电力系统潮流的计算机算法
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Y1i Y1n Y11 Y12 Y Y Y21 Y2n 21 22 ... Y 'ii ... Yin Yi1 Yi2 Yn1 Yn 2 Yni ... Ynn ... 0 0 ... Yji ... 0 0 0 Yij 0 Yjj
2．节点导纳矩阵元素的物理意义
节点导纳矩阵是n×n方阵，其对角元素Yii称为节点的自导纳， 其值等于连接节点的所有支路导纳之和。非对角元素Yij称为节 点i，之间的互导纳，它等于直接连接于节点、间的支路导纳的 负值。若节点i、j间不存在直接支路，则Yij=0。
（1）自导纳
自导纳在数值上等于仅在节点i施加单位电压而其余节点电压均 为零（其余节点全部接地）时，经节点注入网络的电流。显然， 等于与节点i直接相连的所有支路的导纳之和。
Yij I i U j
U i 0
i, j 1,
, n, j i
如电流已知时，对式（4-5）求解，直接得到节点电压为
U Y 1 I
节点导纳矩阵的逆称为节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节 点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则， 节点矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。
y 1 1 y Y jj T yT 2 T k k k2 k Yij Y ji yT k Yii yT 1 yT 1 yT k k
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
（4-14）
ij
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
图4-4增加变压器示意图
（4）新增加一台变压器，可以先将变压器用含有非标准变压器的 型等值电路代替，然后按以上三种基本方法处理。例如节点间增 加一台变压器（图4-4a），节点导纳矩阵有关元素的变化量可以 由型等值电路（图4-4b）求得：
11 1 12 2
Y21U1 Y22U 2 Yn1U Yn 2U 2
Y2 nU n I 2 Yn nU n I n
Βιβλιοθήκη Baidu
1n
n
1
(4-5)
用矩阵形式表示为
I1 Y11 Y12 I 2 Y21 Y22 In Yn1 Yn 2
Yii Yjj yij，Yij Yji yij
图4-3电力网络变化图
图4.3 一根长直圆导线的磁通链 电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
（3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点 设原网络有个节点，现从节点引出一条新支路，同时新增 一个节点，如图4-3c所示。新增支路只与原网络节点相连，而 与其他节点不直接相连，因而原节点导纳矩阵中的元素只有与 有所改变。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加 一阶，即第行和第列，而新增节点只与节点相连，因此新的节 点导纳矩阵中第列和第行中非对角元素除外其余都为零，而对 角元素新增为，具体修改形式如下所示： j列 i列
第4章电力系统潮流的计算机算法
电力系统分析教材配套课件
第4章电力系统潮流的计算机算法
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
4.1 4.2
电力网络的数学模型 高斯——塞德尔法潮流计算
4.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算 4.4 P-Q分解法
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
对图4-1b中的等值电路进行化简，将在同一节点上的接地 导纳并联得：
y10 y120 y130 y20 y210 y230 （4-2） y30 y310 y320
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
从而可得4-1c所示简化等值电路。于是，可以列出网络的节 点电压方程。以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据 基尔霍夫电流定律，可以写出3个独立节点的电流平衡方程
高度稀疏的矩阵；
（5）对角线元素Yii为所有连接点i的支路（包括节点i的接地支 路）的导纳之和。
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
3．节点导纳矩阵的修改方法
（1）原网络节点增加一接地支路 设在节点i处对地增加一条支路，如图4-3a所示，由于没有增加新 的节点数，节点导纳矩阵阶数应不变，且互导纳没有发生任何变化， 只有自导纳Yii发生变化，变化量为节点新增的接地支路的导纳。改 变后的i节点自导纳为：
j2 0 0 -j1.9 j2 -j10.81 j4 j5 Y 0 j4 -j8.91 j5 j5 j5 -j9.92 0
