高三数学选择题的解法及答案
2022年江苏省宿迁市黄墩镇中学高三数学文联考试题含解析
2022年江苏省宿迁市黄墩镇中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“若，则”的逆命题是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则参考答案：【知识点】四种命题A2D解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”,故选D.【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.2. 已知函数的图象关于对称，当时，，且，若，则（）A． B．C．可能为 D．可正可负参考答案：B试题分析：由题设可得,故,所以函数是减函数.又因,故且关于对称,所以,所以,故应选B.考点：对数函数的图象和性质及运用.3. 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：答案：B解析：因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线在处的切线的斜率0，选B4. 若函数、的定义域和值域都是，则“”成立的充要条件是（）（A）存在，使得（B）有无数多个实数，使得（C）对任意，都有（D）不存在实数，使得参考答案：D5. 若函数的反函数的图像过定点(0.9).则b的值为(A) -2 (B)1O (C) 8 (D)O参考答案：A6. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D【分析】把复数的分母部分进行实数化即可，，化简后即可得到对应点，进而得到答案. 【详解】，在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第四象限答案选D.7. 已知数列满足，，则的前10项和等于( )A. B. C. D.参考答案：C8. 如图，椭圆的左、右焦点为，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到的距离是点F2到距离的2倍，则直线的斜率为 ( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C9. 设集合A=若A B,则实数a,b必定满足（）A. B. C. D.参考答案：C10. 若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos等于( )A． B．－ C． D．－参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为．参考答案：解：设直线的方程为，联立，化为，由题意可得△．，．，，中点的纵坐标:．故答案为：．12. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高三数学——选择题解题方法(押题专练)
选择题解题方法（押题专练）1．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3 【答案】B2.已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为12的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52【答案】B【解析】由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.3.已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b a x ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2·17a2a 2＋17b 2＝217a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173， 整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C 等于( )A ．35B ．45C ．34D ．43 【答案】B【解析】解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45，解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．5.已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0 【答案】D6．A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C 【答案】A【解析】利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．7.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1C ．－3D ．1或－3 【答案】D【解析】令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.8．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )【答案】A9．给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0， 取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．10.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤ 【答案】D11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0]【答案】C【解析】由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.12.已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A ．[53，5] B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)【答案】C13.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2×2－1＝3，n ＝2×(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6. 14.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－m B ．m －3|9－m |C ．－15 D ．5【答案】D【解析】由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．15.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )【答案】B【解析】由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a 2，a 【答案】A17.若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1 【答案】A【解析】cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a ＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．18．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83π C ．4π D ．649π【答案】D【解析】∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π. 19．各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( ) A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n <b n【答案】B20.已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( ) A ．成等比数列 B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 【答案】D【解析】方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．21．某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样 【答案】D【解析】由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．22.若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( ) A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M )nD ．P 2>(S M)n【答案】C23．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．24.如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．25．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频数分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x【答案】D26．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a【答案】C【解析】a ＝log 32＝ln 2ln 3>ln 3ln 3＝12，且a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，又c ＝5－12＝55<12，∴c <a <b . 27．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f （x 1）·f （x 2）＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .设函数f (x )＝x 3，x ∈[1，2]，则函数f (x )＝x 3在[1，2]上的几何平均数是( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2 【答案】D【解析】设x 1，x 2∈[1，2]，且x 1x 2＝m ， 则x 2≤x 1x 2≤2x 2，即x 2≤m ≤2x 2. ∴m2≥1且m ≥2，得m ＝2.[] 故C ＝f （x 1）f （x 2）＝x 31x 32＝m 3＝2 2.28．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 【答案】D29．已知函数f (x )＝ (a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)【答案】D【解析】当x >0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x＋a ＝0必须有实根， ∴x ＝ln(－a )≤0，则1≥－a >0，∴－1≤a <0.30．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B【解析】(1)当甲排在最前面，有A 55种排法．(2)当乙排在最前面，再排甲有C 14种排法，剩余4人全排到，共有1·C 14·A 44种排法， ∴由分类加法计数原理，共A 55＋C 14·A 44＝216(种)排法．31．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( )A.12B.23C.32 D ．2 【答案】A32．已知x ，y 满足且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211 D ．4 【答案】B【解析】先画出x ，y 满足的可行域如图所示．由得B (1，1)；由得C (a ，a )．平移直线x ＋2y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14. 33．设输入的向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)，执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C34．若函数f (x )＝（2－m ）x x 2＋m 的图象如图所示，则m 的范围为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2)C ． (0，2)D ．(1，2)【答案】D36．设双曲线x 2m ＋y 2n＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1C ．y 2－x 23＝1 D.y 212－x 24＝1 【答案】C 【解析】抛物线x 2＝8y 的焦点为F (0，2)， ∴双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝2. 于双曲线x 2m ＋y 2n＝1的离心率为2， ∴c n ＝2n＝2， ∴n ＝1.由c 2＝n －m ，得m ＝－3，故双曲线的方程为y 2－x 23＝1.。
高三数学试卷带答案解析
高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A．km/hB．km/hC．km/hD．km/h2.已知，若，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．3.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A．直线、直线 B．圆、圆 C．直线、圆 D．圆、直线4.则( )A． B． C． D．5.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．6.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则等于（）A．24 B．32 C．48 D．647.已知上的偶函数满足，若时，，则（）A． B． C． D．8.函数的零点位于区间（）A． B． C． D．9.函数的图象大致为（）10.若向量=（1，1），=（-1,1），=（4，2），则向量=（）A ．3+B ．3-C ．-+3D ．+311.定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．12.函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．13.已知全集，集合或，，则集合=（ ）A ．B ．C ．D ．14.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ） A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 15.设全集，集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．16.若, 则（ ）A ．1B ．C ．D ．17.已知函数在定义域上的导函数为，若无解，且，若在上与在上的单调性相同，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．18.下列四个命题正确的是（ ） ①设集合，，则“”是“”的充分不必要条件； ②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；③若是假命题，则，都是假命题；④命题：“，”的否定为：“，”．A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④19.设有一个正方形网格(线条宽度忽略不计，部分网格如图)，其中每个最小正方形的边长都等于.现用目前流通的直径是的—元硬币投掷到此网格上，则硬币完全落入网格内（与格线没有公共点）的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 20.已知定义域为的奇函数,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定二、填空题21.某几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为。
