线代1向量的内积长及正交性
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§1 向量的内积、长度及正交性
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当 ( x, y ) = 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知, 若 x = θ , 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 非零向量组中的向量两两正交 量组为正交向量组． 量组为正交向量组． 正交向量组
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
６ 求规范正交基的方法
设α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 ,⋯ , e r , 使e1 , e 2 ,⋯ , e r 与α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 等 价, 这样一个问题 , 称为 把α1,α2 ,⋯,αr 这个基规
把基础解系正交化，即合所求． 把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 = ξ 1 ,
a3 = ξ −
2
(ξ ,ξ ) (ξ ,ξ
1 1 2 1
ξ. )
1
其中(ξ ,ξ ) = 1, (ξ ,ξ ) = 2, 于是得
1 2 1 1
1 0 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 − 0 = − 1 − 1 2 − 1
e , e , e 即为所求 .
1 2 3
例4 已知 α1 = (1,1,1) , 求非零向量 α 2 , α 3使α1 , α 2 , α 3
T
两两正交.
线性代数正交规范化ppt课件
x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
1向量的内积及正交性
n
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
1向量的内积长度及正交性
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
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定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
《线性代数及其应用》第六章 正交性和最小二乘法
§2 正交集
定义 ¡ n 中的向量集合 u1,..., up 称为正交向量集，如果
集合中的任意两个不同向量都正交，即
当 i j 时， ui uj 0.
定理4 如果 S u1,..., up 是由 ¡ n 空间中非零向量构成的
正交集，那么S 是线性无关集，因此构成所生成的子空间S 的一个基.
证：如果 0 c1u1 L cpu p 对于任意数 c1,…,cp 成立， 0 0gu1 (c1u1 c2u2 L cpu p )gu1
(c1u1)gu1 (c2u2 )gu1 L (cpu p )gu1
c1(u1gu1) c2 (u2 gu1) L cp (u p gu1)
中的每个向量y ， 线性组合 y c1u1 L cpu p
中的权值可以由
cj
ygu j u j gu j
( j 1,K , p) 计算.
证明提示：通过正交条件，由 yguj 的表达式中求解 c j .
正交投影
对 ¡ n 中给出的非零向量u ， 考虑¡ n 中一个向量y 分解为两 个向量之和的问题，一个向量是向量u 的数量乘积，另一个 向量与u垂直. 我们期望写成
和正交性，这个性质对很多计算机算法非常重 要.
正交矩阵
定义 4 设 U 为 n 阶可逆的方阵, 且U 1 U T , 则称 A 为正交矩阵.
正交矩阵的性质
(1) 若矩阵 U 为正交矩阵, 则 |U| = ; (2) 方阵 U 为正交矩阵的充要条件是 UU T U TU I; (3)方阵 U为正交矩阵的充要条件是 U 的
正交向量
当向量u 和向量v 看作几何点时，通过这些点和原点的两条直
线相互垂直的充分必要条件是 u v＝0.
下面给出¡ n空间中两个向量互相垂直(或正交)的一般定义:
线性代数5.1向量内积
当 [ x , y ] = 0，称向量 x 与 y 正交. 显然，若x = 0，则x与任何向量都正交.
