多项式矩阵理论
第一部分 多项式矩阵理论
第一部分：多项式矩阵理论
引言
互 质 性 1
MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为 如下“分式”形式： N ( s)
G ( s ) ( g ij ( c ) ) pq
D( s )
其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。 互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。 互质性可分为右互质性和左互质性。 右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。 左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。
右互质。
D(s) 矩阵 对所有s列满秩 N ( s)
右互质的秩判据：
右互质贝左特等式：
存在多项式矩阵X(s)和Y(s), 使得：
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I(单位阵），反之亦然。
列既约性的定义：
给定方非奇异多项式矩阵M(s)
既 约 性 2
ci M(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。
称M(s)为列既约的，当且仅当：
其行列式的次数等于其所有列次数的和，即
deg det M ( s ) ci M ( s)
i 1
p
第一部分：多项式矩阵理论
列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为：
单位矩阵I 初等矩阵E
初等变换
矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E 矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E
第一部分：多项式矩阵理论
单模矩阵定义：
称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c 为独立于s的非零常数。 例1：非奇异的常数矩阵 s 1 s 2 例2： Q( s )
s kc 1 Sc ( s ) p p
多项式矩阵理论
如何求gcd 以gcrd为例.
Why:
04级研究生《线性系统理论》教案
Gcd 的性质 以gcrd为例 gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.
04级研究生《线性系统理论》教案
非既约矩阵的既约化
1
通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
2
实质：降低行或列的次数
3
含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。
4
实现既约化以后，次数不能被降低了。
5
6.12 Smith形
史密斯形的特征
04级研究生《线性系统理论》教案
特征： Smith形的求法 见书。 对Smith形的一些讨论 对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）
次数
6.10 列次数和行次数
03
01
02
04级研究生《线性系统理论》教案
如
多项式矩阵的列（行）次表示式
列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，
1
2
行次表示式
6.11 既约性
一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式
多项式矩阵理论
7.11 既约性 7.12 史密斯形 7.13 波波夫形 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.15 小结
7.11 既约形
1.列既约性和行既约性 2.既约性判据
3.非既约性的既约化
既约性
1 行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。
证：由于rankA S 0，所以A s 中一定存在非零元素。通过行或 列的对调，我们总可以假设a11 ( s ) 0. 由引理得，可经过有限次初 等变换得到一个与A S 等价的B s 满足b11(s)为首一非零多项式， b (s) 且b11(s)能整除B s 的所有元素。将B S 第一项分别乘以- i1 加 b11 ( s ) b1 j ( s ) 到第i行，i 2, 3 m, 再将B S 的第一列分别乘以加到j列， b11 ( s ) j 2, 3 n.
A2(s ) P(s ) A1(s ) T(s )
(7 7)
【问题】为什么可以通过初等变换把多项式矩阵 化为Smith形且具有相关性质？
引理：设多项式矩阵 As =(aij (s))mn 的元素 a11 (s) 0，且A(s)中 至少有一个元素不能被它整除，则必存在一个与A(s) 等价的多项式矩阵B(S),其首行首列位置的素b (s) 0 ， 且次数比 a11 (s) 的次数低，并且b11 ( s)整除B(s)的所有元 素。
k
i 1
ci
3 deg det A(s) 3;
k
i 1
ri
4 deg det A( s) 3
即A(s)列既约的，但不是行既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
2.多项式矩阵
1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
2
2
0
2 3 2 0
2
2 2 0 0
2
0 1 3 3 3 1 2
0
0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
矩阵论最小多项式
矩阵论最小多项式矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，对于研究矩阵的性质和应用有很大的帮助。
下面我们来一步一步地探究什么是矩阵论最小多项式。
第一步，了解矩阵的特征值和特征向量在介绍矩阵论最小多项式之前，首先需要了解矩阵的特征值和特征向量的概念。
矩阵的特征值是一个数，是该矩阵的一个特性，可以通过求解矩阵的特征多项式得到。
而矩阵的特征向量则是指矩阵与特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的一个向量。
