全等变换
图形的全等变换
图形的全等变换1、 当对称轴平行时，两次翻折等于一次平移。
（平移的距离=对称轴间距离的2倍）。
2、 当对称轴相交时，两次翻折等于一次旋转。
（旋转角度=对称轴间夹角的2倍）。
3、 当对称轴互相垂直时，两次翻折等于一次中心对称。
三、轴对称1、 常见的轴对称图形及对称轴条数：线段（2）、角（1）、等腰三角形（1）、正n 边形(n)、矩形(2)、菱形(2)、圆(无数)。
2、相关定理：⑴、根据线段的轴对称性，有：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
⑵、根据角的轴对称性，有：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑶、根据等腰三角形的轴对称性，有：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角上的角平分线“三线合一”。
⑷、根据等边三角形的轴对称性，有：在Rt △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、典型例题⑴如图，在正方形ABCD 中，P 为AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，连接EF ，求证：DP=EF 。
⑵如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，求证：CF ⊥DE 。
A B C D EFP AB CD E F⑶如图，在四边形ABCD 中，DC ⊥BC 于C ，若AB=100，∠A=45°，∠DBA=75°，∠CBD=30°，求BC 的长。
⑷如图，正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC ，CE=1，求AB 的长。
四、平移1、 相关定理：平行线间的平行线段相等。
推论：平行线间的距离处处相等。
2、 典型例题⑴如图，△ABC 是等边三角形，且DE ，EG ，DF 把它分成四个完全相同的等边三角形，试问：若把△ECF 看着是由△DFA 平移得到的，其平移的方向是 ，平移的距离是 。
⑵如图，△DEF 是由△ABC 沿MN 方向平移得到的，若∠A=60°，∠B=50°，AD=3，EF=4，则∠F= ，∠AOE= ，BE= ，EC= 。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
全等变换在小学数学中的体现
目录一、全等变换及其性质 (1)（一）全等变换的概念 (1)（二）全等变换的性质 (1)二、全等变换的基本分类 (1)（一）平移 (1)1. 平移的概念 (1)2. 平移的性质 (2)3. 关于平移的问题 (2)（二）旋转 (4)1. 旋转的概念 (4)2. 旋转的性质 (5)3. 关于旋转的问题 (5)（三）对称 (7)1. 对称的概念 (7)2. 对称的性质 (7)3. 关于对称的问题 (8)三、平移、旋转和对称之间的关系 (14)参考文献 (16)一、全等变换及其性质（一）全等变换的概念在《小学数学研究》一书中给出了全等变换的概念，即：一般的，如果在欧氏平面上定义的变换T，使得任意两点A，B和它们的象A'B'，总有AB=A'B'，则称T是全等变换，也称保距变换，或者合同变换。
这种图形运动也叫图形的刚体运动，即刚体运动所生成的变换是全等变换。
①而在《几何课程研究》一书中，则给出了更为简洁的定义，即：一个平面上得到其自身的变换f，如果对于平面上任意两点A,B,其距离ρ（A,B）总等于它们的对应点A'，B'间的距离ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等变换。
②（二）全等变换的性质1.全等变换是一一变换；2.平面上所有全等变换的集合构成一个全等变换群；3.两直线的夹角不变；三角形的面积不变；平面图形的面积不变；直线上A、B、C三点的简比AC/BC不变；4.共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；5.直线变为直线、线段变为线段、射线变为射线，半平面变为半平面；6.两直线的平行性、正交性不变。
③二、全等变换的基本分类（一）平移1.平移的概念平移，也叫平移变换，是指平面到其自身的一种变换，它将平面上的任意一点P 变换到P'，满足：（1）射线PP'有给定的方向；（2）线段PP'有给定的长度。
其中，点P与P'就是一对对应点。
几何形的全等变换
几何形的全等变换几何学中的全等变换指的是通过一系列变换操作，使得一个图形与另一个图形完全重合。
全等变换是几何学中非常重要的内容，它有助于我们理解和分析各种几何形态，并在解决问题时提供了便利。
本文将介绍几何形的全等变换，包括平移、旋转、翻转和对称。
1. 平移：平移是指在平面上沿着某个方向将一个图形整体移动一定的距离。
平移保持原图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
平移变换可用矢量表示，如向量AB表示从点A到点B的平移向量。
在平移过程中，所有点都按照相同的方向和距离移动。
2. 旋转：旋转是指围绕某个点为中心，按照一定的角度将一个图形旋转。
旋转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