2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷附答案解析
2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ，则A B ⋂=()A.{}10x x - B.{}10x x -< C.{}10x x -< D.{}10x x -<<2.“01a <<”是“函数()log (2)a f x a x =-在(,1)-∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()()2sin x xf x x e e x-=-+-在区间[]2.8,2.8-的大致图像为()A. B. C. D.4.已知5log 2a =，2log b a =，1()2bc =，则()A.c b a >> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3(2)()f x f x +=，且(2)1f =-，则(100)f =()A.3B.1C.1-D.3-6．已知函数1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x⎧-⎪==-⎨<⎪⎩ ，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是()A.{}e B.[,)e +∞ C.1(,0){}8e -⋃ D.1(,){}8e -∞-⋃7.已知函数3()1f x x x =-+，则()A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.直线2y x =是曲线()y f x =的切线D.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心8.已知函数24,0(),0x x f x x log x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()A.28-B.28C.14- D.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211(x x'=- B.()x xe e '--= C.21(tan )x cos x'=D.1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则()A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11.已知0c b a <<<，则()A.ac b bc a+<+ B.333b c a +< C.a c ab c b+<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为__________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14.5(1)(2)y x y x-+的展开式中，23x y 的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线bx a y e +=的附近，请根据下表中的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数a 和b 的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.98 3.87 3.46 3.29附：经验回归方程：ˆˆˆybx a =+中，1221ˆniii nii x ynx y b xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17.已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)(a g x x t t =+∈R )，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围．18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19.已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.6513.ln 214.40三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）解：(1)1a =时，3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--，所以1x <或2x >时，()0f x '>；12x <<时，()0f x '<则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞上递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =...............................5分陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测数学参考答案题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD3212(2)()232a f x x x ax +=-+，则()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x ' ，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<,所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减................................8分（2）令-+<=≈，所以，解得，由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下................................5分17.（本小题满分15分）解：(1)1=- t 时，()()2log 1log 21a a x x +- ，又01a <<，21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩，2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩，∴解集为：15{|}24x x <；...............................6分(2)解法一：()222F x tx x t =+-+，由()0F x =得：22(2x t xx +=-≠-且12)x -< ，22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++，设2U x =+(14U < 且2U ≠，则212424U t U U U U=-=--+-+，令2()U U Uϕ=+， 当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴且() 4.U ϕ≠12402U U∴---< 或2044U U<--- ，t 的取值范围为：2t - 或224t +解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：24t =，又1212x x t ==-(]1,2,∈-24t +∴=；②()F x 在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有()()120F F -<，解得：2t <-或1t >，又经检验：2t =-或1t =时，()F x 在(1,2]-上都有零点；2t ∴- 或 1.t ③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩或0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，解得：214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t - 或224t +...............................15分18.（本小题满分17分）(1)(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即69x μ≈=11s σ≈≈，所以X ∽2(69,11)N ，因为质量指标值X 近似服从正态分布2(69,11)N ，所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+== 10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16................................5分(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：3010103202(0)19C C P C η===，21101032015(1)38C C P C η===，12101032015(2)38C C P C η===，0310103202(3)19C C P C η===，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分()ii 设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由(1)知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以Y ∽(100,0.16)B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-,令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4x ∈，()0f x '>，()f x 递增79;(,24)4x ∈，()0f x '<，()f x 递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大................................17分19.（本小题满分17分）(1)解：当0=a 时，()ln =-f x x x ，且知11()1-'=-=xf x x x，在(0,1)上，()0'>f x >，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0'<f x ，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞..............................4分(2)证明：因为1a =，所以1()ln 2x f x e x x -=+-，且知11()2x f x e x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，设11()2x g x ex -=+-，0x >，则121()x g x e x-'=-，注意1x y e -=，21y x=-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g = ，即()0f x ' ，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;...............................10分(3)由11()1x f x ae a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()1x h x ae a x -=+--，有121()x h x ae x-'=-，①当0a 时，11()0x xh x aex -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1x y ae -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞..........................17分。
高三数学试卷带答案解析
高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。
下列四个命题，其中是“可换命题”的是（）①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．A．①② B．①④ C．①③ D．③④2.在复平面内，复数（为虚数单位），则为（）A． B． C． D．3.设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，则f(x)＝( )A．xsinxB．xsinx－xcosxC．xsinx＋cosxD．xcosx4.若变量x,y满足约束条件则的最大值为A．4 B．3 C．2 D．15.Sin420°的值A． B． C．－ D．－6.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3 B．2 C．12 D．127.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是8.如图所示，程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数（）A．的图象上B．的图象上C．的图象上D．的图象上9.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b| 等于()．A．5 B．4 C．3 D．110.已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（）A． B． C． D．11.若等差数列的前项和满足，，则（）A． B．0 C．1 D．312.在中，，则的面积是（）.A． B． C． D．13.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)14.设函数,则( )A．在单调递增,其图象关于直线对称B．在单调递增,其图象关于直线对称C．在单调递减,其图象关于直线对称D．在单调递减,其图象关于直线对称15.函数y＝3x＋1(－1≤x<0)的反函数是()A．y＝1＋logx(x>0)3x(x>0)B．y＝－1＋log3C．y＝－1＋logx(1≤x<3)3x(－1≤x<3)D．y＝－1＋log316.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是()．A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)17.已知函数的图象经过点,则该函数的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．18.对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数满足，且对,有则A ．1B ．2C ．3D ．419.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 20.已知 ，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数 的周期为B ．将 的图像向左平移个单位后得到的图像C ．函数的最大值为D ．的一个对称中心是二、填空题21.若实数满足，则的最小值为___________22.．已知函数的图象与直线y=m 的三个交点的横坐标分别为，那么 ．23.已知5cos （45°+x ）=3，则sin2x= ． 24.设曲线（）在点处的切线与轴交点的横坐标为，则.25.若 是定义在 上的偶函数，则;26.若双曲线的离心率为，则实数m =__________．27.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = . 28.已知函数满足对任意成立，则a 的取值范围是29.已知函数f(x)＝ln ，若f(a)＋f(b)＝0，且0<a<b<1，则ab 的取值范围是________． 30.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是________.评卷人 得 分三、解答题31.设数列的前项和满足。
