命题和定理

学生：科目：数学教师：第阶段第次课 2013年月日

课题：命题与定理

授课内容：

（一）、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

（二）、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

(三)例题

例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．

例2、写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。 1、自然数必为有理数； 2、若|a|＝|b|，则a ＝b ； 3、若a ＝b ，则a 3＝b 3；

4、若x ＝a ，则2

()0x a b x ab -++=；

解：1、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；

2、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；

3、逆命题为：若33

a b =，则a ＝b 。原命题为为真命题，逆命题为真命题；

4、逆命题为：若2()0x a b x ab -++=，则x ＝a 。原命题为真命题，逆命题为假命题。

（三）、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

例3．下列命题中真命题的个数是 ( )

①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；、

②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2；

③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；

④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．

A．1个 B．2个 c．3个 D．4个

例4．下列说法中，正确的是 ( )

A．一个定理的逆命题是正确的

B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的

C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

例5．下列说法中，正确的是 ( )

A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理

C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题

例6.设O是等边△ABC所在平面上一点，它使△ABO,△OBC,△OCA都是等腰三角形，满足这种条件的O点共有( ). A．1个 B．4个 C．7个

D．10个

例7．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为有理数的边数有 ( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例8．如图，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=14。

试判断△ABC的形状．

例9．如图所示，已知：CD⊥AB于D，且AC2=AD·AB.

S

Q

P

F E

D C B

A

P Q

A

C E

求证：△ABC 为直角三角形．

分析：可通过勾股定理和勾股定理的逆定理解决．

例10． 已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,DE 垂直平分AB 于D,交AC 于E,求证：DE=CE.

例11．已知：如图所示，△ABC 中，D 为BC 上一点，AB=AC ， ED=DF ，求证：BE=CF.

例12．如图, 已知: B 是线段AD 上的一点, △ABC 、△BDE 均为等边三角形. AE 交BC 于P ,CD 交BE 于Q .

求证:1)△ABE ≌△CBD . 2)△BDQ ≌△BEP .

3)PQ ∥AD .

例13、如图，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC=AC+AD ．

D

B A

E

F

C

A

C

B

D

E