矩阵的特征值和特征向量对于研究矩阵的性质和应用非常重要。
第二步，引入矩阵多项式矩阵多项式是指多项式中的系数为矩阵，它是矩阵理论中一个重要的概念。
例如，一个$2*2$矩阵$A$的多项式可以表示为：$$f(x)=a_0I+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+...+a_nA^n$$其中，$I$是单位矩阵，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为实数或复数。
第三步，引入矩阵的代数幂矩阵$A$的代数幂$A^k$表示将矩阵$A$相乘$k$次所得到的矩阵，其中$k$为自然数。
第四步，定义矩阵的最小多项式对于一个$n*n$矩阵$A$，它的最小多项式是一个次数最低的多项式$f(x)$，使得$f(A)=0$。
具体来说，就是将矩阵$A$代入多项式$f(x)$中，得到的结果为零矩阵。
最小多项式是一个矩阵独有的概念，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。
需要注意的是，最小多项式与矩阵的特征多项式是不同的概念。
第五步，求解矩阵的最小多项式求解矩阵的最小多项式是矩阵理论中的一个重要问题，可以采用以下两种方法进行求解：1.使用线性代数的基本定理求解，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行求解；2.使用寻找伴随算子的方法，可以将矩阵的最小多项式转化为对应的伴随矩阵的特征多项式。
最后总结，矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。
通过了解矩阵的特征值和特征向量、引入矩阵多项式、引入矩阵的代数幂和定义矩阵的最小多项式等步骤，可以更好地理解和运用矩阵论最小多项式。
多项式矩阵等价的充要条件
多项式矩阵等价的充要条件在矩阵理论中，我们经常会遇到多项式矩阵的问题。
多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的情况。
那么，如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？下面我们将介绍多项式矩阵等价的充要条件。
我们需要明确多项式矩阵的定义。
一个多项式矩阵是一个矩阵，其每个元素都是一个多项式。
多项式是由常数和变量的乘积以及加法运算组成的表达式。
在多项式矩阵中，我们可以使用多项式的系数构成一个矩阵，从而得到一个多项式矩阵。
接下来，我们来介绍多项式矩阵等价的充要条件。
对于两个多项式矩阵A和B，它们是等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
换句话说，如果可以通过对A进行一系列的行变换和列变换，得到矩阵B，那么A和B就是等价的。
那么，具体如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？我们可以通过以下步骤来完成：1. 首先，我们需要将矩阵A和矩阵B写成增广矩阵的形式，即[A|B]。
2. 然后，我们对增广矩阵进行一系列的行变换，直到得到一个上三角矩阵。
3. 接下来，我们再对上三角矩阵进行一系列的列变换，直到得到一个对角矩阵。
4. 最后，我们判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
如果相等，则矩阵A和矩阵B是等价的；如果不相等，则矩阵A和矩阵B不等价。
通过以上步骤，我们可以判断两个多项式矩阵是否等价。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
判断两个多项式矩阵是否等价，我们可以通过对增广矩阵进行一系列的行变换和列变换，最终得到一个对角矩阵，然后判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的概念在矩阵理论中有着重要的应用，对于深入理解矩阵的性质和结构具有重要意义。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。
它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。
本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。
首先，我们来定义多项式矩阵。
一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。
多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。
这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。
接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。
首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。
例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。
同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。
多项式矩阵的乘法也有所不同。
在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。
而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。
具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。
注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。
多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。
一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
这个性质类似于实数矩阵的可逆性。
当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。
多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。
在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。