江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案
数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。
高三数学试卷附答案解析
高三数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设函数y= 的定义域为A ，函数y=ln （x ﹣1）的定义域为B ，则A∩B=（ ）A ．（1，2）B ．（1，2]C ．（﹣2，1）D ．[﹣2，1） 2.已知定义域为R 的函数对任意实数x 、y 满足，且.给出下列结论：①；②为奇函数； ③为周期函数；④内单调递减。
其中正确的结论序号是 （ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④3.已知，则的值为A ．—33B ．—32C ．—31D ．—30 4.已知函数的导函数为，，且＞，设、是方程的两个根，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．5.若不等式x 2+a x +1≥0对一切成立，则的最小值为A ．0B ．-2C ．D ．-36.某几何体的三视图如图所示，其则该几何体的体积是（ ）A． B． C． D．7.已知集合或，，，则集合等于（）A．B．C．D．8.设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列4个命题,其中正确命题是（）A．若∥，∥，则∥B．若∥，∥，∥，则∥；C．若⊥，⊥，⊥，则⊥；D．若、在平面内的射影互相垂直，则⊥.9.已知集合则下列结论正确的是（）A．B．C．D．10.给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A． B． C． D．11.已知是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率等于A． B． C． D．12.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是()A．米 B．20米 C．米 D．10米13.为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正整数），则的最小值是（）A． B． C． D．14.已知向量，，则（）A． B． C． D．15.命题：“若，则”的逆否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则16.直线分别与曲线，交于A，B，则的最小值为（）A．3 B．2 C． D．17.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A． B． C．8 D．18.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．19.函数的零点一定位于区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）20.已知集合，则集合中元素的个数为A．B．C．D．二、填空题21.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 . 22.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .23.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得等级相互独立.为该生取得等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望的值为______________.124.已知命题p ：|1-|≤2，命题q ：x 2-2x ＋1-m 2≤0(m ＞0)，┒p 是┒q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ． 25.已知函数的值为 。
高三数学试卷带答案解析
高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．2.全集，，则集合（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}3.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递增4.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图），分别表示甲、乙选手分数的标准差，则与的关系是（填“”、“”或“＝”）A． B． C． D．不确定5.执行右边的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（）A． B． C． D．6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．8.已知点是抛物线：准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．9.设集合，，，则等于（）A． B． C． D．10.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A．2016 B．2015 C．4030 D．100811.若，则“”是“”的（）条件（）A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要12.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限13.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为14.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A． B． C． D．15.函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．16.若，，则有（）A．B．C．D．17.已知，，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（）A．B．C．D．18.使的展开式中含有常数项的最小的n为( )A．4 B．5 C．6 D．719.已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于()A．1 B．2 C．2 D．220.定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（）A．336 B．337 C．1676 D．2017二、填空题21.已知函数存在最大值M和最小值N, 则M＋N的值为.22.已知均为正数，且，则的最小值为 .23.已知圆O：，若不过原点O的直线与圆O交于、两点，且满足直线、、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为 .24.展开式中的常数项是 .25.如图，长方体中，，，点，，分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是．26.27.已知曲线C的极坐标方程为，则曲线C上的点到直线为参数）的距离的最大值为 .28.如图，在中，,,,则 .29.设集合，,,则．30.若实数满足（其中是自然底数），则的最小值为_____________.三、解答题31. (本小题满分12分)如图所示,正四棱锥中，AB=1,侧棱与底面所成角的正切值为.（1）求二面角P-CD-A的大小.（2）设点F在AD上,,求点A到平面PBF的距离.32.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点为坐标原点，若椭圆与曲线的交点分别为（下上），且两点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作的两条切线，切点分别为，且直线在轴、轴上的截距分别为，证明：为定值．33.选修4-5：不等式选讲设函数，求使≥的取值范围．34.（本题满分14分）已知函数(常数.(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.35.已知角A、B、C是的三个内角，若向量，，且.（1）求的值；（2）求的最大值.参考答案1 .D【解析】试题分析：令，，若函数在区间上有三个零点，，则，的图象在区间上有三个交点；由图象易知：当时，不符合题意；当时，与函数的图象知在区间上存在一个交点，函数存在一个零点，所以只需要再满足在区间存在两个零点即可，此时，得，即，令函数，，故函数在递增，在递减，，，，所以，故选B．考点：1．函数的零点；2．数形结合思想；3．导数的应用．【名师点睛】研究函数的零点，往往利用分离参数法，将问题转化为两个函数图象的交点问题，进而构造函数，再利用导数研究函数的单调性与零点问题．2 .A．【解析】试题分析：易知集合．考点：集合的运算．3 .D【解析】试题分析：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数的周期，故A错误；由，，解得单调递增区间为：，，故B正确；由，，解得对称轴是：，，故C错误；∵，∴，∴函数的解析式为：，∵函数是偶函数，∴，，又，解得：．∴．∴由，，解得对称中心为：，，故D错误．故选B.考点：正弦函数的图象；由的部分图象确定其解析式.4 .C【解析】略5 .B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=26时，满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5．模拟执行程序框图，可得n=25，S=0，i=1S=1，i=2，不满足条件S≥n，S=4，i=3不满足条件S≥n，S=11，i=4不满足条件S≥n，S=26，i=5满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5故选：B．考点：程序框图6 .B【解析】试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法.考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排列知识.7 .D【解析】解：奇数+偶数=奇数，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率8 .A【解析】由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点，准线方程为，过点作准线的垂线，垂直为，由抛物线的定义可知,因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，整理，由，解得，此时直线的方程为，由与抛物线方程联立，解得点，此时双曲线的焦点坐标为，且过点根据双曲线的定义可知，所以，所以双曲线的离心率为，故选A。
浙江省绍兴市2024-2025学年高三上学期11月选考科目诊断性考试数学试题(含答案)
2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.若，则（ ）A. B. C.D.3.已知，，则（ ）A.B.5C. D.4.已知向量，，则在上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（ ）A.24B.18C.12D.66.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，过点作的垂线，垂足为，则（ ）2{60}A x x x =--<{2,0,1,3}B =-A B = {0,1}{2,0,1}-{0,1,3}{2,0,1,3}-11i 1z =--z =31i 22-31i 22+13i 22-13i 22+1sin()2αβ+=1sin()3αβ-=tan tan αβ=1515-5-(1,2)a =-(2,0)b = a b (2,0)-(2,0)(1,0)-(1,0)AB CD AB CD ⊥A BCD -l 2:2(0)C y px p =>A B O OA OB ⊥O l (2,1)E p =A.B.C.D.7.已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ）A. B. C. D.8.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min 内（含10min ）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（ ）A.16B.17C.18D.19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的100块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：kg ），并整理得下表：亩产量频数5102540155则100块试验田的亩产量数据中（ ）A.中位数低于180kgB.极差不高于60kgC.不低于190kg 的比例超过15%D.第75百分位数介于190kg 至200kg 之间10.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ）A.与 B.与C.与 D.与11.在正三棱锥中，，，是底面内（含边界）一点，则下列说法正确的是（ ）A.点到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值B.顶点，，到直线的距离的平方和为定值523254342()()F x x f x =0x =()F x ()f x sin xln(1)x +ex1x -k k [150,160)[160,170)[170,180)[180,190)[190,200)[]200,210sin y x =sin y x =-3y x =3y x x =-2xy =32xy =⋅lg y x =lg(3)x P ABC -PA PB ⊥1PA =Q ABC △Q A B C PQC.直线D.直线与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在二项式的展开式中，常数项为________.13.若曲线在点处的切线与圆相切，则________.14.已知数列中，等可能取，0或1，数列满足，，则的概率是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记三个内角，，的对边分别为，，.（1）求；（2）设是的中线，若，，求.16.（15分）已知函数.（1）当时，求在区间上的值域；（2）若存在，当时，，求的取值范围.17.（15分）在四棱锥中，底面为菱形，，.（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.18.（17分）已知椭圆的离心率为.（1）求的方程；（2）过左焦点的直线交于，两点，点在上.