相似三角形的比例关系及相 似三角形证明的变式
人教版九年级下册数学《相似三角形的性质》相似说课教学课件复习
B
F
C
6.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，
A
顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .
E
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
B
FD
H
G
C
解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥FG，EF＝FG＝GH＝EH，
平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
BG BC
EH EF（相似三角形对应角平线
的比等于相似比），
4.8 6
,
EH 4
解得EH＝3.2(cm).
即EH的长为3.2cm.
G
B
C
D
H
E
F
★ 相似三角形周长的比等于相似比
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多
直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
高， 中线， 角平分线， 周长， 面积.
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
知识讲解
★ 相似三角形对应线段的比等于相似比
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
A
A ' B ' B ' C ' C ' A '
归纳：
由此我们可以得到：
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程要证明相似三角形两边对应成比例且夹角相等的过程，我们需要从几何角度出发。
首先，我们先来理解相似三角形的定义。
两个三角形被称为相似三角形，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
也即，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则△ABC∽△DEF。
接下来，我们来证明两边对应成比例且夹角相等的条件下，两个三角形相似。
假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB/DE=AC/DF=BC/EF，且∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。
我们先来证明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F这一条件。
首先，我们取点G在AB上，使得AG=DE。
由于AB/DE=AC/DF，我们有AG/DE=AC/DF，即AG/AC=DE/DF。
根据比例相等的性质，我们可以得到AG/AC = AB/DF。
又因为∠A =∠D，根据正弦定理，我们可以得到AG/AC = sin∠B/sin∠C。
综上所述，我们得到AB/DF = sin∠B/sin∠C。
同理，我们可以使用类似的方法得到AC/DF = sin∠C/sin∠B，BC/EF = sin∠C/sin∠A，将这些式子联立起来，得到AB/DF = AC/DF = BC/EF = sin∠B/sin∠C = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
因此，根据比例相等的性质，我们可以得到sin∠B/sin∠C =sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
进一步化简，我们得到sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B。
根据正弦定理，我们可以得到AB/AC = sin∠B/sin∠A，BC/AC = sin∠C/sin∠A。
从上述的推导步骤可以看出，我们得到了AB/DE = AC/DF = BC/EF = AB/AC = BC/AC = sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题
初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。
的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（ ）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段． 注：①比率线段是有次序的， 若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项， 那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。
（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全 长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（ 注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2） 更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理： 若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 若是在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
[宝典]相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
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相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA ·AC=BA ·AE图2题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
AB C A'B'C'图（4）图1B AC总结：（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究，B C得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
相似三角形复习课件
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形的性质推导与证明
相似三角形的性质推导与证明相似三角形是几何学中的重要概念之一。
在本文中，我们将探讨相似三角形的性质，并进行推导与证明。
通过深入研究相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解决与它们相关的几何问题。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形定义：给定两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角相等，那么我们称这两个三角形相似，并记作∆ABC ~ ∆DEF。
相似三角形的性质如下：1. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果∆ABC ~ ∆DEF，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的对应角相等。
如果∆ABC ~ ∆DEF，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比例等于对应边长比例。