多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。
第5节-矩阵多项式
A的最小多项式为
I A
() 1
=(+1)2
设 f 100, A的最小多项式为 12 因此可设 f g a b, 即
100 g 12 a b, 由 1 1 0 可得：
1 a b 100 a
解得：
a 100 b 99
又由 A 0 可得： f A 100 A 99I
例：主对角元为0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ) = (- 0 )n
例：主对角元为0 的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为
P( ) = (- 0 ) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms 设A的Jordan标准形为J diag(J1, J2 ,, Jt )
其中，Ji为Jordan块
且设 A PJP1
则有 f (A) Pf (J )P1
pdiag( f (J1), f (J2 ),, f (Jt )) P1
O
例设
2
0 5
( 1)2
A的第3个不变因子为(+1)2 ,则A的最小多项式为( I A 3 1 6 ( 1)3
2 0 5 • 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 • 故A的最小多项式具有下列形式为
（ ）= (+1)k , k =1或2或3
即：若 为矩阵A的特征值，则 p为 的p特A征 值。
化零多项式
• 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如
矩阵理论-第四讲 最小多项式
0
= ϕ ( A)
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 13
Hamilton-Cayley定理的应用 – 化简矩阵多项式的计算：
• 当n阶方阵的矩阵多项式 f ( A) 中A的最高次幂超过n时，可用多项 式的带余除法，将此矩阵多项对应的多项式 f (λ ) 表示为 ϕ (λ ) =
那么根据Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明：
n ∃P ∈ Cn ×n
P −1 AP = J
考察J：
λ1 1 λ1 O O 1 λ1 0 λ2 1 O 1 λ2 0 O O O 1 λi
Dr×1 ∈ F m×( n +1) ~ D( m −r )×1
矩阵理论第4讲 - 2
信息科学与工程学院
Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理 设 A∈ C nxn ，ϕ (λ ) = det(λI − A) ，则 ϕ ( A) = 0 – 证明： 由于
利用矩阵加法的定义 A + B ∆ ( aij + bij ) 将 B(λ ) 分解
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
B(λ ) = λn −1 Bn −1 + λn − 2 Bn −1 + L + B0 Bi ∈ C n×n (i = 1,L n − 1) 考察等式 B(λ )(λI − A) = det(λI − A) I 的右边：
其中： f ij* (λ ) 是 A(λ ) 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式， 那么与常数矩阵类似：
矩阵多项式与多项式矩阵
§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。
eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。
显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。
②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。
由此可得，求最小多项式的一个方法：设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中s i k n i i ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
矩阵的多项式
矩阵的多项式在数学中，矩阵的多项式是指由矩阵构成的多项式。
它在矩阵论、线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍矩阵的多项式：定义、特征值、Jordan标准型、求解和应用。
一、定义设A为n阶方阵，多项式f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+···+am*x^m(a0,a1,a2,···,am属于数域)。
则f(A)= a0*In+ a1*A+ a2*A^2+ ··· + am*A^m 矩阵称为A的多项式。
其中，In是n阶单位矩阵。
二、特征值对于矩阵A的特征多项式f(x) = |x*In - A|，当f(x)的根为λ1，λ2，...，λn时，λi称为矩阵A的特征值，且它们是n次多项式f(x)的根。
特征值可以帮助我们判断矩阵的性质。
例如：若A的特征值均大于零，则A为正定矩阵。
若A的特征值均小于零，则A为负定矩阵。
若A的特征值均不为零，则A为非退化矩阵。
三、Jordan标准型矩阵的Jordan标准型是指将特定类型的矩阵转化为一种更易于研究的标准形式，主要用于计算矩阵的幂和指数函数等高阶函数值，是矩阵多项式求解的一个必要步骤。
矩阵A的Jordan标准型是指存在一个可逆矩阵P，使得 P^-1 * A * P = J其中，J是Jordan矩阵，具有如下形式：J(d, k) = [λ1, 1, 0, ···, 0][0, λ1, 1, ···, 0][0, 0, λ2, 1, 0][···, ···, ···, ···, ···][0, 0, 0, ···, λn]其中，λi是A的第i个特征值，d1,d2,···，dr 分别是λ1，λ2，···λr的重数。
多项式矩阵
rank
D(s) N (s)
rankU
(s)
D(s) N (s)
rank
R(s)
0
rankR(s)
所以,当条件(2.7)成立时,必有 rankR(s)= p,即 R(s)为非奇异.性质2.2知 所有gcrd都是非奇异的.
