热统复习

热力学与统计物理

期末总复习题

moralmarket ®

一、热力学

1.热力学第一定律的数学表达式：

dU = đQ + đW

其物理意义：一个系统，其内能的增加等于吸收的热量，加上外界对该系统做的功。

2.热力学第二定律的数学表达式：

đQ

dS ≥

或者

đQ

∆S ≥ ∫

đQđQ 物理意义（不作要求）：对于可逆过程，系统熵的增加等于

；对于不可逆过程，系统熵的增加大于。

3.热力学第二定律的文字表述（克劳修斯表述或者开尔文表述都可以）：

克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

开尔文表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其它变化。

4.封闭系统的热力学基本方程的数学表达式：

dU = TdS − pdV

（其中，p是气体的内部压强，而不是外界对气体的压强，所以是负号。即：đW = −pdV）

5.处于平衡态的理想气体，其宏观状态参量之间满足一个基本约束，我们把它称为理想气体

的物态方程。理想气体的状态方程为：

pV = nRT

其中，p为气体内部压强，V是气体体积，n为物质的量，R为常数，R、T为气体温度。

其物理意义（不作要求）：对于理想气体，具有这些定量的物理属性：压强P，体积V，物质的量n 温

度T。对于处于平衡态的理想气体，它的这些物理属性并不是任意的，而是相互之间存在某种关联和约束。这个约束便是P V=nRT，也就是说，处于平衡态的理想气体，其状态不管怎么变化，都满足该方程。

也正因此才叫理想气体的状态方程。

6.现在有一定量的理想气体，它经历了一次卡诺循环：

1-2-3-4-1。其中，1-2是等温过程，温度为 T ； 1

2-3是绝热过程；

3-4是第二个等温过程，温度 T ； 2

4-1是第二个绝热过程。

（1）这一定量的气体，过程 1-2吸收了多少热量？ （2）对外做了多少功？

（1）考虑过程 1-2： 由第一定律知：đQ = dU − đW

等温过程的内能不变，所以dU = 0，所以đQ = −đW ， 因为外界对气体做功đW = −pdV ，代入上式，得：

đQ = pdV

由理想气体状态方程：

pV = nRT 1

得：

T 1

p =

代入得：

T 1

đQ =

所以 1-2过程的吸热为：

2

= ∫ dQ = ∫

2

2

1 T 1

=

T ∫ 1 dV

1−2 1 1

1

2

1

2 1

=

T 1 ln | = T 1(ln − ln 1) = T 1 ln

2 （2）做功的计算如下：

同样，由于等温过程内能不变，1-2整个过程气体对外做功和吸热相等（đQ = −đW ），所以，

2

= ∫ (−dW) = ∫ dQ =

2

2 1

=

T ln

1

1−2 1−2 1 1

7. 熵是一个状态函数。我们之所以能够定义熵这样一个态函数，是因为熵在任意可逆过程中，沿闭合环路

的积分为零。已知熵沿一个完整卡诺循环的闭合积分为零，请说明为何熵沿任意可逆过程的闭合环路积分亦 为零。

由题可知，一定量的理想气体经历 1-2-3-4-1的卡诺循环。其中，1-2和

3-4是等温过程；2-3和

4-1是绝 đQ đQ 热过程。对 沿该闭合回路求积分，可得：∮卡诺循环

= 0

再考虑一个任意的循环，即一定量的理想气体沿任意路径，从某状态经历一系列变化后回到初始状态。 如图 A 所示。

可以把它看成无限多个微小的卡诺循环的叠加，即图 B 。 为什么呢？假设有两个小的卡诺循环，如图 C 所示。两 个循环中间有一段重合的路径且一上一下正好相互抵消。

于是等价于 D 图。推而广之，对于 N 多这样的卡诺循环

的叠加，便有 A 图等价于 B 图。于是，

đQ đQ

= 0

∮ = ∮ 任意路径

卡诺循环

因此，我们可以定义“熵”这样一个状态函数，其微分形式为：

đQ

=

8.对于上面卡诺循环的等温过程

1-2，

求系统的熵变。 首先写出熵的定义式：

đQ

=

对路径 1-2积分，得：

2

∆S 1−2 = ∫ dS = ∫ 2

đQ

1

1

由于过程 1-2是等温过程，把 6题的结果代入，得：

2 ∫ dQ =

1 1 2

2 1

∆S 1−2 = T ln 1

= ln

1

1

9.焓、自由能、吉布斯函数是除了内能之外的，又一些态函数。其数学表达式（定义式）为：

焓：H=U+PV 自由能：F=U-TS 吉布斯函数：G=U-TS+PV 10.开系的热力学基本方程：

dU = TdS − pdV + μdn

物理意义（不作要求）：μ是化学势，n 是物质的量。对于一个开放系统，系统和外界有粒子交换：有粒 子进入系统，也有粒子流出系统。进入系统的粒子dn 对内能的增加也有贡献。 11.证明下列平衡判据（假设S>0）；（15分）

（a ）在熵S ，体积V 均不变的条件下，稳定平衡态的系统的内能U 最小。 （b ）在熵S ，压强P 均不变的条件下，稳定平衡态的系统的焓H 最小。 证明：