(完整版)浙教版七年级下第六章-因式分解-知识点+习题.doc
浙教版初中数学七年级下册第六章《因式分解》单元复习试题精选 (585)
17．(2 分)多项式 9x2 +1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式
可能是
(只需填写一个).
18．(2 分)估算方程 − 2 x = 2 的解是 ． 33
评卷人 得分
三、解答题
19．(7 分)下面是某同学对多项式 (x2 − 4x + 2)(x2 − 4x + 6) + 4进行因式分解的过程.
C．10x2 − 5x = 5x(2x −1) D． x2 −16 + 3x = (x + 4)(x − 4) + 3x
5．(2 分)下列多项式：①16x5-x；②（x-1）2-4（x-1）+4；③（x+1）4-4x（x+1）+4x2；④-
4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④
解：设 x2 − 4x = y ， 原式= ( y + 2)( y + 6) + 4 (第一步) = y2 + 8y +16 (第二步)
= ( y + 4)2 (第三步)
= (x2 − 4x + 4)2 第四步). 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”). 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 . (3)请你模仿以上方法尝试对多项式 (x2 − 2x)(x2 − 2x + 2) +1进行因式分解.
20．(7 分) 如图，现有正方形甲 1 张，正方形乙 2 张，长方形丙 3 张，请你将它们拼成一个
浙教版七年级(下)第六章《因式分解》测试卷及答案
浙教版七年级（下）第六章《因式分解》测试卷姓名__________得分___________一、填空题（每小题3分，共30分）1.方程340x x -=的解是_____________________.2.一个多项式因式分解结果为()()33a a a -+-，则这个多项式是_______________.3.若249x mx -+是完全平方式，则m 的值是____________.4.用简便方法计算： 22001-4002×2000+20002=_____________.5.计算：()()22211x x y x y -+-÷+- =___________________.6.若()267521x x x A -++=+ ，则A=_____________.7.已知,x y a xy b +==，则22xy yx +=_____________.8.一个正方形面积为244x x ++ (x>0),则它的边长为___________.9.已知()22222a ab b a +++-=0，则b=___________. 10.计算： ()()222n n n n n n x x y y x y -+÷- (n 为正整数)=______________.二、选择题（每小题3分，共30分）11.下列从左到右的变形是因式分解的是…………………………（ ）A.(a+3)(a —3)=a 2-9B.()2241026x x x ++=++C.()22693x x x -+=-D.()()243223x x x x x -+=-++12.若()()2x px ab x a x b -+=++，则p=…………………………（ ）A. a b -+B. a b -- C . a b - D. a b +13.把()()()22229124x y x y x y -+-++因式分解是………………（ ） A ()()3232x y x y -+ B.()25x y + C.()25x y - D. ()252x y -14.观察下列各式，是完全平方式的是……………………………（ ）①2222()222a b c ab bc ac +++++ ②2242025x xy y ++③4224816x x y y -- ④42212a a a ++A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④15.下列因式分解正确的是………………………………………（ ）A. ()222m n m n +=+B.()2222a b ab b a ++=+C. ()222m n m n -=-D.()2222a ab b a b +-=-16.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是………………（ ）A.()22a b --B.()()22a b ---C.()22a b ---D.22a b -+17.下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是……………（ ） A.21124x x -+ B.20.010.2m m ---C.269y y -+-D.224129a ab b ++18.()224x y z --的一个因式是……………………………………（ ）A.2x y z --B. 2x y z +-C. 2x y z ++D. 4x y z -+19.利用因式分解计算：10010122- =………………………………（ ）A. -2B. 2C. 2100D. -210020.已知a ，b ，c 是三角形的三条边，那么代数式2222a ab b c -+-的值是…………………………………………………………………………（ ）A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不能确定三、解答题（共60 分）21.把下列各式分解因式（每小题4分，共24分）：（1）22193m m --+ （2）2122p pq -（3）()233a a a --+ （4）2221xy x y --+（5）()()32m n n m m -+- （6）()()224225x y x y +--22.解下列方程（每小题4分，共8分）：（1）()22116x -= （2）390x x -=23.（5分）在边长为179米的正方形农田里，修建一个边长为21米的正方形养鱼池，问所剩余农田为多少平方米？24.（5分）化简，求值()()()()22222a b a b a ab b a b -÷++-+÷-，其中12a =，b =—2.25.（5分）已知六位数abcabc ，试判断这六位数能否被7，11，13整除，说明理由.26.（4分）若()()()22005123456789,20151995N N N +=++求的值.27.（5分）有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）.多项式：+12xy+=（ ）228.（4分）计算：2222111111112342005⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211-2004浙教版七年级（下）第六章《因式分解》测试卷（答案）一、填空题（每小题3分，共30分）1、1230,2,2x x x ===-2、39a a -+ 3 、m=±124、15、1x y --6、5-3x7、ab8、x+2 9、b=2- 10、n n x y -二、选择题（每小题3分，共30分）11、C 12、B 13、C 14、C 15、B 16、C 17、A18、B 19、D 20、A三、解答题（共60 分）21、（1） ()2139m -- （2） ()142p p q -（3）()()()311a a a -+- （4） ()()11x y x y +--+（5）()()2n m n n m -- （6） ()()373x y y x --22、（1）1253,22x x ==- （2）、1230,3,3x x x ===-23、()221792131600-=平方米 24、化简得，()25a b -=25、设六位数是abcabc ，则abcabc =1000abc +abc =1001abc ⨯=7×11×13×abc ，∴此六位数一定能被7，11，13整除.26.()()()()()2201519952005102005102005100N N N N N ++=+++-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 123456789100123456689∴=-=原式27.()()()()2222623326x y x y x y x y ++++或或或等 28. 10032005。