性质2.4 设 R(s)是p p和q p 的多项式矩阵 D(s)和N(s)
(2.6)
将(2.5)代入(2.6),即得
R(s) [U11(s)D1(s) U12 (s)N1(s)]R1(s) W (s)R1(s) 其中W (s)为多项式矩阵， R1(s)为R(s)的右乘因子
R(s)为D(s)和N (s)一个右公因子
例2.1 求多项式矩阵
D(s)
s 1
3s 1 S2 s 2, N(s) [1
N (s)和D(s) ,使得 N (s) N (s)R(s), D(s) D(s)R(s)
则称多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子.
易得：N(s)和D(s) 有相同的列数.行数可以不同. 定义2.4 若多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子 ,并且是
N (s)和D(s) 的任一右公因子 R1(s)的左倍式（即R(s) W (s)R1(s)）
有U
(s)
D(s) N (s)
U11(s) U21(s)
U12 U 22
(s) (s)
D(s) N(s)
R(s)
0
(2.4)
则 p×p的多项式矩阵 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd.
证 1)先证 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd 令
V
(s)
U
线性系统理论复频域-多项式矩阵
线性系统理论复频域-多项式矩阵传递函数矩阵的先修内容： 1）自控原理 2）线性代数 3）拉斯变换多项式矩阵理论 1 多项式矩阵定义 多项式设s 为复变量,则称d(s)的次数为m 记为degd(s)=m 当时称d(s)为首1多项式多项式矩阵矩阵中每个元素都是s 的多项式 例实数矩阵是多项式矩阵的特殊情况，即每个元素的次数均为0111)(d s d s d s d s d m m m m ++++=-- 1=m d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=171521311)(322s s s s s s s D有理分式域例称为s 的有理分式 2 奇异性奇异： 方矩阵θ(s)的行列式为0即 det[θ(s)]=0称奇异,反之为非奇异 例 判断以下多项式矩阵的奇异性是非奇异矩阵。
，是奇异矩阵注意 奇异性是指方多项式矩阵行列式的值恒为0（无论s 为何值）3 线性相关性定义 设是s 的多项式向量,当存在一组不全为0的多项式使得01101........)(a s a a s b s b s b s G n n m m +++++++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=2631)(1s s s s θ0)3(6)2)(1()](det[1≠+-++=s s s s θ)(1s θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=652331)(222s s s s s s s θ0)](det[2=s θp i s q i 1),(=p i s i 1),(=α则称多项式向量是线性相关的 反之,仅在时上式成立,则是线性无关的注 是s 的多项式例 考察两个多项式向量的相关性。
解:取由定义可知多项式向量和是线性相关的,上列写成矩阵与向量乘积的形式为可以验证，是奇异的,等同于的列向量(或行向量)是线性相关的4 秩定义 设是p ×q 维多项式矩阵，即如果至少存在一个r ×r 的子式不恒等于0,所有更高阶子式0)()()()()()(2211=+++s q s s q s s q s p p ααα Tp s q s q s q )]()()([21 p i s i 1,0)(==αT p s q s q s q )]()()([21 p i s i 1),(=αT Ts s s s q s s s q ]1,23[)(]1,2[)(2221-++=-+=1)(,1)(21-=+=s s s αα)(1s q )(2s q []αθαα⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111232)()()()(222121s s s s s s s s s q s q 0)]()(det[21=s q s q )(s θ)(s θ)(s θqp Rs ⨯∈)(θ均等于0,则称的秩为r ，记为例 ， 推论:1)2) 等价于中仅有r 个列(行)之间线性无关3) 满秩意味着 4) 为方阵时，,{满秩}={非奇异} {奇异}={}5)设θ(s) ∈R(s)p×q，P(s) ∈R(s)q×q， R(s) ∈R(s)p×p，P(S)与Q(S)均为任意非奇异矩阵。
矩阵的特征多项式与特征值
矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。
特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。