下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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1 1 4
例 5.2
设
a1
21
，a2
3 1
，a3
1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2
a2
[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A
a1T a2T
M
a1 ,a2 ,L
,an
a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L
anT
anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M
xn
yn
令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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例 5.2
设
a1
21
，a2
3 1
，a3
1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2
a2
[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A
a1T a2T
M
a1 ,a2 ,L
,an
a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L
anT
anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M
xn
yn
令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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线性代数课件4-3向量的内积和Schmidt正交化
向量内积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。
向量内积的性质
非负性
$mathbf{u} cdot mathbf{v} geq 0$，当且仅当
$mathbf{u}$与$mathbf{v}$同 向或反向时取等号。
交换律
$mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{v} cdot mathbf{u}$。
线性代数课件4-3向量 的内积和schmidt正 交化
contents
目录
• 向量的内积 • Schmidt正交化 • 向量的模 • 向量的外积
01
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义为两个向量之间的点乘，记作$mathbf{u} cdot mathbf{v}$，计 算公式为：$mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + cdots + u_nv_n$，其中$mathbf{u} = (u_1, u_2, ldots, u_n)$和$mathbf{v} = (v_1, v_2, ldots, v_n)$。
1
正交化后的向量组是正交的，即任意两个不同向 量的点积为0。
2
正交化后的向量组是单位向量组，即每个向量的 模长为1。
3
正交化后的向量组是线性无关的，即不存在不全 为零的系数使得这些系数的线性组合等于零向量 。
Schmidt正交化的计算方法
首先，将非正交向量组进行单位化，使得每个 向量的模长为1。
然后，通过线性变换将每个向量与其余向量进 行正交化，使得任意两个不同向量的点积为0。
计算步骤
02
03
注意事项
首先计算各个分量，然后根据这 些分量构造向量c。
向量内积的性质
非负性
$mathbf{u} cdot mathbf{v} geq 0$，当且仅当
$mathbf{u}$与$mathbf{v}$同 向或反向时取等号。
交换律
$mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{v} cdot mathbf{u}$。
线性代数课件4-3向量 的内积和schmidt正 交化
contents
目录
• 向量的内积 • Schmidt正交化 • 向量的模 • 向量的外积
01
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义为两个向量之间的点乘，记作$mathbf{u} cdot mathbf{v}$，计 算公式为：$mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + cdots + u_nv_n$，其中$mathbf{u} = (u_1, u_2, ldots, u_n)$和$mathbf{v} = (v_1, v_2, ldots, v_n)$。
1
正交化后的向量组是正交的，即任意两个不同向 量的点积为0。
2
正交化后的向量组是单位向量组，即每个向量的 模长为1。
3
正交化后的向量组是线性无关的，即不存在不全 为零的系数使得这些系数的线性组合等于零向量 。
Schmidt正交化的计算方法
首先，将非正交向量组进行单位化，使得每个 向量的模长为1。
然后，通过线性变换将每个向量与其余向量进 行正交化，使得任意两个不同向量的点积为0。
计算步骤
02
03
注意事项
首先计算各个分量，然后根据这 些分量构造向量c。
线性代数中内积空间与正交性
线性代数中内积空间与正交性内积空间是线性代数中一个重要的概念，它是向量空间上定义了一个内积运算的结构。
内积空间的重要性在于它使得我们可以定义向量之间的夹角和长度，同时也为后续讨论正交性提供了基础。
一、内积空间的定义与性质内积空间的定义：设V为一个n维线性空间，对于任意的u、v、w ∈ V和任意的实数a，满足以下条件的运算称为内积：1. u·v = v·u （对称性）2. (au)·v = a(u·v) （齐次性）3. (u+v)·w = u·w + v·w （加法性）4. u·u ≥ 0，当且仅当u为零向量时，u·u = 0。
（正定性）内积空间的性质：1. 内积的线性性：对于任意的u、v ∈ V和任意的实数a、b，有(au+bv)·w = a(u·w) + b(v·w)。
2. 内积的非负性：对于任意的u ∈ V，有u·u ≥ 0，并且当且仅当u 为零向量时，u·u = 0。
3. 内积的正定性：对于非零向量u ∈ V，有u·u > 0。
二、向量间的夹角与正交性1. 夹角：在内积空间中，可以利用内积的定义计算向量之间的夹角。
设有u和v为非零向量，则它们的夹角θ可由以下公式计算得出：cosθ = (u·v) / (||u|| ||v||)其中，||u||表示向量u的长度（模）。
2. 正交性：若向量u和v的内积为零，则称它们为正交向量。
即，若u·v = 0，则称u与v正交。
另外，若向量空间中的每一对非零向量都是正交的，则称该向量空间为正交向量空间。
正交向量空间的一个重要性质是：任意向量空间都可以通过正交化的方法，将其转化为正交向量空间。
三、内积空间的应用1. 几何学中的内积：在几何学中，内积可以用于计算向量之间的夹角、判断向量之间的正交性等问题。
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
最新整理1向量的内积长度及正交性.ppt
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量 x
x
2
M
,
y
y
2
M
,
xn
yn
令
[ x ,y ] x 1 y 1 x 2 y 2 L x n y n
y1
x1, x2,L
,
x
n
y2MxTyyn 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
[ x y , z ] ( x y ) T z ( x T y T ) z ( x T z ) ( y T z ) [ x , z ] [ y , z ]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在解析几何中，正交向量可以用来描述平面或空间中的点或线，并帮助解 决几何问题。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
5.1 向量的内积和正交矩阵(《线性代数》闫厉 著)
y1 a11 x1 a12 x2 a1 nx n , y2 a21 x1 a22 x2 a2 nx n ,
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
之间的
表示一个从变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 线性变换， 其中aij 为常数.