图4-2 电力系统网络图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
节点导纳矩阵具有以下性质：
（1）Y是n×n阶方阵； （2）Y是对称，Yij=Yji。如网络中含有有源元件，如移相变压器， 则对称性不成立。 （3）Y是复数矩阵； （4）每一非对角元素Yij是节点和间支路导纳的负值，当i和j间 没有直接的连接支路，即Yij为零，根据一般电力系统的特点， 每一节点平均与3～5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
图4-1简单电力系统
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
可得图4-1a各节点净注入功率为
S1 SG1 S L1 S2 SG 2 S3 S L3
（4-1）
Y1n U1 Y2 n U 2 Yn n U n
(4-6)
或简记为：I
YU
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
上式中I是注入节点的电流列向量，电流方向定义为流向节点为 正，流出节点为负；U是相对于参考节点的节点电压列向量；矩 阵Y称为节点导纳矩阵。
第4章电力系统潮流的计算机算法
第4章 电力系统潮流的计算机算法
电力系统的基本计算包括电力系统的潮流计算、电力 系统的故障计算和电力系统的稳定计算。潮流计算是电力 计算分析中的一种最基本的方法。 对于复杂电力系统做潮流分析时采用手算已不适用， 随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机已成为分析计
算复杂电力系统各种运行方式的主要工具。在本章主要介
上述方程组整理可得 I1 Y11U1 Y12U 2 Y13U 3 I 2 Y21U1 Y22U 2 Y23U 3 0 Y31U1 Y32U 2 Y33U 3 3
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
（4-4）
第4章电力系统潮流的计算机算法
式中 Y11=y10+y12+y13；Y22=y20+y12+y13； Y33=y30+y13+y23；Y12 =Y21=-y12;Y23=Y32=-y23。 由此可以推导出对于有n个独立节点的网路，其n个节点电 压方程为 Y U Y U Y U I
绍应用计算机计算复杂电力系统潮流分布的原理和方法。 由于应用计算机计算潮流时大都用标幺值，因此，在
本章中如无特殊说明，所有量均为标幺值。
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
4.1 电力网络的数学模型
反映电力系统中电流和电压之间相互关系的数学方程称为网络 方程，或称为数学模型。 网络方程常用节点电压方程或回路电流方程来描述。由于在实 际电力系统中的等值电路中接地支路较多，而且采用节点电压 方程的方程式数目比回路方程时的方程式的数目少，同时对一 个结构复杂的网络建立节点电压方程比较容易，并且在网络结 构发生变化时可以方便对方程式进行修改。因此，节点电压方 程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广 泛应用于电力系统分析中。 因此本章本节主要应用节点电压法来求解电力网络的等效电路， 从而建立电力网络的数学模型。
i行
j行
图4-3电力网络变化图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
其中，原节点导纳矩阵的对角元素应修正为 Y 'ii Yii yij
新增导纳矩阵元 Yjj yij ， Yij Yji yij 。
修改原网络中支路参数，可以理解为先将修改支 路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路， 因而，修改原网络中的支路参数可以通过给原网络支 路并联两条支路来实现。如图4-3d所示。一条支路的 参数为原来该支路导纳的负值 - yij ，另一条支路参 数为修改后支路的导纳 y 。
I1 y10U1 y12 (U1 U 2 ) y13 (U1 U 3 ) y10 y12 y13 U1 y12U 2 y13U 3 I 2 y20U 2 y12 (U 2 U1 ) y23 (U 2 U 3 ) （4-3） y12U1 y20 y12 y23 U 2 y23U 3 0 y30U 3 y13 (U 3 U1 ) y23 (U 3 U 2 ) y13U1 y23U 2 y30 y13 y23 U 3
Y 'ii Yii Yii Yii yi
图4-3电力网络变化图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
（2）原网络节点，间增加一条新支路 在原网络节点i、j间增加一条新支路，如图4-3b所示，由于只 是在原有两节点之间新增支路，因此没有改变网络节点数，此 时节点导纳矩阵的阶数不变。只是由于节和间增加了一个支路 导纳yij而使节点i和j之间的互导纳、节点i和j的自导纳发生变 化，其变化量为：