旋转变换可用角度表示，如逆时针旋转θ度表示为Rθ。
在旋转过程中，图形中的所有点都按照相同的角度进行旋转。
3. 翻转：翻转是指将一个图形关于某条直线翻转，形成一个关于这条直线对称的新图形。
翻转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。
翻转有两种形式：水平翻转和垂直翻转。
水平翻转可用词可矩阵表示，如对于点P(x, y)的水平翻转变换为(-x, y)。
垂直翻转同理可得。
4. 对称：对称是指将一个图形关于某个中心点进行对称，形成与原图形相似但相反方向的新图形。
对称变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
对称有两种形式：轴对称和中心对称。
轴对称是指围绕一条直线对称，中心对称是指围绕一个中心点对称。
几何形的全等变换在很多领域有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平移变换用于设计建筑的布局和平面图的布置；旋转变换用于设计圆形的柱体和建筑物的旋转平面；翻转变换用于设计对称的立面和对称的建筑物；对称变换用于制作左右对称的室内控制装饰。
此外，全等变换在计算机图形学、模式识别等领域也得到了广泛应用。
通过运用全等变换，可以将一个图像或图形与另一个进行匹配，从而实现目标检测、图像配准等任务。
全等变换还被用来设计游戏角色和动画效果，增强视觉体验。
位似变换与全等变换的几何性质
位似变换与全等变换的几何性质几何变换是几何学中的重要概念，在形状保持不变的情况下，通过平移、旋转、镜像、位似变换和全等变换等操作来改变图形的位置和方向。
其中，位似变换和全等变换是常用的几何变换方式。
本文将重点探讨位似变换与全等变换的几何性质。
一、位似变换的概念与性质位似变换，又称为相似变换，是指通过等比例因子同时对图形进行平移、旋转和缩放，使得图形的形状和内部角度保持不变。
具体来说，对于图形ABC，若存在一个坐标变换矩阵T，使得任意点P(x, y)变换后的坐标为P'(x', y')，同时满足以下条件：1. P' = T(P)；2. 所有线段的长度比例相同，即AB/CD = BC/DE = AC/DF；3. 所有角度保持相等。
从以上性质可以看出，位似变换能够改变图形的大小、位置和朝向，但不改变其形状和内部角度关系。
这在很多几何问题中具有重要意义，比如类似三角形的判断和比较、计算图形长度和角度等。
二、全等变换的概念与性质全等变换，又称为同构变换，是指通过平移、旋转和镜像等操作将一个图形变换到与之完全相同的位置和形状。
对于图形ABC，若存在一个坐标变换矩阵T，使得任意点P(x, y)变换后的坐标为P'(x', y')，同时满足以下条件：1. P' = T(P)；2. 所有线段的长度相等，即AB = CD，BC = DE，AC = DF；3. 所有角度相等。
全等变换保持了图形的大小、位置、朝向以及形状和内部角度的关系，是一种更为严格和精确的几何变换方式。
全等变换在证明几何定理和解决几何问题时经常使用，尤其在三角形全等判定、证明以及线段长度的测量等方面有着重要的应用。
三、位似变换与全等变换的关系位似变换与全等变换之间存在一定的关系和差异：1. 相同点：位似变换和全等变换都能改变图形的位置和朝向，以及图形的大小。
2. 不同点：位似变换仅保持图形的形状和内部角度关系不变，全等变换则保持了所有的性质都不变。
几何变换全等
几何变换全等几何变换是几何学中研究的一种重要内容，它通过改变几何对象的位置、形状或者大小来获得新的几何对象。
而几何变换全等是指通过变换操作后的几何对象与原对象完全相同，即形状和大小都保持不变。
本文将从几何变换的基本概念入手，介绍几何变换全等的相关知识。
一、几何变换的基本概念几何变换是通过对几何对象的位置、形状或者大小进行操作，使得原对象发生改变。
常见的几何变换包括平移、旋转、翻转、放缩和错切等。
1. 平移平移是将一个几何对象沿着某个方向上的直线移动一定距离，保持移动前后的形状和大小不变。
平移通常用向量表示，具体操作是将每个点的坐标向某个方向平移一定距离。
平移变换可以通过向量的加法实现。
2. 旋转旋转是将一个几何对象围绕某个点进行旋转，使得原对象绕该点旋转一定角度后形状和大小保持不变。
旋转通常用旋转角度和旋转中心点来描述。
旋转变换可以通过坐标变换公式实现。
3. 翻转翻转是将一个几何对象围绕某条直线进行镜像翻转，使得原对象与翻转后的对象完全对称。
翻转通常有关于某条直线的翻转和关于某个点的翻转两种情况。
翻转变换可以通过坐标变换公式实现。
4. 放缩放缩是将一个几何对象的每个点都按照一定比例进行扩大或缩小，使得原对象与放缩后的对象大小发生改变，但形状保持不变。
放缩变换通常用比例因子来表示。
放缩变换可以通过坐标变换公式实现。
5. 错切错切是将一个几何对象的每个点按照一定规则进行拉伸，使得原对象发生形状的改变。
错切变换通常有平行于坐标轴的错切和斜向错切两种情况。
错切变换可以通过坐标变换公式实现。
二、几何变换全等的条件几何变换全等是指通过变换操作后的几何对象与原对象完全相同，即形状和大小都保持不变。
根据几何学的性质，几何变换全等需要满足以下条件：1. 平移全等当两个几何对象进行平移变换，并且平移的向量相同，则它们是平移全等的。