（i ）若的重心为坐标原点，求直线的方程；PQ PQ 3262x ⎛ ⎝eln y x =(e,e)22()1x a y -+=a ={}n a (1,2,,)i a i n = 1-{}n b 10b =1n n n b b a +=+50b =ABC △A B C a b c sin (cos 1)A a B =+B CD ABC △CD =2a =b ()e 1xf x ax =--2a =()f x []0,101x >()00,x x ∈()0f x <a P ABCD -ABCD AB =PB =6PC =60BAD ∠=︒PA PD =P AD B --13-BC PAB 2222:1(0)x y C a b a b+=>>12C C A B P C PAB △G AB（ii ）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围.19.（17分）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量（，），记，设集合为偶数.（1）求，；（2）（i ）求中元素的个数；（ii ）记，求使得成立的最大正整数.PAB △G x G n n ()12,,,n n m x x x ={0,1}i x ∈1,2,,i n = ()112121n n f m x x x x x x =++++()(){n n n D m m f m = }()2D m()3D m()n D m ()1n n i i g m x ==∑()()2025n nn m D m g m ∈≤∑n2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BC 10.ACD 11.ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.60 13.14.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）解：（1.又因为，即.又因为，所以，即.（2）在中，由余弦定理，可得，解得，即.在中，由余弦定理可知.解得16.（15分）解：（1）因为，所以，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增.因为，，，且，所以的值域是.（2）因为.①若，当时，，所以在上递增，所以，不符合题意.②若，当时，：当时，，所以在上递減，在上递增，要存在，当，，则只需，所以.1981sin (cos 1)A a B =+sin sin (cos 1)B A A B =+sin 0A >cos 1B B -=π1sin()62B -=ππ5π666B -<-<ππ66B -=π3B =BCD △2221cos 22BD BC CD B BC BD +-==⋅2280BD BD --=4BD =8c =ABC △2222cos 52b a c ac B =+-=b =()21xf x e x =--()2xf x e '=-ln 2x <()0f x '<ln 2x >()0f x '>()f x [0,ln 2)[ln 2,1](0)0f =(1)3f e =-(ln 2)12ln 2f =-30e -<()f x [12ln 2,0]-()e xf x a '=-1a ≤0x >()0f x '>()f x (0,)+∞()(0)0f x f >=1a >ln x a <()0f x '<ln x a >()0f x '>()f x (0,ln )a [ln ,)a +∞01x >0(0,)x x ∈()0f x <(1)10f e a =--<1a e >-17.（15分）解：（1）取中点，连接，，因为，所以是正三角形，因为为中点，所以.又因为，所以.因为，所以，又，所以面.所以，又因为为中点，所以.解法1：（2）因为，，所以是二面角的平面角，即.在中，由余弦定理，解得.如图，以点为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，.所以，所以，所以直线与平面.解法2：（2）因为，，所以是二面角的平面角，即.AD E PE BE AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △E AD AD BE ⊥2222236BC PB PC +=+==PB BC ⊥//BC AD AD PB ⊥BE PB B = AD ⊥PBE AD PE ⊥E AD PA PD =AD BE ⊥AD PE ⊥PEB ∠P AD B --1cos 3PEB ∠=-PEB △22229161cos 263BE PE PB PE PEB BE PE PE +-+-∠===-⋅⋅3PE =E EA EB x y A (0,3,0)B (C -(0,P -(BC =- (AB = PA =-ABP (,,)m x y z =00m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩30y y ⎧+=⎪+-=x =1y =z m =cos ,m BC < BC PAB AD BE ⊥AD PE ⊥PEB ∠P AD B --1cos 3PEB ∠=-在中，，解得，所以，且，取中点，连接，，在等腰直角三角形中，，同理，所以，所以，又，所以平面，所以即为直线与平面所成角，又，而，所以直线与平面.18.（17分）解：（1）由题意知，即，又，解得，，.所以的方程.（2）（i ）设直线的方程为，联立，得，设，，，则，.因为的重心为原点，所以，所以，又，代入，可得，PEB △22229161cos 263BE PE PB PE PEB BE PE PE +-+-∠===-⋅⋅3PE =AP =PA AB =222PA AB PB +=PB F AF DF PAB AF =DF =222AF DF AD +=DF AF ⊥DF PB ⊥DF ⊥PAB DAF ∠AD PAB sin DAF ∠=//AD BC BC PAB 12c e a ==22214a b a -=227a b +=2a =b =1c =C 22143x y +=AB 1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()11,Ax y ()22,B x y ()33,P x y 122634m y y m +=+122934y y m -=+PAB △1230y y y ++=32634m y m -=+()()3121228234x x x m y y m =-+=-++=+22143x y +=()2221216134m m +=+解得，所以直线的方程是.解法1：（ii ）设，由（i ）可知，，代入，可得，解得，所以.所以，且，所以.解法2：（ii ）设，由（i ）可知，，代入，可得，解得，①当时，，令，则上递增，所以，②当时，，则在上递增，所以.综上可知.19.（17分）解：（1），.（2）（i ）设中元素的个数为，由于为偶数，，则，且.故0m =AB 1x =-(),0Gt 32634m y m -=+()312283334x t x x t m =-+=++22143x y +=()222228312341434t m m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+2222164303434m t t m m +-=++()222434094t t m t +=-≥-()()()3432320t t t t ++-≤23t ≠±422,0,333t ⎡⎫⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭(),0Gt 32634m y m -=+()312283334x t x x t m =-+=++22143x y +=()222228312341434t m m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+2222164303434m t t m m +-=++0t <23t =-2344u m =+≥23t =-[4,)+∞42,33t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭0t ≥23t =2344u m =+≥23t =[4,)+∞20,3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭422,0,333t ⎡⎫⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭()2{(1,0)}D m = ()3{(1,0,0),(1,0,1),(1,1)}D m =()n D m n a ()112121n n f m x x x x x x =++++()()1223211n n f m x x x x x x =+++++ 11x =112n n n a a --=-121232322222n n n n n n n n a a a -------=-+=-+-=即，故中元素的个数为.（ii ）略123432212222(1)2(1)2(1)1n n n n n n n -------=-+-++-⋅+-⋅+-⋅ 11(1)1(2)2(1)1(2)3n n n n -+⎡⎤-⋅--+-⎣⎦==--12(1)3n n n a ++-=()n D m 12(1)3n n ++-。
广东省2025届高三数学一调模拟卷(答案)
2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一）数 学参考答案与解析一、选择题 1. 【答案】B【解析】集合A x Z x x x Z x x =∈−+≤=∈−−≤=2{|8150}{|(3)(5)0}{3,4,5}. 而B x x =<{|5}，故A B ⋂={3,4}. 考察集合交集的定义. 2.【答案】A【解析】z 1，z 2均为纯虚数可以推出z z 21为实数，z z21为实数不可以推出z 1，z 2均为纯虚数，故为充分不必要条件. 3． 【答案】C 【解析】223221502232()cos ()ab ba b b a b b2233()4. 【答案】B【解析】由题干得=+−=+−23sin(3)sin 12sin 32cos sin απαααα =−=+αααπ32cos 12sin cos(6). 所以+=+−=⨯−=−ααππ3639cos(2)2cos ()12()12122. 考察三角函数中两角和差公式以及倍角公式.5.【答案】C 【解析】由=⇒=⇒=q a a a a q a 1121311，+=⇒++=qS T q 122312433，则−+=−−=⇒==q q q q q q 22942140,41122)()(. 由于a n }{为递增数列，则==q a 44,11， 所以a n }{的通项公式为=−a n n 42.所以−==−−S n n n 14124141141)()(.【考察】（1）等比数列a q a S n n ,,,1； （2）转化、消元的数学思想6.【答案】A 【解析】=⇒=V R O .记侧棱长为l ，球心到四棱锥顶点的距离为h .−=⇒=⇒−=l l h h 124124112222)(；++=−h l 1212222)((.所以+=⇒−−=⇒=h h h h 31243150222(.所以⎝ =⋅⋅+=⎛V 333481. 【考察】（1）锥体、球体的体积公式；（2）内切球与正四棱锥的几何关系. 7. 【答案】A【解析】由题知n 是xxx +−−<+2log [(15)(15)]4的正整数解. 化简nnn +−−<+2log [(15)(15)]4有n n n +−−<+(15)(15)24.可以得到4251])251()251[(51⨯<−−+n n 即4251⨯<n a . 根据}{n a 是递增数列可以知道}{2n a 也是递增数列.于是原不等式转化为5225182<⨯<n a . 而55=a ,86=a 可以得到，满足要求的n 的最大值为5. 考察对数运算以及利用数列单调性求最值.8. 【答案】D【解析】由21ln (0)2mx x x +=>得21ln 2x m x −=，则问题转化为ym 和21ln 2()x h x x −=的图像有两个交点，而'32(1ln )()x h x x−=令0'()h x ，解得0x e ，令0'()h x ，解得x e ，故()h x 在0(,)e 递增，在(,)e 递减，则212max ()()h x h e e.大致图像如下所示：故m 的取值范围是2102(,)e二、多选题 9.【答案】AB 【解析】 由于()()()1210,0,,0,,,0x x x ，它们分别与()1,10,y ()2,10,,y ()10,10y 关于点()3,5对称，则有()6Z,110i i x y i i +=∈≤≤，即有()6Z,110i i y x i i =−∈≤≤.则由平均数的性质可得1210,,,y y y 这组数的平均数为6a −，中位数为6b −，方差为c ，极差为d −.10.【答案】CD 【解析】A. 设1i z a b =+，则1-i z a b =，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=−+，22221(i)2i z a b a b ab =−=−−，故2211z z ≠，A 选项错误.B. 由复数的几何意义可知，1212,,z z z z +在复平面表示向量,,OA OB OA OB +的模长.当,OA OB 共线时，OA OB OA OB +=+，即1212z z z z +=+；当,OA OB 不共线时，,,OA OB OA OB +分别表示OAB ∆三边长，根据三角形中两边之和大于第三边，可得OA OB OA OB +<+，即1212z z z z +<+.因此，1212z z z z +≤+，B 选项错误.C. 由复数的几何意义可知，122i 2z −−=表示复数1z 对应的点A 到定点(2,2)的距离为2，即动点A 的轨迹是以(2,2)为圆心，2为半径的圆，116i z +−表示点A 到定点()1,6−的距离，由圆的性质可知，1max 2316i z =−+=，C 项正确.D. 由复数的几何意义可知，22i i 4z z ++−=表示复数2z 对应的点B 到两定点(0,1)−、(0,1)的距离之和为4，所以点B 的轨迹为椭圆：22143y x +=，2z 表示点B 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得，当点B 在椭圆与x 轴的交点上时，取得最小值，即2minz =，D 选项正确.综上，故选：CD. 11.【答案】ACD 【解析】A. 令0x =，则有(e)e (e)(1e)(e)0f f f −=−=，所以(e)0f =，故A 正确.B. 对(e )e (e )0f x f x +−−=两边求导，得(e )e (e )0f x f x ''++−=，所以(e )e (e )f x f x ''+=−−，代入(e )'(e )0f x f x '++−>，得当0x >时，(1e)(e )0f x '−−>,所以(e )0f x '−<.又因为(e )'(e )0f x f x '++−>，所以，(e )0f x '+>.因此，当e x <时，()0f x '<，()f x 在(,e)−∞上单调递减；当e x >时，()0f x '>，()f x 在(e +)∞，上单调递增.故B 错误.C. 对12,,e x x 的大小关系进行分类讨论： ①当12e x x <≤时，()f x 在(,e)−∞上单调递减，所以12()()f x f x >，显然有122e x x +<； ②当12e x x ≤<时，()f x 在(e +)∞，上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ≥时，(e )e (e )f x f x +=−.令e (e,+)t x =+∈∞，()e (2e )f t f t =−，122()()e (2e )f x f x f x >=−，又因为()(e)0f x f ≥=，所以2(2e )0f x −>，因此1222()()e (2e )(2e )f x f x f x f x >=−>−.因为1e x <，22e e x −<，由()f x 的单调性得，122e x x +<.故C 正确.D. 因为2(0)(0)e 20g f =+−>，2(2e)(2e)e 20g f =+−>，(e)(e)220g f =−=−<，所以120e 2e x x <<<<.先证12+2e x x <.即证122e x x −>，即1(2e )0g x −>，只需证221111(2e )(2e e)20e ()(e )20f x x f x x −+−−−>⇔+−−>.事实上，2211111e ()(e )2()(e )2()0f x x f x x g x +−−>+−−==，因此12+2e x x <得证. 此时有1210e 2e 2e x x x <<<<−<.因为22211122()(e)2(2e e)2(e)2()f x x x x f x =−−+=−−−+<−−+=，又1()0f x ≠，所以21()1()f x f x <. 因为211()(2e )e ()f x f x f x <−=，又1()0f x ≠，所以21()e ()f x f x <. 综上，21()1e ()f x f x <<，D 正确.三、填空题 12.【答案】29 13.【答案】令x =1得(1+2)5=243=a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0， 令x =−1得(−1+2)5=1=−a 5+a 4−a 3+a 2−a 1+a 0， 则a 5+a 3+a 1=(a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0)−(−a 5+a 4−a 3+a 2−a 1+a 0)2=243−12=121， 且a 4+a 2+a 0=(a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0)+(−a 5+a 4−a 3+a 2−a 1+a 0)2=243+12=122，故a 5+a 3+a 1a 4+a 2+a 0=121122.14. 【答案】y 29−x 216=1,(y ≠−3)【解析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系。