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
RI 2
第4章电力系统潮流的计算机算法
例4-1 求图4-2所示的电力系统的节点导纳矩阵。其中接地支路 标注的是导纳标幺值（两侧相同），非接地支路标注的是阻抗标 幺值。 解：选地为参考节点。 以节点1为例说明自导纳的形成过程。可以看出在本网络图中 和节点1直接相连的支路只有支路12，而和节点1直接相连的 对地导纳只有一条j0.1，将支路阻抗j0.5转换为导纳为-j2， 从而有Y11=-2j+j0.1=-j1.9,Y12=-y12=-(-2j)=j2。 同理，得到该系统的节点导纳矩阵
第4章电力系统潮流的计算机算法
（5）网络存在非标准变比变压器
在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标准变 比时，变压器的高、低压两侧的电压都和电流值用线圈匝数比 来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变 比时必须加以注意。因此当有非标准变比变压器时，可按如下 次序形成节点导纳矩阵。 1）先不考虑非标准变比（认为变比），然后正常求得节点导 纳矩阵。 2）把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上（k2-1）Y， 其中是从变压器相连接的另一端点来看变压器的漏抗与两节点 输电线的阻抗之和的倒数。 3）由接入非标准变比变压器的端点来看自导纳不变。 4）变压器两节点间的互导纳加上（k-1）Y。
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第4章电力系统潮流的计算机算法
4.1.1 节点电压方程与节点导纳矩阵 及阻抗矩阵
1．节点电压方程
将节点电压法应用于电力系统潮流计算，其变量为节点电压与节 点注入电流。通常以大地作为电压幅值的参考，而以系统中某一 指定母线的电压角度作为电压相角的参考，并以支路导纳作为电 力网的参数进行计算。 下面以图4-1a所示的简单电力系统为例说明建立节点电压方程的 方法。
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
Yii I i U i
（2）互导纳
U j 0
i, j 1,
, n, i j
互导纳Yij在数值上等于仅在节点施加单位电压而其余节 点电压均为零（即接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然 等于-yij即Yij=Yji=-yij。yij表示支路ij的导纳，负号表示该电 流流出网络。如节点ij之间无支路，则该电流为零，即Yij=0。
2．节点导纳矩阵元素的物理意义
节点导纳矩阵是n×n方阵，其对角元素Yii称为节点的自导纳， 其值等于连接节点的所有支路导纳之和。非对角元素Yij称为节 点i，之间的互导纳，它等于直接连接于节点、间的支路导纳的 负值。若节点i、j间不存在直接支路，则Yij=0。
（1）自导纳
自导纳在数值上等于仅在节点i施加单位电压而其余节点电压均 为零（其余节点全部接地）时，经节点注入网络的电流。显然， 等于与节点i直接相连的所有支路的导纳之和。
Yij I i U j
U i 0
i, j 1,
, n, j i
如电流已知时，对式（4-5）求解，直接得到节点电压为
U Y 1 I
节点导纳矩阵的逆称为节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节 点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则， 节点矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。
y 1 1 y Y jj T yT 2 T k k k2 k Yij Y ji yT k Yii yT 1 yT 1 yT k k
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（4-14）
ij
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第4章电力系统潮流的计算机算法
图4-4增加变压器示意图
（4）新增加一台变压器，可以先将变压器用含有非标准变压器的 型等值电路代替，然后按以上三种基本方法处理。例如节点间增 加一台变压器（图4-4a），节点导纳矩阵有关元素的变化量可以 由型等值电路（图4-4b）求得：
11 1 12 2
Y21U1 Y22U 2 Yn1U Yn 2U 2
Y2 nU n I 2 Yn nU n I n
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1n
n
1
(4-5)
用矩阵形式表示为
I1 Y11 Y12 I 2 Y21 Y22 In Yn1 Yn 2
Yii Yjj yij，Yij Yji yij
图4-3电力网络变化图
图4.3 一根长直圆导线的磁通链 电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