浙教版七年级(下)数学第6章因式分解章末小结
第6章因式分解章末小结▶类型之一因式分解的基本概念1.(2021温州期末)在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是 ()A.x2-x=x(x-1)B.x2+3x-1=x(x+3)-1C.x2-y2=(x+y)(x-y)D.x2+2x+1=(x+1)22.(2021杭州江干区期末)下面的多项式中，能因式分解的是 ()A.m2+1B.m2-m+1C.mx+nD.m2-2m+13.如果一个多项式因式分解的结果是(b3+2)·(2-b3)，那么这个多项式是()A.b6-4B.4-b6C.b6+4D.-b6-4▶类型之二因式分解4.(2021杭州)因式分解1-4y2的结果是()A.(1-2y)(1+2y)B.(2-y)(2+y)C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2y)5.将下列多项式分解因式，结果中不含有因式a+1的是()A.a2-1B.a2+aC.a2+a-2D.(a+2)2-2(a+2)+16.若9x2-mxy+16y2是完全平方式，则m=.7.(2021宁波)分解因式:x2-3x=.8.(2021温州)分解因式:2m2-18=.9.(2021杭州上城区期末)分解因式:(1)a2-6ab+9b2; (2)a2b-16b.10.分解因式:(1)-4a3b2+6a2b-2ab;(2)(x+3)2-16;(3)a2(x-y)+4(y-x);(4)x4-18x2+81.▶类型之三因式分解的应用11.设a=73×1412，b=9322-4802，c=5152-1912，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b12.如图4-X-1，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个长方形，则这个长方形较长的边长为()图4-X-1A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b13.当x=1，y=-时，代数式x2+2xy+y2的值是.14.计算:20222-2022×2021=.15.利用分解因式的方法，试说明913-324必能被8整除.▶类型之四数学活动16.如图4-X-2①所示，有A，B，C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.(1)用1张A型卡片、3张B型卡片、2张C型卡片拼成如图②所示的形状.根据图②，得多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为;(2)现用A，B，C三种不同型号的卡片拼成一个边长为2a+b的正方形(所拼图形既无缝隙，又不重叠)，则需要A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张.图4-X-217.(2021宁波期末)阅读理解并解答:【方法呈现】(1)我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以解决代数式值的最小(或最大)问题.例如:x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，则代数式x2+2x+3的最小值是，这时相应的x的值是.【尝试应用】(2)求代数式-x2+14x+10的最小(或最大)值，并写出相应的x的值.【拓展提高】(3)将一根长300 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小(或最大)值吗?若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和;若没有，请说明理由.详解详析1.B2.D3.B4.A5.C[解析] A项，原式=(a+1)(a-1)，不符合题意;B项，原式=a(a+1)，不符合题意;C项，原式=(a+2)(a-1)，符合题意;D项，原式=(a+2-1)2=(a+1)2，不符合题意.故选C.6.±247.x(x-3)8.2(m+3)(m-3)9.解:(1)原式=a2-6ab+(3b)2=(a-3b)2.(2)原式=b(a2-16)=b(a+4)(a-4).10.解:(1)原式=-2ab(2a2b-3a+1).(2)(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1).(3)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a+2)(a-2).(4)x4-18x2+81=(x2-9)2=(x-3)2(x+3)2.11.D[解析] a=73×1412=343×1412;b=9322-4802=(932+480)×(932-480)=1412×452;c=5152-1912=(515+191)×(515-1 91)=706×324=1412×162.∵162<343<452，∴c<a<b.12.A[解析] 根据剪拼的过程中面积不变，可得拼成的长方形面积是(3a)2-(2b)2，将其进行因式分解，即得(3a+2b)(3a-2b)，所以这个长方形的较长的边长是3a+2b.13.[解析] 当x=1，y=-时，x2+2xy+y2=(x+y)2=1-2=2=.故答案为.14.202215.解:因为913-324=-324=326-324=324×=8×324，所以913-324必能被8整除.16.(1)(a+b)(a+2b)(2)44 117.解:(1)2-1(2)-x2+14x+10=-(x2-14x+49-49)+10=-(x-7)2+59.∵-(x-7)2≤0，∴-(x-7)2+59≤59，故代数式-x2+14x+10的最大值为59，相应的x的值为7.(3)这两个正方形面积之和有最小值.设其中一段铁丝长为x cm，则另一段铁丝长为(300-x)cm.由题意，得这两个正方形的面积(单位:cm2)之和为2+2=x2-x+752=(x-150)2+，当x=150时，两个正方形的面积之和有最小值cm2，此时另一段铁丝的长度为300-150=150(cm).。