#高#三数学选择题技巧(学生用)
高三辅优专题（四） 选择题解法选讲一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）。
A 、132()()()323f f f B 、231()()()323f f f C 、213()()()332f f f D ．321()()()233f f f【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 、30x y --= B 、230x y +-= C 、10x y +-= D 、250x y --=【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A 、9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ C 、(][),36,-∞+∞ D 、[]3,6【练习3】、曲线[]12,2)y x =+∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范围是（ ）A 、5(0,)12B 、11(,)43C 、5(,)12+∞D 、53(,)124【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间A 上是增函数，则区间A 是（ ） A 、(]0,∞- B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C 、[)+∞,0 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21【练习5】、曲线13||2||=-y x 与直线m x y +=2有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A 、4 m 或4- m B 、44 m - C 、3 m 或3- m D 、33 m -【练习6】、（06湖南理8）设函数()1x af x x -=-，集合{}|()0M x f x =，{}'|()0P x f x =，若M P ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(,1)-∞B 、(0,1)C 、(1,)+∞D 、[1,)+∞【练习7】、（06湖南理10）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角θ的取值范围是（ ）A 、,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a ，b 满足|a-b |=| b |，则（ ） A 、|2b | ＞ | a-2b | B 、|2b | ＜ | a-2b | C 、|2a | ＞ | 2a-b | D 、|2a | ＜ | 2a-b |【练习9】、方程cosx=lgx 的实根的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4【练习10】、(06江苏7)若A 、B 、C 为三个集合，AB BC =，则一定有（ ）A 、A C ⊆B 、C A ⊆ C 、A C ≠D 、A =Φ【练习11】、(07天津理7)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-。
高三数学试卷带答案解析
高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，程序框图中的算法输出的结果为（）A．B．C．D．2.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A． B． C． D．3.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如下图所示（单位：寸），若取3，且图x中（寸）．则其体积为A．立方寸B．立方寸C．立方寸D．立方寸4.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种 B．18种 C．36种 D．48种5.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球半径为（）A．3B．4C．5D．67.下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9.已知点，分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10.若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A． B． C． D．11.已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．12.已知实数集R，集合集合，则A． B． C． D．13.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A． B． C． D．14.等差数列中，为等比数列，且，则的值为（）A．4 B．2 C．16 D．815.函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为A．B．C．D．16.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A．B．C．D．17.已知为等差数列中的第8项,则二项式展开式中的常数项是（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项18.已知菱形边长为，，点P满足，．若，则的值为（）A． B． C． D．19.命题“存在”为假命题是命题“”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件20.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，则（）A．B．C．D．二、填空题21.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .22.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．23.若方程仅有一个实根，那么的取值范围是▲ .24.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是 ．25.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是26.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立．记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．27.已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________.28.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .29.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n ＞0，则＋的最小值为_________ 30.设是等差数列的前n 项和，且a 1=1,a 11=9,则三、解答题31.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.32.（本小题满分12分） 已知向量，设函数．（Ⅰ）求在区间上的零点；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．33.已知，直线：，椭圆：，分别为椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．34.（本小题满分12分） 已知函数在点x=1处的切线与直线垂直，且f （-1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值。
高三数学题型专题--选择题的解法
选择题的解法1.内容概要：选择题注重考查基础知识、基本技能、基本方法、逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力.解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做。
求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时除了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解.解选择题要注意选择题的特殊性，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，灵活、巧妙、快速求解.2.典例精析一、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1.（08某某）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是（ ）（A ）3（B ）5（C ）3 （D ）5【解析】∵双曲线的准线为2a xc ，∴22():()3:2a a c c c c+-=，解得225c a =，∴5cea故选D.例2.设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B=的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而充分条件（D ）既不充分又不必要条件【解析】设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴sin()sin A B B -=，∴A B B -=，2A B =， 若ABC ∆中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+，所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.二、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.特例法主要包括：特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等.①特殊值法例3.（08全国Ⅱ）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a【解析】令12xe ，则11,1,28a b c =-=-=-，故选C.例4.（08某某）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【解析】令114a ，234a ，113b ，223b ，然后代入要比较大小的几个式子中计算即可，答案为A.【点评】从上面这些例子及其解答来看，2008年高考试题特别喜欢把大小比较与函数、三角等知识结合进行考查，这是2008年大小比较考题的一大亮点.②特殊函数法例5.如果奇函数()f x 在［3，7］上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间［-7，-3］上是 ( )A. 增函数且最小值为-5B. 减函数且最小值是-5C. 增函数且最大值为-5D. 减函数且最大值是-5【解析】构造特殊函数5()3f x x ，显然满足题设条件，并易知()f x 在区间［-7,-3］上是增函数，且最大值为(3)5f ，故选C.③特殊数列法例6. 已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则有（ ） A.11010a a +> B.21020a a +< C.3990a a += D.5151a = 解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C. ④特殊方程法例7.曲线222222b xa y ab （0ab ）的渐近线夹角为，离心率为e ,则cos2等于（ ）A ．eB ．2e C ．1e D .21e【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察.取双曲线方程为2214x y ，易得离心率52e，2cos 25，故选C . ⑤特殊位置法例8.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11（） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a4 【解析】此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 长度不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性.考虑直线PQ OF 时，1||||2PF FQ a==，所以11224a a a p q +=+=，故选C.⑥特殊点法例9.（08全国Ⅰ）若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+【解析】因为点(1,1)在1y =的图象上，它关于y x 对称的点(1,1)一定在其反函数(1)y f x =-的图象上，即点(0,1)在函数()f x 的图象上，将其代入四个选择支逐一检验，可以直接排除A 、C 、D ，故选B ．【点评】本题主要考查反函数的概念、函数与其反函数图象之间的关系、函数图象的平移．常规解法是先求出函数1y =的反函数，然后再将函数图象平移即可得到正确解答．而本法抓住以下特征：函数图象上的点关于y x 对称的点一定在其反函数的图象上，由此选定特殊点(1,1)，从而得出点(1,1)在(1)y f x =-的图象上，进一步得出点(0,1)在()f x 的图象上．于是快速求解.三、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值X 围等)与某些图形结合起来，利用几何图形的直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。
