相似三角形及黄金分割
几何中的相似三角形与黄金分割
几何中的相似三角形与黄金分割在几何中，相似三角形与黄金分割是两个重要的概念。
本文将详细介绍这两个概念，并探讨它们之间的关系。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形有以下性质：1. 对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即若有三角形ABC与DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 对应角度相等：相似三角形中，对应角度相等。
即若有三角形ABC与DEF相似，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
基于这些性质，我们可以利用相似三角形解决各种几何问题，如计算未知边长、求解角度等。
二、黄金分割的定义与特点黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使整条线段与较短部分的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这一比例值为约1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。
黄金分割具有以下几个特点：1. 黄金比例的几何构造：给定线段AB，我们可以通过黄金分割来确定一点C，使得AC/AB=AB/BC=φ。
具体构造方法有多种，较为常用的是作一条垂直于AB的线段，然后将线段分割为AB和BC两部分，使得AB/BC=φ。
2. 黄金矩形：若给定一个长宽比为φ的矩形，我们称之为黄金矩形。
黄金矩形具有以下特点：将其较短边的长度记为a，较长边的长度记为b，则有a/b=b/(a+b)=φ。
黄金矩形在艺术与建筑中应用广泛，被认为具有较好的审美效果。
相似三角形与黄金分割之间存在紧密的关系。
下面将探讨这两个概念之间的联系。
三、相似三角形与黄金分割的关系在一些几何问题中，相似三角形的性质可以与黄金分割的特点相结合，从而得到有趣的结果。
1. 证明黄金比例性质：可以利用相似三角形的性质来证明黄金分割的比例为φ。
具体而言，我们可以考虑一个黄金矩形，然后构造相似三角形，并利用对应边成比例的性质进行推导。
2. 构造黄金比例的线段：通过相似三角形的几何构造，我们可以构造出两条线段，它们的长度之比为黄金分割的比例φ。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念：…1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）^A三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EFAE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CFAB AC=A B C EF FECBAAE AF EB FC =AE AFAB AC=BE CFAB AC='//EF BC 'F 'F …△ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽B A'A C'B 'C∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠，B BC C ''∠=∠∠=∠，∽△△ABC A B C '''AB BC ACk A B B C A C ===''''''k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABCBC A M ''A H ''A D ''△A B C '''B C ''AB BC AC AM AHADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''【△ABC △A B C '''AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++△ABC△A B C'''△△ABCA B CBC AHS BC AHkS B C A HB C A H2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2>'A A∠=∠'B B∠=∠△∽△ABC A B C'''AB BC ACA B B C A C==''''''△∽△ABC A B C'''AB ACA B A C='''''A A∠=∠△∽△ABC A B C'''\BAD EC∥△∽△AD AE DEDE BC ADE ABCAB AC BC⇔⇔==AD CBO∥△∽△AB OA OBAB CD AOB CODCD OC OD⇔⇔== .△ABC△∽△ADG ABCDG ANBC AM=BAC∠=90︒△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC NMGFEDCBAGFEDCBAG EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA GAH DFBECAGDF BEC]::::x y z =135x y z x y z +3--3+x y z 234==x y z x y-+3=3-a b c2=3=4abc ≠0a bc b+-2x k =y k =3z k=5x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53113-2:2:3x y =53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+23a c e b d f ===a c b d ++2323a c e b d f -+-+b c a c a b a b c a b c +-+-+-==()()()a b b c a c abc+++11x y ≠23a cb d +=+232233a c e b d f -+=-+0a b c ++≠()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=()()()a b b c a c abc +++=80a b c ++=()()()()()()a b b c a c c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-11-∥∥l l l 123AB DE BC EF=∥∥AD BE CF AB =4AC =10DE =5DF =∥∥l l l 123AB =3BC =5DF =12_______DE =______EF = AD BE CF l 12l 3l A D B E C FAD BE CF l 12l l 3△△ABE CBES AB BC S =∴∥AD BE∵∥BE CF △△ABE DEB S S =∴△△CBE FEB S S =△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE BC S S EF ===∴25292152∥∥l l l 123.cm AG =06.cm BG =12.cm CD =15CH =△ABCAD BD 2=3AE =3AC =AC =3BD =3CD =2CE =A CH GDBl 1l 2l 3B ADEA B C152∠ADC =90︒∥AD BC ∠∠DFC AEB =△∽△ADF CAE AD =8DC =6∥AD BC∠∠DAF ACE =∠∠DFC AEB =DFA AEC ∠=∠△∽△ADF CAE AD =8DC =6AC =10AF =5△∽△ADF CAEAD AF CA CE =CE 85=10CE 25=4BC 25=2125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭△ABC △DEF 90A ∠=︒90F ∠=︒5AC =13BC =10DF =26EF =85C ∠=︒85E ∠=︒AC DEBC DF=1AB = 1.5AC =2BC =8EF =10DE =16FD =46A ∠=︒80B ∠=︒45E ∠=︒80F ∠=︒△ABC AD AC =DE BC ⊥△∽△ABC FCD △ABC BD CE BC 21⋅=2△∽△ACE DBAAEF DAD B CE AD AC =∵FDC ACB ∠=∠∴DE ∵EB EC =∴ABC FCD ∠=∠△∽△ABC FCD ∴（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ． A D BECF l 12l 3l F EDCB A题型一 &题型二“A ”字和“8”字模型例题1 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）！