根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。
进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。
特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。
特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。
二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。
我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。
设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。
这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。
所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。
特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。
通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。
三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。
1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。
在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。
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6.1 多项式及其互质性
1 多项式及其性质
以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(s)
d (s) dnsn dn1sn1 d1s d0 , s C, di R, i 0,1,2,n
❖ d(s) 的次数
：n = deg d(s)；
❖ d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn ≠ 0；
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s) a1n (s)
A(s)
am1(s) amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
情况2： deg n(s) ≥ deg d(s), 则采用长除法直接用d(s)去除 n(s) 得到商 式和余式，商式便是 q(s)，余式便是 r(s)。这里 q(s) 的最低次幂 ≥ 0。
【例6-1】 n(s) 2s3 3s 1, d (s) s2 s 2, 2s 2 q(s)
s2 s 2 2s3 0s2 3s 1 2s3 2s2 4s
A1(s) adjA(s) 多项式矩阵 /多项式 有理分式矩阵 det A(s)
4 线性相关和线性无关
给定元属于有理分式域R(s)的m个n维列或行多项式向量
{q1(s), q2(s), … qm(s)} 其中， m ≤ n。
(6-16)
线式性 成定立相：义关，6-6当[线且性仅相当关存和在线一性组无不关全]为称零多的项多式项向式量{α组1({sq),1(αs2)(,s)q,2…(s),,α…m(,sq)}m使(s)下}为
❖ 首一多项式
：最高次幂系数 dn = 1 。
多项式的性质：设多项式d(s)，n(s)∈R[s], d(s) ≠ 0, n(s) ≠ 0
(6 1)
(1) d (s)n(s) 0; (2) deg[ d (s)n(s)] deg d (s) deg n(s); (3) 当且仅当 deg d (s) deg n(s) 0, deg[ d (s)n(s)] 0; (4) 若d (s) n(s) 0，deg[ d (s) n(s)] max[deg d (s), deg n(s)]; (5) 若d (s)、n(s)均为首一多项式， d (s)n(s)必为首一多项式。
本章主要内容
多项式矩阵理论是线性系统复频域理论的主要数学基础，这里主要学习与多 项式、多项式矩有关的数学知识：
1. 多项式及其互质性 2. 多项式矩阵极其属性 3. 多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的行（列）次 4. 行(列）既约多项式矩阵、多项式矩阵互质性 5. 多项式矩阵的Smith规范型、线性矩阵束sE-A和 Kronecker规范型
定理6-3 设有两个多项式 d(s) 和 n(s) 的，d(s)≠0，当且仅当满足下面条 件之一，d(s) 和 n(s) 是互质多项式。
(1)
d (s) n(s)
1,
s C
(6 8)
或
d (s0 )