高三数学 等差数列选择题专项训练知识点及练习题及解析(1)
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24 B ．39C ．104D ．52解析：D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ．2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14nb==，所以201220T b b b=++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114n na a+-=，从而数列21na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求na=，14nb==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且310179a a a++=，则19S=（）A．51 B．57 C．54 D．72解析：B【分析】根据等差数列的性质求出103a=，再由求和公式得出答案.【详解】317102a a a+=1039a∴=，即103a=()1191019191921935722a a aS+⨯∴===⨯=故选：B4．若数列{}n a满足121()2nnaa n N*++=∈，且11a=，则2021a=（）A．1010B．1011C．2020D．2021解析：B【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.【详解】由121()2nnaa n N*++=∈，则11()2n na a n N*+=+∈，即112n na a+-=，所以数列{}n a是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107C ．109D ．105解析：B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.6．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B7．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸解析：D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161C ．141D ．151解析：B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B9．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33C ．34D ．35解析：D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D10．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49解析：C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14解析：C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C12．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ）A ．7B ．12C ．14D ．21解析：C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C14．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C15．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B.二、等差数列多选题16．题目文件丢失！17．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；20．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.21．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.22．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.23．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 24．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c 可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.25．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n nS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n nS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan＝________.【答案】－2－【解析】由sin 2α＝sinα，可得2sin αcos α＝sin α，又0<α<π，所以cos α＝.故sin α＝，tan α＝.所以tan＝＝＝－2－.2.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为3.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式4.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式5.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式6.已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)利用两向量内积的坐标计算公式(两向量的横纵坐标对应相乘再相加)即可得到的函数解析式.(2)由(1)可得的函数解析式,把带入函数即可得到的值.(3)把等式带入,利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)化简等式即可得到的值,正余弦的关系即可求出的值,再把带入函数即可得到,再利用和差角和倍角公式展开并把的值带入即可得到的值.试题解析：（1）∵，，，∴，即函数. （3分）（2）（6分）（3）∵，又，∴，即. （7分）∵，∴. （8分）∴，（9分）. （10分）∴（11分）. （12分）【考点】正余弦和差角与倍角公式诱导公式内积公式7.若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．【答案】【解析】(解法1)依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝＞0.∵α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.(解法2)∵α、β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴ 0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝.∴α＋β＝.8.已知0＜β＜＜α＜π，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．【答案】【解析】∵＜α＜，∴－＜－α＜－，∴－＜－α＜0.又cos(－α)＝，∴ sin(－α)＝－.∵ 0＜β＜，∴＜＋β＜π.又sin(＋β)＝，∴ cos(＋β)＝－.∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos cos－sin(＋β)·sin＝9.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝10.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－(x)＝，【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则fmax依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.11.如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．【答案】（1）＋1（2）【解析】(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以·＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP的面积为S＝||·| |sin θ＝sin θ，所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sin θ＝，cos θ＝，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.12.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.13.求证：(1)(2)【答案】证明见解析．【解析】三角恒等式的证明也遵循从繁化简的原则，当然三角函数还有函数名称的转化与角的转化．(1)本题从左向右变化，首先把左边分子用两角差的正弦公式展开，就能证明，当然也可从右向左转化(切化弦)，；(2)这个证明要求我们善于联想，首先左边的和怎么求？能否变为两数的差(利用裂项相消的思想方法)？这个想法实际上在第(1)小题已经为我们做了，只要乘以(因为每个分母上的两角的差都是)，每个分式都化为两数的差，而且恰好能够前后项相消．试题解析：证明：（1） 3分6分（2）由（1）得（） 8分可得10分12分即. 14分【考点】两角差的正弦公式，同角三角函数关系．14.若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos的值为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0，依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a.∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1.又－1≤sin θ≤1，因此sin θ＝1，cos θ＝0.故cos＝sin θsin＋cos θcos＝.15.已知向量，，函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）在中，设角，的对边分别为，若，且，求角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由向量数量积的定义只需将其化为一个角的三角函数就能求出的最大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果和正弦定理：,又 ,所以，，由以上两式即可解出,.试题解析：（Ⅰ） 2分4分（注：也可以化为）所以的最大值为． 6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（Ⅱ）因为，由（1）和正弦定理，得． 7分又，所以，即， 9分而是三角形的内角，所以，故，， 11分所以，，． 12分【考点】1.正弦定理；2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式；3、三角函数的性质.16.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．17.在中，角的对边分别为，已知：，且．（Ⅰ）若，求边；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角.再由得到角，最后由正弦定理得到；（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到，又因为，从而可知为直角三角形，其中角为直角.又，所以.既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知，所以，故，解得. (4分)由，且，得.由，即，解得. (7分)（Ⅱ）因为，所以，解得. (10分)由此得，故为直角三角形.其面积. (12分)【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.18.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.19.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）①要用表示矩形的面积，关键是把用表示，在中可表示出，在中可表示出，即得；②在中，可用表示和，在在中可用即表示出，即得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值.试题解析：(Ⅰ) ①因为,所以,又,所以 2分故() 4分②当时, ,则,又,所以6分故() 8分(Ⅱ)由②得= 12分故当时,取得最大值为 15分【考点】函数的应用、三角函数.20.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.21.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.22.设是方程的两个根，则的值为A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以由二次方程根与系数的关系可以得到，所以【考点】本题主要考查二次方程的根与系数的关系，以及两角和的正切公式。
河北省武强中学2023届高三上学期期中数学试题(解析版)