b1
(b2 (b2
, ,
a3 b2
) )
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
a2
a2－b1 b2
b1 c2
令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2 = b1 ， 若令 b2 = a2 － c2 = a2 － b1 ，则 b1⊥b2 ． 下面确定 的值．因为
0 (b2 , b1 ) (a2 b1, b1 ) (a2 , b1 ) (b1, b1 )
biT bj
1, 0,
i j i j
(i, j 1, 2,, n)
定义5.1.5：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的标准正交基．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向 量，且两两正交． 即 A 的行向量组构成Rn 的标准正交基.
正交矩阵具有下列性质：(定理5.1.3) ü 若 A 是正交阵，则AT （即A−1 ）也是正交阵， ü |A| = 1 或－1; ü 若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵． 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．
AT
A
a1T
线代第五章(1)向量的内积、长度及正交性
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式
|| x + y || ≤ || x || + || y ||.
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得
定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , · , er 是向量空 · ·
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , · , er 两两正交, · ·
且都是单位向量, 则称 e1, · , er 是 V 的一个规范 · ·
正交基.
14
例2 设
1 1 5 1 2 1 4 2 a1 , a2 , a3 , a4 3 3 1 1 1 0 0 14
向量组 b1 , · , br 的过程称为施密特(Schimidt) · ·
· · · · 正交化过程. 它不仅满足 b1 , · , br 与 a1, · , ar
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · , · ·
bk 与 a1 , · , ak 等价. · ·
23
1 1 5 2 1 4 a1 , a2 , a3 , 3 1 1 1 0 0
试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交.
容易验证 b1 , · , br 两两正交, 且 b1 , · , br 与 · · · · a1 , · , ar 等价. · · 然后只要把它们单位化, 即取
(3) 三角不等式
|| x + y || ≤ || x || + || y ||.
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得
定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , · , er 是向量空 · ·
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , · , er 两两正交, · ·
且都是单位向量, 则称 e1, · , er 是 V 的一个规范 · ·
正交基.
14
例2 设
1 1 5 1 2 1 4 2 a1 , a2 , a3 , a4 3 3 1 1 1 0 0 14
向量组 b1 , · , br 的过程称为施密特(Schimidt) · ·
· · · · 正交化过程. 它不仅满足 b1 , · , br 与 a1, · , ar
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · , · ·
bk 与 a1 , · , ak 等价. · ·
23
1 1 5 2 1 4 a1 , a2 , a3 , 3 1 1 1 0 0
试求一个非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 两两正交.
容易验证 b1 , · , br 两两正交, 且 b1 , · , br 与 · · · · a1 , · , ar 等价. · · 然后只要把它们单位化, 即取
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
线代课件§1向量的内积、长度及正交性
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
2
1
9 8
8 9 1
9 9
4 9
4 9
4
9 4
.