浙教版初中数学七年级下册《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.要点四、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案．【答案与解析】解：依题意得：21x x +=，∴3223x x ++，＝3223x x x +++，＝22()3x x x x +++，＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0． 【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．221x x +-C ．21x x ++D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿； （2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+． 【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y x x -+=-- 【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。
浙教版初中数学七年级下册第六章《因式分解》单元复习试题精选 (570)
C． ( y +1)2 − ( y2 −1) D． ( y +1)2 + 2( y +1) +1
4．(2 分)下列因式分解正确的是（ ） A． m2 + n2 = (m + n)2 B． a2 + b2 + 2ab = (b + a)2
C． m2 − n2 = (m − n)2 D． a2 + 2ab −b2 = (a −b)2
27．(7 分)利用因式分解计算下列各式： (1) 872 + 87 26 +132 ；(2) 20082 − 2007 4016 + 20072
28．(7 分)探索： (x −1)(x +1) = x2 −1， (x −1)(x2 + x +1) = x3 −1， (x −1)(x3 + x2 + x +1) = x4 −1 ， (x −1)(x4 + x3 + x2 + x +1) = x5 −1， (1)试求 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 +1 的值； (2)判断 22009 + 22008 + 22007 + 22006 + + 22 + 2 +1的值的个位数是几？
A． ax − bx 与 by − ay
B． 6xy +8y2 与 −4y − 3x
C． ab − ac 与 ab − bc 评卷人 得分
D． (a −b)3 y 与 (b − a)2 x 二、填空题
16．(2 分)把多项式 x3 − 4x2 y + 4xy2 分解因式，结果为
(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1.因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，X2—9= 0, 这个方程可变形为(x+ 3)( X—3) = 0,要(x + 3)( x —3)等于0,必须并且只需(x+ 3)等于0或(x—3)等于0, 因此，解方程(x + 3)( x—3) = 0就相当于解方程x+ 3= 0或x—3 = 0 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解•这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2•因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程•其理论根据是：若A- B=吐A=0 或B= 0.【基础知识讲解】1 •只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程•分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法.2 •在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程•但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便•因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解. 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法•而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法.【例题精讲】例1 :用因式分解法解下列方程：2(1) y + 7y + 6 = 0; (2) t (2 t —1) = 3(2 t —1); ⑶(2 x —1)( x—1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0, y+ 1 = 0 或y + 6 = 0,「. y1 = —1, y2=— 6.1(2) 方程可变形为t(2t —1) —3(21 —1) = 0, (2t —1)( t —3) = 0, 2t —1 = 0 或t —3= 0,二t1= , t22=3.(3) 方程可变形为2x2—3x = 0. x(2x—3) = 0, x= 0 或2x — 3 = 0.3--X1 = 0, X2 =2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2)应用因式分解法解形如(x—a)(x —b) = c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x —e)( x—f) = 0的形式，这时才有X1= e, %= f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解:原方程变形为：2x— 1 = 1 或x — 1 = 1 .••• x i = 1, X2= 2.(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t —1)，请同学们思考？例2 :用适当方法解下列方程：—2 ------------------------------------ 2 2 2(1) ..3(1 —x) = ..27 ; (2) x —6x—19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y —15= 2y；(5)5 x(x—3) —(x—3)( x+ 1) = 0 ；2 2(6)4(3 x + 1) = 25(x —2).剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了.解：(1)(1 —x)2= , 9 , (x—1) 2= 3, x —1 = ± , 3 , • X1 = 1 + . 3 , X2= 1 — .、3 .(2) 移项，得x2—6x = 19,配方，得x2—6x+ ( —3)2= 19+ ( —3)2, (x—3)2= 28, x — 3 =± 2 ,7 ,•-X1 = 3+ 2 .7 , X2= 3— 2 7 .⑶移项，得3x —4x—1= 0,a= 3, b=—4, c =—1,•x ( 4) V( 4)2 4 3 ( 1) 2 <7--x =2 3 32 V7 2 47•• X1 = , X2 =3 32 __⑷移项，得y—2y —15 = 0，把方程左边因式分解，得(y —5)( y+ 3) = 0；•y —5= 0 或y+ 3= 0, • y1 = 5, y2 = —3.