（3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点 设原网络有个节点，现从节点引出一条新支路，同时新增 一个节点，如图4-3c所示。新增支路只与原网络节点相连，而 与其他节点不直接相连，因而原节点导纳矩阵中的元素只有与 有所改变。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加 一阶，即第行和第列，而新增节点只与节点相连，因此新的节 点导纳矩阵中第列和第行中非对角元素除外其余都为零，而对 角元素新增为，具体修改形式如下所示： j列 i列
第4章电力系统潮流的计算机算法
电力系统分析教材配套课件
第4章电力系统潮流的计算机算法
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
4.1 4.2
电力网络的数学模型 高斯——塞德尔法潮流计算
4.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算 4.4 P-Q分解法
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
对图4-1b中的等值电路进行化简，将在同一节点上的接地 导纳并联得：
y10 y120 y130 y20 y210 y230 （4-2） y30 y310 y320
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
从而可得4-1c所示简化等值电路。于是，可以列出网络的节 点电压方程。以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据 基尔霍夫电流定律，可以写出3个独立节点的电流平衡方程
高度稀疏的矩阵；
（5）对角线元素Yii为所有连接点i的支路（包括节点i的接地支 路）的导纳之和。
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第4章电力系统潮流的计算机算法
3．节点导纳矩阵的修改方法
（1）原网络节点增加一接地支路 设在节点i处对地增加一条支路，如图4-3a所示，由于没有增加新 的节点数，节点导纳矩阵阶数应不变，且互导纳没有发生任何变化， 只有自导纳Yii发生变化，变化量为节点新增的接地支路的导纳。改 变后的i节点自导纳为：
j2 0 0 -j1.9 j2 -j10.81 j4 j5 Y 0 j4 -j8.91 j5 j5 j5 -j9.92 0
图4-2 电力系统网络图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
节点导纳矩阵具有以下性质：
（1）Y是n×n阶方阵； （2）Y是对称，Yij=Yji。如网络中含有有源元件，如移相变压器， 则对称性不成立。 （3）Y是复数矩阵； （4）每一非对角元素Yij是节点和间支路导纳的负值，当i和j间 没有直接的连接支路，即Yij为零，根据一般电力系统的特点， 每一节点平均与3～5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
图4-1简单电力系统
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
可得图4-1a各节点净注入功率为
S1 SG1 S L1 S2 SG 2 S3 S L3
（4-1）
Y1n U1 Y2 n U 2 Yn n U n
(4-6)
或简记为：I
YU
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
上式中I是注入节点的电流列向量，电流方向定义为流向节点为 正，流出节点为负；U是相对于参考节点的节点电压列向量；矩 阵Y称为节点导纳矩阵。
第4章电力系统潮流的计算机算法
第4章 电力系统潮流的计算机算法
电力系统的基本计算包括电力系统的潮流计算、电力 系统的故障计算和电力系统的稳定计算。潮流计算是电力 计算分析中的一种最基本的方法。 对于复杂电力系统做潮流分析时采用手算已不适用， 随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机已成为分析计
算复杂电力系统各种运行方式的主要工具。在本章主要介
上述方程组整理可得 I1 Y11U1 Y12U 2 Y13U 3 I 2 Y21U1 Y22U 2 Y23U 3 0 Y31U1 Y32U 2 Y33U 3 3
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（4-4）
第4章电力系统潮流的计算机算法
式中 Y11=y10+y12+y13；Y22=y20+y12+y13； Y33=y30+y13+y23；Y12 =Y21=-y12;Y23=Y32=-y23。 由此可以推导出对于有n个独立节点的网路，其n个节点电 压方程为 Y U Y U Y U I
绍应用计算机计算复杂电力系统潮流分布的原理和方法。 由于应用计算机计算潮流时大都用标幺值，因此，在
本章中如无特殊说明，所有量均为标幺值。
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
