圆的经典测试题及解析

【详解】
72π= n 122 360
解得 n=180°，
∴扇形的弧长= 180 12 =12πcm． 180
围成一个圆锥后如图所示：
因为扇形弧长=圆锥底面周长 即 12π=2πr 解得 r=6cm，即 OB=6cm
根据勾股定理得 OC= 122 62 =6 3 cm，
故选 D． 【点睛】 本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以 学生学过的知识一定要结合起来．
【详解】
解：连接 OB ，作 BH OA于 H ，如图，
圆锥的母线 AB 与 O 相切于点 B ，
OB AB ，
在 RtAOB 中， OA 18 5 13， OB 5，
AB 132 52 12 ，
1 OA BH 1 OB AB ，
2
2
BH 512 60 ， 13 13
圆锥形纸帽的底面圆的半径为 BH 60 ，母线长为 12， 13
13．如图，抛物线 y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 C 点．以 C 点为
故选 D．
考点：切线的性质；圆周角定理．
12．如图，在菱形 ABCD 中， ABC 60 ， AB 1，点 P 是这个菱形内部或边上的一 点，若以点 P ， B ， C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P ， D （ P ， D 两点不重合）
两点间的最短距离为（ ）
A． 1 2
B．1
C． 3
D． 3 1
10．如图，将△ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C′， 已知 AC=6，BC=4，则线段 AB 扫过的图 形面积为（ ）
A． 3 2
B． 8 3
C．6π
D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】
【分析】
从图中可以看出，线段 AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是 AC，小圆半
径是 BC，圆心角是 60 度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即 DE⊥AC， ∴DE∥BC，
∵BD= 1 AB=2， 2
∴DF 是△ABC 的中位线，
∴DF= 1 BC= 1 ×2=1，CF= 1 AC= 1 ×2 3 = 3 ，
22
22
∴S 阴影= 1 DF×CF= 1 × 3 = 3 ．
2
2
2
故选 C．
考点：1.旋转的性质 2.含 30 度角的直角三角形．
8．如图，7×5 的网格中的小正方形的边长都为 1，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个 顶点都在格点上，过点 C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
作△ABC 的外接圆，作出过点 C 的切线，两条图象法即可解决问题.
【详解】
如图⊙O 即为所求，
观察图象可知，过点 C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 3 个，
选：C． 【点睛】 考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.
9．如图，已知 AB 是⊙O 是直径，弦 CD⊥AB，AC=2 2 ，BD=1，则 sin∠ABD 的值是( )
最小，最小值为 3 1
③若以边 PB 为底，∠PCB 为顶角，以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧 BD 上的点 A 与
点 D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点 P 与点 D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此
种情况不存在；
上所述，PD 的最小值为 3 1
故选 D． 【点睛】 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
连结 DC1，
∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°， ∴∠AC1B1＝45°， ∵∠ADC＝90°，
∴A，D，C1 在一条直线上， ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC＝ 2 ，∠OCB1＝45°，
∴CB1＝OB1 ∵AB1＝1，
∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝ 2 ﹣1，
∴ SOB1C
A． 2 2 4
B． 2 2 4
C． 1 42
D． 1 42
【答案】B 【解析】
【分析】
先根据正方形的边长，求得 CB1=OB1=AC-AB1=
2
-1，进而得到 S
OB1C
1( 2
2 1)2 ，再根
据 S△AB1C1= 1 ，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积． 2
【详解】
1 2
OB1
CB1
1( 2
2 1)2 ，
∵S
AB1C1
1 2
AB1 B1C1
1 11 2
1 2
，
∴图中阴影部分的面积＝ 45 ( 2)2 1 ( 2 1)2 1 2 2 ．
360
2
24
故选 B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应
用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．
A． 9 3 4
B． 9 9 42
C． 3 9 3 24
D． 3 9 22
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 OD、OC，根据 CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据 S 阴影=S
扇形-S△ODC 即可求得．
【详解】
连接 OD、OC，
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°，
CE 为 OA 的中垂线， AE OE
在半圆中， OA OE
∴ OA OE AE , △AEO 为等边三角形，∠AOE=∠FOD=∠EOF 60 , C 正确；
∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等， AE BF ，B 正确
∵∠AOE=60 ,∠EOC 90 ,
∴ CE= 3CO ，D 错误
圆的经典测试题及解析
一、选择题 1．已知线段 AB 如图， (1)以线段 AB 为直径作半圆弧 AB ，点 O 为圆心； (2)过半径 OA、OB 的中点 C、D 分别作 CE AB、DF AB ，交 AB 于点 E、F ； (3)连接 OE,OF ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情形讨论①若以边 BC 为底．②若以边 PC 为底．③若以边 PB 为底．分别求出 PD
的最小值，即可判断．
【详解】
解：在菱形 ABCD 中，
∵∠ABC=60°，AB=1，
∴△ABC，△ACD 都是等边三角形，
①若以边 BC 为底，则 BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明
∠AOE=60 .