⑸将方程左边因式分解，得(x—3) :5x —(x+ 1) ]= 0, (X —3)(4 x —1) = 0,•x —3= 0 或4x— 1 = 0,c 1--X1 = 3, X2 =42 2(6)移项，得4(3x + 1) —25(x —2) = 0,2 2[2(3 x+ 1): —[ 5( x—2): = 0,:2(3 x+ 1) + 5(x —2): • : 2(3 x+ 1) —5( x —2) ]= 0,(11 X—8)( x + 12) = 0,• 11x—8 = 0 或x + 12= 0,二X1 = — , X2=—12.11说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简.(2) 直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式, 般式了.2 2 2 2 2例3:解关于x 的方程：(a — b )x — 4abx = a - b .解：⑴ 当 a 2— b 2= 0,即 | a | = | b | 时，方程为一4abx = 0. 当a = b = 0时，x 为任意实数.当| a | = | b |z 0时，x = 0. (2)当a 2— b 2^ 0，即a + 0且a — b *0时，方程为一元二次方程.分解因式，得[(a + b )x + (a — b ) ] [(a — b )x — (a + b ) ]= 0,a +b * 0 且 a — b * 0,b a a b X 1=, X 2 =a ba b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解.本题实际上是 分三种情况，即① a = b = 0 :②丨a | = | b |* 0 :③丨a | *| b | .例4:已知x 2— xy — 2y 2= 0，且x * 0, y * 0，求代数式剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出， 要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道 x 与y 的比值也可.由已知 x 2— xy — 2y 2= 0因式分解即可得 x 与y 的比值.2 2解：由 x — xy — 2y = 0,得(x — 2y )( x + y ) = 0，二 x — 2y = 0 或 x + y = 0,. x = 2y 或 x =— y .“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用.【同步达纲练习】 1•选择题(1)方程(x — 16)( x + 8) = 0 的根是()对于这种形式的方程就不必要整理成一2 2x 2 2xy 5y2 的值x 2xy 5y当x = 2y 时, 2 2 x2xy52 2 2(2y) 2 2y y 5y 5y (2y)2 2 2y y 5y 2 13y 2 5 13当x = — y 时,x 2 2xy 5y 22 2x 2xy 5y(y)22 ( y) y 5y 2 2(y) 2 ( y) y 5y y 24y 2 说明：因式分解法体现了“降次”A. X1 = —16, X2= 8B. X1 = 16, X2= —8C. X1 = 16, X2= 8D. X1 = —16, X2=—8__ 2 2 2(2)下列方程 4x - 3x — 1= 0, 5x - 7x + 2= 0, 13x - 15x + 2 = 0 中，有一个公共解是 ()方程 5x (x + 3) = 3(x + 3)解为( 方程(y -5)( y + 2) = 1的根为(22方程(x - 1) -4(x + 2) = 0 的根为()A .1 B.2 C. - 4 D. 4⑺ 已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程 x 2- 16X + 55= 0的一个根，则第三边长是 ( )A. 5B. 5 或 11C. 6D.11(8) 方程 x 2- 3|x - 1| = 1的不同解的个数是()A . 0 B. 1 C. 2 D. 32 .填空题(1)方程t (t + 3) = 28的解为 __________ .2⑵方程(2x + 1) + 3(2 x + 1) = 0的解为 _____________ .2⑶ 方程(2y + 1) + 3(2 y + 1) + 2 = 0 的解为 ____________ .⑷关于x 的方程x + (m+ n )x + mr = 0的解为 ______________⑸方程x (x - J5) =5 -x 的解为 _____________A . . x =12B. x = 2C. x = 1D.x =- 1A . X 1= 3, X 2= 3 B. 3x=-5 C.3X 1 = - — , X 2 =- 35D.3 X 1 = , X 2=- 35A . y 1 = 5, y =- 2B. y = 5C. y =-2D.以上答案都不对A. X 1 = 1, X =- 5B. X 1=- 1, X 2=- 5C.X 1 = 1, X 2= 5 D. X 1 =- 1, X 2 = 5元二次方程 x 2+ 5x = 0的较大的一个根设为 m,3x + 2 = 0较小的根设为 n ,贝U n 的值为2 (1) x + 12x = 0;2(3) x = 7x ；2⑷ x — 4x — 21 = 0;(5)( X - 1)( x + 3) = 12;2(6)3 x + 2x - 1= 0;2 2(6)(3 — y ) + y = 9；⑺(1 + , 2)x 3 — (1 — , 2)x = 0；(8) . 5 x 2— (5 2 + 1)x + ,10 = 0;201) ; (10)( x + 5) — 2( x + 5) — 8 = 0.5 .解关于x 的方程：(1) x 2 — 4ax + 3a 2= 1 — 2a ； (2) x 2 + 5x + k 2 = 2kx + 5k + 6 ；6 .已知 x 2+ 3xy — 4y 2= 0( y ^ 0)，试求 的值.3 2 2 2(3) x — 2mx- 8m = 0； (4) x + (2 耐 1)x + m + m = 0.2 (7)10 x — x — 3= 0; 2(8)( x — 1) — 4( x — 1) — 21 = 0.4 .用适当方法解下列方程:2(1) x — 4x + 3 = 0; (4) x 2— 2x — 3 = 0;2(2)( x — 2) = 256; 2(3) x — 3x + 1 = 0;⑸(2 t + 3) 2= 3(21 + 3);2(9)2 x — 8x = 7(精确到 0.x y2 2 2 2 2 27.已知(x + y)( x — 1 + y ) —12= 0 .求x + y 的值.&请你用三种方法解方程：x(x + 12) = 864.9 .已知x2+ 3x+ 5的值为9，试求3x2+ 9x—2的值.10.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h=—5(t —2)( t + 1) •求运动员起跳到入水所用的时间.11•为解方程(x2—1)2—5(x2—1) + 4 = 0,我们可以将x2—1视为一个整体，然后设x2— 1 = y，则y2= (x2—1)2，原方程化为y2—5y + 4 = 0,解此方程，得y1 = 1, y2= 4.当y = 1 时，x2— 1 = 1, x2= 2,「. x=±2 .当y = 4 时，x2— 1 = 4, x2= 5,「. x=±、5 .原方程的解为X1=—2 , x2= , 2 , X3=—：.『5 , X4 =、.. 5 .