初中数学竞赛全等三角形(含答案)

全等三角形
你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。

在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同--全等三角形。

三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。

例1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。

求证：① AE=BD;② CF=CG.
思路① 证明△ACE≌△BCD。

证明① ∵ △ABC和△DCE都是等边三角形，
∴ CB=CA， CD=CE，∠BCA=∠ECD=，
∴∠BCD=∠ACE=，
∴△BCD≌△ACE，
∴ AE=BD。

思路② 证明△FCD≌△GCE。

证明② 由△BCD≌△DCE都是等边三角形可知
∴ CD=CE，∠BCA=∠ECD=
∴∠ACD=-∠BCA-∠ECD=
∴△FCD≌△GCE，
∴ CF=CG
说明：
证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。

例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。

求证：MD=MN。

思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。

证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。

∵DM⊥MN，
∴∠DMA+∠BMN=，
又由正方形ABCD 知∠A=，
∴∠DMA+∠MDA=，
∴∠BMN=∠MDA
又∵BN平分∠CBE，
∴∠MBN=
又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=。

∴∠DPM=∠MBN，
∴△DPM≌△MBN，
∴ DM=MN。

说明：
本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。

例3：如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。

求证：AB+BD=AC
思路1：延长AB到E，使BD，证明△AED≌△ACD。

证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。

∴∠ABD=∠E+∠BDE=2CE
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠E
∵∠AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵ AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴ AC=AE。

即 AC=AB+BE=AB+BD。

思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。

证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。

由AD平分∠BAC 得∠1=∠2
又∵ AD=AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴∠AED=∠ABC，DE=DB，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C
又∵∠AED=∠EDC+∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ ED=EC，
∴ EC=BD，
∴ AB+BD=AE+EC+AC。

说明：
要证明AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为AB+BD，如证法1就采用此法；另一种方法是把AC分成两部分，使其分别等于AB、BD，如证法2就采用此法。

例4 如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。

求证：PC-PB<AC-AB。

思路：通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论。

证明：
在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分∠ABC得∠1=∠2。

又∵ AE=AB， AP=AP，
∴△APE≌△APB，
∴ PE=PB，
在△EPC中，PC-PE<EC，
即PC-PB<AC-AE。

∴ PC-PB<AC-AB。

说明：
当要证明式子的线段比较分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中起来，这样便于利用三角形的三边不等关系。

例5：如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。

求证：∠CDF=∠ADE。

思路1：作∠BCA的平分线交BD于G，证明△CDG≌△ADE。

证法1：作∠BCA的平分线交BD于G，
∵ BC=AC，∠BCG=∠A=，∠CBG=-∠CDF=∠ACE，
∴△BCG≌△CAE，
∴ CE=AE，
△CDG和△AD E中，
∵ CD=AD，∠DCE=∠A=，CE=AE，
∴△CDG≌△ADE，
∴∠CDF=∠ADE，
思路2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N，
证明△ADE≌△ANE。

证法2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N。

∵∠ACN=∠CBD，AC=CB，
∴Rt△ACN≌Rt△CBD，
∴∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD，
又∵∠CAE=∠EAN=，AE=AE，
∴△ADE≌△ANE，
∴∠ADE=∠ANE，
∴∠CDF=∠ADE，
说明：
如何作铺助线是影响解题思路的一个重要因素，要善于联想已知条件，找到突破口，如证法2，注意到∠CDF在△BCD中，且BC=AC，可设法构造出一个与Rt△BCD 全等的三解形，并使其中某个锐角等于∠ADE，这样，就想出了思路2的方法。

练习
A 级
1、如图2-7-6，在△ABC和△A B C 中，AD和A D 是高，AD=A D ，AB=A B ,BC=B C ,
则AC和A C 的大小关系是___________.
2、如图2-7-7在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，则图中能全等的
三角形有______对。

3、三角形三边的长分别为m-1、m、m+1(m>1),则m的最小正整数值是___。

4、如图2-7-8，D、E分别为等边△ABC的AB、AC边上的点，且AD=CE，CD和BE交
于点P，则∠BPD的度数是多少？
B 级
5、给定△ABC的三个顶点和它内部的七个点，且这十个点中的任意三点均不共线，
则以这十个点为顶点能将△ABC分割为互不重叠的小三角形个数为______。

6、如图2-7-9，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是两个等边三角形，点D、E
在AB同旁，AE、BD分别CD、CE于G、H，则CG和CH的大小关系是_____。

7、在△ABC中，AB>AC,AM为角平分线，则BM和MC的大小关系是_____.
8、如图2-7-10，在△ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它
们与AB、AC分别交于D、E，求证：BD+CE>DE.
参考答案
A级
1、AC=A′C′。

提示：由AD=A′D′，AB=A′B′，知Rt△ABD≌△A′B′D′，从而∠B=∠B 再结合AB=A′B′,BC=B′C′,可知△ABC≌△A′B′C′从而AC=A′C′。

2、提示：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE。

3、提示：由题意得：
故m的最小正整数值是3。

4、
由AD=CE，∠A=∠BCE=，AC=BC，可得△DAC≌△ECB，从而得∠DCA=∠EBC，故∠BPD=∠EBC+∠BCD=∠DCA+∠BCD=∠BCA=。

B级
5、15个。

提示：会聚在△ABC内每一点的诸角之和为180°；会聚在A、B、C的诸角之和为；所以，所有小三角形的内角和为：。

又由于每个三角形的内角和为，故小三角形的个数为：。

6、CG=CH。

提示：易证∠ACE=∠DCB=，又因为AC=DC，EC=BC，从而得△ACE≌△DCB，则∠AEC=∠DBC，又因为∠GCE=∠HCB=，EC=BC，从而△GEC≌△HBC，故CG=CH。

7、BM>MC。

提示：如图2-7-11，在AB上截取AD=AC，
连结DM，易证△ADM≌△ACM，从而MC=MD，
又因为∠BDM>∠AMD=∠AMC>∠B, 从而BM>MD，所以BM>MC。

8、延长DM到D ，使DM=MD
∵DD ⊥ME
∴ DE=ED
∵ BM=MC
∴DM=MD ∠BMD=∠CMD
∴△BMD≌△CMD
∴ BD=CD
在△EDC中有EC+CD >ED ,故BD+CE>DE.。