4.2 正交向量组与正交矩阵(2010版)
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
4.2正交规范基础
正交规范基， 那么 1,2 ,,n 1, 2 ,, n C 也不是 V 的
正交规范基。（为什么一定不是）。
（四） Gram-Schmid正交化
欧几里得空间是否存在正交规范基，若存在如
何找出，出发点是从一个一般的基由Gram-Schmid方法得
到正交规范基 1,2 ,,n 过渡矩阵为 C, 则 C 为正交矩阵。
推论 2 设 1, 2 ,, n 欧几里得空间 V 里正交规范基，
1,2 ,,n 1, 2 ,, n C, 则 1,2 ,,n 是 V 的 C 是正交矩阵，
正交规范基。 注
故坐标为
1 3
1 6
3 2
T
(三 ) 正交规范基之间的过渡矩阵
一般线性空间里两个基之间的过渡矩阵是可逆矩阵，
但在欧几里得空间里正交规范基之间的过渡矩阵满足更 强的要求，为此引入如下概念-----正交矩阵。 1 正交矩阵的定义及性质 定义2 方阵 A 若满足
AAT AT A E
A1 AT T 1 (2) A 是正交矩阵 ,则 A A 也是正交矩阵；
(3) 正交矩阵的乘积是正交矩阵。
(4) 正交矩阵的行列式要么为1要么为-1。
接下来我们刻画正交矩阵的特征，由此可看到它 为什么叫正交矩阵。
定理3 方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的
行（列）向量都是两两正交的单位向量。
1 , 2 2 , 2 n , 2
1 , n 2 , n n , n
1 0 E 0
0 0 1 0 ,这表明1 , 2 ,, n 是两两正交的单位向量。 0 1
第一讲正交向量组及施密特正交法
第一讲Ⅰ 授课题目：§5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求：1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，令 []n x y x y x y x +++= 2211,，[]y x ,称为向量x 与y 的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,.内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.例1 设有两个四维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5121α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5603β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=ααn 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x =[]22221,n x x x x x ++=，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质：① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性x x λλ=；③ 三角不等式 y x y x +≤+.向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2⋅≤由此可得[]1 ,≤yx y x （当0y ≠x 时）于是有下面的定义：当0≠x ，0≠y 时， []y,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角.二、正交向量组当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，以T 1α左乘上式两端，得 0111=ααλT，因01≠α，故0211≠=αααT，从而必有01=λ.类似可证0,02==r λλ .于是向量组r ααα ,,21线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在n 维向量空间中，两两正交的向量不能超过n 个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n 个两两正交的n 维非零向量，可构成向量空间nR 的一个正交基.例2 已知3维向量空间3R 中两个向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α正交，试求一个非零向量3α，使321,,ααα两两正交.解 记 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111121T T A αα， 3α应满足齐次线性方程0=Ax ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00121111321x x x ，由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010101~030111~A ，得 ⎩⎨⎧=-=0231x x x ， 从而有基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α即合所求.定义3 设n 维向量r e e e ,,,21 是向量空间)(nR V V ⊂的一个基，如果r e e e ,,,21 两两正交，且都是单位向量，则称r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.若r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基，那么V 中任一向量α应能由r e e e ,,,21 线性表示，设表示式为 r r e e e λλλα+++= 2211.为求其中的系数),1(r i i =λ，可用T i e 左乘上式，有 i i T i i T i e e e λλα==，即 []i Ti i e e ,ααλ==.设r ααα ,,21是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量r e e e ,,,21 ，使r e e e ,,,21 与r ααα ,,21等价.这样一个问题，称为把r ααα ,,21这个基规范正交化.以下办法可把r ααα ,,21规范正交化： 取 11α=b ；[][]1112122,,b b b b b αα-=； ……[][][][][][]111122221111,,,,,,-------=r r r r r r r r r b b b b b b b b b b b b b αααα . 容易验证r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价. 