以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.(1) 运用上述方法解方程：x4—3x2—4= 0.(2) 既然可以将x2—1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1. (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D12. (1) 11=—7 , 12 =4(2)X1=—— , X2=—2(3) y’ = —1 , y2= —-(4) X1 ==—m X2=—n(5) X1==.5 , X2 =—1221 13. (1) X1 = 0 , X2=—12; (2) X1=—— , X2 = ; (3) X1 =0 , X2 =7; (4) X1==7, X2= —3; (5) X1 =—5 , X2 = 3; (6) X1 = —1 ,2 21X2 =33 1(7)x i= , X2 = —一；(8)x i= 8, X2=— 2 .5 23 5 3 54. (1) x i= 1 , X2= 3; (2) x i= 18, X2=—14;⑶x i= , X2 = ; (4) x i =3, X2=—1;2 2(5) t1= 0, t2=—3; (6) y1= 0, y2 = 3; (7) X1 = 0, X2= 2 2 —3;2(8)X1=上,X2 = . 10 ; (9) X1~ 7.24 , X2=—3.24 ; (10) X1=—1 , X2 =—7.55. (1) x2—4ax+4a2=a2—2a + 1,(x —2a)2= (a—1)2,二x—2a=± (a—1),二X1= 3a—1, X2= a+ 1.(2) x2+ (5 —2k)x + k2—5k—6 = 0,x2+ (5 —2k)x + (k+ 1)( k—6) = 0,:x—(k + 1) ] [x —(k —6)]= 0 ,二X1= k +1 , X2 = ( k—6).(3) x2—2mx^ m = 9用，(x—m)2= (3 m)2二X1= 4m X2=—2m2(4) x + (2 m^ 1) x + m m^ 1) = 0 ,(x + m [x+ ( m^ 1) ]= 0,二X1=—m X2 = —m-16. (x+ 4y)( x —y) =0,x=—4y 或x=y当x=—4y 时，—=^^ 5;x y 4y y 3当x= y 时，—=3 = 0 .x y y y7. (x2+ y2)( X2+ y2—1) —12 = 0,2 2 2 2 2(x + y) —(x +y) —12 = 0,(x2+ y2—4)( x2+ y2+3) = 0,x2+ y2= 4 或x2+ y2= —3(舍去)8. X1=—36, X2= 249. ：X + 3x + 5= 9, . x?+ 3x= 4 ,/• 3x2+ 9x-2= 3(x2+ 3x) - 2 = 3X 4- 2= 1010. 10=- 5( t - 2)( t + 1)，二t = 1(t = 0 舍去)11 .⑴x i=- 2, X2 = 2(2)( x2- 2)( x2-5) =0,(x + , 2 )( x- 2 )(x + .. 5 )( x-、5) = 03 .用因式分解法解下列方程:2(2)4 X - 1= 0;。
用完全平方公式分解因式 浙教版数学七年级下册同步练习(含解析)
4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。
浙教版七年级下册因式分解训练题
因式分解练习题（1）班级 姓名一、填空：（30分）1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ；2、22)(n x m x x -=++则m = ， n = ；3、计算：2244222568562⨯+⨯⨯+⨯= ；4、若6,422=+=+y x y x 则=xy ；5、下列因式分解：①324(4)x x x x -=-；②232(2)(1)a a a a -+=--；③222(2)2a a a a --=--；④2211()42x x x ++=+.其中正确的是 ；(只填序号) 6、如果二次三项式82--ax x （a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 的值为 ； 7、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ ；8、m 、n 满足042=-++n m ，分解因式()()n mxy y x +-+22＝ ； 9、若012=++a a ，那么200820092010a a a++＝ ； 10、已知31=+a a ，则221aa +的值是 ； 二 选择题（共20分）：1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是…………………（ ）（A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x（C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－42．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……… （ ）（A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+--（C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+-3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…（ ）（A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数4．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是……（ ） （A ）)(4n n x xx -+ （B ）n x )(5x x -（C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 5.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………（ ）（A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值 三 把下列各式分解因式（共50分）：1． x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）； ２． （a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25；3． 2xy ＋9－x 2－y 2； ４． 322)2()2(x a a a x a -+-；5． 16)3(8)3(222++-+m m m m ； 6． 2222224)(y x z y x --+；7 . 22)2(4)2(25x y y x --- 8. 24369y x - 9 . x x -3。
浙教版七年级下册数学第六单元知识点集锦~
浙教版七年级下册数学第六单元知识点集
锦~
6.1 因式分解
考点归纳 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的（）的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
2. 因式分解的方法：⑴（），⑵（），⑶（），⑷（）.