武强中学2022—2023学年度上学期期中考试高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|560A x x x =-+>，{}|10B x x =-<，则A B ⋂=（）A.{}|1x x < B.{}|21x x -<< C.{}|31x x -<<- D.{}|3x x >【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，B ，然后求交集即可.【详解】根据题意，{}{2=5+6>0=>3A x x x x x -或}<2x ，{}{}|10|1B x x x x =-<=<，则{}|1A B x x ⋂=<.故选：A.2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.已知数列{}n a 满足：11a =且()110N 1n na n a *++=∈+，则2018a =（）A.2B.12-C.0D.1【答案】B 【解析】【分析】由11a =计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到2018a .【详解】因为11a =，111n na a +=-+，N n *∈，所以211112a a =-=-+，321121112a a =-=-=-+-，43111112a a =-=-=+-，故数列{}n a 为周期是3的数列，所以201836722212a a a ⨯+===-，故选：B 4.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A.65B.1C.35D.15【答案】A 【解析】【详解】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5.函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b << B.a b c <<C.b<c<a D.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<<，0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．7.已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.55C.33D.【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．8.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>,()3ln3f =-，则不等式()0xf e x +>的解集为A.()3,e +∞ B.()30,e C.()ln3,+∞ D.()3ln3,e 【答案】C 【解析】【分析】令()()ln g x f x x =+，()0,.x ∈+∞在()0,+∞上的函数()f x 满足()x 10f x '+>，可得()()1'0xf x g x x'+=>，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，又()()33ln30g f =+=，进而得出解集．【详解】令()()ln g x f x x =+，()0,x ∈+∞．在()0,+∞上的函数()f x 满足()x 10f x '+>,()()()11''0xf x g x f x x x'+∴=+=>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()()33ln30g f =+= ，∴不等式()()03g x g >=的解集为：3x >．而不等式()0xf ex +>满足：3xe>，即ln3x >．∴不等式()0x f e x +>的解集为()ln3,+∞．故选C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（）A.71a =B.130S = C.7S 最小D.58S S =【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列公式化简得到70a =，A 错误，计算137130S a ==，B 正确，当0d <时不满足，C 错误，计算85730S S a -==得到D 正确，得到答案.【详解】1263a a S +=，则()1113615a a d a d ++=+，化简160a d +=，即70a =，A 错误；()1311371131302S a a a =+⨯==，B 正确；当0d <时，8787777S S a S a d S d S =+=++=+<，C 错误；67878530a a S S a a -=++==，即58S S =，D 正确.故选：BD10.下列叙述中正确的是（）A.{}0N⊆B.若x A B ∈ ，则x A B ∈UC.已知a R ∈，则“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件D.命题“x Z ∀∈，20x >”的否定是“x Z ∃∈，20x <”【答案】ABC 【解析】【分析】根据自然数集的定义判断A ，根据交集、并集的定义判断B ，根据充分条件、必要条件的定义判断C ，根据全称量词命题的否定判断D ；【详解】解：对于A ：因为0N ∈，所以{}0N ⊆且{}0N Ü，故A 正确；对于B ：根据x A B ∈ ，所以x A ∈且x B ∈，所以x A B ∈U ，故B 正确；对于C ：由b a a b <，即0b a a b -<，即220b aab -<，即()()0a b a b ab+->，当0a b <<时，0a b +<，0a b -<，0ab >，所以()()0a b a b ab+->，即b a ab<，故必要性成立，由b a a b <不一定得到0a b <<，如0a b >>时b a a b <也成立，故“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：命题“x Z ∀∈，20x >”的否定是“x Z ∃∈，20x ≤”，故D 错误；故选：ABC11.将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，则（）A.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式B.直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C.函数()f x 是周期为π的奇函数D.函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】先求出()f x 的解析式，对四个选项一一验证：对于A ：直接利用解析式验证；对于B ：直接求出对称轴方程进行验证；对于C ：利用奇函数的定义进行否定；对于D ：直接求出函数()f x 的递减区间.【详解】由函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，所以()5cos 2cos 2436f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A ：()5cos 2cos 2=sin 24363f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：()sin 23x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要求()y f x =的对称轴，只需令()232x k k Z πππ+=+∈，当k =1时，解得：712x π=，所以直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ：()5cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为()()55cos 2cos 266f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误；对于D ：要求函数()f x 的递减区间，只需52226k x k ππππ≤+≤+，解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，即函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BD12.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在3(,3-∞-，3,)3+∞上单调递增，33(,33-上单调递减，所以33x =±是极值点，故A 正确；因323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得x =，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y =_____.【答案】[1,7]-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．【答案】6【解析】【详解】12,44,12lr l r l r ==∴==∴扇形的周长为26l r +=15.已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______.【答案】(,4]-∞【解析】【分析】令()24f x x ax =-+，则对称轴为2ax =，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三种情况讨论可得.【详解】解：令()24f x x ax =-+，则对称轴为2a x =，要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()240f x x ax =-+≥当12a x =≤时()2114f a =-+≥解得2a ≤；当132a x <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅；综上可得：(,4]a ∈-∞故答案为：(,4]-∞【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则21S __________．【答案】361【解析】【分析】将n 按照奇偶分别计算n a ：当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，2438n n n a ++=，11102113212420(...)(...)S a a a a a a =+++++个个计算得到答案.【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，当n 为偶数时，42n n a +=，当n 为奇数时，1=1a ，3=3a ，2-132n n n n n a a a a ++=+=+，312a a -=，533a a -=，12n n n a a -+-=，2438n n n a ++=，11102113212420(...)(...)S a a a a a a =+++++ 个个136...66(345...12)28675361=+++++++++=+=（）解法二：当*21()n m m N =-∈时，221(1)22n m m m m m a a -++===，当*2()n m m N =∈时，22n m a a m ==+，11102113212420(...)(...)S a a a a a a =+++++ 个个222110(312)[(12...11)(12...11)]22⋅+=+++++++1111223111127525333753612622⨯⨯⨯=⨯+⨯+=++=【点睛】本题考查了数列的前N 项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π3.【解析】【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n n n b a log a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）()1212n n n ++-【解析】【详解】（1）由题意可得32421a a a +=+（），即2222214a a a +=+（），解得：22a =，∴2112a a ==，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）121log 2n n n n b a a n -+=+=+，12112312320222n n n T b b b b n -=+++⋯+=+++⋯+++++⋯+（）（）=()112212n n n +-+-=()1212n n n ++-．19.已知函数()2xf x e x=-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围【答案】(1)x+y-1=0.(2)22ln 22a e -<≤-.【解析】【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2)函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=-又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=-即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减；当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增.所以()()min ln222ln2g x g a ==--.又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.20.已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122nn a n =+-，1122nn b n =-+．【解析】【分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，()112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，(112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222nn n n n n b a b a b n =+--=-+．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.已知①2a =，②4B π=，③c =在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，且满足()())sin sin sin b a B A c B C-+=-（1）求角A 的大小；（2）已知_______，_______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理对已知的式子变形化简可得222b c a +-=，再利用余弦定理可求出角A 的大小；（2）若选择条件①和②，由正弦定理可求出b ，从而可求出ABC 的面积；若选择条件①和③，由余弦定理可求出b ，从而可求出ABC 的面积；若选择条件②和③，由正弦定理结合已知条件可得sin sin c C b B≠，从而可这样的三角形不存在【详解】解：（1）()())sin sin sin b a B A cB C -+=- ，∴由正弦定理可得：()())b a b a cc -+=-，即222b c a +-=，22233cos 222b c a A bc bc +-∴===，0A π<< ，6A π∴=．（2）方案一：选择条件①和②，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin a Bb A⋅==可得ABC 的面积117sin 2sin 1221243S ab C πππ⎛⎫==⨯⨯=+=+ ⎪⎝⎭．方案二：选择条件①和③，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2224126b b b =+-，可得b =，可得c =，ABC的面积11123sin 2227S bc A ===．方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由（1）6A π=，则64C πππ=--由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，由③可得c b=，而()sin 18075sin 31sin sin4522222C B ︒-︒︒+︒==︒，则sin sin c C b B≠，所以这样的三角形不存在．22.已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1222n m +++< ，求m 的最小值．【答案】（1）1a =；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点，列方程解得1a =；（2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得2111111e 222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知实数m 的最小值为3.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0+∞，.①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫<⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意；②若0a >，由()'1a x af x x x-=-=知，当()0,∈x a 时，()'0f x <；当()，+x a ∈∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()+a ∞，单调递增，故x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点.由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1.（2）由（1）知当()1,∈+∞x 时，1ln 0x x -->.令112n x =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而221111111ln 1ln 1ln 1112222222nn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故2111111e 222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．第17页/共17页。