然后只要把它们单位化，即取111b b e =，222b b e =，……，rr r b b e =，就得V 的一个规范正交基.上述从线性无关向量组r ααα ,,21导出正交向量组r b b b ,,,21 的过程称为施密特（Schimidt ）正交化过程.它不仅满足r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价，还满足：对任何)1(r k k ≤≤，向量组k b b b ,,,21 与k ααα ,,21等价.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222b b b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x对应的矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，显然E A A T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果n 阶矩阵A 满足E A A T= （即T A A=-1），称A 为正交矩阵.上式用A 的列向量表示，既是()E n T n T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αααααα,,,2121 ，亦即())(ij j T iδαα=，这也就是2n 个关系式⎩⎨⎧≠===j 0,j,i ,1i ij j Ti 当当δαα （n j i ,2,1,=）. 这就说明：方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又E A A T=与E AA T=等价，所以上述结论对A 的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的n 个列（行）向量构成向量空间nR 的一个规范正交基.比如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22212122，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----212100021212121212121212121都是正交矩阵. 注 正交矩阵的性质：设B A ,均为正交矩阵，则1.1±=A ，因此A 为满秩矩阵；2.1-=A A T，并且也是正交矩阵； 3.AB 也是正交矩阵.定义5 若P 为正交矩阵，则线性变换Px y =称为正交变换.设Px y =为正交变换，则有 x x x Px P x y y y T T T T ====.按x 表示向量的长度，相当于线段的长度.x y =说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.Ⅴ 小结与提问：小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量βα,，由施瓦兹不等式有[]1,≤⋅βαβα.从而[]βαβαθ⋅=,arccos才有意义.3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化.4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是A的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？2.A 、B 均是正交阵，B A +是正交阵吗？ Ⅵ 课外作业：161P 1.（2）2.（1）3.第二讲Ⅰ 授课题目：§5.2 方阵的特征值与特征向量 Ⅱ 教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。
第四章2正交矩阵
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
人教A版数学必修四.2平面向量的正交分解及坐标表示同步课件
例：用基底 i , j 分别表示向量 a,b, c, d 并求出它们的坐标.
y
b 2i 3 j
5
(2,3)
b
4
3
B AB 2i 3 j a (2,3)
2 A
1
j
-4 -3 -2
c 2i 3 j
-1 O -1
i1
2
34
x
-2
(2, 3)
c
d d 2i 3 j
(2, 3)
人教A版数学必修四.2平面向量的正交 分解及 坐标表 示同步 课件（ 精品课 件）
a i 3 j,
b 2i 4 j, c 1 i j.
2
2 . 用 向 量 i、j表 示 下 列 向 量 ： a ( 2 , 1 ),
34 b (3,1),
c ( 1, 5)
人教A版数学必修四.2平面向量的正交 分解及 坐标表 示同步 课件（ 精品课 件）
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这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯 一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
坐标，记作
a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
人教A版数学必修四.2平面向量的正交 分解及 坐标表 示同步 课件（ 精品课 件）
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D
x
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概念理解
y
1．以原点O为起点 y
a
A
第 4 章 第 5 讲 正交矩阵
以下两组向量作 R2 的基底, 那组更好一些 ?
o
o
三维几何空间
我们熟悉的三维几何
空间里, 不仅有直线, 平面, 共线, 共面等 向量空间的概念, 还有距离, 夹角, 垂直的概念.
C
B A B
| AB |AC | | BC |
( β, β ) 30,
1 α β 1 2 α β 30 5
在欧氏空间中, • 由非零向量组成的两两正交的向量组 称为正交向量组 . • 由单位向量组成的两两正交的向量组 称为单位正交向量组 . • 1 , 2 , … , s 是单位正交向量组
B'
D' B A Μ
C
D
如图, M 为单位立方体棱 DD’的中点
向量空间添加哪些结构， 就能引入距离、夹角概念 ？
a1 b1 a b 2 , β 2 Rn , 若 α an bn
α , β 的标准内积定义为 T ( α , β ) a1b1 a2b2 anbn α β
定义 : 满足以下等价条件的实方阵 A
称为正交矩阵
1)
AT A
正交矩阵的逆 =I ; 很好算
2) A AT = I ; 3) A-1 = AT ; 4) A 的列 (行) 向量组构成欧氏空间 的一组标准正交基 .