2. 旋转全等当两个几何对象绕同一点进行旋转变换，并且旋转的角度相同，则它们是旋转全等的。
(通用)第一阶段7、图形变换及相似、全等
第七部分 图形变换与图形的全等、相似 图形变换一、轴对称：如果某个图形沿一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.如果两个图形以一条直线为轴翻折，能够彼此重合，那么就说这两个图形成轴对称。
轴对称的特征：轴对称图形的对称轴垂直平分对称点的连线段；两个图形成轴对称，则这两个图形全等。
二、平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移的特征：平移后对应线段相等且平行或在一条直线上，对应角相等；对应点连线相等且平行或在一条直线上；图形的形状、大小不变。
三、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.旋转的特征：旋转时每个点都绕旋转中心旋转相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等；图形的形状、大小不变。
四、中心对称：如果一个图形绕着某一定点旋转180°后能与自身重合，那么就称这个图形为中心对称图形；如果一个绕着某一定点旋转180°后能与另一个图形重合，那么就称这两个图形成中心对称.这个定点叫对称中心.中心对称的特征：成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
五、全等变换：能够完全重合的两个图形叫全等图形.一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.全等多边形的对应边相等、对应角相等。
六、位似变换：以一个定点为中心，将一个图形进行放大或缩小的变换，叫位似变换. 这个定点叫位似中心.【位似一定相似，相似不一定位似】【中考试题】：1、直线12+=x y 向下平移2个单位后的解析式是，再向右平移2个单位后的解析式是 .2、如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O逆时针方向旋转180°得△DEF ，则△DEF 与△ABC 重叠部分(图中阴影部分)的面积为 .3、如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，AC=5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于 cm .4、在同一坐标平面内，下列4个函数①,1)1(22-+=x y②,322+=x y ③,122--=x y ④1212-=x y 的图象不可能 由函数122+=x y 的图象通过平移、轴对称变换得到的是 (填序号).5、如图，矩形ABCO 中，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ’C ，AB ’交y 轴于D 点，则点B ’的坐标为 .6、如图，将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△ADE ，则图中阴影部分的面积是 .7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D 是BC 边上一动点(不与B 、C 重合)，过点D 作DE ⊥BC交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处.当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .8、如图，已知点C 为直线x y =上在第一象限内的一点，直线12+=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移23个单位，求平移后的直线的解析式.9、如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转到点E ，则∠CDE 的正切值为 .10、如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△PEA ，连结EB .(1)判断△ABE 形状,并说明理由；(2)若AB=2，AD=33，求PE 的长.11、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4.将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F ，AE 与FG 交于点O .(1)如图1，求证：A 、G 、E 、F 四点围成的四边形是菱形；(2)如图2，当△AED 的外接圆与△A 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；(3)在(2)的条件下，求折痕FG 的长.12、已知等腰△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为)3,33(-，点B 的坐标为)0,6(-.