6.2 提取公因式法
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)
注意：
1、因式分解对象是多项式;
2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;
3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;
6.3 用乘法公式分解因式
一.定义
1.整式乘法
(1).am·an=am+n[m,n都是正整数]
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
6.4 因式分解的简单应用
(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫
做这个多项式的公因式.
(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的
最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取
次数最低的.
七年级下册数学第六单元知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!。
浙教版七年级下册第六章《因式分解》课件33页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
浙教版数学七年级下第六章《因式分解》重点复习
七年级下数学 因式分解复习按住ctrl 键 点击查看更多初中七年级资源【知识点归纳】（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．（2）常用分解因式方法：①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ． 其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意： ★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字．注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形 ．多项式 整式的积【解题指导】热点：（1）提公因式法与公式法结合；（2）应用问题；（3）逆向思维的应用。
趋势：题型一般是重点考查概念和公式的灵活运用，突出“小、巧、活”及“新颖”等特点，探索性问题仍将是重点考查的题型。
因式分解的步骤：一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)彻底．【例题解析】例1、①分解因式：a (x －y )－b (y －x )＋c (x －y )＝ ；②分解因式：2327x -= ；③因式分解：22(21)x x y ++-= ．析解：按照因式分解的三个步骤“一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)彻底”进行． ① 利用提公因式法，但需要进行适当变形．原式＝a (x －y )＋b (x －y )＋c (x －y )＝(x －y )(a ＋b ＋c )．②2327x -=23(9)x -＝3(3)(3)x x -+．③22(21)x x y ++-＝22(1)x y +-＝(1)(1)x y x y ++-+．例2 请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.你编写的三项式是_______________，分解因式的结果是________________.析解：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如2m (m +n )2＝ 2m (m 2+2m n +n 2)＝2m 3+2m 2n +2m n 2，3a (2x －5y )2＝3a [(2x )2－2×2x ×5y +(5y )2]＝3a (4x 2－20x y +25y 2)＝12a x 2－60a x y +75a y 2，等等．于是编写的三项式可以是2m 3+2m 2n +2m n 2，分解因式的结果是2m (m +n )2； 或者编写的三项式可以是12a x 2－60a x y +75a y 2，分解因式的结果是3a (2x －5y )2，等等.例3 如图1所示，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是____________。
浙江省七年级数学下册第六讲因式分解常用方法讲义(基础提高班,)(新版)浙教版【含解析】
第六讲因式分解的常用方法一、什么是因式分解。
把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
例：x2+2x+1=(x+1)2多项式-------------（x+1）与（x+1）的乘积。
在这个过程中等式两边是恒等的，且是从几个单项式和的形式化成几个整式积的形式，因此，因式分解的本质：恒等变形，化和为积。
（必须同时满足这八个字）二、因式分解的基本方法1、提公因式法公因式：多项式中每一项都含有的相同的因式。
所谓的提公因式：即把所有相同的部分提取出来。
例：ma+mb+mc = m(a+b+c)ab3−a2bc2=ab(b−ac2)。
−2a2c2+6abc−4ac=−2ac(ac−3b+2)2、公式法（本质上乘法公式的逆用）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2−2ab+b2=(a−b)2；例：（1）4a2−9b2=(2a+3b)(2a−3b)（2）x4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)(分解到不能分解为止)3、分组分解法既不能直接提公因式又不能直接用公式法的，考虑将几个单项式分组，每组组内先进行因式分解，然后再整个的进行因式分解。
（1）ax−by−bx+ay=(ax−bx)+(ay−by)=x(a−b)+y(a−b)=(a−b)(x+y)思路一：组合的时候可以考虑组合含有相同部分的几个单项式。
思考：组合ax+ay, -(bx+by)是否也可以呢？（2）a2+a−b2−b=(a2−b2)+(a−b)=(a+b)(a−b)+(a−b)=(a+b+1)(a−b)思路二：可以先组合可以构成公式的几个单项式。
三、因式分解的要求：1、每个因式必须为整式：)如：(x+2)不能写成（1+2x2.分解要彻底。
如：(1) x4−1=(x2+1)(x2−1)(错误)x4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)（正确）(2)3x3+18x2+27x=3x(x2+6x+9)（错误）3x3+18x2+27x=3x(x2+6x+9)=3x(x+3)2 (正确）3、单项式写在多项式之前。
因式分解(考点剖析)浙江省七年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)
