的不等式约束.
对于不等式约束
n
aij x j bi
j 1
可引入一个松弛变量 r i ，用
从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 它 在运筹学中处于中心的地位. 这的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量.
c(c1,,cn)T价值向量 cj,j1,2,,n价值系数
xj,j1,2,,n决策变量
min(max) z c1x1 cnxn
A
T i
s.t.
系ai1
x1
数
矩aiA1x1 阵ai1x1
a1a1 i2
x2a
12
aa1inn xn
a 2a1 i2
a
x2
22
aa2innxn
bi , bi ,
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
s.t
.
a
21
x1
a22
x2 M
L
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2
x2
L
amn xn
bm
x1 0, x2 0,L xn 0
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.
目标函数
线性规划模型的三种形式 ⑴ 一般形式
C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这 类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm. 试 把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.
种类 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
t/cm 48.7 53.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0 w/kg 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 n/件 8 7 9 6 6 4 8
5) 最优解的分析说明 由上一步中的求解结果可以看出，x * 即为最优 的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm， 两节车共装箱的总长度为2039.4cm.
但是，上述求解结果只是其中一种最优的 装车方案，即此答案并不唯一.
四、0-1整数规划模型
0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求 线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1.
j1,2
对于C5, C6, C7类包装箱的总数的特别限制：
7
ti(xi1 xi2) s
i5
2) 目标函数
浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：
7
maxf(x) ti(xi1xi2)
i1
3) 整数线性规划模型
7
max ti(xi1xi2)
i1
x i1 x i2 ni
7
ti x ij cl j
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
般形式的LP中，一个等式约束
n
aij x j bi
j1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi
n
(aij)xj (bi)
j 1
j1
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负 变量 xj 0 和 xj 0 ，并设
xj xj xj
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
Ax x
0
b
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP， 且它们有相同的解 .
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
目标函数的转化 mz a x m(i zn )
z
o
x
-z
约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，
我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一
s
.
t
.
x
1
1
x12
x13
x14
2000
x21 x22 x23 x24 1100
s.t.
x11 x21 1700 x12 x22 1100
x13 x23 200
x14 x24 100
x ij 0, i 1, 2; j 1, 2, 3,4
一般的运输问题可以表述如下：
显然，运输问题是一个标准的线性规划问题， 因而当然可以运用单纯形方法求解. 但由于平衡的 运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊 方法求解，其中最常用的就是表上作业法，该方法 将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来， 很方便地实行了运输问题的求解. 关于运输问题及 其解法的进一步介绍参加文献[2].
特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从92-06年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种.
2.1 线性规划模型的标准形式
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
i
1,
b
,
1
p
b
i p1,b m ,s
ama1i2
xa2
m
2
aaminn xn
bi ,
i s 1, ,m 右端向量
xj 0, j 1, ,q 非负约束
Aj
xj0, j q 1,n
自由变量
⑵ 规范形式
⑶ 标准形式
min c T x
s
.t
.
Ax x
0
b
min c T x
s .t .
以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例， 说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包 如何求解整数线性规划模型。
例3. 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车 上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以 cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的. 表1给出 了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板 车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片 那样），载重为40t. 由于当地货运的限制，对于
第一讲 规划理论及模型
一、引言
二、线性规划模型
三、整数线性规划模型
四、0-1整数规划模型
五、非线性规划模型
回
六、多目标规划模型 停
七、动态规划模型 下