工程光学第二章2(补充)复习资料

2.2.2晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
【基本要求】 1）张量的定义；2）各向异性介质的极化性质 1、张量概念的引入 物理量


标量：温度（T），质量（m）； 只有大小，没有方向 矢量：电场强度（E），电极化矢量（P）； 有大小，有方向
例1. P （极化强度）和E （电场强度）的关系 在各向同性介质中， P和E同向
T2
T4
T5
T6
注：在以后我们所遇到的用二阶张量描述的物理性质属于对称二阶张量
表2-3 各阶张量的特点
张量阶数 分量数目 每个分量与坐标的关系
零阶张量
一阶张量（矢量） 二阶张量（张量）
1
3 9
与坐标无关
与一个坐标轴无关 与两个坐标轴无关
2.2.3 晶体宏观对称性对晶体物理性质的影响
1）晶体的宏观对称性；2）如何利用它简化矩阵； 3）对称性对晶体物理性质的影响 1）晶体的物理性质与晶体的微观结构有着极密切的关系. 2）晶体的物理性质是用张量描述的. 3）因此晶体的对称性对描述物理性质的张量分量的数目 和大小—定存在着确定的制约关系。
E的每一个分量对P的每一个分量都有贡献
P和E的关系由9个 常数，或一个物理量 的9个分 量来决定，这9个分量有规则的排列成一个3x3的矩 阵 二阶张量，称为极化系数张量 矩阵表示法
P 11 1 P o 2 21 P3 31
3、晶体的双折射
双折射定义 所谓双折射是指光在各向异性介电 晶体中传播时，分为两束偏振方向不 同的光，向两个方向折射。
分析：波矢为 k i 的一平面波以 角入射到单轴晶体表面 的情况。
在给定方向上，存在两个可能的传播矢量 k e 和 k o 它
们之间满足边界条件：
ki r k e r k o r
★各向异性介质中电极化性质
① P的每一个分量都与 E 的三个分量存在着线性关系。
②坐标系确定后 11 , 12 ,..., 33 均为常数。 ③各向异性介质中的电极化性质必须用九个数才
能完整地描述。
结论： 各向同性：指 P 与 E 的关系式与方向无关。各向异性 中，用极化率张量描述。
11 0 31 0 22 0 31 0 33
双轴
11 0 0 0 22 0 0 0 33
11 0 0 0 11 0 0 0 33 11 0 0 0 11 0 0 0 11
单轴
各向同性
结论： 1）考虑对称性后，低级晶族的
有三个独立的分量
x y z
x 0 0 0 0 0 z
3）高级晶族
各向同性晶体
第三部分 二、晶体光学的 基础知识
x3
n3 折射率椭球 （光率体） n1
0 n2
x2
x1
主折射率 n1 = n2 = n3 = n0, 各向同性介质或立方晶体：主介电系数 1 ＝ 2 ＝3 ，
单轴晶体：1 ＝ 2 ＝3 ， n1 = n2 = no , n3 = ne = no
P o E
线性关系
P
E
：比例常数，极化率或极化系数
在各向异性介质中，P和E一般不同向 若： P P i P2 j P k 1 3 有：

E E1i E2 j E3k
P o 11 E1 12 E2 13 E3 1
E
P
P2 o 21 E1 22 E2 23 E3 P3 o 31 E1 32 E2 33 E3
它是一个二阶张量。其中： ij
ji
1 6 5
6 2 4
5 4 3
总可以通过坐标系的恰当选择使得张量的非对角元素等于零。 这样选择的坐标系称为晶体的主介电坐标系. 在主介电坐标系中上式简化为：
1 0 0 0 0 0 3
nij 1 ij 0
各向异性晶体的折射率分布不均匀，在主介电坐标系下， 晶体的折射率随空间的分布可用以下方程来表示：
x y z 2 2 1 2 n1 n2 n3
2
22ຫໍສະໝຸດ 2.2.3 晶体光学特性的几何表示
1 折射率椭球 也叫光率体。
x y z 2 2 1 2 n1 n2 n3
补充一个结论 根据各晶系是否具有高次旋转轴和所具有高次旋转 轴的 数目可进一步将晶体划分成三个晶族。 1）凡无高次旋转轴的晶体属低级晶族。 2）有1个高次旋转轴(包括3、4、6次旋转轴)的晶体属 中级晶族。 3）有一个以上高次旋转轴的晶体届于高级晶族。
三个晶族的晶体在光学性质上分别与双轴晶体，单
轴晶体与各向同性晶体相对应。
应于两种本征光波：其中一种偏振光的折射率与 无
关，相应相速也与 无关．其D与E方向一致，光波性质 与各向同性介质中的一样，因而称寻常光no ，相应折射 率就称寻常折射率；而另一种偏振光的折射率满足方程
1 cos2 sin 2 2 2 [ne ( )] n0 ne2
称该偏振光为非常光。表示e光折射率与角度有关。
【结论】
这样选择的坐标系称为晶体的主介电坐标系.
光辐射场对晶体的极化影响综合效果集中表现为介 电常量的变化，由电磁场物质方程：
D 0 E P E
11 21 31
12 22 32
13 23 33
张量

