实变函数论课后答案解析第四章4
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可测 为可测集（江则坚P109习题10）
现设 连续，则 开集 ， 是开集，
记 ，可证 是一个 代数，且包含全部开集，从而包含全部 集
证1） 可测
2）若 ，则 显然也可测，
3）若 ，则 ， 可测， 可测 是 代数
连续，则 ， 包含全部开集，从而包含全部 集
为非奇异线性， 显然连续
方体半开半闭（显然为 集）， 可测
（i）坐标 之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然 （2.9）成立
在（ii）的情形下， 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以 而得到
从而可知 （2.9）式成立
在（iii）的情形，此时 （ ）
而且
（
则
反过来， ， 则
令 则 ，
则 ， ）
记
，则
（ ，则 ， ，则
，且 ，则反过来， ，则存在 ， Fra bibliotek使， ，且
实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1．设 于 ， 于 ，证明： 于
证明： ，
（否则，若 ，而 ，
矛盾），则
（ ）
从而
2．设 于 ， ，且 于 ，证明 于
证明：由本节定理2（ 定理）从 知 的子列 使
于
设 ， ， 于 ，从条件 于 ，设
， , 于 上
令 ，则 ，且
故
，则
令 ，
故 有 ，从而命题得证
显然
周民强书P35思考题：
6．设 是定义在 上的实值函数族， 是可数集，则存在 （ ）使得 在 上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设 是 上一致有界的，会有反例：
令 = ，设 这里 ，则显然任取无穷个 于 ，故 不会收敛！
时，
故还有：
鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势？
3．举例说明 时定理不成立
解：取 ，作函数列
显然 于 上，但当 时
， 不
故 时定理不成立，即 于 不能推出 于
周民强《实变函数》P108
Th2.25 若 是非奇异线性变换， ，则
（2.8）
表示矩阵 的行列式的绝对值.
证明：记
显然 是 个 的平移集 （ ）的并集， 是 个 （ ）的并集，且有 ，
现在假定（2.8）式对于 成立 （2.9）
若（2.9）式成立 ，则 矩体 ，
， 为正方体，则对开集 也有 ，特别对开区间
这一开集有
则可知 ，若 ，则
事实上， ， 开区间， ，
令 知
若（2.9）成立，则 将可测集映为可测集，还要看（2.8）证明过程是否用到 将可测集映为可测集或 推出 这一性质！
下面证（2.9）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积
则
因为 ，所以得到
这说明（2.8）式对于 以及 的平移集成立，从而可知（2.8）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体 ，
）
对一般开集 ， ， 为二进方体， 互补相交
则
1-1 ， 连续， 连续 开，则 开，从而可测
于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（2.8）式成立
设 为有界 集 ， 开， ，则 开， 且不妨设 有界，否则令 有界，令 即可. 连续，则 开， 开， 可测（ ）， ，
故
思考:若 不可测, 也不可测,且 ,则 不可测?
( 显然不对, 可测
至少当 有一个有界时,结论是对的?
若存在开集 使 , ,不妨设 有界, ,则若 可测,则
)
故
（ 开）
若 为无界 集，令 ，则 ， 为有界 集
， 线性，则 若 ，则 （后面证）
，则由注释书P69定理3，存在 集 ， ，若 有界，
则 ，故 （ 1-1）
则 ，故
若 无界， 则 ，
线性，若 ，则
证明： 为 的基， ，
， , ,令 ，则
则 （即 是 连续的）
一边平行于坐标平面的开超矩体
于
， 开， 连续，则 是 中开集从而可测，从而 是 中可测集，由归纳法知 是可测集
为 ，
事实上， 从 （当 ）知
，使当 时 而当 时， ，故
（ 是 的子列中的一个元，故 ，
则 时
则 ）
收敛于 ，即 在 上收敛.