4.1 电力网络的数学模型
反映电力系统中电流和电压之间相互关系的数学方程称为网络 方程，或称为数学模型。 网络方程常用节点电压方程或回路电流方程来描述。由于在实 际电力系统中的等值电路中接地支路较多，而且采用节点电压 方程的方程式数目比回路方程时的方程式的数目少，同时对一 个结构复杂的网络建立节点电压方程比较容易，并且在网络结 构发生变化时可以方便对方程式进行修改。因此，节点电压方 程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广 泛应用于电力系统分析中。 因此本章本节主要应用节点电压法来求解电力网络的等效电路， 从而建立电力网络的数学模型。
i行
j行
图4-3电力网络变化图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
其中，原节点导纳矩阵的对角元素应修正为 Y 'ii Yii yij
新增导纳矩阵元 Yjj yij ， Yij Yji yij 。
修改原网络中支路参数，可以理解为先将修改支 路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路， 因而，修改原网络中的支路参数可以通过给原网络支 路并联两条支路来实现。如图4-3d所示。一条支路的 参数为原来该支路导纳的负值 - yij ，另一条支路参 数为修改后支路的导纳 y 。
I1 y10U1 y12 (U1 U 2 ) y13 (U1 U 3 ) y10 y12 y13 U1 y12U 2 y13U 3 I 2 y20U 2 y12 (U 2 U1 ) y23 (U 2 U 3 ) （4-3） y12U1 y20 y12 y23 U 2 y23U 3 0 y30U 3 y13 (U 3 U1 ) y23 (U 3 U 2 ) y13U1 y23U 2 y30 y13 y23 U 3
Y 'ii Yii Yii Yii yi
图4-3电力网络变化图
电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社
第4章电力系统潮流的计算机算法
（2）原网络节点，间增加一条新支路 在原网络节点i、j间增加一条新支路，如图4-3b所示，由于只 是在原有两节点之间新增支路，因此没有改变网络节点数，此 时节点导纳矩阵的阶数不变。只是由于节和间增加了一个支路 导纳yij而使节点i和j之间的互导纳、节点i和j的自导纳发生变 化，其变化量为：
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RI 2
第4章电力系统潮流的计算机算法
例4-1 求图4-2所示的电力系统的节点导纳矩阵。其中接地支路 标注的是导纳标幺值（两侧相同），非接地支路标注的是阻抗标 幺值。 解：选地为参考节点。 以节点1为例说明自导纳的形成过程。可以看出在本网络图中 和节点1直接相连的支路只有支路12，而和节点1直接相连的 对地导纳只有一条j0.1，将支路阻抗j0.5转换为导纳为-j2， 从而有Y11=-2j+j0.1=-j1.9,Y12=-y12=-(-2j)=j2。 同理，得到该系统的节点导纳矩阵
第4章电力系统潮流的计算机算法
（5）网络存在非标准变比变压器
在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标准变 比时，变压器的高、低压两侧的电压都和电流值用线圈匝数比 来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变 比时必须加以注意。因此当有非标准变比变压器时，可按如下 次序形成节点导纳矩阵。 1）先不考虑非标准变比（认为变比），然后正常求得节点导 纳矩阵。 2）把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上（k2-1）Y， 其中是从变压器相连接的另一端点来看变压器的漏抗与两节点 输电线的阻抗之和的倒数。 3）由接入非标准变比变压器的端点来看自导纳不变。 4）变压器两节点间的互导纳加上（k-1）Y。
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4.1.1 节点电压方程与节点导纳矩阵 及阻抗矩阵
1．节点电压方程
将节点电压法应用于电力系统潮流计算，其变量为节点电压与节 点注入电流。通常以大地作为电压幅值的参考，而以系统中某一 指定母线的电压角度作为电压相角的参考，并以支路导纳作为电 力网的参数进行计算。 下面以图4-1a所示的简单电力系统为例说明建立节点电压方程的 方法。
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第4章电力系统潮流的计算机算法
Yii I i U i
（2）互导纳
U j 0
i, j 1,
, n, i j
互导纳Yij在数值上等于仅在节点施加单位电压而其余节 点电压均为零（即接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然 等于-yij即Yij=Yji=-yij。yij表示支路ij的导纳，负号表示该电 流流出网络。如节点ij之间无支路，则该电流为零，即Yij=0。