（3）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固1： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAACEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3~解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型三 与内接矩形有关的相似问题例题2 （1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2;解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ?∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固2： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF AB解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型四 {题型五“A 字和“8”字模型的构造例题3 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，GFED CBA H MACDEG BIHABDECHP ED CBAAH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， -∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固3： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ， ：∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ， ∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2， 而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型六 斜“A ”和斜“8”模型例题4 ?例题5 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB=，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，C DEKBA ED CAB∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固4： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．%FECDBAA BDEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， 】∵AF AD ⊥，M 为DE 中点 ∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找-巩固5： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）ADEF CM123图3图2图1lP FEDC B AFP EDCB AlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC B A 图3lPFEDC B A图8-1 图8-2 图8-3解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下：？∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型七 射影定理例题6 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅． ~解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固6： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．/（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅．C AEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． GHFED CB A（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型八 ?题型九三垂直模型例题7 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．￥（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固7： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB ABy D E OAxC图10-1 图10-2%解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==，∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴855CE =，455CF =1255BC ，855AB ， ∴矩形ABCD 的周长为5EDCG FBM A（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，:由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =， 求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固8： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2，解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PA a =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题8 (例题9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．DFAPQFEMDCBA巩固9： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF.解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题10 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- &∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固10：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD AC DBBC ==，由于5AB =，31577AD AB ==∴ 》（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固11：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．B CAEDP DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题11 、例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， （即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN D EFQP GABCMN DEF巩固12： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． （2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．FED NMCBA（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3"解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60．②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴ttt23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固13：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42．∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
相似三角形及黄金分割
相似三角形及黄金分割相似三角形是初中数学中常见的一个概念，黄金分割则是数学、艺术以及自然界中随处可见的一个特殊比例。
本文将详细介绍相似三角形的定义和性质，以及黄金分割的由来和应用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形有以下几个重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角相等，即相应顶点处的角度相等。
2. 对应边成比例：相似三角形的对应边的比值相等，即相应边的长度比例相等。
3. 面积成比例：相似三角形的面积与对应边的平方成正比。
二、黄金分割的由来黄金分割是指一种特殊的比例关系，它得名于古希腊的黄金矩形。
黄金矩形的特点是长边与短边之比等于整个矩形与长边之比，即(a+b)/a = a/b，解这个方程可得到黄金分割比例为(1+√5)/2≈1.618。
黄金分割在古代希腊建筑和艺术中被广泛运用，例如帕尔腊提农神庙的柱子高度与直径的比例就是黄金分割比例。
三、黄金分割的应用黄金分割不仅在艺术中起到美学效果，也在数学和自然界中有广泛应用。
1. 黄金矩形：黄金矩形由两个边长比为黄金分割比例的矩形构成，具有美学上的完美比例。
2. 黄金螺旋：黄金螺旋是一种特殊的螺旋线，它的每个旋钮都与前一个正方形的一个顶点相切，并继续扩展下去。
黄金螺旋在自然界中很常见，例如太阳花的花瓣排列、螺旋壳的形状等。
3. 黄金短线：黄金短线是指黄金螺旋中与正方形的边相交的线段，它们的长度比也是黄金分割比例。
4. 黄金长方形：黄金长方形是指长和宽之比为黄金分割比例的长方形。
黄金分割的应用远不止于此，在数学、艺术、建筑以及金融等领域都有重要的作用。
综上所述，相似三角形和黄金分割都是数学中的重要概念。
相似三角形不仅帮助我们研究三角形的性质和应用，而且也是许多数学问题的基础。
而黄金分割则在各个领域中展现出其独特的美学效果和实际应用，为我们赋予了许多经典的作品和理论。
比例线段 黄金分割 相似三角形
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形经典题型）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形经典题型的全部内容。
☞考点归纳归纳 1：比例的基本性质、黄金分割基础知识归纳:1．黄金分割:把一条线段（AB ）分割成两条线段,使其中较长线段（AC )是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC ·AC =AB ·BC ,AC =；一条线段的黄金分割点有两个．2．比例的基本性质及定理（1）（2) (3）基本方法归纳:利用比例的基本性质变形是关键． 注意问题归纳:比例式与乘积式转化时要弄清内外项．【例1】若4y -3x =0,则归纳 2：三角形相似的性质及判定 基础知识归纳：1．相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；（2）两角对应相等，两三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4)三边对应成比例,两三角形相似；0.618A B A B ≈a ca db cb d=→=a c a b c d b db d ±±=→=(b d n 0)a c m a c m ab d n b d n b+++===+++≠→=+++x yy +=（5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；（6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．2．相似三角形性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．．基本方法归纳：关键是熟练掌握相似三角形的判定．注意问题归纳:相似条件的寻找．【例2】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB．（1）求证:△ADE∽△CDF;（2）当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．归纳 3:相似三角形综合问题基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC＝PG．（1）求证:PC是⊙O的切线;（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变,若BG2＝BF·BO．求证：点G是BC的中点．（3）在满足(2）的条件下，AB=10，ED,求BG的长．基础知识归纳:1．相似多边形的性质（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．（2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．2．位似图形（1）概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．．基本方法归纳：掌握作图．注意问题归纳:准确找出对应点的位置．【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2;（1)把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位,得到△A1B1C1; （2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2．1．（2015届广东省广州市中考模拟)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2．若BC=1，则EF的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试)如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD =1，DB =2，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0。
