答案 [6－2，6＋2]
解析 方法一 设BC 的中点为M (x ，y )，
因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，
所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32
， 所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆， 所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤6－22，6＋22， 所以BC 的取值范围是[]6－2，6＋2.
方法二 以AB ，AC 为邻边作矩形BACN ，则BC ＝AN ，
由矩形的几何性质(矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等)，
有OB 2＋OC 2＝OA 2＋ON 2
，所以ON ＝6，
故N 在以O 为圆心，6为半径的圆上，
所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]．
跟踪训练1(2018·苏北四市模拟)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →
|的取值范围是________．
答案 [7,13]
解析 取AB 的中点M ，则C 1M ＝12
， 所以M 在以C 1为圆心，12
为半径的圆上， |PA →＋PB →|＝2|PM →|，
C 1C 2－1－12≤PM ≤C 1C 2＋1＋12，
又C 1C 2＝5，即72≤PM ≤132
， ∴7≤|PA →＋PB →|≤13.
二、动点P 对两定点张角为90°确定隐形圆
例2(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．
答案 [4,6]
解析 ∵P 在以AB 为直径的圆上(P 异于A ，B )，
∴以AB 为直径的圆和⊙C 有公共点，
∴m －1≤5≤m ＋1，∴4≤m ≤6.
(2)(2019·江苏省徐州市第一中学月考)若实数a ，b ，c 成等差数列且点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 长度的最大值是________． 答案 5＋ 2
解析 因为a ，b ，c 成等差数列，
所以2b ＝a ＋c ，即0＝a －2b ＋c ，
方程ax ＋by ＋c ＝0恒过点Q (1，－2)，
又因为点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，
所以∠PMQ ＝90°，M 在以PQ 为直径的圆上，
此圆的圆心A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12
，－2＋02， 即A (0，－1)，半径r ＝12
PQ ＝2， 又因为N (3,3)，所以AN ＝5，
所以(MN )max ＝5＋ 2.
跟踪训练2(2018·江苏省通州区检测)设m ∈R ，直线l 1：x ＋my ＝0与直线l 2：mx －y －2m －4＝0交于点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 2
0＋2x 0的取值范围是________．
答案 [12－410，12＋410]
解析 l 1过定点O (0,0)，l 2过定点A (2，－4)，
则P 在以OA 为直径的圆上(P 异于O ，A )，
又x 20＋y 20＋2x 0＝(x 0＋1)2＋y 2
0－1，
又t ＝(x 0＋1)2＋y 20表示点(－1,0)到圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5上的点的距离，
∴t max ＝22＋5，t min ＝22－5，
∴(x 20＋y 20＋2x 0)max ＝(22＋5)2－1＝12＋410，
(x 20＋y 20＋2x 0)min ＝(22－5)2－1＝12－410，
故所求范围是[12－410，12＋410]．
三、A ，B 是两定点，动点P 满足PA →·PB →＝λ(常数)确定隐形圆
例3(2018·南通考试)已知点A (2,3)，点B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足
等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．
答案 λ<2
解析 设P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，BP →＝(x －6，y ＋3)，
根据AP →·BP →＋2λ＝0， 有(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝
⎛⎭⎪⎫λ<132. 由题意知，圆(x －4)2＋y 2＝13－2λ⎝
⎛⎭⎪⎫λ<132与直线3x －4y ＋3＝0相交， 圆心到直线的距离d ＝|3·4－4·0＋3|32＋4
2＝3<13－2λ，所以λ<2. 跟踪训练3已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B
为圆心，12
为半径的圆内，则负数λ的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34 解析 设A (－1,0)，B (1,0)，C (x ，y )，
由已知可得(x ＋1)(x －1)＋y 2
＝λ，
∴x 2＋y 2＝1＋λ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ<0，1＋λ≥0，1＋λ＋12
≤1或1＋λ－12≥1，
解得－1≤λ≤－34.