2．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁 轴截面如图所示，圆锥的母线 AB 与 O 相切于点 B ，不倒翁的顶点 A 到桌面 L 的最大距 离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）
【详解】
阴影面积= 60 36 16 10 π．
360
3
故选 D．
【点睛】
本题的关键是理解出，线段 AB 扫过的图形面积为一个环形．
11．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切 点，连接 BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA 的大小是（ ）
形纸帽的表面 1 2 60 12 720 (cm2 ) ．
2
13
13
故选： C ．
【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点 的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算．
3．已知，如图，点 C，D 在⊙O 上，直径 AB=6cm，弦 AC，BD 相交于点 E，若 CE=BC，则 阴影部分面积为（ ）
化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点 P 与点 A 重合时，
PD 值最小，最小值为 1；
②若以边 PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点 B 为圆心，BC 长为半径作圆，与 BD 相交于一
点，则弧 AC（除点 C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点 P 在 BD 上时，PD
∴BC=BD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵BD=1，
∴BC=1，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB= AC2 BC2 2 2 2 12 3 ，
∴sin∠ABD=sin∠ABC= AC 2 2 AB 3
故选：C． 【点睛】 本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为 90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图 形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
∵CE=BC，
∴∠CBD=∠CEB=45°，
∴∠COD =2∠DBC=90°，
∴S 阴影=S 扇形−S△ODC= 90 32
1
9
− ×3×3=
9
−.
360 2
42
故答案选 B.
【点睛】
本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.
4．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45°后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1 与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．15°
B．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
连接 OD，∵CA，CD 是⊙O 的切线，
C．60°
D．75°
∴OA⊥AC，OD⊥CD， ∴∠OAC=∠ODC=90°， ∵∠ACD=30°， ∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°， ∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB= 1 ∠AOD=75°． 2
A． 60 cm2
B． 600 cm2 13
C． 720 cm2 13
D． 72 cm2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 OB ，如图，利用切线的性质得 OB AB ，在 RtAOB 中利用勾股定理得
AB
12
，利用面积法求得
BH
60 13
，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公
式计算圆锥形纸帽的表面．
A．2 2
B． 1 3
C． 2 2 3
D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理，可得 BC 的长，再利用直径对应圆周角为 90°得到△ABC 是直角三角形，
利用勾股定理求得 AB 的长，得到 sin∠ABC 的大小，最终得到 sin∠ABD
【详解】
解：∵弦 CD⊥AB，AB 过 O，
∴AB 平分 CD，
【答案】C
【解析】
试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× 3 =2 3 ，AB=2BC=4，
∵△EDC 是△ABC 旋转而成，
∴BC=CD=BD= 1 AB=2， 2
∵∠B=60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∴∠BCD=60°，
A． CE DF
【答案】D
B． AE BF
C． EOF 60 D． CE =2CO
【解析】
【分析】
根据作图可知 AC CO OD DB,据此对每个选项逐一判断即可.
【详解】
根据 HL 可判定 ECO FDO,得 CE DF ，A 正确； ∵过半径 OA、OB 的中点 C、D 分别作 CE AB、DF AB ，连接 AE，
6．下列命题错误的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形一定有外接圆和内切圆 C．等弧对等弦 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】
根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】 A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题； B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题； C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题； D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题； 故选 C． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概 念等知识解答，难度不大．
7．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90，A 30，BC 2 ．将 ABC 绕点 C 按顺时 针方向旋转 n 度后得到△EDC ，此时点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F ，则 n
的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A． 30，2
B． 60，2
C． 60， 3 2
D． 60，3
5．如图，用半径为12cm，面积 72 cm2 的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高
为（ ）
A．12cm
B．6cm
C．6√2 cm
D．6 3 cm
【答案】D 【解析】
【分析】
先根据扇形的面积公式计算出扇形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出
半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．