如果∆ABC ~ ∆DEF，则有AB+BC+AC/DE+EF+DF=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似三角形的证明现在，我们将证明相似三角形的第一个性质：两个相似三角形的对应边成比例。
证明：已知∆ABC ~ ∆DEF，根据相似三角形的定义，我们知道∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
根据三角形内角和的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E +∠F = 180°。
由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们可以得出∠A + ∠B+ ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。
将这个等式代入到三角形内角和的性质中，我们可以得到∠A +∠B + ∠C = ∠A + ∠B + ∠C，即∠A + ∠B + ∠C - ∠A - ∠B - ∠C = 0。
经过整理后，我们得到0 = 0，这是一个恒等式，表示对于任意三角形，两边之和等于第三边。
接下来，我们考虑∆ABC和∆DEF的对应边长度。
假设AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为常数。
根据相似三角形的定义，我们可得AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例
初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例相似三角形是初中数学中重要的概念之一。
在研究相似三角形时，我们需要了解相似三角形的性质以及相关的比例关系。
本文将归纳相似三角形的性质与比例，并通过实例进行说明。
一、相似三角形的性质（1）对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
换句话说，如果三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F），则三角形 ABC 相似于三角形DEF。
（2）对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
设三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应边满足 AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
（3）三角形的形状相似性质：如果两个三角形的所有角相等或者所有边成比例，那么它们是相似的。
也就是说，如果三角形 ABC 的所有角与三角形 DEF 的所有角相等，或者三角形 ABC 的所有边与三角形 DEF 的所有边成比例，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
二、相似三角形的比例关系当两个三角形相似时，我们可以得到一些有用的比例关系。
（1）边长比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这意味着三角形中对应边的比例是相等的。
（2）角度比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。
这意味着三角形中对应角的比例是相等的。
（3）面积比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。
则有△ABC 的面积 / △DEF 的面积 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
这意味着两个三角形的面积比例是边长比例的平方。
三、示例分析为了更好地理解相似三角形的性质与比例关系，我们举例进行分析。
1相似三角形的判定
∵∠ADC=∠ACB,又∠A=∠A,∴由判定定理 1,知
△ABC∽△ACD
∵AC CD
=
AB BC
,∴AACB
=
CD BC
,由判定定理
2
知,不能单独判断
△ABC∽△ACD
∵AC2=AD·AB,∴AACB
=
AD AC
,又∠A=∠A,由判定定理
2,知
△ABC∽△ACD
答案:C
3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 ,那么它 们相似 . (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直 角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ,那么这两个直角三角形 相似.
△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE.
(2)判定定理 1:对于任意两个三角形 ,如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形 相似.简述为: 两角对应 相等,两三角形相似 .
(3)引理:如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的 对应线段 成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边 .
反思感悟 根据三角形相似的定义 ,可由三角形相似得到成比例的 线段,从而可推出线段长度之积相等 .在推理过程中 ,要注意对应边、 对应角 ,避免出现不对应的情况 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练 1如图,在平行四边形 ABCD中,点E在DC上.
若DE∶EC= 1∶2,则BF∶BE=
.
∴∠C'= 55°.
答案:55°
???'????'?= ????'???'?,
思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后面的括号内画 “√ ”错, 误的画
相似三角形的比例关系与推导
相似三角形的比例关系与推导相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，这种关系对于解决各种与三角形相关的问题非常重要。
本文将探讨相似三角形的比例关系以及其推导过程。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
设有两个三角形ABC和XYZ，若∠A=∠X，∠B=∠Y，∠C=∠Z，且AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则称三角形ABC和XYZ相似。
2. 相似三角形的比例关系有了相似三角形的定义，我们可以得出以下重要的比例关系：(1) 三角形对应边的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则AB/XY = BC/YZ =AC/XZ。
这意味着相似三角形的对应边的比例相等。
例如，如果AB的长度是XY的2倍，那么BC的长度也是YZ的2倍，AC的长度也是XZ的2倍。
(2) 三角形内角的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则∠A/∠X = ∠B/∠Y = ∠C/∠Z。
这意味着相似三角形的对应角度的比例也相等。
例如，如果∠A的度数是∠X的2倍，那么∠B的度数也是∠Y的2倍，∠C的度数也是∠Z的2倍。
这些比例关系对于解决相似三角形的各种问题非常有用，比如计算未知边长或角度的比例关系，求解两个图形是否相似等。
3. 相似三角形的推导相似三角形的比例关系可以用各种方法推导出来，其中最常用的方法是副角定理和对应角定理。