欧氏空间 Rn 的标准基 是一组标准正交基
1 0 0 0 1 0 ε 1 , ε 2 , , ε n 0 0 1
欧氏空间 Rn 的标准基 是一组标准正交基
1 0 0 0 1 0 ε 1 , ε 2 , , ε n 0 0 1
向量组的正交性与正交矩阵
证:
设k11 k22 ... kmm O (i , k11 k22 ... kmm ) (i , O) 0 k1 (i , 1 ) k2 (i , 2 ) ... km (i , m ) 0 Q 1,2 ,..., m为正交向量组, 则（i， j ） 0, (i j) ki (i , i ) 0 由于i O, 即(i , i ) 0 ki 0 ( i =1,2,·,m ) · ·
2.在R4中求由下列向量生成的子空间的维数和一组正 交规范基 α1=（2，0，1，1），α2=（-1，-1，-1，-1）， α3=（1，-1，0，0），α4=（0，-2，-1，-1）
1.求由下列向量组生成的向量空间 V L 1,2 ,3 ,4 ,5 的维数和一组正交规范基，并用它表示向量组中剩余的向 量。
即1 ,2 ,.., n为单位正交向量组。
方法一、用定理。 方法二、用定义。
1/ 9 8 / 9 4 / 9 A 8 / 9 1 / 9 4 / 9 , A正交吗？ 4 / 9 4 / 9 7 / 9 正交
1 8 4 A 8 1 4 , A正交吗？ 4 4 7
2 .. n
1T 1 1T 2 T T 2 1 2 2 .. .. T T n 2 n 1
.. 1T n T .. 2 n .. .. T .. n n
0 0 ( i , i ) 1, ( i , j ) 0 .. (i j ) 1
五、正交矩阵：
T 若 1.定义4： n阶方阵A满足A A E，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质：(i)
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
正交矩阵及其性质培训课件
y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
7 2020/3/17
也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
4 2020/3/17
定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/3/17
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此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
3 2020/3/17
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
线性代数§42
由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念: | x | x12 x22 x32 ,
arccos x y .
| x|| y|
我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:
定义1:
设有n维向量
x
0 0
2 2
,
e4
0 0 1 1
22 .
由于
(ei ,e j ) ij
0 1i i源自j j(i, j 1,
2,
3,
4).
所以, e1, e2, e3, e4为R4的一组标准正交基.
同理可知
1 0 0 0
1
|| x |||| y ||
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
三、正交向量组的概念及求法
1. 正交的概念
当
x, y
2
时, 称向量 x 与 y 正交（垂直）.
由两向量的夹角公式容易得到：
定理：非零向量 x 与 y 正交
（x，y）＝0
显然, 若x=0, 则 x与任何向量都正交.
几 何 解 释 b1 = a1,
b2 = a2 – c2, c2为a2在b1上的 投影向量, 即
c2
(a2, ||
b1 b1
) || ||
b1 b1
||
(a2 , b1 ) || b1 ||2
b1,
b3 = a3 – c3, c3为a3在b1, b2
所确定的平面上的投影向量,
b3 a3
c32
所谓正交向量组
(2)若A与对角矩阵
19
1
2
n
相似,则 1 , 2 ,, n是A的n个特征值.
2020/7/7
(3)若A PB P 1 ,则 Ak P Bk P 1 ,
( A) P (B) P 1 .
特别地,若有可逆阵P, 使 P 1 AP 为对角阵,
20 则有 Ak P k P 1 , ( A) P () P 1 .
(1)非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0;
(2)齐次性 x x ;
(3)三角不等式 x y x y .
2020/7/7
当 x 1时, 称x为单位向量.
向量的内积满足施瓦茨不等式
6
[ x, y]2 [ x, x][ y, y],
从而有 [ x, y] 1, (当 x y 0时). xy
（列）向量都是单位向量，且两两正交． 正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn
的一个规范正交基.
2020/7/7
定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px称为 正交变换．
正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
13
设y Px为正交变换,则有 y yT y xT PT px xT x x .
2020/7/7
３ 向量的夹角
定义 当 x 0, y 0时,
arccos[ x, y]
7
xy
称为n维向量x与y的夹角.
当[x, y] 0时,称向量x与y正交. 若x 0,则x与任何向量都正交.
2020/7/7
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
n阶方阵A有n个特征值.若A (aij)的特征值为
第二节标准正交基
(5)
(5) 式相当于一个矩阵的等式
ATA = E ，
(6)
或者
A-1 = AT .
定义 7 n 级实数矩阵 A 称为正交矩阵，如
果 ATA = E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正
交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
第二组基一定也是标准正交基. 最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
显然
m +1 0 , 且 (m +1 , i) = 0 ，i = 1 , 2 , … , m .