专题07 因式分解【考点剖析】1、因式分解的概念分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．注意：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2、因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2；③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)；④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) ．3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4、因式分解的应用（1）利用因式分解解决求值问题；（2）利用因式分解解决证明问题；（3）利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．因式分解的定义【典例】例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．ax﹣ay＝a（x﹣y）B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8xD．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2【答案】A【解析】解：A、是因式分解，正确；B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A．【点睛】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断．本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．【巩固练习】1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．am+bm﹣1＝m（a+b）﹣1D．（x﹣1）2﹣1＝（x﹣1）（x﹣1）【答案】B【解析】解：A．属于整式的乘法运算，不合题意；B．符合因式分解的定义，符合题意；C．右边不是乘积的形式，不合题意；D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B．因式分解计算【典例】例1．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2【答案】见解析【解析】解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．【点睛】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【巩固练习】1．分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay2【答案】见解析【解析】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；（2）x4﹣b4＝（x2+b2）（x2﹣b2）＝（x2+b2）（x+b）（x﹣b）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．2．因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）．【答案】见解析【解析】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）（2）（x+1）（x+2）＝x2+3x+2＝x2+3x＝（x）2．因式分解综合【典例】例1．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______________；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．【点睛】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．例2．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2﹣5x+6＝________________________；（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是______________．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为：±9或±6．【点睛】（1）、（2）发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q＝（x+a）（x+b）．此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．【巩固练习】1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，则原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2（1）该同学因式分解的结果是否彻底？__________（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______________．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底、（x﹣2）4．（2）设：x2﹣2x＝y．原式＝y（y﹣2）﹣3，＝（y﹣3）（y+1），＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果_____________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．因式分解的应用【典例】例1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点睛】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．【巩固练习】1．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．2．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．【答案】见解析【解析】解：由图可得，草坪的面积是：a2﹣4b2，当a＝13.6，b＝1.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（13.6+2×1.8）×﹣2×1.8）×10＝172，即草坪的面积是172．3．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b﹣4.3）＝456．。
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第六知识点回顾章因式分解1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（ 1）提取公因式法：ma mb mc m(a b c)（ 2）运用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b) ；完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2（ 3）十字相乘法：x 2 (a b) x ab (x a)( x b)（ 4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（ 5）运用求根公式法：若ax 2bx c 0(a 0) 的两个根是x1、 x2，则有：因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（）A. x(a-b)=ax-bxB. x2 2 2 -1+y =(x-1)(x+1)+yC. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若4a2 kab 9b2可以因式分解为(2 a 3b)2，则k的值为______3 、已知 a 为正整数，试判断a2 a 是奇数还是偶数？4 、已知关于 x 的二次三项式x2 mx n 有一个因式 (x 5) ，且m+n=17 ，试求 m ， n 的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母3、字母的次数- 相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b2 12a2 bc 分解因式，应提取的公因式是（）A 、 ab B、4a2b C、4ab D 、4a2bc2 、已知(19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23) 可因式分解为( ax b)(8x c) ，其中a，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（）A 、-12 B、 -32 C、 38 D 、723、分解因式（ 1 ）6a(a b) 4b(a b) （ 2 ）3a( x y) 6b( y x)（ 3 ）x n x n 1 x n 2 （4）( 3) 2011 ( 3)20104、先分解因式，在计算求值（ 1 ）(2 x 1)2 (3 x 2) (2 x 1)(3x 2) 2 x(1 2 x)(3 x 2) 其中 x=1.5（ 2 ）( a 2)(a2 a 1) ( a2 1)(2 a) 其中 a=185 、已知多项式x4 2012 x2 2011x 2012 有一个因式为x2 ax 1，另一个因式为x2 bx 2012 ，求a+b 的值6、若ab2 1 0 ，用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b) 的值7、已知 a，b， c 满足ab a b bc b c ca c a 3 ，求(a 1)(b 1)(c 1) 的值。