(1)若△OAB 关于y 轴的轴对称图形是△''B OA ，请直接写出A 、B 的对称点''B A 、的坐标；(2)若将△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数xy 36=的图象上，求a 的值；(3)若△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转30°时点B 恰好落在反比例函数xk y =的图象上，求k 的值.图形的全等一、定义：能够完全重合的两个图形，叫全等形；能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形.二、识别：(1)三边对应相等(符号记为“S.S.S.”)；(2)两边和夹角对应相等(符号记为“S.A.S.”)；(3)两角和夹边对应相等(符号记为“A.S.A.”)；(4)两角和其中一个角的对边对应相等(符号记为“A.A.S.”)的两个三角形全等.特殊地，有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.(记为“H.L.”) 三、性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)全等三角形对应边上的中线、高分别对应相等，对应角的平分线对应相等； 全等三角形的周长相等，面积相等.【中考试题】：1、下列命题正确的是( )A.三个内角对应相等的两个三角形全等 B .有两边对应相等的两个直角三角形全等 C .一边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D .一边相等的两个等腰三角形全等2、如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE;②BG=4GE;③CHD BHE S S ∆∆=;④∠AHB=∠EHD.其中正确的是 .3、如图，现给出五个等式①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA ，请以其中两个为条件，另两个为结论，写出一个正确的命题.(写出已知、求证并证明)4、如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EC 的长为 .5、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连结EF 、BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC .(1)求证：OE=OF ；(2)若BC=32，求AB 的长.6、如图，P 是等边△ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC 并以PB 为角的一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ .(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若P A :PB :PC=3:4:5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换
第五节平面图形的全等变换要点精讲1．全等图形的定义两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．2．图形重叠的方式（1）平行移动以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．（2）旋转移动设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．（3）翻转将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．相关链接1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．典型解析1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了_______度．【答案】60．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．中考案例1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．针对训练1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．y x5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．7． 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．参考答案3y x 32=+﹣1．【答案】C【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．2．【答案】（－7，3）【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．3．【答案】10【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．4．【答案】y=3x＋5【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．5．【答案】19【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．6．【答案】70°【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．8．【答案】12或15【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．扩展知识认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。