n(s0)Fra bibliotek1,s0 : d (s0 ) 0, s0 C
(2) 存在两个多项式x(s)、y(s)使得
科学家：在频域中通过传递函数矩阵探求与时域中状态空间法并行的有益结果。
1963年，V.Belevitch： 将多项式矩阵的互质性与Kalman提出的可控性、可观测性联系起来。
1970年， H. Rosenbrock： 系统地研究了多项式矩阵表达式与状态空间表达式之间的关系； 并提出了解耦零点的概念。
(6 3)
如果q(s) - q1(s) ≠ 0，则(6-3)式左边阶次大于或等于deg d(s)，而(6-3)式右 边阶次应小于deg d(s)，产生矛盾。所以
q(s) = q1(s)， r(s) = r1(s)
推论6-2 (余式定理)若n(s)∈R(s), α∈C, 则n(s)被d(s)=(s- α)除余式为常数n(α)。
定理6-1 (欧几里德除法定理)设 d(s), n(s)∈R[s] 且d(s)≠0, 则存在唯一的
q(s), r(s)∈R[s]，使得
n(s) q(s) d(s) r(s)
deg r(s) deg d (s)
(6 2)
证明：情况1： deg n(s) ＜ deg d(s), 则 q(s)=0, r(s)=n(s)
证明：
degr(s) deg(s ) 1, r(s)为常数r
lim n(s) lim[q(s)(s ) r] r
s
s
所以，余式为n(α)。证毕。
(6 4)
多项式的因式和互质性 （设d(s)，n(s)，r(s)为多项式） 因式：如果多项式n(s)可被多项式r(s)整除，则称r(s)为n(s)的一个因式。 公因式： r(s) 既是 d(s)的因式又是 n(s) 的因式，则r(s) 是d(s)和 n(s) 的公因式。 平凡公因式：非零常数。 注：非零常数总是每对d(s)和n(s)的公因式。 非平凡公因式：阶次大于或等于1的多项式。
如果上式 Sylvester 矩阵是非奇异的，则方程组有唯一的平凡解，相应 地(6-12) 有一个平凡解，即
a(s) = 0, b(s) = 0。 即定理(6-3)中条件(3)成立，d(s) 和 n(s) 互质。
由此归纳出下述定理。 定理6-4 多项式 d(s) 和 n(s) 互质的充要条件是它们的Sylvester矩阵非奇 异。
多项式互质问题变为有无非平凡解问题。如果非平凡解存在，怎样求得 具有最小阶次的非平凡解。
行搜索法是求解非平凡解的有效方法[见“仝茂达” P.293-296]。
2 有理函数
有理函数：
两个多项式之比，即 g(s) = n(s)/d(s)。
既约有理函数： 倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)互质。
【例6-4】 两个2×2的多项式矩阵如下：
s 1
s3
s 1
s3
A1(s) s2 3s 2 s2 5s 4 ; A2 (s) s2 3s 2 s2 5s 6
容易求出它们的行列式为
det A1(s) (s 1)(s2 5s 4) (s 3)(s2 3s 2) 2s 2 det A2 (s) (s 1)(s2 5s 6) (s 3)(s2 3s 2) 0
d1
dm2
0
S
n0
0 n1
0 n2
d0
nm1
0 n0 n1 nm2
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
0 0 0
dm d m 1
d1 nm nm1 . . . 0
dn1 dn2
dnm
0 0 nm . 0 .. . .. . .. . 0 . n0
dn d n 1
50年代以后，宇航事业、过程控制和计量经济学等的发展，被研究对象从简单的单变量系 统发展成规模庞大、结构复杂的多边量系统，人们为了建立精确的模型还要考虑到系统具有的 非线性和时变特性。Bellman 和 Kalman 等学者借助于状态概念建立了“现代控制理论”。
现代控制理论的主要特征： 研究对象 → 复杂的多变量系统； 数学工具 → 线性代数； 研究方法 → 状态空间法； 理论优点 → 揭示系统的内部、外部特性和行为，设计自由度大、目标明确； 理论缺点 → ⑴ 建立复杂系统的状态空间表达式（动态方程）非常困难； ⑵ 状态变量的物理概念比较隐晦、且并不总具备可测量特性。
(6 9)
x(s)d(s) y(s)n(s) 1 (3) 不存在多项式a(s)、b(s)使得
(6 10)
n(s) b(s) d(s) a(s) 或等价为
(6 11)
b(s)d (s) a(s)n(s) b(s)
a(s)
d (s) n( s)
0
(6 12)
且
deg a(s) deg d (s)
2s2 7s 1 2s2 2s 4
9s 5 r(s)
n(s) (2s 2)d (s) (9s 5)
下面证唯一性。设除了商式q(s) 和余式 r(s)外，还有商式q1(s)和余式r1(s)，则
n(s) q(s)d(s) r(s) q1(s)d(s) r1(s)
或
[q(s) q1(s)]d(s) r1(s) r(s)
A(s)
s
2
s
1 3s
2
7s2 2s 1 4
5s3 2s2 s
6s 7