(完整版)相似三角形专题
上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【一】知识梳理 【1】比例 ① 定义：四个量a,b,c,d 量成比例 ② 形式：a:b=c:d ， 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个a cb d③性质：基本性质： — —<=ac=bd b d1、可以把比例式与等积式互化。
2、可以验证四个量是否成比例 4，比例中项：—乞一> c 2 ab c b 注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负 【2】黄金分割 定义：如图点 C 是AB 上一点，若AC 2 AB?BC ，则点C 是AB 的黄金分割 占八、、） 一条线段的黄金分割点有两个 AC AB 0.618A 21- BC3 5 AD AB 0.382A B2 5 1BC AC 0.618A 2 注意：如图△ ABC / A=36°, AB=AC 这是一个黄金三角 形， 亦1BC AB 0.618AB 2 【3】平行线推比例3、相似三角形的常见图形'A 型图''母子图’母子图中的射影定理般母子图’A C=AD ?AB【4】相似三角形1相似三角形的判定① AA 相似：I/ A=Z D, / B=Z E ② ‘s A S ' 俎 BC, BDE EF•••△ ABC^ DEF① 相似三角形的对应角相等，对应边成比例② 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的 比都等于相似比③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ③ ‘S S S 'AB AC BCD E D F EF④平行相似: •••DE// BC2、相似三角形的性质AC2=AD?AB BC 2=BD?ABCD2=AD?BD【二】题型1、求线段的比求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配【例题1】如图，直线丨1//丨 2 //丨3,直线AC分别交l l , l 2, l 3于点A, B, C;直线DF分别交l i, 12, I 3于点D, E, F. AC与DF相较于点H,且AH=2 HB=1 BC=5则匹的值为EF【例题2】如图，已知在厶ABC中，点D E、F分别是边AB AC BC上的点,DE// BC EF// AB,且AD： DB = 3 : 5,那么CF： CB等于【例题3】如图，点 D 是厶ABC 的边AB 上一点，且 AB=3AD 点P 是厶ABC 的外接圆上的一点，且/ ADP=/ ACB 则PB:PD=【例题5】已知a C 2，则2a 3bb d 3 3a 4b【例题4】如图，已知ABC 的角平分线,DE// AB 交 AC 于 E ,D2, 则 a =【例题6】如图，将矩形纸片ABCD （AD>D 的一角沿着过点D 的直线折叠，使 点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交 AB 于点F.若BE:EC=m ：n 则 AF:FB=【例题7】如图所示，将矩形ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合, 折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则竺=.AB -------------------【例题8】如图，Rt △ ABC 内接于。
北师大版九年级上册数学教案：4.4三角形相似的判定及黄金分割
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似判定定理分析并解决实际问题，提高解决问题的策略选择和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形相似判定：重点讲解AAA、AA和SAS判定定理，使学生掌握三角形相似的判定条件，并能准确运用这些定理解决具体问题。
-黄金分割概念及性质：强调黄金分割比例的定义，及其在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解黄金分割的重要性。
-实际问题解决：通过典型例题，让学生学会将实际问题抽象为三角形相似问题，运用所学知识进行解决。
2.培养学生的数感和符号意识，使其掌握黄金分割的概念和性质，并能运用数学符号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行表达和计算，从而增强数学语言的表达能力。
3.培养学生的空间观念和审美观念，通过探索黄金分割在生活中的应用，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高对几何美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和交流，让学生在探究相似三角形和黄金分割的过程中，学会倾听、表达、协作，培养良好的沟通能力。
此外，我还注意到在黄金分割部分的教学中，学生们对其概念和性质的理解相对较好，但在实际应用中计算黄金分割比例时，仍有一些学生感到困惑。针对这一情况，我将在下一节课中增加一些计算练习，让学生多动手操作，提高他们解决实际问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
相似三角形与黄金分割
相似三角形与黄金分割相似三角形以及黄金分割是几何学中非常重要且常见的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形，而黄金分割则是指一条线段被分成两部分，其中较长部分与整体长度的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这两个概念在几何学、艺术等领域具有广泛的应用与价值。
本文将分别介绍相似三角形和黄金分割的定义、属性以及常见应用。
一、相似三角形相似三角形的定义是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
简而言之，如果两个三角形的三个角度分别相等，或者两个三角形的相应边长成比例，那么它们就是相似三角形。
相似三角形具有以下属性：1. 角对应相等：在相似三角形中，对应角度是相等的。
例如，若角A对应角A'，角B对应角B'，角C对应角C'，则有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
2. 边对应成比例：在相似三角形中，对应边的长度成比例。
假设边AB对应边A'B'，边BC对应边B'C'，边AC对应边A'C'，则有AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
3. 周长比例：相似三角形的周长比等于边长比。
设ABC和A'B'C'为相似三角形，其对应边的长度比为k，则有周长(ABC)/周长(A'B'C') = AB+BC+AC / A'B'+B'C'+A'C' = k。
相似三角形在几何学中具有广泛的应用。
例如在地图制作中，为了在有限的空间内表达大范围的地理信息，常常使用相似三角形来进行比例缩放。
此外，在建筑设计中，相似三角形也是设计与施工的基础。
通过利用相似三角形的性质，设计师可以快速计算出建筑物的尺寸，并确保其比例合理。