中考几何图形全等变换探究
三角形中去 ， 因为已知 、 Ⅳ分 别是两边 的 中点 ， 我们 可 以考
虑用 三 角 形 中 位 线 定 理 来 添 辅 助线． 证明 连结 Ａ Ｃ， 取Ａ Ｃ 的 中 点 Ｆ， 再 连结 Ｆ Ｍ、 Ｆ Ｎ， 可 得
对称变换 （ 这里指 的是轴对 称变换 ） 是将 两个 几何 图形 中的一个 图形 看成 是另 一个 图形关 于某 条直 线为 对称轴翻折 １ ８ ０ 。 而得到 的． 用对称变换观点来证 明线段 相等 、 角相 等 、 三角形全等 ……这种 方法叫对称变换法． 例 １ 如图 １ ， 等腰直角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ＬＢ Ａ Ｃ为直 角 ， Ｄ 为其内部一点 ， 且 ＬＡ Ｂ Ｄ＝３ ０ 。 ， Ｂ Ｄ：Ｂ Ａ， 求证 ： Ａ Ｄ＝ Ｃ Ｄ ． 分析 由于等腰 直角 三角
形 可看 成 是 一 条 对 角 线 将 正 方
Ｆ Ｍ是 ＡＡ ＤＣ的 中位 线 ， 所 以
ＦＭ ／ ／ — ＣＤ
，
Ｎ
ｃ
１
厶 ＦＭ Ｎ ＝ ＣＰＮ．
图２
又 刚 是 ＡＡ Ｂ Ｃ的中位 线－ ． ． ． Ｆ Ｎ ÷Ａ Ｂ ， Ｆ Ｎ Ｍ＝
二
ＬＢ Ｑ Ｎ ． ‘ ． 。 Ａ Ｂ＝Ｃ Ｄ， ． ’ ． Ｆ Ｍ ：Ｆ Ｎ， Ｆ ＭＮ＝ Ｆ Ｎ Ｍ．
解： 将 ＡＡ Ｂ Ｃ 绕 点
整体 旋 转 １ ８ ０ 。 ， 如 图 ３所 示， 则 点 、 Ｅ、 Ｆ、 Ｇ、 Ｈ所处
的位 置 分 别 为 、 、 ， 、
Ｇ 、 Ｈ ， 三 个 四边 形 Ａ Ｂ ∞ 、
Ｂ Ｅ Ｆ ｃ
Ａ Ｅ Ｃ Ｅ 、 Ａ Ｆ Ｃ Ｆ 均 为 平 行 四
． ．
＝ｙ＋ ｚ ． ① 在 ＡＢ Ｃ Ｈ 中， ‘ ． ’ Ｆ Ｈ／ ／ Ｃ Ｈ ，
三角函数——全等变换
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构1：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！2：第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；3：第三观察代数式的结构特点。
基本技巧:（1） 巧变角（已知角与特殊角、目标角、倍角的变换、两角和差角变换 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），1已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ 2已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值(2)名互化(切化弦)，1求值sin50(1)2已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值(3)公式变形（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。
1已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____2设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形（4）次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与 升幂公式 21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22s i n αα-=)。
1若32(,)αππ∈_____2函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________(4)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
1化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x=+tan sin 42ππ=== 等）， 1已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-(7)“正余弦—sin cos sin cos x x x x ±、”――“知一求二” 1若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __2若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。
空间几何体的相似与全等变换
空间几何体的相似与全等变换几何学是研究空间形体的学科，其中相似与全等变换是其中重要的概念。
本文将围绕空间几何体的相似与全等变换展开讨论，探讨其定义、特点以及应用。
