新利息理论教案第2章
二章利息理论MicrosoftPowerPoint演ppt课件
❖ 实际贴现率为d，
❖
则：每次的贴现率为
d
(m
m
)
d1(1dm (m))m
1d(1dm (m))m
❖ 或：
d(m)
1
m[1(1d)m]
3）i(m)与d(m) 的关系
❖ 1元钱在年末的累积值 为：
(1 i(m) )m m
❖ 或：
(1
d(m) m
)m
❖ 则：
(1 ) (1 i(m) )m
m
d(m) m m
❖ 得：
i(m) d(m) i(m) d(m)
m m mm
一般公式
❖ 如果一年结转m次利息，或一年贴现n次 等价。
❖ 则：
(1i(n m ))m(1dn (n))n
例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。
❖ 解（1）
i
(1
) i ( 12 ) 12
❖ 由定义式：
t [lna(t)]'
两边积分
t
0 s ds
t
[ln
a ( s )]' ds
0
ln a ( t ) ln a ( 0 )
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
❖ 当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为： 1 ,2 n时
积累函数值
n
a(n) e0tdt
❖ （1）单利：各年1元的现值。
1
1+i 1+2i
1+it
0
1
1
1
1
1/1+i 1/1+2i
第二章_利息的度量
t-1
t
…
n-1
n
I1
I2
It-1
In
9
例： 已知A(t ) 2t 2 5t 1, 求： 1), I 2 2),i 4
解：1）I2=A（2）-A（1）=19-8=11 2）i4=I4/A（3）=19/34
10
练习
1、已知
A(t ) 2t t 5
求： 1), a(t );2), I (3).;3), i(4)
28
五年期定期的利率仅为4.75﹪，而1年期定期的利率
为3.25 ﹪，会有人存五年的定期吗？连续存5个1年 定期不是可以得到更多的利息吗？
1000 (1 3.25 ﹪)5 1000 1.17341 1173.41
注：这样理解银行所给出的不同期限的利率是不对的。
银行给出的挂牌利率实际上不是实利率而是名义利率
2 a ( t ) 2 t 5t 1 解：1）
2） A（3）=18+15+1=34
8
三、利息 我们将从投资日期第t个计息期得到的利息金额为It 则
It=A(t)- A(t-1)，t≥1，且t为整数 我们要注意It 与A(t)间的区别。
At-1 At
2.1.2
0
1
2
‥‥
22
根据实际利率的定义，我们可知它与积累函数之间
的关系。
A（n）- A（n-1） In in = = n≥1（2.3.1） A（n-1） A（n-1）
特别地当n=1时， I1 ka(1)-ka(0) i1= = =a(1)-1=i (2.3.2) A（ 0） ka(0) 1、当利率以单利计息时，2.3.1式可表示 in =
第二章 利息理论
现值和贴现率
在单利下，
现值和贴现率
将应在未来某时期支付的 金额提前到现在支付，则 支付额中应扣除一部分金 额，这个扣除额叫贴现额。 相当于资金投资在期初的 预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d
A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i
定义：
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度
影响利息大小的三要素：
（一）总额函数
总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。
其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式
一般公式
a (t ) e
0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
2.2 单利和复利
第二章利息与利率2.2 单利与复利
单利和复利是两种计息的方法 1.单利是对已过计息日而不提取的利息不计利息的计息方法。
其本利和是：
2.复利是将上期利息并入本金一并计算利息的一种方法。
其本利和是：
()
n r P S ⋅+=1()
n r P S +=1C —利息额P —本金r —利息率n —借贷期限
S —本利和
单利和复利的应用
如何将月利率转化为年利率？
抵押贷款月利率0.5%，单利年利率为0.5%*12=6%
复利年利率：(1+0.005)12-1=6.17%
月利率为1%时，单利年利率为12%，而复利年利率为12.68%如何将年利率转化为月利率？
假设年利率为n，i m代表月利率，则：
(1 + i m)12= (1+n)
(1 + i m) = (1+n)1/12
终值与现值“终值”是今天的投资在未来某一时点上的本利和。
其计算式就是复利本利和的计算式
“现值”是指一项未来承诺的支付在今天的价值。
现值计算是终值计算的逆运算，所以也称“贴现值”。
算式是：
n n i PV FV )
1(复利：+∙=()n
n r FV PV +⋅=11
01 02 03
支付的终值(FV) 越大，现值越大支付的时间(n)越短，现值越大利率(i)越低，现值越大
终值与现值
现值具有三个重要特性
影响现值大小的因素：期限、终值、贴现率
现值的特征
住房抵押贷款01
02 03 04
年金
债券定价
项目预算
现值公式的应用
THANKS。
新利息理论教案第2章
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
利息理论(第二版)
课程简介
•
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
•
应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。 美国耶鲁大学著名经济理论家欧文· 费雪(Irving Fisher) 在1930年出版的《利息理论》(The Theory of Interest) 标志着利息理论学科的诞生。费雪(I.Fisher)在其《利 息理论》中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物 品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段 内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构 成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉 心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用 上两百年的房子。 随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、 财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各 个领域。
• 北美精算学会①
代号
Course 1
Course 2 Course 3
课程
精算数学基础(Mathematical Foundations of Actuarial Science)
利息理论、经济学和金融学(Interest Theory, Economics and Finance) 随机精算模型(Actuarical Models)
准精算师考试科目 科目代码 A1 科目 数学 学分 考试时间 备注 3小时
A2 A3 A4
A5 A6 A7
金融数学 精算模型 经济学基础
寿险精算 非寿险精算 会计与财务
3小时 3小时 3小时
3小时 3小时 3小时
A8
精算管理
3小时
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
A、利息理论 (分数比例约为30%)
世界主要国家的保险精算资格考试
金融学教案第二章 信用、利息与利率
二、信用的产生