张量是个物理量，在直角坐标系中用若干分量来表示；

粗略的定义：二阶张量是使一个矢量与另外一个矢量产 生线性关联的物理

联系两个矢量的是一个二阶张量，二阶张量有9个分量， 可以表示成3x3的矩阵；
★张量关系式的习惯书写法
P 1 j E j 1
j 1
3
P2 2 j E j
面内两个本征偏振的折射率 n I 和 nII 之差
n nI nII
对于单轴晶体：
n ne ( ) no
结论：
n越大，则说明沿该方向传播的光双折射现象越明显。
相速度
单一频率的正弦电磁波波的等相面（例如波峰面或波
谷面）在介质中传播的速度。
v=c/n， c为自由空间中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射 指数。 问：O光与e光相速度相等么？
（3）对称性 晶体的宏观性质一般说是各向异性的，但这并不排斥在几
个特定方向上可以出现异向同性的现象。这种相同性质， 在不同方向上有规律地重复出现，称为对称性。
（4）最小内能性 任何物体都具有一定的内能。晶体是具有格子构造的
固体；其内部质点呈现规则排列，这种规则排列是质
点间的引力相斥力达到平衡的结果。
于是入射晶体界面上的光波产生双折射：
ki sin i ke sin 2e ko sin 2o
对应地，用折射率表示为：
ni sin i ne sin 2e no sin 2o
双折射率
沿某个方向 传播的光其双折射率定义为与 k 垂直的平
12 22 32
13 E1 23 E2 33 E3
P o 11 E1 12 E2 13 E3 1
P2 o 21 E1 22 E2 23 E3 P3 o 31 E1 32 E2 33 E3
e光和o光的振动方向判断：
1）o光—电矢量的振动方向垂直于o光主平面，因而 o光的电矢量垂直于光轴。 e光—电矢量的振动方向平行于主平面，即电矢 量在e光主平面内。
2）入射面与主截面重合 时，线偏光入射时，有：
注：主截面--入射界面的法线与光轴形成的平面。 主平面--晶体中的光线与光轴所形成的平面。
2
0
晶系
在主轴坐标系中
在非主轴坐标系中 光学分类
11 12 13 12 22 23 13 23 33
各 晶 系 的 介 电 张 量 矩 阵
三 斜
单 斜 正 交 三方 四方 六方 立 方
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3
（1）离子晶体 nacl
（2）原子晶体
二氧化硅
（3）混合型晶体 石墨晶体
（4）分子晶体
二氧化碳晶体：干冰
2 晶体的性质
（1）自限性
所谓自限性是指晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面 体的能力。 晶面数+晶顶数＝晶棱数+2
（2）均匀性和各向异性 晶体的均匀性是指晶体在不同部位上具有相同的物理性质。
2.2.1 晶体的基本概念与结构
【基本要求】 1）晶体的性质；2）晶胞的定义 1、晶体的基本概念 1）定义 构成物质的微粒（分子、原子、离子等）有规则地 排列形成有规则的几何外形的物质。且这种有规则排 列是长程有序的。 2）几种常见的晶体结构 分子晶体；离子晶体；原子晶体；混合型晶体；金 属晶体
★举例
D 的一个方向。矢径长度表示沿矢径方向振动的光
波的折射率。
2）对于任意给定的波矢 K ，利用折射率椭球可求光波
D 的偏振方向及相应折射率
1）低级晶族的折射率椭球特点： 有两条光轴，这种晶体称为双轴晶体。 2）中级晶族三个主折射率中有两个主折射率相等， 这种晶体仅有一条光轴，这种晶体称为单轴晶体。
均匀性： 晶体构造中所有质点都是在三
度空间作周期性重复的、因此
晶体不同部位的质点和排列方 式相同，”即晶体的宏观性质
与观察位置无关，这就是晶体
的均匀性。 晶体的各向异性是由 于晶体构造中各个方 向上质点的性质和排 列方式不同所引起。
各向异性：
所谓各向异性就是晶体的宏观性质随观察方向不同而有 差异。