二、黄金分割黄金分割是一种比例关系，指的是一条线段被分成两部分，其中较长部分与整体长度的比例等于较短部分与较长部分的比例。
数学九年级北师大版4.5相似三角形判定定理的证明黄金分割教案
5.强化学生的数学运算能力，使学生熟练掌握相似三角形判定及黄金分割比的计算方法，并能准确、迅速地进行相关计算。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-相似三角形的判定定理：本节课的核心内容是使学生掌握并能够运用AA、SSS、SAS相似定理进行几何证明和问题求解。重点包括：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形判定定理的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。这一概念在几何证明和图形分析中至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示相似三角形在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用相似三角形的判定定理进行严密的证明，并解决实际问题。
2.提升学生的几何直观和空间想象力，通过探索黄金分割的性质，理解其在几何图形中的应用和美感。
3.增强学生的数据分析能力，使学生能够利用黄金分割的相关知识分析生活中的实际问题，提出解决方案。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形判定定理的证明与黄金分割》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过一些图形或建筑中的比例美？”比如，门框的宽高比、窗户的设计等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形和黄金分割的奥秘。
此外，实践活动和小组讨论的环节，让学生们有了更多的互动和合作机会。他们能够在讨论中相互启发，共同解决问题。但从学生的讨论成果来看，我发现他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。这让我意识到，在今后的教学中，需要更多关注学生逻辑思维和问题解决能力的培养。
九下 相似三角形(图上距离与实际距离、黄金分割、相似图形)知识点+例题+练习 分类全面
（1）求c b a 、、的值 6,4,12（2）若线段x 是线段b a 、的比例中项，求x 2倍根号67、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm 。
且ECAEBD AD =（1）求AD 的长；7.2 （2）试判断ACECAB BD =是否成立成立8. 如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，BE 1⊥AC ，E 1F 1⊥AB ，F 1E 2⊥AC ，E 2 F 2⊥AB ，F 2 E 3⊥AC ． (1)求AE 3：AB 的值．根号2:8(2)作E 3 F 3⊥AB ，F 3E 4⊥AC ，…，F n －l E n ⊥AC ， 求AE n ：AB 的值． 根号2：（2分之1）的n 次方9. 已知60a b c ++=，且345a b c==，求,,a b c 的值. 15,20,25如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 和AB 的比值约为0.618，这个比叫做黄金比. 注意：（1）由黄金分割的定义知BC AB AC •=2 (2)黄金比为618.0215≈-==AC BCAB AC（二）、黄金矩形宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形.（三）、黄金三角形顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如右图 注意：黄金三角形有以下性质： （1）618.0≈ABBC（2）设BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且AD 是AC 、CD 的比例中项，点D 是线段AC 的黄金分割点，即底角平分线将腰黄金分割； （3）再作∠BDC 的平分线交BC 于点E ，则△CDE 同样是黄金三角形 例：1、如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是AB 靠近B 的黄金分割点，若AB=80cm ，求AC 的长度. 40倍（根号5-1）2、如图所示的矩形ABCD 是黄金矩形，且15+=BC ，BC ＞AB ，求AB 的长.23、如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ACAD等于2分之（根号5-1）4、 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是( )BA. AC AB BC AC =B. BC ACAB BC = C. AC AB AB BC = D. BC ACAB AB=5. 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，并且,1AC CB AB >=，那么AC 的长度为( )C形状相同的图形叫做相似图形注意：（1）相似的图形形状必须完全一样； （2）相似的图形的大小有时相同，有时不相同（3）相似图形不一定是全等图形，但全等图形一定是相似图形 例1：如图所示的各组图形相似的是（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．①④ （二）、相似三角形各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做相似比.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，k C A ACC B BC B A AB =''=''=''，则△ABC 和△A ′B ′C ′相似，相似符号“∽”表示，记作△ABC ∽△'''C B A ，读作△ABC 相似于△'''C B A ，对应边的比叫做相似比，即k 的值叫做相似三角形的相似比. 注意：（1）记两个三角形相似时，通常把表示对应定点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.（2）当相似比为1时，两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形叫做全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例. 例：1、如图，已知AD=3cm ，AC=6cm ，BC=9cm ，∠B=36°，∠D=117°，△ABC ∽△DAC（1）求AB 的长；（2）求∠BAD 的大小．2. 下列说法正确的是( ) A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的锐角三角形都相似D.所有的等边三角形都相似3. 如图所示，△ABC ∽△DBA ，80BAC ∠=︒，70C ∠=︒，5,3,6AB AC BC ===求:(1) ,,ADB BAD DAC ∠∠∠的度数; (2),BD AD 和DC 的长.6分之25,2分之5,6分之114．如图，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE 、BE 的长．4,55、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，求EF 的长．根号136、已知两个相似三角形的一对对应边的长度分别是35 cm和14 cm，它们的周长差是60 cm，求这两个三角形的周长．100,40(三)、相似多边形如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比1、如图，四边形ABCD∽四边形GFEH且∠A=∠G=70°，∠B=60°，∠E=120°，DC=24，HE=18，HG=21.求∠D、∠F的度数和AD的长.2. 如图所示的三个矩形中，是相似多边形的是( )B.乙与丙D.甲、乙、丙都相似六边形''''''A B C D E F，若对应边AB与''A B的长分别为的环形区域，图中所形成的两个矩形13GH AB =，13HM BC =，MN。