一、相似变换相似变换是指在空间中对一个几何体进行拉伸、缩放或旋转等操作，在保持比例和形状不变的前提下得到的新几何体。
其本质上是一种比例变换，具体表现为原几何体中的任意两条相交线在变换后仍然相交，并且两几何体之间的对应边的比例不变。
以正方体为例，假设有一个正方体ABCDA'B'C'D'，经过相似变换后得到的几何体为A''B''C''D''A'''B'''C'''D'''。
在相似变换中，正方体上的每个顶点在变换后仍然保持在同一个平面上，并且各对应边长之间的比值也保持不变。
相似变换在实际生活中有着广泛的应用，例如建筑设计中的放大缩小、地图的缩放、模型的制作等。
其通过调整几何体的尺寸和形状，使得原始对象与目标对象相似，从而方便了实际应用过程中的计算和观察。
二、全等变换全等变换是指在空间中对一个几何体进行平移、旋转或镜像等操作，使得变换后的几何体与原几何体完全重合的变换方式。
在全等变换中，原几何体上的任意一对对应点之间的距离、夹角和形状都保持不变。
以三角形为例，假设有一个三角形ABC，经过全等变换后得到的几何体为A'B'C'。
在全等变换中，变换后的几何体A'B'C'与原始三角形ABC的对应点之间的距离、夹角和形状完全相同。
全等变换的应用十分广泛，例如在实际测量中，通过全等变换可以得到两个物体之间的距离和角度的关系，从而进行准确的测量。
此外，在计算机图形学中，全等变换用于模型的构建和变换，实现图像的准确呈现。
三、相似变换与全等变换的关系相似变换与全等变换是几何学中两个重要的变换概念，它们之间存在一定的关系。
全等变换
Ｅ
300
A
B
能力提高 如图①在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2 3 D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝ 2 2
：
将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△ＣＤ／Ｅ／ (如 图②，点D／、E／分别与点D、E对应)，点E／在AB上， D／E／与AC相交于点M． (1)求∠ACE’的度数； (2)求证：四边形ABCD＇是梯形； (3)求△AD＇M的面积．
【例2】（2011江苏）如图，△ABC的三个顶 点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均 为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B 顺时针旋转到△A／BC／的位置，且点A、C 仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积 是 １３π 平方单位（结果保留π）． ４
A C' A'
C
B
【例3】（2011四川）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A 点逆时针旋转30°后得到R t△ADE，点B经 过的路径为弧BD，则图中阴影部分的 π 面积是___________. ６
A' C'
C(E)
F
C(E)Q OFra bibliotekFA ? 图(１)
B(D)
A
图(２)
P B'
B(D)
全等变换 轴对称、平移、旋转
（1）.轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去， 如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关 于这条直线对称。这条直线叫做两个图形的对称轴．
（2）图形的平移的特征: ①．图形平移后不改变图形的形状和大小； ②．平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等， 对应角相等； ③．平移后对应点所连的线段平行且相等；
【数学课件】图形的全等变换
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
随堂小练
1．下列五种运动中，属于平移运动的是( D ) ①温度计中液柱的上升或下降；
②自行车轮子的运动；
③时钟的秒针的运动；
④高层建筑内的电梯的运动；
⑤小球从高处做自由落体运动．
A．①②③ C．③④⑤
B．②③④ D．①④⑤
2．如图 3－2，要将其中的甲图变成乙图，可经过的变换正 确的是( B )
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
平面图形的全等变换利用变换设计图案课件
旋转
平移
先平移后旋转 轴对称后旋转
轴对称
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由一个“十字”通过连续七次平移，前后的图形共同组成 的。
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b
a
红色部分通过两次轴对称所形成的。
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随堂练习
你能用两个圆、两个三角形、 两条平行线设计出一些简单的图案，并 标明你的设计意图吗？
解：1 平移关系：
两盏电灯
两杯冰淇凌
