概率试题答案

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A卷

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广州大学 2009---2010 学年第一学期考试卷

课程《概率论与数理统计》考试形式（闭卷，考试）

学院专业、班级学号姓名

题次一二三四五六总分评卷人

分数151516241416100

评分

一.填空题（每小题3分，共计15分）

1．设A与B为两事件, P(A)=P(B)=, 且P(A∪B)=, 则P(AB)=

2．设A与B为两事件, P(A)=1-P(B)=, 且P(A∪B)=, 则P(A|B)=

3．口袋中有4个白球3个黑球, 从中任取两个, 则取到同颜色球的概率为 37 4．设X服从正态分布, P(X 0)=, P(X≤2)=,则P(|X|≤2)= 5．设X与Y相互独立, D(X)=1, D(Y)=2，则协方差cov(2X+Y, X-2Y)= 2 二．单项选择题（每小题3分，共计15分）

1．设A表示事件“明天和后天都下雨”，则其对立事件A表示【 B 】

(A)“明天和后天都不下雨” (B)“明天或者后天不下雨”

(C)“明天和后天正好有一天不下雨” (D)“明天或者后天下雨”

2．设事件A与B独立且0P(A)≤P(B)1，则下列等式中有可能成立的是【 C 】(A) P(A)+P(B)=P(A∪B) (B) P(A)=P(A∩B)

(C) P(A)+P(B)=1 (D) P(B)=P(A∪B)

3．设连续随机变量X 的分布函数为F (x ), a 为正数, 则P (|X | a ) 等于【 D 】

(A) F (a ) + F (-a ) (B) F (a ) + F (-a ) -1 (C) F (a ) - F (-a ) (D) 1- F (a ) + F (-a )

4．设X 与Y 为两个随机变量，则下列选项中能说明X 与Y 独立的是【 D 】

(A) E (X+Y ) = E (X ) + E (Y ) (B) E (XY ) = E (X ) E (Y ) (C) D (X+Y ) =D (X ) + D (Y ) (D) 对a , b 有P (X ≤a ,Y ≤b )=P (X ≤a ) P (Y

≤b )

5. 设二维随机变量(X , Y ) 服从某个圆形区域上的均匀分布, 则一定有【 A 】

(A) X 与Y 不相关 (B) X 与Y 相互独立 (C) X 与Y 同分布 (D) X 与Y 都服从均匀分布 三．解答下列各题（每小题8分，共计32分）

1. 学生在做一道单项选择题时，若他知道正确答案则一定答对，否则就从4个选项

中随机选择一项作答. 设学生知道正确答案的概率是, 求他答对题目的概率. 解: 设A 表示学生答对题目, B 表示学生知道正确答案.

)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=

4分

=

1+

=

8分

2. 某人投篮的命中率为. 求他投篮3次当中至少投中2次的概率. 解: 以X 表示3次投篮投中的次数, 则X ~ b (3, . P (X 2) = P (X =2) + P (X = 3)

4分 =

8分

32237.03.07.0+⨯=C

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1

,01,1)(2

x x x

x f

3．设有200台机器同时独立工作, 每台机器出现故障的概率为, 求至少有2台机器出现故障的概率.

解: 以X 表示出现故障的机器台数, 则X ~ b (200, .

则 X 近似服从泊松分布, 参数 =200=2. 2分

P (X 2) = 1 P (X =0) P (X = 1)

1 e

2 2e

2

4

分

= 1 3e

2

8分

4．设随机变量X 的密度函数为 , 求Y =1/X 的数学期望. 解: 4分 8分

四.(本题12分) 有4个外观完全相同的盒子, 其中2个装有气球. 随机打开一个盒

子, 若没有气球则从其余的盒子中随机选择一个打开, 如此继续, 直到发现气球为止.

(1) 求打开第3个盒子才找到气球的概率.

(2) 以X 表示找到气球时打开的盒子数, 写出X 的分布律. (3) 计算X 的数学期望和方差.

解: (1) 设A 1, A 2分别表示第1次和第2次打开空盒子. 所求概率为

6

1

3121)|()()(12121=

⨯==A A P A P A A P 4分

X

1 2 3 概 率

21 31

6

1 8分

(3)

E (X ) =1 12+2 13+3 1 6 =5 3

dx

x f x Y E ⎰∞⋅⋅=1)(1

)(2

1113=⋅=⎰∞dx x

10分

E (X 2) =12 12+22 13+32

1 6 =103

D (X )

=E (X 2)

E (X ) 2

=103 (53)

2

=59

12分

五．(本题14分) 已知 (X ,Y )服从平面区域D ={(x ,y ): x +y 1, x >0, y >0} 上的均

匀分布.

(1) 写出(X ,Y )的联合密度函数f (x ,y ). (2)分别求1

X 和Z =X +Y 的分布函数.

(3) 计算X 与Y 的相关系数.【提示: 2cov(X , Y ) =D (X +Y )

D (X )D (Y )】

解: (1)⎩⎨⎧≤+>>=其它,0;

1,0,0,2),(y x y x y x f

3分

(2) F 1X (t ) = P (1X t ) = P (X 1 t ) =区域D ∩{(x ,y ): x 1 t }的面

积 2.

当0

t 1时, D ∩{(x ,y ): x 1 t }的面积= t 22, 故

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=-.1,1;

10,;0,0)(21t t t t t F X 6分

F Z (t ) = P (X +Y t ) =D {(x ,y ): x + y t }的面积 2. 即

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=.1,1;

10,;0,0)(2t t t t t F Z 9分

(3) 由前面知1X 与Z =X +Y 同分布, 且易知X 与Y 同分布, 故

D (X +Y ) =D (1X ) =D (X ) =D (Y ), 2cov(X , Y ) =D (X +Y )

D (X )D (Y ) = D (X )

21

)(),(cov )

()(),(cov -===

X D Y X Y D X D Y X XY ρ

14分