令
m1
m1 | m1
|
.
则 1 , 2 , … , m , m +1 就是一单位正交向量组.
同时
L(1 , 2 , … , m +1 ) = L(1 , 2 , … , m +1) .
交向量组的方法称为施密特(Schimidt)正交化过程.
三、举例
例1 设
1
1
4
a1 2 , a2 3 , a3 1 ,
1
1
0
试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交
人教A版数学必修四.2《平面向量的正交分解及坐标表示》同步-【完整版】
y B
A O
C D
x
人教A版数学必修四.2《平面向量的正 交分解 及坐标 表示》 同步教 学课件 -精品 课件ppt (实用 版)
人教A版数学必修四.2《平面向量的正 交分解 及坐标 表示》 同步教 学课件 -精品 课件ppt (实用 版)
例5.如图，已知□ ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（3）向量 C D 能否由 i , j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD2i 3j
平面向量的坐标表示
y
D
a
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
C
的单位向量，若以 i , j 为基底，则
A
对于该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数x、y，可使
j oi
B
x
axi +yj
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
y
a
y
A
j
Oi
x
x
axi +yj OAxi +yj
例2.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a A A 1 A A 2 2 i 3 j
复习
一、平面向量基本定理：
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a1e1 +2e2
这 里 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 .
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
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否化为与之等价的一个正交向量组 β , β , , β 呢?
1
2
m
答案是肯定的！
事实上,这个问题可以通过施密特正交化方法解决。 下面介绍施密特正交化方法。
2010年3月29日星期一
7
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定理4.3
设α１，α２， ，αm是线性无关的向量组，则向量组
β１＝α１,
β2
=
α2
−
[α2 ,
[β1,
4. 2 正交向量组与正交矩阵
4.2.1 正交向量组 4.2.2 正交矩阵 4.2.3 本节小结与课外练习
2010年3月29日星期一
1
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4.2.1 正交向量组
定 义 4.5 如 果 n 维 向 量 α 与 β 的 内 积 [α , β ] = 0 ，则称α 与 β 正交(orthogonal)。
其为标准正交向量组，简称标准正交组
α1
=
⎛ ⎜⎝
1 3
,
2 3
,
2 3
⎞′ ⎟⎠
α2
=
⎛ ⎜⎝
2 3
,
1 3
,−
2 3
⎞′ ⎟⎠
α3
=
⎛ ⎜⎝
2 3
,−
2 3
,
1 3
⎞′ ⎟⎠
可以验证， α1, α2 , α3 就是一个正交向量组
2010年3月29日星期一
5
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在 Rn 中
ε1 =（1，0， , 0）′ ε2 =（0,1, ,0）′
(3, −5,1, −1)′
=
(5, 3,1,1)′
36
β3 =
α3
−
[α 3 , [β1,
β1 ] β1 ]
β1
−
[α3 [β2
, ,
β2 β2
] ]
β2
= (7, −3,5,5)′ − 36 (3, −5,1, −1)′ − 36 (5,3,1,1)′
36
36
= (−1, −1, 3, 5)′
2010年3月29日星期一
εn =（0,0, ,1）′
是标准正交组，称为基本向量组
α = (a1, a2 , an )′
α = a1ε1 + a2ε 2 + + anε n
2010年3月29日星期一
6
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施密特正交化方法——问题得提出
由定理4.2知：任何正交向量组线性无关。
反之，任何一个线性无关的向量组α 1 ,α 2 , ,α m 能
αT 1
α1
=‖α
1
‖2≠0，从而必有
λ
1=
0
,
类似可证λ2 =0,…, λr =0。
于是,向量组α 1,α 2 , ,α r 线性无关。 证毕
2010年3月29日星期一
3
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例 1（P88 例 4.7） 试证：如果矩阵 A 的列向量构成
正交向量组,则 AT A 是对角矩阵。
证明 设 A =（α 1 ,α 2 , ,α s ）满足
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
c11 c21
c12 ......c1n c22 ......c2 n
⎞ ⎟ ⎟
........................ ⎟
,
⎜
⎟
⎝ cn1 n ⎠
⎛ x1 ⎞
x
=
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜⎟ ⎝ xn ⎠
⎛ y1 ⎞
y
=