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2 旋转关系：
错位倒置 等价交换 3 轴对称关系：
4 创意设计：
一辆小车
外星人的脸
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穿越云霞的山
归纳：运用平移、旋转、轴对称进行图案设计的步骤： 1、选择基本图形； 2、制定设计思路； 3、遵照平移、旋转或轴对称的基本操作对基本图形 及其组合进行变化，便可得到相应的图案。
关键：在图案中找到“基本图案”，并运用平移、旋转、 轴对称的组合进行变化，检验是否形成给出图案。
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例2、观察下面两幅图案，指出图案中的“基本图案”， 说明整个图案是怎样形成的，你能设计出类似的图案吗？
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解：图一是由一个“树 ”形图案通过三次平移形成的；
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通过本节课的学习，你对生活中处处有数学有新 的认识吗？
你能利用对称、平移、旋转的知识画出精美的几 何图案吗？
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感谢您的观看。
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专题十六全等变换
全等变换包括平移变换、旋转变换、翻折变换（轴对称）等 多种类型。
全等图形与对应元素
全等图形
能够完全重合的两个图形叫做全 等图形。
对应元素
在全等图形中，互相重合的点、 线段、角等几何元素称为对应元 素。
全等变换基本性质
全等变换保持图形的 形状和大小不变。
在全等变换下，图形 的面积、周长等几何 量也保持不变。
利用平行线、同位角、内错角 等性质，结合全等变换来证明 线段或角相等。
通过构造全等三角形来证明线 段或角相等，如倍长中线法、 截长补短法等。
证明图形重合或对称
利用全等变换的性质，通过旋转、翻 折等变换来证明两个图形重合或对称。
利用中心对称或轴对称的性质，结合 全等变换来证明图形重合或对称。
通过证明两个图形完全重合来得出它 们对称的结论。
VS
性质
旋转中心、旋转方向、旋转角度为旋转的 三要素。旋转只改变图形的位置，不改变 图形的形状和大小。经过旋转，图形上的 每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相 同的角度，任意一对对应点与旋转中心的 连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转 中心的距离相等。
翻折变换概念及性质
概念
翻折变换是指把一个图形沿着某一条直线折叠过来，直线两旁的部分能够相互 重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
通过全等变换，将方程或不等式转换为更容易解的形式，从而快速找到 解。
常见的全等变换包括移项、合并同类项、去括号等，以及利用等式的性 质进行变换。
在解决方程或不等式问题时，需要注意保持解的范围和精度，避免出现 错误解或无解的情况。
利用全等变换进行代数式证明
通过全等变换，将待证明的代数式转换 为已知成立的形式，从而完成证明。
全等变换的方法
全等变换的方法全等变换是数学中常用的一种方法，用于证明两个几何图形或代数表达式完全相等。
全等变换的基本思想是通过一系列基本的变换操作，使得原始图形或表达式与目标图形或表达式在形状、大小、结构等方面完全相同。
全等变换可以应用于几何学、代数学以及其他数学领域的问题中，具有广泛的应用价值。
在几何学中，全等变换包括平移、旋转、翻转和对称四种变换。
平移是指将图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
旋转是指围绕一个点或轴进行旋转，使图形在平面上旋转一定的角度。
翻转是指将图形关于某条直线进行对称，即左右翻转或上下翻转。
对称是指将图形关于一个点进行对称，即将图形旋转180度。
通过这四种基本的全等变换操作，可以将一个图形变换为另一个与之完全相同的图形。
在代数学中，全等变换是通过一系列等价的代数变换操作，使得两个代数表达式在形式和结果上完全相等。
常见的代数变换包括合并同类项、分解因式、移项、化简等。
通过这些变换操作，可以将一个复杂的代数表达式转化为一个等价且更简单的表达式。
全等变换在解方程、证明恒等式等数学问题中发挥着重要的作用。
全等变换的应用不仅限于几何学和代数学，还可以扩展到其他数学领域中。
例如，在概率论中，全等变换可以用于证明两个随机变量具有相同的分布函数。
在数值计算中，全等变换可以用于优化算法，通过改变变量的表示形式，使得问题的求解更加简单和高效。
全等变换的基本原理是通过一系列等价的变换操作，将一个图形或表达式转化为与之完全相同的形式。
在进行全等变换时，需要严格遵守变换规则，确保变换的正确性和有效性。
同时，全等变换的过程中需要注意保持图形或表达式的性质不变，避免引入额外的假设或条件。
全等变换是数学中一种重要且常用的方法，可以用于证明两个几何图形或代数表达式完全相等。