(1) 副角定理：副角定理是指如果两条直线AB和CD平行，与这两条直线相交的另外两条线AC和BD之间的角度相等，那么它们所对应的另两条边AB和CD之间的比例相等。
根据副角定理，我们可以推导出相似三角形的对应边的比例关系。
(2) 对应角定理：对应角定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则它们一定相似。
根据对应角定理，我们可以推导出相似三角形的对应角度的比例关系。
这些推导过程可以通过证明和推理来完成，具体步骤可以根据不同题目的要求而定。
相似三角形的比例关系和相似比
相似三角形的比例关系和相似比相似三角形是几何学中的重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
相似三角形的比例关系和相似比是理解和解决与相似三角形相关问题的关键概念。
本文将详细介绍相似三角形的比例关系和相似比，以便读者能够深入理解和应用这一概念。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
具体来说，如果两个三角形ABC和DEF满足以下条件，则它们是相似的：1. 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
相似三角形有以下重要性质：1. 对角定理：如果两个三角形的两角分别相等，则它们是相似的。
2. 边角对应定理：如果两个三角形的一个角和一个对边相等，则它们是相似的。
3. 直角三角形的相似性质：直角三角形的两个锐角相等，则它们是相似的。
4. 相似三角形的比例：相似三角形的对应边成比例。
二、相似比的计算和应用相似比是描述相似三角形的边长比例的一个重要概念。
在相似三角形ABC和DEF中，我们可以通过计算相似比来求解未知边长或比较边长的大小。
例如，已知相似三角形的两个边长比为3:5，我们可以通过以下步骤来计算未知边长：1. 选取一个已知边长与未知边长对应的边，假设已知边长为3，未知边长为x。
2. 建立比例方程：3/x = 3/5。
3. 解方程得到x = 5/3，即未知边长的值。
相似比也可以用来比较相似三角形的边长大小。
例如，已知两个相似三角形的相似比分别为3:4和1:2，我们可以通过以下步骤来比较它们的边长：1. 选择一个相似比的分子和分母，例如选择3和4。
2. 计算第一个三角形的边长与第二个三角形相应边长的比值，得到3/1。
3. 如果该比值等于相似比的分子与分母的比值（4/2），则第一个三角形的对应边长大于第二个三角形；如果该比值小于相似比的分子与分母的比值，则第一个三角形的对应边长小于第二个三角形。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
九年级数学相似三角形的判定
目
CONTENCT
录
• 相似三角形的定义与性质 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的变式与拓展
01
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
02
01
03
两个三角形如果对应角相等，则它们是相似的。
相似三角形对应边的比值相等，即它们的边长比例相 等。 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
物理学
在物理学中，相似三角形经常被 用来解决与力、运动相关的问题 。
80%
工程设计
在工程设计中，相似三角形可以 帮助设计师确定建筑物的结构稳 定性。
在数学竞赛中的应用
奥林匹克数学竞赛
在奥林匹克数学竞赛中，相似 三角形是解决几何问题的重要 工具之一。
数学竞赛培训
在数学竞赛培训中，相似三角 形是培训内容的重要组成部分 ，用于提高学生的几何思维能 力。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、且$frac{AB}{A'B'} = frac{AC}{A'C'} = k$ （$k$为常数），则$triangle ABC sim triangle A'B'C'$。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
确定未知量
通过相似关系，我们可以确定一些未知量，如角度 、长度等。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
相似三角形的面积比等于相似 比的平方。
相似三角形对应高的比等于相 似比，对应中线的比也两组对应角分别相等，则这两个 三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比值相等，则这两 个三角形相似。
相似三角形性质
相似三角形性质(总19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点3三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．B (3)DB (2)知识点4 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的比例关系
相似三角形的比例关系相似三角形是指具有相同形状但可能有不同大小的三角形。
在相似三角形中，各个对应角度相等，而对应边长之间存在一定的比例关系。
本文将详细讨论相似三角形的比例关系及其性质。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形满足这个条件，我们可以表示为∆ABC ~ ∆DEF。
在相似三角形中，有以下性质：1. 对应角相等性质：两个相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例性质：两个相似三角形的对应边长比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形边长比例证明我们以∆ABC ~ ∆DEF为例证明相似三角形中的边长比例性质。
设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且 AB/DE = BC/EF =AC/DF = k。
根据三角形的内角和定理可知，∠A + ∠B + ∠C = 180度。
而∠D + ∠E + ∠F = 180度，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C =∠F，所以∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180度。
因此，两个三角形的内角和相等，满足相似三角形的定义。
我们假设 AB/DE = k，并通过相似三角形的性质进行边长的推导。
根据相似三角形的边长比例性质，可以得到：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k由此可得，AB = k * DE，BC = k * EF，AC = k * DF。
三、相似三角形的应用相似三角形的比例关系在实际生活和几何问题中有着广泛的应用。
1. 测量高度在实际测量中，我们可以利用相似三角形的原理来测量高度。
例如，测量一座高楼的高度，我们可以利用一个测量仪器的高度和相似三角形的比例关系，通过测量仪器与建筑物的阴影长度的比例来计算出建筑物的高度。
2. 显示地图比例尺地图上的比例尺通常表示为1: n的比例关系，其中n表示地图上的距离与实际距离之间的比例。
第一讲1.3第1课时相似三角形的判定
[迁移探究 1] (变换条件、改变问法)典例 1 中“AD ＝AC”的条件删去，∠BAC＝90°，其他条件不变． 试证明：△ABD∽△CBE. 证明：因为 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，所以 EB＝ EC， 所以∠B＝∠ECB.