9
7
9
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
1 8
2
9 8
(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
1.定义2 令 x [ x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
41,Βιβλιοθήκη ,1,1 0,2,1,31111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
线性代数_第4.2章
机动
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2.正交变换 正交变换 定义1.7 设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正 定义 交变换. 设 y = Px 为正交变换，则有
y = y y
T T
T
= x P Px
= x x= x.
T
按‖x‖表示向量长度, ‖x‖=‖y‖说明经正交变换 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性.
1 1 0 α1 = 0 ,α2 = 0 ,α3 = 1 1 −1 0
是否为正交向量组. 解 因为α1,α2,α3均为非零向量,并且(α1,α2)=0, (α1,α3)=0, (α2, α3)=0,即α1, α2, α3两两正交，所以该向量组是正交组.
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1.2 正交向量组 定义1.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y 定义 正交.记作x⊥y . 正交 若x = 0,则 x 与任何向量都正交. 定义1.4 如果一组非零向量两两正交，则称这组向量 定义 为正交向量组 正交向量组.简称为正交组 正交组. 正交向量组 正交组 ★如果一个向量组仅含一个向量α，当α≠ 0时，则规 定该向量组为正交组. 例1.1 判断实向量组
定义1.5 如果一个正交向量组中每个向量都是单位向 定义 量，则称该向量组为一个单位正交向量组 单位正交向量组，简称单位正交 单位正交向量组 正交 标准正交组、规范正交组 组（或标准正交组 规范正交组 标准正交组 规范正交组）. 由上述定义可知，n维实向量组α1,α2,…,αs为单位正 交组的充分必要条件是
1− i 2 2+i A= . 0 −i 3 − 4i
显然，矩阵A为实矩阵的充分必要条件是 A = A. 容易 验证有关共轭矩阵的如下性质： 性质1 A = A; 性质 性质2 性质 A + B = A + B;
线性代数 向量组的正交性
1 1 T −1 T B = A⇒ B = B = A 9 9
⇒B
−1
= 9A
−1
⇒A
−1
1 −1 1 T = B = A 9 81
八、正交变换：
定义 若 P 为正交阵，则线性变换 y = Px 称为正 交变换． 性质 性质 证明
则有 y =
正交变换保持向量的内积不变． 正交变换保持向量的长度不变．
⎧ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1, ⎪ ⎪ a + b − c + d = 0, ⎨ ⎪ a − b − c + d = 0, ⎪ ⎩ 2a + b + c + 3d = 0.
2 1 3 解之可得 : x = ( −2 ,0,− , ) 13 26 26 或 2 1 3 x = (2 ,0, ,− ). 13 26 26
2.向量的单位化
1
, an )
β = ( b1, b 2 ,
, bn )
α
α =
1
α
α =1
1
α
α为单位向量。
二、向量的夹角。 三、向量的正交性：
1.定义2. 若（α，β ） = 0, 则称向量α 与β 正交。
由定义知, 若 α = 0, 则 α 与任何向量都正交.
2.定义3. 如果 m个 n维非零向量 α1 , α 2 ,
, r ), 用 e 左乘上式, 有 eiT α = λi eiT ei = λi ,
即
λi = e α = (α , ei ).
T i
六、向量组的正交规范化：
公式：设α1 , α 2 ,
, α m为线性无关向量组，令
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10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
7、 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 ，a1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
y2 ,
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２、正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３、 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
1、正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
例如 (0,1,1,1)T 与 (8,1,2,1)T [ , ] 0 , 向量 与 正交 .
(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
1.定义2 令 x [ x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
2.单位向量及 n 维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
例
1, 3
1 , 3
1 3
,
1 ,0, 2
1 2
,0
2 将向量 单位化： 1 .
例 1,2,3,
1 1,2,3
14
3 当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
说明 1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2. 内积是向量的一种运算, 如果 x , y 都是 列向量 ,内积可用矩阵记号表示为 : [ x, y] xT y
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
6、 规范 (标准)正交基
定义 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
4、 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组.
5、 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 ,
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]