线段的比例及应用
线段的比例及应用线段的比例是指两条线段之间的长度比值关系。
在线段的比例问题中，常常涉及到两个概念：黄金分割比例和相似三角形比例。
本文将从理论和应用两个方面，探讨线段的比例及其实际应用。
一、线段的比例理论在数学中，两个线段的比例可以用等式表示为：a/b = c/d，其中a、b、c、d分别表示不同线段的长度。
1. 黄金分割比例黄金分割比例是线段比例中一种特殊的比例关系。
对于一个线段AB，将其分成两个部分，使得整个线段与较短部分之间的比例等于较短部分与较长部分之间的比例。
即（AB/AC）=（AC/BC），其中AC 为较短部分，BC为较长部分。
黄金分割比例被广泛应用于建筑、绘画和设计领域，以创造出最美观的比例和比例关系。
例如，帕特农神庙的柱子高度与直径的比例，蒙娜丽莎的脸部特征比例等都借鉴了黄金分割比例。
2. 相似三角形比例相似三角形比例是与黄金分割比例密切相关的概念。
当两个三角形的对应边成比例时，称这两个三角形为相似三角形。
相似三角形的比例关系可以应用于线段的比例问题中。
例如，假设有一个大三角形ABC和一个小三角形DEF。
如果各个对应边的比例相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以得出这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，可以推导出线段的比例关系。
二、线段比例的应用线段比例广泛应用于实际问题中，特别是在几何和工程学领域，以下是一些线段比例应用的实例。
1. 测量与放缩在测量和放缩过程中，线段的比例是十分重要的。
例如，在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用比例尺将实际距离与地图上的长度进行比较，从而得出实际距离。
在工程学中，根据设计要求和实际场景，可以通过线段的比例来放缩工程图纸。
通过比例的缩放，可以实现工程的合理布局和安排。
2. 建筑设计建筑设计中的线段比例应用十分重要。
比如，在设计建筑物的立面时，需要确定楼层之间的线段比例，以保证整体外观的和谐与美观。
同时，在室内设计中，线段比例可以用来确定家具和装饰物件的适当大小和布局。
相似三角形的黄金分割与黄金比
相似三角形的黄金分割与黄金比黄金分割是一个神秘而美丽的数学概念。
它与相似三角形密切相关，给我们带来了许多有趣的发现和应用。
在本文中，我们将探讨相似三角形的黄金分割以及与之相关的黄金比。
一、相似三角形与黄金分割相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在相似三角形中，所有对应边的比例是相等的。
也就是说，如果两个三角形是相似的，那么它们的边长比例是相等的。
黄金分割是一种特殊的比例关系，被广泛应用于艺术、建筑和自然界中。
在相似三角形中，如果将其中一条边划分成两部分，使整条边与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例，那么这个比例就是黄金分割。
黄金分割的比例约等于1.618，也被称为黄金比。
它的数值是一个无限不循环的小数，被表示为希腊字母φ（phi）。
黄金比的数值近似等于（1+√5）/2。
二、黄金分割与黄金矩形黄金分割不仅可以应用于相似三角形，还可以与黄金矩形相联系。
黄金矩形是指长宽比等于黄金比的矩形。
在黄金矩形中，长边与短边的比例即为黄金比。
黄金矩形在建筑和艺术设计中被广泛应用。
许多古代建筑物和艺术品中都能看到黄金矩形的轮廓。
这种比例被认为是最具吸引力和美学感的比例之一。
三、黄金分割的几何特性黄金分割具有许多有趣的几何特性。
其中一项重要特性是黄金分割线的存在。
黄金分割线是将一个矩形划分成两个部分，使整个矩形与较大部分的比例等于较大部分与较小部分的比例。
这条线将矩形切分为一个较大的正方形和一个较小的矩形，同时两个矩形之间的比例也等于黄金比。
另一个有趣的特性是黄金螺旋的存在。
黄金螺旋是由一系列黄金矩形连接而成的曲线。
如果沿着黄金矩形的边界绘制一条曲线，那么这条曲线上任意相邻两点之间的距离都符合黄金比。
四、黄金分割在艺术与自然中的应用黄金分割被广泛应用于艺术与自然中。
许多艺术家在绘画、雕塑和摄影中使用黄金分割来创造更美观和和谐的作品。
通过将画面或对象按照黄金分割比例进行构图，能够产生一种平衡和对称的感觉。
黄金分割与相似三角形9
黄金分割与相似三角形一、 黄金分割定义与实际应用1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中AB AC ≈0.618. 黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.2.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB.（2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足ACBC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.证明：∵AB=1,AC=x,BD=21AB=21∴AD=x+21在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x+21）2=12+（21）2∴x 2+x+41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC 即：AC BC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0∴x=2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正∴AC=215-≈0.618 ∴ABAC ≈0.618 ∴黄金比约为0.618.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC AB BE BC ,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你会作了吗？。
《三角形相似的判定及黄金分割》教案
第 3 课时三角形相像的判断及黄金切割【知识与技术】理解黄金切割的定义，会找一条线段的黄金切割点.【过程与方法】找一条线段的黄金切割点.【感情态度】发展学生的审雅观 .【教课要点】找一条线段的黄金切割点.【教课难点】黄金切割比的应用 .一、情境导入 ,初步认识察看下边 3 张图片，哪张构图最美？二、思虑研究，获得新知着手量一量，五角星图案中，线段AC 、 BC 的长度，而后计算相等吗？AC与BC,它们的值AB AC【教课说明】学生亲身着手操作，获得黄金比并加深对黄金切割的理解.【概括结论】在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分红两条线段 AC 和 BC，假如AC=BC, AB AC那么称线段 AB 被点 C 黄金切割 , 点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比 .三、运用新知，深入理解1.已知 C 是线段 AB 的一个黄金切割点，则AC ∶AB 为（ D）2.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金切割点，且BE＞ CE， AE 与 BD 订交于点 F.