因为 D 是 BC 边的中点，∠BAC＝90°， 1 所以 AD＝ BC＝BD， 2 所以∠BAD＝∠B， 所以∠BAD＝∠BCE. 又∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBE.
温馨提示 若两个三角形相似，则它们的对应角相 等，对应边成比例．
2．预备定理
文字 语言 图形 语言
平行于三角形一边的直线和其他 两边(或两边的延长线)相交，所构 成的三角形与原三角形相似
符号 语言
在△ABC 中，D，E 分别是 AB， AC 边上的点，且 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC
3.相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：两边对应成比例，且夹角相等，两三 角形相似． (3)判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似．
类型 1 相似三角形的判定(互动探究) [典例 1] 如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边的中 点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F. 求证：△ABC∽△FCD.
证明：因为 BD＝DC，DE⊥BC， 所以△BEC 为等腰三角形， 所以∠B＝∠ECB. 又因为 AD＝AC， 所以∠ADC＝∠ACB， 所以△ABC∽△FCD.
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
1．3 相似三角形的判定及性质 第 1 课时 相似三角形的判定
[ 学习目标 ] 1.掌握证明两个三角形相似的方法 (重 点)． 2.能应用三角形相似解决有关问题(重点、难点)．
相似三角形
相似三角形的判定--知识讲解【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：1、三角形相似的性质【例1】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR=12BC 时，求DE 的长.如果SR=13BC 呢？练 1.△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则ACDF______，EFBC______． 练 2.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．【例2】如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm ．他准备了一支长为20 cm 的蜡烛，想要得到高度为5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？练3.如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC 的交点为M ．已知AB = 10 m ，CD = 15 m ，求点M 离地面的高度MH ．练4.△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线．已知AD = 8 cm ，A ′D ′= 3 cm ，求△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比.2．相似三角形面积的比、周长比【例3】如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么你能求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？练5.等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A′B′C′,则△A ‘B ′C ′的周长为（）。
相似三角形比例公式
相似三角形比例公式
相似三角形比例公式，也叫相似度公式，是结构图形、几何学等学科中常用的重要公式，它主要是用来比较两个相似三角形之间的比例关系。
相似三角形比例公式可以表示为：两个三角形ABC和A'B'C'相似，则存在三组分子分母相等的比例，即：
AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′
该公式表明，任意两个相似三角形ABC和A'B'C'，它们之间的比例关系就可以表现为上帝中的三个比例。
利用相似三角形比例公式，可以求出相似三角形内位或外位的比例，也可以求出根据已知比例构成的相似三角形的三个边长关系。
例如，已知相似三角形ABC和A'B'C'的AB/A′B′的比例，BC/B′C′的比例和AC/A′C′的比例，可以根据这三个比例求得ABC和A'B'C'的三条边长。
此外，相似三角形比例公式也可以用来判断两个三角形是否相似，如果
AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′成立，则说明这两个三角形是相似的。
相似三角形比例公式和它的应用，在计算机图形学、虚拟现实建模等领域有重要的意义。
比如，通过利用三角形比例公式，可以来确定在3D空间模型中物体位置和尺寸的关系，从而有效叠加各物体。
总之，相似三角形比例公式是几何学、计算机图形学等学科中一个重要的公式，它既可以表示两个相似三角形之间的比例关系，也可以从三组比例中求得三条边长，或者根据已有比例确定两个三角形是否相似，同时它还在计算机图形学等领域有着重要的应用价值。
第15讲 相似三角形判定定理的证明(基础)知识讲解
相似三角形判定定理的证明(基础)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE =∠B ，∠AED =∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F ,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE =CF . ∴AE :AC =DE :CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE =∠B,∠DAE =∠BAC,∠AED =∠C,∵∠A =∠A ′,∠ADE =∠B =∠B ′,AD =A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B =∠ADE,∠C =∠AED,∴△ABC ∽△ADE (两角分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB AC A B A C =,AD =A ′B ′, ∴''AB ACAD A C = ∴''AC ACAE A C = ∴AE =A ′C ′ 而∠A =∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD =A ′B ′,AE =A ′C ′,连接DE . ∵''''AB ACA B A C =，AD =A ′B ′,AE =A ′C ′, ∴AB AC AD AE= 而∠BAC =∠DAE,∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴AB BCAD DE =又''''AB BC A B B C =，AD = A ′B ′, ∴ ''AB BC AD B C =∴''BC BC DE B C =∴DE =B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、在△AB C 中，∠A =60°，BD ⊥AC ，垂足为D ，CE ⊥AB ，垂足为E ，求证：△ADE ∽△AB C ．