高三数学等差数列选择题专项训练知识点及练习题附解析(1)
一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 解析：C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故选：C3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107C ．109D ．105解析：B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B.4．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．8解析：A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A5．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．45解析：D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2m B ．21m +C ．22m +D ．23m +解析：C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 7．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．16解析：C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C8．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．9解析：C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C9．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5SC ． 6SD ． 7S解析：B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .10．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．675解析：A 【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式， 2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.11．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝2解析：C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C12．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A13．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100C ．90D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C14．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155C ．141D ．139解析：B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解.【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B.15．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==， 所以33810371178b b b b b b b ===. 故选：B.二、等差数列多选题16．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列 C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列 解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.19．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.20．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 21．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．1055a =B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=解析：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.23．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥ 解析：BC【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--， 解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <解析：AC【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题25．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确； 10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>， 所以310S S ≠，故选项C 不正确； 当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.。
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高三数学——选择题的解法
一、高考要求
选择题在高考试卷中题目多、占分比例高，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点． 一般是容易题或中档题，个别题属于较难题．在解答选择题时应突出一个“选”字，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取．解答选择题的常用方法有：直接法、排除法（也称筛选法，淘汰法）、验证法、分析法、特例法、估算法、图解法． 二、典型例题
例1、过抛物线y=ax 2
（a>0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则q 1p
1+
等于（ ）A ）2a B ）a
21
C ）4a
D ）a
4 解析：直接计算，运算量太大。
取a=1/4，则原抛物线方程为x 2
=4y ，焦点F （0，1），取过F 点且与x 轴平行的直线y=1，易知p=q=2，所以q
1
p
1+=1，当a=1/4时，选择项中只有（C ）为1
练习： ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数=m ．
解析：设ABC ∆为一个直角三角形，则O 点斜边的中点，H 点为
直角顶点。
例2 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为
其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
解析：：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，
222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-∵1cos 1θ-<≤，∴
(]1,3e ∈
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到
等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。
练习：设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1-
解析：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（如取特殊值解也可以）
例3 已知向量(2,0)OB =u u u r ，向量(2,2)OC =u u u r
，向量)CA αα=u u u r ，则向量OA u u u r
与向量OB u u u r
的夹角的取值范围是 （ ）
（A ）[0，
4π] （B ）[4π，512π] （C ）[512π，2π] （D ）[12π，512
π] 解析：（数形结合法）如果纯粹从代数角度来思考，由向量数量积的计算公式可得：
cos OA OB
OA OB
θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而根据三角函数及函数的地有关知识来确定夹角的范围，比较繁琐，如
果能考虑到(2,2)OA OC CA αα=+=u u u r u u u r u u u r
，可知点A 在以（2,2）
径的圆上，设向量OA u u u r 与向量OB u u u r 的夹角为θ，由图可知4646
ππππ
θ-≤≤+，故选D.
例4如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面
11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的
图象大致是（ ）
解析: 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汰选项A 、C ；P 点移动时，x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D 。
练习函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()2
2
y x x π
π
=-
<<
是偶函数，
可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.
过关检测
1．已知R a R x ∈∈,，a 为常数，且)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=
+，则函数)(x f 必有一周期为
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
（ ）（A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）5a
2．若0||4
π
α<<
，则（ ）
（A ）sin2α>sinα （B ）cos2α<cosα （C ）tan2α<tanα （D ）cot2α<cotα
3．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为A ．132 B ．3132 C ．532
D ．
15
4．已知tan α , tan β 是方程x 2
+ 3 3 x + 4 = 0的两根，且α , β ∈ (－π2 , π
2
)，则α + β =
(A) π
3
(B) －2π3 或π3
(C) 2π3 或－π
3
(D) －2π
3
5．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，ca ，ab ，bc 成等比数列，且15a b c ++=， 则a = A ．20- B ．5
C ．5-
D ．20
6．如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱DC 的中点，则1D P 与1BC 所在直线 所成角的余弦值等于 A ．
45 B ．10
C ．12
D ．
5
7．已知函数23()log log 2f x a x b x =++且1
()42008
f =，则(2008)f 的值为
A ．4-
B ．2-
C ．0
D ．2
8．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图像关于直线3
x π
=对称；③在[,]63
ππ
-
上是 增函数”的一个函数是 A ．sin()26x y π=+
B ．cos(2)3y x π=+
C ．sin(2)6y x π=-
D ．cos(2)6
y x π
=- 9．已知圆2
2
(2)36x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，(2,0)N ，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10．斜率为2的直线l 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，且与双曲线的左右
两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 A ．2e <
B ．13e <<
C ．15e <<
D ．5e >
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且OP a OM a ON 231+=（直线Mp 不过点O ）
，则32S 等于（ ） A. 15
B. 16
C. 31
D. 32
12．已知ABC V ，如果对一切实数t ，都有||||BA tBC AC -≥u u u r u u u r u u u r
，则ABC V 一定为
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．与t 的值有关
13．双曲线22
221x y a b
-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为
22a ，则两条渐近线的夹角为 （ ）A ．ο
90 B ．ο
60 C ．ο
45 D ．ο
30 14．定义在-+∞⋃∞（，0）（0，）上的奇函数)(x f 在+∞（0，）上为增函数，当0x >时，)(x f 的图像如图所示，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集是
（ ）
A ．(,3)(0,3)-∞-⋃
B ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞
C ．(3,0)(3,)-⋃+∞
D ．(3,0)(0,3)-⋃
15．如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-012020
22y y x y x 上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上，则PQ 的最
小值为
A ．1.5
B ．31-
C ．122-
D ．12-
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
B
B
D
D
B
C
C
B
D
B
C
题号 13 14 15 答案 A
D
A
感谢您的阅读，祝您生活愉快。