（a， b ， c 都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式平方差公式a 2 2 (a b)(a)b b运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1 、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A 、x24y2B、x22y21C、x24y2 D 、x2 4 y22、分解下列因式（ 1 ）3x212 （ 2 ）( x 2)( x 4) x2 4 （ 3 ）(x y)2 ( x y)2（ 4 ）x3 xy2 （ 5 ）(a b) 2 1 （6 ）9( a b)2 30( a2 b2 ) 25(a b)2（ 7 ）2009 2011 （8）1002 992 982 97 2 ... 22 120102 13、若 n 为正整数，则(2 n 1)2 (2 n 1)2 一定能被8 整除完全平方式 a 2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。
习题1、在多项式①x2 2xy y 2 ②x 2 2xy y 2 ③ x 2 xy+y 2 ④ 4x 2 1+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、①②B、②③C、①④D、②④2、下列因式分解中，正确的有（）①4a a3 b2 a(4 a2b2 ) ②x 2 y 2xy xy xy(x 2) ③ a ab ac a(a b c) ④9abc 6a2 b 3abc(3 2a) ⑤2 x 2 y 2 xy 2 2 xy(xy) 3 3 3A、0 个 B 、 1 个 C 、 2 个D、5个3、如果x2 2(m 3) x 16 是一个完全平方式，那么m 应为（）A、-5B、 3C、7 D 、 7 或 -14、分解因式(1)mx24mx 2m(2)2a2 -4a 2(3)x32x2x（ 4）(2 x 3)2 ( x 3) 2 （ 5）8x2y 8xy 2 y（ 6 ）(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4 （ 7） 4x 2－ 12xy+9y 2－ 4x+6y-35、已知a b 2 ， ab 2 ，求1a3b a2b21 ab3 2 26、证明代数式x2 y2 10 x 8y 45 的值总是正数7、已知 a， b，c 分别是ABC 的三边长，试比较( a2 b2 c2 )2与 4a2 b2的大小8、把x21加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，有几种方法，请列举考点四、十字相乘法1、二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式—x 2(a b) x ab ( x a)( x b) 进行分解。
特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例题讲解 1、分解因式：x25x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=51 2解： x 2 5x 6 = x2 ( 2 3) x 2 3 1 3= ( x 2)( x 3) 1 ×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解 2、分解因式：x2 7x 6解：原式 = x2 [( 1) ( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1= (x 1)( x 6) 1 -6（-1 ）+（-6）= -7练习分解因式 (1) x2 14 x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x2 4x 5(4) x2 x 2 (5) y2 2 y 15 (6) x 2 10 x 242、二次项系数不为 1 的二次三项式——ax2 bx c条件：（ 1）a a1a2 a1 c1（ 2）c c1c2 a2 c2（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1c2 a2 c1分解结果： ax 2 bx c =( a1x c1 )(a2 x c2 )例题讲解1、分解因式：3x 2 11x 10分析： 1 -23-5（-6 ） +（-5 ） = -11解： 3 x2 11x 10 =( x 2)(3x 5)分解因式：（ 1）5 x 2 7x 6 （ 2）3x2 7 x 2（ 3）10x2 17 x 3 （4） 6 y2 11y 103、二次项系数为 1 的齐次多项式例题讲解、分解因式： a 28ab128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a2 8ab 128b2= a2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b) = (a 8b)(a 16b) 分解因式 (1) x2 3xy 2y 2 (2) m2 6mn 8n 2 (3) a2 ab 6b24、二次项系数不为 1 的齐次多项式例题讲解2x2 7xy 6 y 2 x2 y 2 3xy 21 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 =( x 2 y)( 2x 3y) 解：原式 = ( xy 1)( xy 2)分解因式：（ 1）15 x2 7 xy 4 y 2 （ 2）a2x2 6ax 8考点五、因式分解的应用1 、分解下列因式（ 1 ）3x2 3 （ 2 ）x3y2 4x（ 3 ）x3 6x2 27x （ 4 ）a2 b2 2b 12、计算下列各题（ 1 ）(4 a24a 1) (2 a 1)（2）(a2b2c22ab) (a b c) 3、解方程（ 1 ） 16( x 1)2 25( x 2) 2 （2 ）(2 x 3)2 (2 x 3)4 、如果实数 a b，且10ab a1，那么 a+b 的值等于 ________ 10b a b 15 、1 22 32 42 52 62......20092 20102 20112 20122 1 2 3 4 5 6 2009 2010 2011 20126、若多项式x2 ax 12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a 的值（写出 3 个）7 、先变形再求值（ 1 ）已知 2x y 1 ， xy 4 ，求 2x4 y3 x3 y 4的值16（2 ）已知3x28x 2 0，求12x232x的值8、已知 a、 b、c 为三角形三边，且满足a2+b2 +c2-ab-bc-ac=0，试说明该三角形是等边三角形9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题（ 1 ）上述分解因式的方式是，共用了______次。
（2）若分解1 x x( x 1) x( x 1)2... x( x 1)2012，则需上述方法 ______ 次，结果为_______________________（ 3）分解因式1x x(x 1) x( x 1)2... x( x 1)n（n为正整数）。