【思路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC ∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC=∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴=，∴=，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△AB C．【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB BD CD CE，∴BD•CD=AB•CE，即BD•CD=AC•CE；2、已知，Rt△AB C中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EB D．【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EB D．【答案与解析】证明：∵HD⊥AB于D，∴∠ADH=90°，∴∠A+∠AHD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠E+∠AHD=90°，∴∠A=∠E，∵∠ADH=∠ACB=90°，∴△AHD∽△EB D．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABC D中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】（随州）如图，在△AB C中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=【答案】D；提示：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=时，△ABC∽△AE D．故选D．4、（揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF 分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【答案与解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴=代入①=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DE C．类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．【答案与解析】解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，第二个图形中，对角线长==，第三个图形中，对角线长=，所以第n个图形中，对角线长=；（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，在△BE D中，BE=，BD=2，ED=，所以，∴△BCE∽△BED；（3）选取③，∵CD∥EF，且CE=DF，∴四边形CEFD为等腰梯形，∴∠DFE=∠CEF，∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.。
三边对应成比例两三角形相似
探究
边S 边S 边S
A
已知：
AB A1B1
BC B1C1
AC .
A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
B
C B1
C1
有效利用预备定理去求证。
证明：在线段 A1B（1 或它的延长线）上截
取 A1D AB，过点D作 DE∥B1C1，交 A1C1于点
E根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1.C1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
• 如图，已知 AD=28千米，AB=14千米，BD=21
A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与
△A′B′C′相似． 证明：∵ AB 6 1
AB 18 3
BC 8 1 BC 24 3
AC 10 1 AC 30 3
∴
AB BC AC
AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例的两个三角形
相似）．
相似 三角对应相等, 三
角
三角 边对应成比例的两
边
形 个三角形相似
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
如图，∵AB:DE=4.5:3=3:2
AC:DF=3:2
BC:EF=6:4=3:2 ∴AB:DE=AC:DF=BC:EF
此时，两个三角形的三组边对应成比例， 那么这两个三角形什么关系？相似吗？
A
A1Biblioteka ∴ A1D DE A1E B
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D
B
（第5题图）
（第6题图）
6、如图，直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则
下列说法中正确的有（ ）
①
图中有4个三角形与△ACB相似；
②
③∠A=∠BCD=∠CDE； ④ ；
⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=
；
⑥。
A、6个
B、5个
C、4个
D、3个
7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）
4、如图,平行四边形ABCD中,P是CD上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCD的面积= ,S△BCP：S△APD：S△APB= ： ：
5、已知：如图,梯形ABCD的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点 M为腰AD、BC的交点,则点M到上底CD的距离为 cm,点M到下底AB 的距离为 cm.