产业资本的正常循环包括购买、生产和销售三个环节，在其循 环周转过程中产业资金和社会总资金会存在大量的闲置，而同时社 会再生产过程中又会产生对货币资金大量临时性的要求，产生了两 种情况：一方面是部分单位和个人有闲置的货币资金需要寻找出路； 另一方面是部分单位和个人因临时性需要而急于借入一笔资金。这 就产生了对闲置资金进行调剂使用的可能性和必要性，
二、典型信用工具
信用卡 信用卡是银行或专业公司对具有一定信用的顾客所 发行的一种赋予信用的证书。 需要信用卡的消费者要向银行或专业公司申请，经 过审查合格后取得。 利用信用卡消费者可以在地点消费。实行先消费后 结算。 利用信用卡消费顾客需要支付结算费用和银行利息。
二、典型信用工具
股票 股份公司发给投资者作为投资入股的证书和索取股 息红利的凭证。 股票一经认购，持有者不能以任何理由要求退还股 本，只能通过证券市场将股票转让和出售。 股票有多种分类法，其中最重要的是按股东权利划 分为普通股股票和优先股股票，前者的股息随公司的盈 利而增减，后者的股息率固定。 我国目前的股票按所有者分为国家股、法人股、公 众股；按上市地点或投资者的不同分为A股、B股、H股、 N股等。
将社会资金利润率平均化。 调节宏观经济运行与微观经济运行。 提供和创造信用流通工具。 综合反映国民经济运行状况。
第二节 信用工具
一、信用工具的分类
信用工具亦称融资工具，是资金供给者与资金需求 者之间进行资金融资时所签发的，证明债权或所有权的 各种具有法律效用的凭证。 按融资方式：直接融资信用工具 间接融资信用工具 按可接受性程度：无限可接受信用工具 有限可接受信用工具 按偿还期限长短：短期信用工具 长期信用工具 不定期信用工具
货币银行学第二章利息和利息率
二、利率的 期限结构二
具有相同风险及流动性的债券，由于到期时 间的不同所形成的不同利率关系。
利率的期限结构用收益率曲线来反映。
收益率曲线主要有向上倾斜、水平、向下倾 斜以及驼峰四种类型。
三、利率期限结构理论
预期理论
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐 述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要 用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力， 适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播 下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您 的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论 是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的 清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精 简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
只 指 国
和 国 际
广 义 的
用 活 动
是 指 以
含 义
内信国．国
信用家 家
、 国 家
的 债的 用，信 为 作 券形 ．狭用 一
信
用
式
义包 方 的括 所
用
国国 进
家内 行
信信 的
用用 信
4、消费信用
（1）含义
是指企业或金融机构向消 费者个人提供的用于购买 消费品的信用。
（2）消费信用的形式
信用卡——短期消费信用 分期付款——中期消费信用 消费信贷——长期消费信用
认为利率的功能仅仅是促使储蓄与投资达到均衡，而 不影响其它变量。
新编利息理论 刘波 课后答案
第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
《利息理论》—教学课件
3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入 也没有本金被取出。
4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。
支付利息的二种方式 ❖ 期末支付
这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。 例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷
款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本 金1000元，另加80元利息。 ❖ 期初支付 这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入 资本之时即获得利息。
显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1
i)n (1 i)n1 (1 i)n1
(1 i) 1
1
i
与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同 的，这也是复利与单利区别之一。
❖ 单利与复利的比较 1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不 然，它采用的是“利滚利”。 2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同 的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于 较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产 生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时， (1+i)t≤1+it；
三、实际利率
利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。 定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资
的本金金额之比，称为该期的实际利率。 ❖ 用积累函数来定义即为：
i＝a(1)－a(0) 或 a(1)＝1+i
❖ 关于这个定义有几点值得注意：
1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每 个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率” 相 对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。
利息理论 ppt课件
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
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第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。
若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有1lim n n i a a ∞→∞==2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式若用a∞表示期初付永续年金的现值，则有1lim nn daa ∞→∞==二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞=+三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962、一笔10000元的贷款，期限为10年。
如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。
（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。