通过一系列基本的变换操作，可以将一个图形或表达式转化为与之完全相同的形式。
全等变换在几何学、代数学以及其他数学领域中具有广泛的应用价值。
全等变换
全等变换
…
“全等”是一种变换，它把一个图形变换到另一个图形．“全等变换”是“等价变换之一．等价交换具有以下三个性质：
1. 自反性，即对于所研究的集合中的任何一个元素，它自己和自己等价．
2. 对称性，即对于所研究的集中的任何两个元素A、B，如果A和B等价，那么B和A也等价．
3. 传递性，即对于所研究的集合中的任何三个元素A、B、C，如果A和B 等价，B和C等价，那么A和C也等价．
在我们以前学过或可能看到过的变换中，“相等变换”（符号为“=”）、方程的“同解变换”等，都是等价变换；而“大于变换”、“小于变换”等，就不是等价交换，因为它们不具备上述第（1）、（2）条性质．
图形（当然包括三角形）的“全等变换”、“平行变换”也都是等价变换；在小学里我们还学过“对称”，“对称”不是等价变换，因为不是所有的图形都能自己和自己对称，再说互相对称的图形不一定有传递性．
等价变换也是重要的数学思想方法，我们学习了1+1=2起就已经使用了．它在我们今后分析问题和解决问题时还要大量用到，是否善于使用等价变换，是衡量我们数学能力高低强弱的重要标志之一．
由于全等变换是等价变换，所以我们可以记住一条新的性质：全等三角形具有传递性，也就是说，如果ΔA1B1C1≌ΔA2B2C2，并且ΔA2B2C2≌ΔA3B3C3，那么ΔA1B1C1≌ΔA3B3C3，所以ΔA1B1C1、ΔA3B3C3的对应和对应角分别相等．。
新人教版八年级上册《全等三角形》知识点归纳总结
全等三角形一、知识要点：（一）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
（二）全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
二、题型分析：题型一：考察全等三角形的定义例题：下列说法正确的是（）A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C、全等三角形的周长和面积分别相等C、全等三角形是指面积相等的两个三角形D、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF 和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______．例2：如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）A、120°B、70°C、60°D、50°第二节三角形全等的判定一、知识要点：（一）三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边”简称“SAS”2、“角边角”简称“ASA”3、“边边边”简称“SSS”4、“角角边”简称“AAS”5、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
注：边边角和角角角不成立。
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<全等变换>复习学案
一、基础练习：如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一点,△ABE经过旋转后得到△ADF,请按图回答:
(1)旋转中心是哪一点? (2) 旋转了多少度?
(3)如果点G是AB的中点,那么经过上述旋转后,点G到了什么位置?
(4) 连结EF，那么△AEF是怎样的三角形?
二、例题分析：原题：如图(1)：P是等边三角形ABC内一点,PA=6,PB=10，PC=8,将ΔAPB绕A 点逆时针旋转得到ΔAP´C,则PP´= ，∠APC= 。
变式1：将原题的背景图形变为正方形得到：
如图(2)，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，试确定：线段DE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由。
变式2：将变式1的背景图形变为直角三角形，得到
如图(3)，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，∠EAF=1/2∠DAB．连接EF，那么DE，BF，EF之间又有何数量关系，并证明你的结论.
图3
变式3：将变式1 的背景图形变为只是邻边相等的四边形得到：如图(4)，在四边形ABCD中，AB=AD，E、F分别在DC、BC上，若∠EAF=½∠DAB，试猜想：当∠B、∠D满足什么条件时，可使BF+DE=EF？（不需要证明）
三、巩固练习：已知矩形ABCD，AD=2AB,E在AD上，且AE=DE，（1）判断ΔBEC的形状，并说明理由。
（2）保持ΔBEC形状不变，将AD所在直线绕点E逆时针旋转到图2中直线MN的位置，垂线段CD、BA在MN同侧，探究线段BA、CD、AD之间的数量关系，并给予证明。
（3）保持图2中ΔBEC固定不变，继续绕点E逆时针旋转到图3位置，（垂线段CD、BA在直线MN两侧），试探究：线段AB、CD、AD之间的数量关系，并给予证明。
拖
F
A
D
E
B
C
M
N。