5、如图，已知ΔABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC∽ΔBDA,DC2=AD•AE
则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之
比是--------
对应边上的中线之比是----------，周长之比是-----------
---。
图1
2， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：
例 已知：如图1，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证： 1、 DA·AC=BA·AE
D PC M
DC
A
B
(第6题图)
DC
A
BA
B
（第4题图） （第5题图）
6、如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥AB，BD⊥AD，CD∥AB，且
BD=3，CD=2，则下底AB的长是 .
7、如图，在△ABC中，DE∥BC,且△ADE的周长与△ABC的周长之比 为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .
图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的 特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形 相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于点D。
图3
（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； 双垂直图形中的BD=AD·CD，AB=AD·AC，BC=CD·CA， BC·AB=AC·BD等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需 先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直 图形转化 为“公边共角”，讨论、探究，
4、已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，对角线AC⊥BD，垂足为
P，已知AD：BC=3：4，则BD：AC的值是 （ ）
Ａ、：２ Ｂ、２：３ Ｃ、：３ Ｄ、３：４
5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB，则下列关系式中正确的是（
）
A、 B、 C、 D、
A
C
E
B
O
D
CE
A
S△ABC的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
D
C Ａ Ｄ
O Ｐ
A
B
Ｂ Ｃ
（第2题图）
（第4题图）
3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是
1：4，则两底的比是（ ）
A、1：2
B、1：4
C、1：8
D、1：16
.
10、如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，（1）若AD=9cm,则BD=
；
（2）已知AB=25cm，BC=15cm，则BD=
.
C
A
D
B
【强化练习】
1、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且 BD=CE,AD、BE相交于点M
(1)△AME∽△BAE; (2)BD2=ADDM. A
10．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，=则的比
值是（ ）
A、2
B、3
C、4
D、5
11．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC则ΔABD与ΔACD的面积的
比值是（ ）
A、2
B、3
C、4
D、8
12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD等于（ ）
E M BD C
2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的 延长线于点F, 求证：
A
E
F BD C
3、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的 垂线交BD、AD于点E、F。 求证：
D F A
E BC
4、如图，在RtΔABC中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C，AC=20CM,BC=9CM,求 AB及BD的长
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】
1， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！
若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形
的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---
------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，
A A D E （
BC (第7题图)
D
C
B
(第8题图)
8、如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=，在 AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，则AE等 于
. 9、若△ABC∽△A1B1C1，AB=3，A1B1=4.5，且S△+S△=78，则S△=
得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在
一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB=AD·AC。
【课堂检测】
一选择题
1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则
后一个三角形的面积为（ ）
A、
B、20
C、
D、
2、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，如果S△ODC：S△BDC=1：3，那么S△ODC：
A、a∶b
B、a2∶b2
C、∶ D、不能确定
二，填空题
1、如图,在△ABC中,DE∥BC, AD：AC=2：1，则△ADE∽△ ，
∠C=∠ △ABC的面积：△ADE的面积= .
C
A
CB F C
(第1题图)
(第2题图) (第3题图)
2、已知:如图,直线DE交△ABC的两边AB、AC于点D、E,且∠1=∠B则. 3、如图,DE∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF⊥BC,交DE于 G,则AG:AF= ： , △AGE∽△AFC,且它们的相似比为 .
A、9∶5
B、81∶25
C、3∶ D、不能确定
8．RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相
似但不全等的三角形共有（ ）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
9．在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中错误的是（ ）
A、AD• BD=CD2 B、AC•BD=CB•AD C、AC2=AD•AB D、AB2=AC2+BC2