解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为1010000(10.06)17909+=因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600⨯= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =A=1359因此支付的利息总额为：135********⨯=3、A 留下一笔十万元遗产。
这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。
若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。
解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。
B ：700010a=7000×7.0236=49165C ：7000（20a -10a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞-20a）=7000a ∞20v =25842本节重点：期末付定期年金的现值的计算公式。
本节难点：公式之间的关系。
第 2.3 节：年金的终值定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。
本节内容：2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n is表示。
一、公式211(1)(1)...(1)n ni i i s-=+++++++1(1)(1)11(1)n n i i i i-++-==-+二、解释1(1)nni is++=2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s表示。
一、公式21(1)(1)...(1)(1)n n ni i i i s-=++++++++(1)(1(1))(1)1(1)11(1)/1n n n i i i i i i i d+-++-+-===-++二、ns与ns的关系1、(1)nni s s =+ （可用公式展开证明） 2、11nn s s+=- （可用图形讲述）三、例题1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。
如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。
解：假设每年初存入A 元1040000A s =A=28632、投资者A 和投资者B 在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A 每年末抽回X 并持续15年，投资者B 每年末抽回Y 也持续15年。
两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A 得年利率为8%，投资者B 的年利率为10%，求Y-X 。
解：对于投资者A ：400.08150.08100s Xa =得 X=3026.54 对于投资者B ：400.1150.1100sYa =得 Y=5818.94 Y-X=2792.40本节重点：期末付定期年金的终值。
本节难点：ns与ns的关系。
第 2.4 节：年金的现值与终值的关系本节内容：2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系(1)n n n i s a =+(1)nnni s a=+2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系11nni a s =+11nnd as=+本节重点：年金的现值与终值之间的换算关系。
本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。
第 2.5 节：年金在任意时点上的值本节内容：2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值 一、延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
|(1)m m nn n m i v a a a -=+= |nm n mm aa a +=-二、延期m 个时期的期末付永续年金的现值|m a∞|m m v ia∞=三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值本节重点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a 。
本节难点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
第2.6节：可变利率的年金的现值与终值本节内容：2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算本节重点： 本节难点：补充：一、非标准时期与利率 二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期周期是一个时间的概念。
利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。
二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。
具体计算有两种思路。
第2.7节 每个利息接转周期支付m 次的年金（每年支付m 次年金） 本节内容：一、此类问题的直接计算例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。
解：月实际利率112(10.0609)10.0049386+-=假设每月末的付款金额为X ，则有 600.004938650000Xa =X=965 二、新公式n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。
2.7.1 期末付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(...)n m n mm m na v v v v m-=++++ ()()1n m m nv i a i i-==二、相应的，在每个支付周期末付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n i s i=三、例题1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。
(12)(12)5512001200is s i ==6781.37 2、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R 应该为多少。
解：每年付款总额为2R ，(2)523000Ra =R=342.24万元2.7.2 期初付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(1...)n m m m m na v v v m-=++++ ()()1n m m n v da d d-== 二、相应的，在每个支付周期初付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n d s d=三、转换关系 1()()(1)m m mn n a i a =+1()()(1)m m mnn s i s =+四、例题例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。
解：设每月初的付款金额为X ，那么全年付款总额为12X ，因此有(12)50.06095000012Xa = X=960元2.7.3 永续年金一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元的永续年金现值为：12()1(...)m mm a v v m∞=++ ()1m i =二、同理，在每个支付周期初付款1/m 元的永续年金现值为：()m a∞()1m d =三、转换关系 1()()(1)m m ma i a ∞∞=+本节重点：121()1(...)n m n m m m na v v v v m -=++++()()1nm m n v ia i i-==的推导。