⎜ ⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟ ⎟
⎜⎟ ⎝ yn ⎠
把ξ1，ξ2正交化，即为所求，亦即取
α
2＝ξ1，α
3＝ξ
2
-
[ξ2，ξ1 ] [ξ1，ξ1 ]
ξ1
于是得
⎡1⎤
⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡−1⎤
α
2＝⎢⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1⎥⎦
，α3＝⎢⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣−1⎥⎦
-
1 2
⎢ ⎢ ⎢⎣
0
⎥ ⎥
−1⎥⎦
＝
1 2
⎢ ⎢ ⎢⎣
2
⎥ ⎥
−1⎥⎦
2010年3月29日星期一
可见正交变换y=Px不改变向量的内积。
由于向量的模、夹角和距离都是用内积表达，故这 三者在正交变换下也不改变。证毕
2010年3月29日星期一
18
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例5（P91 例4.11） 验证平面旋转变换 x = x′ cosθ − y′sinθ y = x′sinθ + y′ cosθ
是正交变换。
transform)。
定理 4.5 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量 的模、夹角和距离。
证明 设 P 是 n 阶正交矩阵， x1, x2 ∈ n , 记 y1 = Px1, y2 = Px2 , 则
[ y1, y2 ] = y1T y2 = (Px1)T (Px2 ) = x1T (PT P)x2 = x1T x2 = [x1, x2 ]
2010年3月29日星期一
13
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定理4.4 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 （P90） 向量构成标准正交组。
证明：设α1,α2 , ,αn是矩阵A列向量，则
⎡⎢α1′
⎤ ⎥
⇔ A是正交矩阵
A′A
=
⎢α
⎢
′
2
⎥ ⎥
[α1
,α
2
,
⎢⎥
⎢⎣⎢α
′
n
⎥ ⎥⎦
⎡1
⎢
,α
n
]
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
易知，n 维零向量与任何 n 维向量正交。
若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向 量 都 正 交 ， 则 该 向 量 组 称 为 正 交 向 量 组 (orthogonal vectors)。
例如， α 1 = (1, 1, 1) T ， α 2 = (1, 0 , − 1) T ， α 3 = (1, − 2 , 1) T 就是一个正交向量组。
2
y
+
2z)
=
0
x=∓ 4 18
y=z=± 1 18
⎪ ⎨
1 (y − z) = 0
⎪2
⎪ x2 + y2 + z2 =1
⎪⎩
α = ±(− 4 , 1 , 1 )′
18 18 18
2010年3月29日星期一
21
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20
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思考题 现有标准正交组
α1
=
(1 3
,
2 3
,
2 )′ 3
α2 = (0,
1 ,− 2
1) 2
求三维向量α 使得矩阵 (α1 α2 α ) 为正交矩阵
解 α = (x, y, z)′ α1,α2 ,α 是标准正交组
α1′α = 0 α2α = 0 α = 1
⎧1 ⎪⎪ 3
(
x
+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α3 = (3 −2 −6)′
A
=
1 7
(α1
α2
α3 )
[α1,α2 ] = 0,[α1,α3 ] = 0,[α2 ,α3 ] = 0
α1 = α2 = α3 = 1
777
可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵
2010年3月29日星期一
16
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线性变换、可逆变换和正交变换
设
C
12
m
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9
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例2（补充题） 用施密特法将向量组
α1 = (3, −5,1, −1)′ α2 = (−1,13, −1,3)′ α3 = (7, −3,5,5)
正交规范化。
解
取
β1
β2
===α(α−112,1−3,[[−αβ1,123,,)ββ′ −11]]−β712
β1 ]
β1 ]
β1
β3
=
α3
−
[α
[β
3 1
, ,
β1 β1
]
]
β
1
−
[α 3 ,
[β 2 ,
β β
2 2
]
]
β
2
[ ] [ ] [ ] βm
=
αm
−
αm , β1 [β1, β1]
β1
−
αm, [β2,
β2 β2 ]
β2
−
−
αm , βm−1 [βm−1, βm−1
]
βm−1
是正交向量组，且向量组 β1, , βl 与 α1, ,αl
等价，１≤ l ≤ m
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如果令
η i＝
1
β
β i （ i＝1,2,…,m）
i
则 η ,η , 12
α α η, 是与 m
,,
12
,α m 等价的标准正交向
量组。上述从线性无关组
α
α,
1
,
2
α, m
导出正交向量
组 β , β , , β 的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。