那么 BF∶ FD 的值为 5 1.23.在人体躯干 (脚底到肚脐的长度 )与身高的比率上，肚脐是理想的黄金切割点，即比例越靠近0.618 越给人以美感 .张女士的身高为 1.68 米，身体躯干 (脚底到肚脐的高度 )为1.02 米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精准到十分位 )解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则102 x=0.618，168 x解得： x≈4.8cm.故答案为： 4.8cm.4.已知线段 AB ，求作线段 AB 的黄金切割点 C，使 AC＞ BC.解：作法以下：（1）延伸线段 AB 至 F，使 AB ＝ BF，分别以 A 、F 为圆心，以大于线段AB 的长为G，连结 BG，则 BG⊥AB ，在 BG 上取点 D，使 BD＝1AB ；2（2）连结 AD ，在 AD 上截取 DE＝ DB ；（3）在 AB 上截取 AC＝ AE.如图，点 C 就是线段 AB 的黄金切割点 .【教课说明】经过例题剖析使学生进一步理解定理的应用和黄金切割的意义 .使学生能更好地掌握本节知识 .四、师生互动，讲堂小结怎样找一条线段的黄金切割点，这节课你有哪些收获？1.部署作业：教材“习题 3.8”中第 1 题.2.达成创优作业中本课时“课时作业”部分.本节课知识点许多，拥有必定的抽象性，因此有一部分学生掌握的不够好.在此后的教课中将努力改变，铺设阶梯，给大部分同学讲话、参加的时机，活跃讲堂氛围.。
相似三角形---黄金分割学案(定)
课题:黄金分割学习目标: 1.借助图形认识黄金分割；通过作图能准确找到一条线段的黄金分割点，并能判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养自己的实践操作技能；3、能用黄金分割解释相关图形及在生活中的应用，认识数学在人类历史发展中的作用和蕴涵的文化价值。
重点：认识黄金分割的概念并能解释生活中的相关现象难点：找出黄金分割点和黄金分割在黄金矩形中的应用。
知识链接1、成比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足 ，那么就把这四条线段称为成比例线段。
2、若2：x=x:8,则x= (x 为正数)。
【自主预习】走进黄金分割1、黄金分割的发现：黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。
他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。
回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。
怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。
后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
这个规律的意思是，较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。
无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
2、断臂维纳斯、金字塔、蒙娜丽莎的微笑、上海东方明珠塔及一些生物现象中用了很多的黄金分割。
请搜集有关黄金分割的资料，体会黄金分割的广泛应用。
认识黄金分割1、概念：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC, 如果AB AC =ACBC 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。
（1）把AB AC =ACBC 化为乘积式是 ，AC 叫做AB 和BC 的比例中项。
（2）只要点C 满足 和 ，就可以判断点C 是线段AB 的黄金分割点； 2、证明：黄金比AB AC = ACBC ≈0.618，则AC= 215 AB≈0.618AB 若AB=10cm,则AC= cm≈ cm;3、推理：若AC=215AB，则BC= AB；4、一条线段有几个黄金分割点？应用黄金分割请用黄金分割解释与我们生活息息相关的相关问题：1、2、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处；如果他向B点走 m，也处在比较得体的位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形知识点一、☆内容提要1、比例的有关性质：()b an d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b cbb a ,2⇒⋅=⇒= 应用变形:已知d c c b a a d c b a +=+=:,求证，dkdc b kb a ±=±。
证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c cb a a +=+ （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ dkdc b kb a ±=±∴ 2、黄金分割的定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =（整段大线段大线段小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-＝AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以xxx -=11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。
2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。
黄金比没有单位。
例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。
3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
cd a b = db c a a c b d ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d cb a （比例基本定理）二、☆有关知识点：1、相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2、相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3、相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5、相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSSAAS （ASA ）HL 相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6、直角三角形相似：（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
射影定理：CD ²=AD ·BD ，AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.7、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形的对应角相等。
（2）相似三角形的对应边成比例。
（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（4）相似三角形的周长比等于相似比。
