算法分析与设计第1章

计算机B+合并排序算法(c2=50)，则计算机B花的时间为：
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1.1.2 算法及其重要性质
• 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
• 算法是若干指令的有穷序列，满足性质：
(1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条 指令的时间也是有限的。
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1.1 算法的基本概念
• • • • • 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 为什么要学习算法 算法及其重要性质 算法的描述方法 问题求解的一般过程 重要的问题类型
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1.1.1
为什么要学习算法
理由1：算法——程序的灵魂 问题的求解过程： 分析问题→设计算法→编写程序→整理结果 程序设计研究的四个层次： 算法→方法学→语言→工具 理由2：提高分析问题的能力 算法的形式化→思维的逻辑性、条理性
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⑷ 伪代码——算法语言
伪代码（Pseudocode）：介于自然语言和 程序设计语言之间的方法，它采用某一程序 设计语言的基本语法，操作指令可以结合自 然语言来设计。 优点：表达能力强，抽象性强，容易理解
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欧几里德算法 1. r = m % n; 2. 循环直到 r 等于0 2.1 m = n; 2.2 n = r; 2.3 r = m % n; 3. 输出 n ;
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算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
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算法的时间复杂性
• （1）最坏情况下的时间复杂性
Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n }
• （2）最好情况下的时间复杂性
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参考书2
算法导论(原书第3版)
Thomas H.Cormen 等著, 殷建平 等译
机械工业出版社
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课程主要内容
第1章 算法概述 第2章 递归与分治策略 第3章 动态规划 第4章 贪心算法 第5章 回溯法 第6章 分支限界法
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第1章 算法概述
学习要点:
•1.1 理解算法的基本概念。 •1.2 掌握算法的复杂性分析。 •1.3 理解NP完全性理论相关知识。
• f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))；
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• （2）反身性：
• f(n)= (f(n))；
• f(n)= O(f(n))； • f(n)= (f(n)). • （3）对称性： • f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . • （4）互对称性： • f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
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• （5）算术运算：
• O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ；
• O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)+g(n)) ；
• O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ；
• O(cf(n)) = O(f(n)) ； • g(n)= O(f(n)) O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。
⑤ 重新执行第②步。
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⑵ 流程图
优点：流程直观 缺点：缺少严密性、灵活性
使用方法：描述简单算法
注意事项：注意抽象层次
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欧几里德算法
开始 输入m和n
r=m % n r=0
N
Y
m=n；n=r 输出n 结束
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⑶ 程序设计语言
优点：能由计算机执行
缺点：抽象性差，对语言要求高
使用方法：算法需要验证 注意事项：将算法写成子函数
• 算法——非递归算法、递归算法
• 例：顺序搜索算法
template<class Type> int seqSearch(Type *a, int n, Type k)
{
for(int i=0;i<n;i++) if (a[i]==k) return i;
return -1;
}
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非递归算法分析的一般步骤：
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欧 几 里 德 算 法
#include <iostream.h> int CommonFactor(int m, int n) { int r=m % n; while (r!=0) { m=n; n=r; r=m % n; } return n; } void main( ) { cout<<CommonFactor(63, 54)<<endl; }
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1.1.3 算法的描述方法
⑴ 自然语言
优点：容易理解
缺点：冗长、二义性
使用方法：粗线条描述算法思想
注意事项：避免写成自然段
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欧几里德算法
① 输入m 和n； ② 求m除以n的余数r；
③ 若r等于0，则n为最大公约数，算法结束；
否则执行第④步；
④ 将n的值放在m中，将r的值放在n中；
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算法应用
• • • • • • • ™ 人类基因数据库分析 因特网信息管理 ™ 电子商务：加密/解密，保护隐私 ™ 火车、航班调度 ™ 大科学计算 ™ 应用软件 ™ 实际应用。。。
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算法可以看做一项技术
• ™ 算法可以看作是一项技术
• 例 对于排序问题（问题规模：n=106）
插入排序算法：复杂度c1n2 合并排序算法：复杂度c2nlog2n 计算机A每秒能执行10亿条指令 计算机B每秒能执行1000万条指令 计算机A+插入排序算法(c1=2)，则计算机A花的时间为：
• （1）Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n }=O(n)
• （2）Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n }=O(1)
• （3）在平均情况下，假设：
(a) 搜索成功的概率为p ( 0 p 1 )；
(b) 在数组的每个位置i ( 0 i < n )搜索成功的概率相同 均为 p/n。
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渐近分析记号在等式和不等式中的意义
• f(n)= (g(n))的确切意义是：f(n) (g(n))。
• 一般情况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n))表示(g(n)) 中的某个函数。 • 例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + (n) 表示 • 2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，其中f(n) 是(n)中某个函数。
0 f(n) cg(n) }
• （2）渐近下界记号
(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有： 0 cg(n) f(n) }
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• （3）非紧上界记号o
o(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对
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算法分析中常见的复杂性函数
• 最常见的多项式时间算法的渐近时间复杂度 O(1)＜O(log n)＜O(n)＜O(nlog n)＜O(n2)＜O(n3)
• 最常见的指数时间算法的渐近时间复杂度
O(2n)＜O(n！)＜O(nn)
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小规模数据
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中等规模数据
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1.2.3 非递归算法的分析
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template<class Type> void insertion_sort(Type *a, int n) { Type key; // cost for (int i = 1; i < n; i++){ // c1 key=a[i]; // c2 int j=i-1; // c3 while( j>=0 && a[j]>key ){ // c4 a[j+1]=a[j]; // c5 j--; // c6 } a[j+1]=key; // c7 } }
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例：欧几里德算法——辗转相除法求两 个自然数 m 和 n 的最大公约数
m
n
欧几里德算法
r
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算法与程序的区别
• 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
• 程序可以不满足算法的性质(4)。
• 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不
是一个算法。
• 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由 操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程 序得到输出结果后便终止。
• t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。
• 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)
略去低阶项留下的主项。它比T面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。
• （1）渐近上界记号O
O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
1. 决定用哪个（或哪些）参数作为算法问题规模的 度量 2. 找出算法中的基本语句 3. 检查基本语句的执行次数是否只依赖于问题规模 4. 建立基本语句执行次数的求和表达式 5. 用渐进符号表示这个求和表达式
• 关键：建立一个代表算法运行时间的求和表达式， 然后用渐进符号表示这个求和表达式。
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所有n n0有：0 f(n)<cg(n) } 等价于 f(n) / g(n) 0 ，as n。