若条件改为： 是一族一致有界的 上的函数族，则结论成立
令 则 ，
，
则 是 中的有界集，由聚点原理 一列 和 ，
同样令 （ 为上述取定的一列 ）
故 ，由聚点原理，存在 的子列 和 （ ）使
！
，存在 ，使 ，
，
， ，
反过来， ，
,则
则 ，又
则 得证）
由此得到
故（2.9）式成立
这里用到 ， 可测， ， 可测， 开，则 可测， 可测
故还是需要：若 为非奇异线性变换，则 集 ， 是可测集，从而 方块 ， 可测， 可测有了，这就有（2.9），从（2.9）知 将零测集 变为零测集，从而有 将可测集变为可测集
证明： 从江则坚CH1§4.3题知 ，且从证明中知 与之1-1对应的是 ，故 中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合， 满足 ，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集 满足
附加题：徐森林书P15.8
设 为定义在 上的实函数列，适用点集
表示点集
证明：江则坚书第一章第一节习题8：若 于 ，则 有
即
另一方面， 易知
，由此用归纳法可作出 ， （ 为 的子列）使
令 ，则 且 有 故由 定理即知
，
方法 建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集 和 上一切无尽九进位小数之集 之间的一一对应.集 中每个十进位小数对应 中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而 中不含7，将9 7，而其他不动）
现设 连续，则 开集 ， 是开集，
记 ，可证 是一个 代数，且包含全部开集，从而包含全部 集
证1） 可测
2）若 ，则 显然也可测，
3）若 ，则 ， 可测， 可测 是 代数
连续，则 ， 包含全部开集，从而包含全部 集
为非奇异线性， 显然连续
方体半开半闭（显然为 集）， 可测
（i）坐标 之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然 （2.9）成立
在（ii）的情形下， 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以 而得到
从而可知 （2.9）式成立
在（iii）的情形，此时 （ ）
而且
（
则
反过来， ， 则
令 则 ，
则 ， ）
记
，则
（ ，则 ， ，则
，且 ，则反过来， ，则存在 ， Fra bibliotek使， ，且
实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1．设 于 ， 于 ，证明： 于
证明： ，
（否则，若 ，而 ，
矛盾），则
（ ）
从而
2．设 于 ， ，且 于 ，证明 于
证明：由本节定理2（ 定理）从 知 的子列 使
于
设 ， ， 于 ，从条件 于 ，设
， , 于 上
令 ，则 ，且
故
，则
令 ，
故 有 ，从而命题得证
显然
周民强书P35思考题：
6．设 是定义在 上的实值函数族， 是可数集，则存在 （ ）使得 在 上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设 是 上一致有界的，会有反例：
令 = ，设 这里 ，则显然任取无穷个 于 ，故 不会收敛！
时，
故还有：
鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势？
3．举例说明 时定理不成立
解：取 ，作函数列
显然 于 上，但当 时
， 不
故 时定理不成立，即 于 不能推出 于
周民强《实变函数》P108
Th2.25 若 是非奇异线性变换， ，则
（2.8）
表示矩阵 的行列式的绝对值.
证明：记
显然 是 个 的平移集 （ ）的并集， 是 个 （ ）的并集，且有 ，
现在假定（2.8）式对于 成立 （2.9）
若（2.9）式成立 ，则 矩体 ，
， 为正方体，则对开集 也有 ，特别对开区间
这一开集有
则可知 ，若 ，则
事实上， ， 开区间， ，
令 知
若（2.9）成立，则 将可测集映为可测集，还要看（2.8）证明过程是否用到 将可测集映为可测集或 推出 这一性质！
下面证（2.9）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积
则
因为 ，所以得到
这说明（2.8）式对于 以及 的平移集成立，从而可知（2.8）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体 ，
）
对一般开集 ， ， 为二进方体， 互补相交
则
1-1 ， 连续， 连续 开，则 开，从而可测
于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（2.8）式成立
设 为有界 集 ， 开， ，则 开， 且不妨设 有界，否则令 有界，令 即可. 连续，则 开， 开， 可测（ ）， ，
故
思考:若 不可测, 也不可测,且 ,则 不可测?
( 显然不对, 可测
至少当 有一个有界时,结论是对的?
若存在开集 使 , ,不妨设 有界, ,则若 可测,则
)
故
（ 开）
若 为无界 集，令 ，则 ， 为有界 集
， 线性，则 若 ，则 （后面证）
，则由注释书P69定理3，存在 集 ， ，若 有界，
则 ，故 （ 1-1）
则 ，故
若 无界， 则 ，
线性，若 ，则
证明： 为 的基， ，
， , ,令 ，则
则 （即 是 连续的）
一边平行于坐标平面的开超矩体
于
， 开， 连续，则 是 中开集从而可测，从而 是 中可测集，由归纳法知 是可测集
为 ，
事实上， 从 （当 ）知
，使当 时 而当 时， ，故
（ 是 的子列中的一个元，故 ，
则 时
则 ）
收敛于 ，即 在 上收敛.
若条件改为： 是一族一致有界的 上的函数族，则结论成立
令 则 ，
，
则 是 中的有界集，由聚点原理 一列 和 ，
同样令 （ 为上述取定的一列 ）
故 ，由聚点原理，存在 的子列 和 （ ）使
！
，存在 ，使 ，
，
， ，
反过来， ，
,则
则 ，又
则 得证）
由此得到
故（2.9）式成立
这里用到 ， 可测， ， 可测， 开，则 可测， 可测
故还是需要：若 为非奇异线性变换，则 集 ， 是可测集，从而 方块 ， 可测， 可测有了，这就有（2.9），从（2.9）知 将零测集 变为零测集，从而有 将可测集变为可测集
证明： 从江则坚CH1§4.3题知 ，且从证明中知 与之1-1对应的是 ，故 中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合， 满足 ，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集 满足
附加题：徐森林书P15.8
设 为定义在 上的实函数列，适用点集
表示点集
证明：江则坚书第一章第一节习题8：若 于 ，则 有
即
另一方面， 易知
，由此用归纳法可作出 ， （ 为 的子列）使
令 ，则 且 有 故由 定理即知
，
方法 建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集 和 上一切无尽九进位小数之集 之间的一一对应.集 中每个十进位小数对应 中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而 中不含7，将9 7，而其他不动）