（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8、 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、☆注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ Z ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例ACAEBC DE AB AD ==，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成ECAEBC DE DB AD ==的错误。
2、相似三角形的几种基本图形:Ⅰ、平行线：A 型 Z 型图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； Ⅱ、相交线图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。
Ⅲ、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 3、三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
四、☆实题演练1.如图，已知DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A 、AC AE AB AD = B 、FB EA CF CE = C 、BD AD BC DE = D 、CBCFAB EF =2题图2.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F,则图中共有相似三角形 对。
3.三角形ABC 中，DE//BC,且AD:DB=2:1，那么DE:BC= 。
4.如图，已知DE//BC,CD 和BE 交于点O,若BE:BO=5:3，则AD:DB= 。
4题图3题图BB①② A③C⑥ A ④ A CD B P⑤5．如图，已知AB//CD,BO:CO=1:4，点E,F 分别是OC,OD 的中点，则EF:AB= 。
6. 如图，已知DE//FG//BC,且AD:FD=1:2，FG 是DE,BC 的比例中项，则DF:BF= 。
6题图5题图GE F EDOCBABCADF7.梯形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过O 作EF 平行于底，与腰AD,BC 相交于E.F,若DC=14，OF=8.AE=12.则DE= 。
8.如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE=ED,BE 交AC 于F,则= 。
8题图7题图CEFOD C AADBBE9.若FD//BC,FB//AC. =，则=10.如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则=10题图9题图ECEFDBBF11.如图，三角形ABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE//AB 交BC 于点E,AB=8，BE=3，求EC 的长 12.如图，直线L1//L2，AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，求AE ：EC=12题图11题图BG☆作辅助线构造“A ”“X ”型1、如图，1==DE AE CD BD ，求BFAF。
（试用多种方法解） 方法一：方法二：方法三：2、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，CE交AB于点F，若AF=1.2cm，求AB的长。
3、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，过O点的直线EF∥BC，若AD=9，BC=12。
求EF的长。
4、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，O为对角线AC、BD的交点，过B作BE∥CD交CA延长线于E。
求证：OC2=OA·OE。
5、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE=EF=BF，DF、DB与CE分别交于G、H。
求EG∶GH∶HC。
☆巩固练习与能力拓展1.已知：如图，△ACD中，EB∥CD交AC、AD于B、E，AG交BE、CD于F、G。
求证：GDEFCGBFAB DEF2.已知：如图，四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，M 是AC 上一点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥AD 于F ． 求证：1=+ADAFCB CE3.已知：如图，△ABC 中，CD⊥AB 于D ，DE∥BC 交AC 于E ，EF⊥AB 于F 。
求证：AB AF AD •=24.已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E ．求证：BFAFDE AE 2=5.已知：如图， ABCD 中，F 是AB 延长线上任一点，连结DF 交BC 于E 点。
求证：BC∶B E=（AB∶BF）+1☆相似三角形应用——A型X型作业☆1、已知：如图，△ABC中，AE=CE，BC=CD。
求证：ED=3EF2、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm。
求AB、AC的长.3. 如图，已知，ΔABC 中，DE∥BC，DF∥AC，求证：BFDEDFAEDBAD==ACDBEF☆黄金分割☆一、请你填一填1、如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. 2、黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.3、如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,则d=_____________cm.4、已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________.5、若d cb a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选1、已知yx 23=,那么下列式子成立的是（ ）A.3x=2yB.xy=6C.32=y x D.32=x y 2、把ab=21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.bd c a =2 C.b d c a =2D.dab c 2=3、已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶24、有以下命题:①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有dc b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=15- 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、222AB BP AP =+ 4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ） A 、)15(5- B 、)15(5+ C 、)25(10- D 、)53(5- 三、细心算一算已知实数a,b,c 满足c ba b a c a c b +=+=+,求ac b +的值.四、好好想一想如图4—2—2，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上。